estabilidad de lyapunov
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Estabilidad de Lyapunov
En matemáticas, la noción de Estabilidad de Lyapunov ocurre en el estudio de sistemas dinámicos. En términos simples, si todas las soluciones del sistema dinámico que comienzan hacia fuera cerca de un punto del equilibrio xe estancia cerca xe por siempre, entonces xe es Establo de Lyapunov. Más fuertemente, si todas las soluciones que comienzan hacia fuera cerca xe converja a xe, entonces xe es asintótico establo. La noción de estabilidad exponencial garantiza un índice mínimo del decaimiento, es decir, una estimación de cómo convergen rápidamente las soluciones. La idea de la estabilidad de Lyapunov se puede ampliar a los múltiples infinito-dimensionales, donde se conoce como estabilidad estructural, que se refiere al comportamiento de diferente pero las soluciones “próximas” a las ecuaciones diferenciales.
Contenido
1 Definición para los sistemas del continuo-tiempo 2 Definición para los sistemas iterados 3 Teoremas de la estabilidad de Lyapunov
o 3.1 Teorema de Lyapunov segundo en estabilidad 4 Estabilidad para los modelos lineares del espacio del estado 5 Estabilidad para los sistemas con las entradas 6 Ejemplo 7 Lema y estabilidad de Barbalat de sistemas tiempo-que varían 8 Referencias 9 Vea también
Definición para los sistemas del continuo-tiempo
Considere un sistema dinámico no lineal autónomo
,
donde denota el vector del estado del sistema, un sistema abierto que contiene el origen, y continuo encendido . Sin la pérdida de generalidad, podemos asumir que el origen es un equilibrio.
1. El origen del sistema antedicho reputa Establo de Lyapunov, si, para cada ε > 0, existe a δ = δ (ε) > 0 tales que, si , entonces , para cada .
2. El origen del sistema antedicho reputa asintótico establo si es Lyapunov estable y si existe δ > 0 tales que si , entonces .
3. El origen del sistema antedicho reputa exponencial establo si es asintótico establo y si existen α, β, δ > 0 tales que si , entonces , para .
Conceptual, los significados de los términos antedichos son los siguientes:
1. La estabilidad de Lyapunov de un equilibrio significa que el comenzar de las soluciones “bastante cercano” al equilibrio (a una distancia δ de él) siga siendo
“bastante cercano” por siempre (a una distancia ε de él). Observe que esto debe ser verdad para cualesquiera ε aquél puede desear elegir.
2. La estabilidad asintótica significa que las soluciones que el comienzo bastante cercano no sólo sigue siendo bastante pero también cercano eventual convergen al equilibrio.
3. La estabilidad exponencial significa que convergen las soluciones no sólo, pero de hecho converge más rápidamente que o por lo menos tan rápidamente como una tarifa sabida particular .
La trayectoria x es (localmente) atractivo si
para para toda la trayectoria que comienza cerca bastante, y global atractivo si esta característica sostiene para toda la trayectoria.
Es decir, si x pertenece al interior de su múltiple estable. Es asintótico establo si es atractivo y estable. (Hay contraejemplos que demuestran que el attractivity no implica estabilidad asintótica. Tales ejemplos son fáciles de crear con conexiones homoclinic.)
Definición para los sistemas iterados
La definición para los sistemas del tiempo discreto es casi idéntica a ésa para los sistemas del continuo-tiempo. La definición abajo proporciona esto, usando una lengua alterna de uso general en textos más matemáticos.
Dejado (X,d) sea a espacio métrico y a función continua. Un punto reputa Establo de Lyapunov, si, para cada uno ε > 0, hay a δ > 0 tales que para todos , si
d(x,y) < δ
los asimientos, y uno tiene
d(fn(x),fn(y)) < ε
para todos .
Decimos eso x es asintótico establo si pertenece al interior de su sistema del establo, es decir. si hay a δ > 0 tales que
siempre que d(x,y) < δ.
Teoremas de la estabilidad de Lyapunov
El estudio general de la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales se conoce como teoría de la estabilidad. Los teoremas de la estabilidad de Lyapunov dan solamente la suficiente condición.
Teorema de Lyapunov segundo en estabilidad
Considere una función V (x) : Rn → R tales que
con igualdad si y solamente si x = 0 (definido positivo) (definido negativo)
Entonces V (x) se llama a Función de Lyapunov el candidato y el sistema es asintótico establo en el sentido de Lyapunov (i.s.L.). (Nota eso V(0) = 0 se requiere; si no V(x) = 1/(1 + | x | ) “probaría” eso es localmente el establo. Una condición adicional llamada “properness” o “unboundedness radial” se requiere para concluir estabilidad asintótica global.)
