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ESTABILIDADE GLOBAL
NOTAS DE AULA
Prof. Dr. José Luiz Pinheiro Melges
Maio de 2012
(Este material foi desenvolvido a partir de notas de aula elaboradas pelos Professores Doutores
José Samuel Giongo e Libânio Miranda Pinheiro, da EESC – USP, e pelo Eng. Alio Kimura, da TQS
Informática, a quem presto meus agradecimentos).
1
1. INTRODUÇÃO
Relembrando RM:
“Flecha = deslocamento de um ponto da viga em relação à sua
posição inicial“.
Flecha é calculada em função da equação do momento fletor
(Resist. dos Mat.)
IE
M
dx
vd )x(
2
)x(2
Realizando as integrações, temos que:
21)x(
)x( CxCdxdxIE
Mv
Observação: C1 e C2 são constantes obtidas a partir das condições de
contorno da viga, ou seja, de que modo a viga está vinculada à “chapa
terra”.
x
v(x)
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2. EFEITOS DE 2ª ORDEM GLOBAL
Exemplo retirado do material didático do Eng. Alio Kimura:
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Mas se diagrama de momento fletor “mudou”, então o valor da
“flecha” no topo também vai “mudar” ...
E se a flecha