Es más fácil visualizar este método de análisis pensando en un sistema de la comprobación (e.g. resorte y masa que vibran) y en vista del energía de tal sistema. Si el sistema pierde la energía en un cierto plazo y la energía nunca se restaura entonces el sistema deben moler a una parada y alcanzar eventual un cierto estado de reclinación final. Este estado final se llama attractor. Sin embargo, encontrar una función que dé la energía exacta de un sistema físico puede ser difícil, y para los sistemas matemáticos abstractos, sistemas económicos o sistemas biológicos, el concepto de la energía puede no ser aplicable.
La realización de Lyapunov era que la estabilidad puede ser probada sin requerir el conocimiento de la energía física verdadera, proporcionando a Función de Lyapunov puede ser encontrado para satisfacer los apremios antedichos.
Estabilidad para los modelos lineares del espacio del estado
Un linear espacio del estado modelo
es asintótico establo si
ATM + MA + N = 0
tiene una solución donde N = NT > 0 y M = MT > 0 (definido positivo matrices). (La función relevante de Lyapunov es V(x) = xTMx.)
Estabilidad para los sistemas con las entradas
Un sistema con las entradas (o los controles) tiene la forma
donde el u entrado (generalmente time-dependent) (t) se puede ver como a control, entrada externa, estímulo, disturbio, o forzar la función. El estudio de tales sistemas es el tema de teoría de control y aplicado adentro ingeniería de control. Para los sistemas con las entradas, una debe cuantificar el efecto de entradas en la estabilidad del sistema. Los dos acercamientos principales a este análisis son Estabilidad de BIBO y entrada para indicar estabilidad.
Ejemplo
Considere una ecuación, donde comparado a Oscilador de Van der Pol se cambia la ecuación el término de la fricción:
Dejado
de modo que sea el sistema correspondiente
Elijamos como función de Lyapunov
cuál está claramente definido positivo. Su derivado es
Si el parámetro ε es positiva, la estabilidad es asintótica para
Lema y estabilidad de Barbalat de sistemas tiempo-que varían
Asuma que f es función del tiempo solamente.
Teniendo no implica eso f(t) tiene un límite en
Teniendo f(t) acercando a un límite como no implica eso .
Teniendo f(t) baje limitado y el disminuir () lo implica converge a un límite. Pero no dice si o no como .
El lema de Barbalat dice
Si f(t) tiene un límite finito como y si es uniformemente continuo (o se limita), entonces como .
Generalmente, es difícil analizar asintótico estabilidad de sistemas tiempo-que varían porque es muy difícil encontrar las funciones de Lyapunov con a definido negativo derivado.
Sabemos eso en caso de sistemas (tiempo-invariantes) autónomos, si es semi-definite negativo (NSD), después también, es posible saber que el comportamiento asintótico invocando invariante-fijó teoremas. Sin embargo, esta flexibilidad no está disponible para el tiempo-variar sistemas. Aquí es adonde el “lema de Barbalat” entra en el cuadro. Dice:
SI V(x,t) satisface después de condiciones:
1. V(x,t) más bajo se limita2. es semi-definite negativo (NSD)3. es uniformemente continuo a tiempo (satisfecho si es finito)
entonces como .
El ejemplo siguiente se toma de la página 125 del libro de Slotine y del Li Control no lineal aplicado.
Considere un sistema no autónomo
Esto es no autónomo porque la entrada W es una función del tiempo. Asuma que la entrada W(t) se limita.
El tomar V = e2 + g2 da
Esto dice eso V(t) < = V(0) por las primeras dos condiciones y por lo tanto e y g se limitan. Pero no dice cualquier cosa sobre la convergencia de e a cero. Por otra parte, el teorema invariante del sistema no puede ser aplicado, porque la dinámica es no autónoma.
Usar el lema de Barbalat:
.
Se limita esto porque e, g y W se limitan. Esto implica como y por lo tanto . Esto prueba que converge el error.
Referencias
Lyapunov mañana. Estabilidad del movimiento, Prensa académica, Nueva York y Londres, 1966
Jean-Jacques E. Li de Slotine y de Weiping, Control no lineal aplicado, Prentice Pasillo, río superior de la silla de montar, NJ, 1991
Vea también
http://www.mne.ksu.edu/research/laboratories/non-linear-controls-lab
Estabilidad
CAPITULO V: ESTABILIDAD DE SISTEMAS
Estabilidad Interna y Externa, Estado de Equilibrio, Criterios de Estabilidad, Método de Lyapunov.
Bibliografía
Introducción
En general siempre vamos a desear que los sistemas no se aparten demasiado de su punto de operación, puesto que podemos llegar a saturaciones, quemarse equipos, hacer saltar fusibles, etc; y por lo general el sistema quiero que siga funcionando por todo el tiempo de la vida útil del sistema (y no repararlo o reemplazarlo cada dos por tres). Es importante entonces antes de poner en funcionamiento un sistema, hacer un análisis para preveer si el sistema tendrá variables que diverjan o no (que no diverja es un indicio de que el sistema es “estable”).
Consideraremos la estabilidad desde dos puntos de observación:
Caso 1: El sistema está “libre” (no tiene entradas: todas sus entradas son nulas en todo tiempo), pero parte de una condición inicial distinta de cero. Esta estabilidad la llamaremos estabilidad de entrada cero o estabilidad interna.
Caso 2: El sistema está “relajado” (tiene condición inicial nula), pero tiene una entrada distinta a cero. La estabilidad resultante de este análisis, la llamaremos estabilidad de estado cero o estabilidad externa.
Para sistemas lineales e invariantes en el tiempo, la estabilidad interna puede ser caracterizada mediante las propiedades de la matriz de transición, mientras que la estabilidad externa puede ser caracterizada mediante la matriz de función de transferencia.
Algo más complicado es llegar a analizar la estabilidad de los sistemas no-lineales y/o variantes en el tiempo.
Estabilidad de entrada cero - definiciones
Previo a estudiar las definiciones de estabilidad, definamos para un dado sistema la definición de punto (o estado) de equilibrio.
Definición: Estado de equilibrio
Un estado xe de un sistema se dice ser un estado de equilibrio si posee la siguiente propiedad:
si x(t0) = xe => x(t) = xe, para todo t > t0,
provisto que ninguna entrada es aplicada.
Consideremos un sistema contínuo no-lineal y variante en el tiempo, descripto por la ecuación estado:
[Ec. 1]
entonces, los estados de equilibrio de éste sistema serán aquellos estados xe que cumplen con la ecuación:
, para todo . [Ec. 2]
Para los sistemas discretos, no-lineales y variantes en el tiempo, descripto por la ecuación:
[Ec. 3]
entonces, los estados de equilibrio de éste sistema serán aquellos estados xe que cumplen con la ecuación:
, para todo . [Ec. 4]
Notar que un sistema puede tener más de un estado de equilibrio.
Para un sistema lineal (contínuo) caracterizado por:
[Ec. 5]
el estado xe = 0 (el origen del espacio de estados), es siempre un estado de equilibrio.
Para sistemas contínuos no-lineales (siempre y cuando exista un estado de equilibrio), podemos siempre asumir que xe = 0 es un estado de equilibrio sin pérdida de generalidad. Si en dicho sistema (ecuación 1) el estado de equilibrio en consideración está en xe 0, luego podemos definir un nuevo espacio de estados como:
.
De manera que: y entonces: g(0,0,t) = 0.
Un argumento similar cuenta para los sistemas discretos.
Ahora vayamos directamente a las definiciones de estabilidad interna:
Definición: Sistema estable (Lyapunov)
El estado de equilibrio xe = 0 es estable en el sentido de Lyapunov, o simplemente estable, si para cualquier escalar dado > 0, existe un escalar (t0,) > 0 tal que
, implica , para todo .
Definición: Sistema asintóticamente estable
El estado de equilibrio xe = 0 es asintóticamente estable si:
1) es estable (en el sentido de Lyapunov)
2) para cualquier tiempo t0 y para cualquier estado inicial x0 suficientemente cercano al origen del espacio de estado, el estado x(t) tiende al origen en cuanto t tiende a infinito.
Si en estas dos definiciones de estabilidad, el parámetro es independiente de t0, entonces la estabilidad se dice que es uniforme (cosa que siempre se cumple para sistemas invariantes en el tiempo).
También, si en éstas dos definiciones, el estado inicial x0 no está restringido a que dicho estado esté lo suficientemente cerca del origen (o sea que se cumple cualquiera sea del estado inicial x0 de que se parta), entonces se dice que la estabilidad es global.
Notar que para sistemas lineales, la estabilidad asintótica es siempre global. Esto nos indica que podemos realizar la siguiente definición:
Definición: Sistema asintóticamente estable
Un sistema lineal es asintóticamente estable si para ese sistema el estado xe = 0 es asintóticamente estable.
Esquemáticamente, los distintos tipos de estabilidades de un punto de equilibrio xe (una pelota sobre distintas superficies):
Estabilidad de estado cero - definiciones
Previo a estudiar las definiciones de estabilidad, veamos las definiciones de función acotada y matriz acotada.
Definición: Función acotada
Considerar el espacio vectorial (V,F) y una norma sobre ese espacio. Decimos que
la función donde D es el conjunto dominio de f, es acotada sobre D, si
existe un número M finito y positivo tal que , para todo .
De una manera similar podemos dar la definición de matriz acodata.
Consideremos los sistemas lineales variante en el tiempo:
Para el caso contínuo:
[Ec. 6.a]
[Ec. 6.b]
Para el caso discreto:
[Ec. 7.a]
[Ec. 7.b]
Las matrices A y B son respectivamente de dimensión nxn y nxr (considerando que el vector de entradas es de dimensión r). Si éstas matrices A y B son acotadas, y para el
caso contínuo, las mismas son funciones contínuas del tiempo, habíamos visto en el capítulo 3 que la respuesta estado-cero a éstos sistemas son:
Para el caso contínuo:
, para t ≥ t0. [Ec. 8]
Para el caso discreto:
, para k ≥ k0. [Ec. 9]
Definamos ahora la estabilidad externa del sistema:
Definición: BIBO estabilidad
El sistema descripto por las ecuaciones 7, con estado inicial x0 = 0, se dice BIBO estable (BIBO por Bounded Input-Bounded Output, en español: entrada acotada-salida
acotada) si para todo t0 y para toda entrada acotada sobre [t0, ), la salida y(t) es acotada sobre el mismo dominio[t0, ).
Para los sistemas discretos tenemos una definición similar:
Definición: BIBO estabilidad
El sistema descripto por las ecuaciones 8, con estado inicial x0 = 0, se dice BIBO estable si para todo k0 y para toda entrada acotada sobre [k0, ), la salida y(k) es
acotada sobre el mismo dominio[k0, ) (k toma valores enteros).
Observar que un sistema BIBO estable puede llegar a tener algún estado interno que crezca ilimitadamente.
Estabilidad de entrada cero - criterios
Supongamos tener los sistemas lineales contínuo y discreto, descripto por las ecuaciones:
Contínuo:
, para t ≥ t0. [Ec. 8]
Discreto:
, para k ≥ k0. [Ec. 9]
Recordar que para el análisis de estabilidad suponemos que u(t) ó u(k) son nulas en todo tiempo.
Presentemos ahora un teorema para la estabilidad (o estabilidad en el sentido de Lyapunov):
Teorema 1:
El sistema de la ecuación 8 es estable, si y solo si, existe una constante M positiva, el cual puede depender de t0, tal que:
, para todo t ≥ t0.
donde es la matriz de transición del sistema de la ecuación 8.
Demostración:
Suficiente: La solución de la ecuación 8, como ya sabemos, puede ser escrito como:
Entonces:
, para todo t ≥ t0.
Por lo tanto eligiendo una condición inicial tal que , implica que
, para todo , lo cual es la definición de estabilidad.
Necesaria: Lo demostraremos por contradicción. Supongamos que el sistema es estable
(en el sentido de Lyapunov), pero que no está acotada sobre t ≥ t0. Esto último
significa que hay al menos un elemento de (llamémosle ) el cual no está acotado.
Elijamos entonces la siguiente condición inicial:
j-ésimo elemento
Y por lo tanto, el i-ésimo componente de x(t) será para t ≥ t0, el cual no está acotado. Entonces el sistema es inestable, lo que contradice la suposición inicial.
Teorema 2:
El sistema de la ecuación 8 es asintóticamente estable, si y solo si, se cumple la condición del teorema 1, y además:
, para todo t0.
La prueba de este teorema es similar al teorema anterior.
Teorema 3:
El sistema de la ecuación 8 es uniforme y asintóticamente estable en forma global, o exponencialmente estable, si y solo si las constantes positivas M1 y M2 existen tal que:
, para todo t ≥ t0, y para todo t0.
Demostración:
Necesaria: Tenemos que:
Entonces, si , donde es un escalar arbitrario positivo, usando la condición del teorema tenemos:
y por lo tanto x(t) tiende a 0 cuando t tiende a infinito.
Esto prueba la estabilidad asintótica (puesto que x(t) tiende a 0 cuando t tiende a infinito), que es uniforme (ya que la acotación de x(t) no depende de t0), y es global, puesto que la demostración sigue siendo válida cualquiera fuera la condición inicial x0
utilizada (ya que eligiendo otro llego a lo mismo).
Suficiente: Si el sistema de la ecuación 8 es uniforme y asintóticamente estable en forma global, entonces para cualquier > 0 y cualquier > 0 , existe un tiempo T
independiente de t0 tal que implica , para todo t ≥ T+t0.
Sea (por ejemplo, eligiendo algún ), y .
Entonces:
Usando la propiedad transitiva de la matriz de transición, esto implica que para cualquier entero positivo k:
Elegimos k, de tal manera que , y fijamos y
, el cual está acotado debido a la estabilidad asintótica del sistema.
Entonces:
con lo que queda demostrado.
Corolario: Un sistema contínuo lineal e invariante en el tiempo es asintóticamente estable si y solo si todos los autovalores de la matriz A tienen su parte real negativa.
En otras palabras, para que el sistema sea asintóticamente estable todos los autovalores deben estar en el semiplano izquierdo del plano complejo (sin incluir el eje imaginario).
Para un sistema lineal e invariante en el tiempo, el estado del sistema evolucionará descripto con la siguiente sumatoria:
donde mi es la multiplicidad de los autovalores de la matriz A: i, i = 1, 2, ... , p (p es la cantidad de autovalores distintos).
Notar que los autovalores con parte real cero que ocurren a pares conjugados (por ejemplo los autovalores 1 = .j, 2 = -.j), los cuales resultan en funciones temporales sin(.t) y/o cos(.t), que son funciones acotadas. Sin embargo, autovalores múltiples con parte real cero pueden resultar en términos no-acotados de la forma t.sin(.t) y/o t.cos(.t).
Notar que esto es válido para sistemas lineales invariantes en el tiempo, y no es válido para los sistemas variantes en el tiempo como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Tenemos un sistema descripto mediante la ecuación 8, con la siguiente matriz A(t):
Determinando los autovalores de la matriz A, observamos que los mismos son: -0.5, y -1.5, ambos autovalores con la parte real negativa. Si el sistema fuera invariante en el tiempo el sistema sería estable.
Como se puede verificar, la matriz de transición para este sistema es:
Y por lo tanto el sistema no es estable, puesto que tiene los dos elementos inferiores que no están acotados, y por lo tanto la misma no es acotada.
En orden de asegurar la estabilidad de sistemas variantes en el tiempo, condiciones adicionales deben requerirse. Por ejemplo, si todos los autovalores de A(t) están en el semiplano izquierdo (del plano complejo) para todo tiempo t ≥ t0, y el ritmo de cambio de A(t) es suficientemente chico, entonces el sistema será asintóticamente estable.
Sistemas discretos
Teorema:El sistema discreto: x(k+1) = A(k).x(k)
es estable (según el sentido de Lyapunov), si y solo si, existe una constante M,el cual puede depender de k0, tal que:
, para todo .
donde es la matriz de transición del sistema.
Teorema:El sistema discreto, es asintóticamente estable, si y solo si:
a) , para todo .
b) , para todo k0.
Para el sistema lineal e invariante en el tiempo discretos, nuevamente, los autovalores de la matriz A del sistema caracterizan completamente la estabilidad del sistema.
De hecho en tales sistemas tenemos:
para el sistema x(k+1) = A.x(k), donde A tiene n autovectores linealmente independientes.
Usando la matriz de transformación (M = matriz modal de A) de manera que el vector de estado en el nuevo espacio es z:
la nueva ecuación de estado será:
donde .
Entonces:
y entonces
, si y solo si, con i =1,2,...n.
entonces:
es acotada y converge a 0 cuando , si y solo si, con i =1,2,...n.
o que es lo mismo que decir que todos los autovalores de la matriz A estén dentro del círculo unitario.
Si autovalores simples existen sobre el círculo unitario permanece acotado pero ya no converge más a 0.
Autolvalores múltiples sobre el círculo unitario, sin embargo, pueden causar que
diverjan cuando .El argumento arriba mencionado puede ser extendido al caso donde la matriz A no sea diagonalizable.
Corolario: Un sistema l.t.i. discreto es estable (según el sentido de Lyapunov), si y solo si, todos los autovalores de la matriz A del sistema est'an adentro del círculo unitario cerrado en el plano complejo, y los autovalores sobre la circunferencia unitaria tienen bloques de Jordan de órden no mayor que la unidad.
Corolario: Un sistema l.t.i. discreto es estable asintóticamente, si y solo si, todos los autovalores de su matriz de sistema A están estrictamente dentro del círculo unitario en el plano complejo.
Ejemplos:
a)
Esta matriz A tiene dos autovalores en = 1, y tiene dos bloques de Jordan de orden 1. Según lo expuesto anteriormente este sistema sería estable (y no asintóticamente estable).
Efectivamente esto se puede verificar observando que:
, y por lo tanto x(k) = x(k0), para todo .
b)
Nuevamente, esta matriz también tiene dos autovalores en = 1, pero tiene un solo bloque de Jordan de orden 2, y por lo tanto según lo expuesto anteriormente este sistema no es estable. Trabajando con las ecuaciones de esta se puede deducir que:
x1(k+1) = x1(k0) + (k+1-k0) . x2(k0)
que como puede verse tiende a infinito en cuanto .
Estabilidad de estado cero (estabilidad externa)
Teorema:
Considere el sistema contínuo lineal descripto por:
Sea x(t0) = 0 y las matrics A(t) y B(t) sean contínuas y acotadas sobre [t,). Entonces este sistema es BIBO estable, si y solo si, existe un número finito M tal que:
, todo t0, y para todo . (*)
donde h(t,) es la matriz respuesta del sistema a un impulso unitario en el tiempo .
Notar que usamos la norma 1, esto es:
Demostración:
Suficiente:
Asumamos que (*) se cumple y supongamos que u(t) es acotada, esto es un número finito M1 existe tal que:
, para todo .
Entonces:
,
para todo t0, y para todo .
entonces yzs(t) está acotada sobre [t0,) => el sistema es BIBO estable.
Necesaria:
Lo probaremos por contradicción. Supongamos que el sistema sea BIBO estable pero que (*) no se cumple. Por lo tanto para cualquier número N existe un tiempo T tal que:
Esto implica que al menos un elemento de h, digamos hij, es tal que:
Ahoradefinamos la entrada u(t) que sea un vector cuyos elementos sean todos ceros excepto el j-ésimo, el cual será el sign(hij(T,t)), donde:
Entonces u(t) es una entrada acotada.
De la ecuación:
, para .
la componente i-ésima de la respuesta de estado cero será:
lo cual por (*) es mayor que N. Ya que N puede ser elegido arbitrariamente grande, la respuesta estado-cero no está acotada. Esto es el sistema NO ES BIBO ESTABLE. Esto es una contradicción a la suposición inicial; por lo tanto la BIBO estabilidad implica que la condición del teorema se debe cumplir.
Si , luego, para la BIBO estabilidad del sistema:
, para .
deberán haber requerimientos adicionales: que el sistema cero entrada sea estable (en el sentido de Lyapunov), y que la matriz C(t) sea acotada sobre [t0,).
Corolario: Un sistema l.t.i. es BIBO estable, si y solo si, existe un n´umero finito M tal que:
(**)
Para un sistema SISO contínuo con una función de transferencia racional propia, la condición (**) es claramente equivalente a requerir que todos los polos de la función de transferencia estén en el semiplano abierto izquierdo del plano complejo (suponiendo que todos los factores comunes en el denominador y en el numerador hayan sido cancelados).
En este caso se puede decir:
Un sistema ASINTÓTICAMENTE ESTABLE => es BIBO ESTABLE
Esto no es así para sistemas lineales variantes en el tiempo. Sin embargo para sistemas lineales variantes en el tiempo la estabilidad asintótica uniforme implica la BIBO estabilidad.
Por otro lado, aún en sistemas l.t.i. la BIBO estabilidadno necesariamente implica estabilidad asintótica, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Considere el sistema lineal:
,
donde las matrices A, B y C toman los siguientes valores:
Los autovalores de la matriz A, son 1 = -1 y 2 = 2, y por tratarse de un sistema lineal e invariante en el tiempo, por éstos autovalores el sistema no es estable (en el sentido de Lyapunov, y por lo tanto tampoco es estable asintóticamente).
Sin embargo, determinando la función de transferencia del sistema:
Que por lo que observamos no tiene polos en el semiplano cerrado derecho, y por lo tanto podemos concluir que el sistema SI es BIBO-estable.
Sistemas discretos
Teorema:
Considere el sistema lineal discreto descripto por:
Sean x(k0) = 0, y las matrices A(k) y B(k) acotadas para todo .
Entonces este sistema es BIBO estable, si y solo si, existe un número finito M tal que:
, para todo k0 y para todo .
Demostración:
La demostración de este teorema la omitiremos, por ser similar al teorema correspondiente de sistemas contínuos.
Para sistemas l.t.i. se hace:
,
y puede concluírse el siguiente corolario:
Corolario:
Un sistema discreto l.t.i. es BIBO estable, si y solo si, existe un número finito M tal que:
Para sistemas discretos SISO, con una función de transferencia racional propia, esta condición es equivalente a pedir que todos los polos de la función de transferencia del sistema estén dentro del círculo unitario abierto del plano complejo (asumiendo la cancelación de factores comunes entre numerador y denominador).
Las discusiones entre estabilidad asintótica y BIBO estabilidad son válidas acá en sistemas discretos como los discutidos para sistemas contínuos.
Otros criterios:
Existen tanto para sistemas contínuos como para discretos, métodos mecánicos para determinar si para un sistema con una dada función, dicha función tiene polos en la región inestable del plano complejo. Estos métodos son: Routh-Hurwitz, para sistemas contínuos (que nos indican a partir del polinomio denominador cuántas raíces en el semiplano derecho cerrado tiene dicho polinomio), y el método de Jury, para sistemas discretos (que nos indican a partir del porlinomio denominador cuántas raíces fuera del círculo unitario tiene dicho polinomio). Dichos métodos están descriptos en la bibliografía de la materia.
Método de Lyapunov
Los métodos de Lyapunov generan suficientes condiciones para la estabilidad interna sin tener que determinar la respuesta del sistema (hallar la matriz de transición). Es más útil para sistemas no-lineales y/o sistemas variantes en el tiempo. Está basado en la
observación que en un sistema estable con energía positiva E el ritmo de cambio es negativo.
Para aplicar el método de Lyapunov, una función ¨parecida¨ a una energía, llamada función de Lyapunov, debe generarse. La estabilidad interna del sistema entonces puede ser caracterizada mediante el estudio de esta función y su derivada temporal.
Veamos el siguiente ejemplo, en donde analizando la energía almacenada en un circuito eléctrico, puede inferirse la característica de estabilidad del mismo.
Ejemplo:
Modelemos el siguiente circuito eléctrico, el cual mostramos también el grafo de enlaces correspondiente:
Del grafo de enlaces causalizado, observamos que podemos cumplir con todas las condiciones de causalidad sin que queden opciones para causalizarlo de otra manera. Por lo tanto, al tener dos almacenadores de energía, el sistema es de orden 2, y las variables de estado son: q (la carga en el capacitor) y p (el flujo magnético en el inductor).
Siguiendo la causalidad del grafo de enlaces, obtenemos las ecuaciones de estado:
Escribiéndolas en forma matricial:
Determinemos ahora cuánto vale la energía total almacenada en el circuito, esto es la suma de la energía eléctrica y magnética:
Que en forma matricial, podemos escribirlo como:
donde x(t) es el vector de estados, y Q es una matriz constante que vale:
Notar que como C y L son parámetros constantes siempre positivos, esta matriz Q es siempre definida positiva, y entonces la función energía E(t) por ser una función cuadrática en las variables de estados con esta matriz Q, la misma siempre es positiva (salvo en el origen de estados en donde vale 0).
Además, la derivada de E(t) con respecto al tiempo está dada por:
que siempre es negativo o cero.
Si R es distinto de cero, el sistema es claramente asintóticamente estable. Notar que en ese caso la derivada temporal de la energía es definida negativa.
Si R es cero, la energía del sistema permanece constante y el sistema es claramente estable en el sentido de Lyapunov. Notar que en ese caso la derivada temporal de la energía es cero.
Definición: Función de Lyapunov (*)
Una función escalar V(x,t) es llamada una función contínua de Lyapunov, si para todo t ≥ t0, y todos los vectores de estado x en la vecindad del origen 0, satisface las
siguientes condiciones:
i. V(x,t) y sus primeras derivadas parciales con respecto al tiempo y a cada una de las componentes de x: xi con i = 1, 2, .... n, existen y son contínuas.
ii. V(0,t) = 0iii. Una función contínua no-decreciente (.) existe donde (0) = 0, tal que V(x,t) ≥
(||x||) > 0 para x 0 y t ≥ t0.
iv. para x 0 y t ≥ t0.
Teorema:
Considere el sistema donde f(0,t) = 0 (el origen es un punto de equilibrio del sistema). Si una función de Lyapunov contínua en el tiempo puede ser encontrada para el sistema, el estado de equilibrio x = 0 es asintóticamente estable.
La demostración de este teorema está descripta en la siguiente publicación: R. E. Kalman & J. E. Bertram “Control System Design via the second method of Lyapunov” ASME J. Basic Engineering Vol. 82, pag 371-400, 1960. En la misma publicación también son consideradas descripciones de restricciones adicionales y generalizaciones.
Notar que la función de Lyapunov no es única para un determinado sistema en particular.
Si una función cualquiera de Lyapunov puede ser encontrada, entonces por el teorema anterior la estabilidad está garantizada. Sin embargo el problema principal es encontrar dicha función, y no existe un método general para encontrarla.
Para la estabilidad asintótica uniforme, las condiciones de la definición (*) deben mantenerse para todo t0 y además la siguiente condición debe cumplirse:
v. Una función no-decreciente (.) existe, donde (0) = 0 tal que V(x,t) (||x||).
También para la estabilidad asintótica uniforme y global, la expresión “en un entorno de 0” de la definición (*), debe ser reemplazada por “en cualquier lugar” y la función de la condición (iii) envés de “no-decreciente” debe decir “creciente”.
Ejemplo:
Considere el sistema:
,
Notar que x = 0 es un estado de equilibrio.
Sea V(x,t) = ||x||2 = x12 + x2
2.
Luego:
el cual es negativo para x 0 y t ≥ 0. Entonces por el teorema, el sistema es asintóticamente estable.
Notar que la estabilidad no es uniforme, ya que si t0 = -1, luego se haría cero para x 0 y t = t0. Sin embargo, debido a la linealidad del sistema, la estabilidad es global.
Sistemas Discretos
Un desarrollo paralelo se mantiene para sistemas discretos:
Definición: Función de Lyapunov (sistemas discretos)
Una función escalar V(x,k) es llamada una función de Lyapunov discreta en el tiempo, si para todo entero k ≥ k0, y todo vector de estado x en la vecindad del origen 0,
satisface las siguientes condiciones:
v. V(x,k) es contínua.vi. V(0,k) = 0
vii. V(x,k) ≥ (||x||) > 0 para x 0 y k ≥ k0, donde (.) es una función no-decreciente y (0) = 0.
viii. V(x,t) = (V(x(k+1),k+1)-V(x(k),k)) < 0 para x 0.
Teorema:
Considere el sistema x(k+1) = f(x,k) donde f(0,k) = 0 (el origen es un estado de equilibrio del sistema). Si una función de Lyapunov discreta en el tiempo puede encontrarse para este sistema, el estado de equilibrio x = 0 es asintóticamente estable.
Este teorema tiene una discusión similar al teorema respectivo en contínuo.
Ejemplo:
Consideremos el sistema: x(k+1) = A.x(k) , donde A es:
Los autovalores de la matriz A son: = -0.50.5j, que están ubicados dentro del círculo unitario, y por lo tanto este sistema conocemos que es asintóticamente estable.
Tratemos entonces de buscar una función de Lyapunov. Para eso proponemos la función siguiente:
donde P es una matriz simétrica definida positiva, usada como función de Lyapunov discreta candidata.
Notar que en este caso V no tiene ninguna dependencia explícita con k.
Entonces, debemos tener (según el teorema de Silvestre, que dice que P es definida positiva, si y solo si, todos sus menores principales: det(Pm), con m = 1, 2, … n, son positivos):
,
Luego tenemos:
Entonces, restrinjamos los parámetros de la matriz, que cumplan las siguientes condiciones:
, ,
Estas condiciones hacen que los coeficientes de x1(k).x2(k) en la ecuación de V sea nulo y los coeficientes de los cuadrados de las variables sean negativos, de manera que V(x) < 0, para todo x 0 (además de cumplirse los requerimientos para que P sea definida positiva). A manera de ejemplo, sean los parámetros p22 = 1, y p11 = 12. Entonces:
, para todo x 0.
Entonces, por el teorema, el sistema es asintóticamente estable (y globalmente, por la linealidad), comprobándose el resultado anteriormente obtenido.
Notar que la existencia de una función de Lyapunov es una condición suficiente de estabilidad. Esto es, si una función de Lyapunov no puede ser encontrada para un sistema, no podemos asegurar que el sistema sea inestable. Enunciaremos ahora un teorema para probar una condición suficiente para la inestabilidad:
Teorema:
Si una función escalar contínua V(x,t) con derivadas parciales primeras contínuas respecto al tiempo y a las componentes de x existe, el cual satisface las siguientes condiciones:
(i) V(0,t) = 0
(ii) V(x,t) > 0 para todo x 0 en la vecindad de 0
(iii) , y , para todo x 0 en la vecindad de 0
Luego, el estado de equilibrio x = 0 es inestable.
El siguiente teorema provee condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad asintótica uniforme de sistemas lineales:
Teorema:
El sistema donde A(t) es contínua a trozos y acotada para t ≥ t0 es uniforme y asintóticamente estable, si y solo si, dada cualguier matriz contínua simétrica definida positiva y real Q(t), acotada en t ≥ t0, existe una matriz real simétrica definida positiva P(t) el cual es solución a:
, t ≥ t0. (**)
Demostración:
Solo daremos un bosquejo de la prueba suficiente a este teorema.
Si P(t) es definida positiva, entonces V(x) = xT.P(t).x es una función de Lyapunov.
Luego:
Y por (**), tenemos:
Ya que Q(t) es definida positiva por tesis, luego es una forma cuadrática definida negativa. Por el teorema de Lyapunov, el sistema es asintóticamente estable.
Para sistema l.t.i. la ecuación (**) se hace:
(***)
la cual es una ecuación algebraica, a la cual se la llama ecuación de Lyapunov.
En este caso puede mostrarse que el sistema , donde A es una matriz constante, es asintóticamente estable, si y solo si para cualquier matriz real simétrica definida positiva (constante) Q, una única solución P simétrica definida positiva a la ecuación (***) existe siempre. Entonces para chequear la estabilidad de un sistema l.t.i. definir la ecuación (***) y chequear para ver si su solución P es definida positiva.
Ejemplo:
Sea el sistema l.t.i.:
y como se puede verificar fácilmente, este sistema tiene autovalores = -1 y -2, y por lo tanto el sistema es asintóticamente estable.
Tratemos de aplicar el último teorema para sistemas l.t.i.. Elijamos Q = I (la matriz identidad, la cual es definida positiva).
Definamos cada una de las componentes de P como:
Luego aplicando (***), tenemos la siguiente ecuación:
Cuya solución es:
la cual es definida positiva, ya que p11 > 0 y det(P) > 0.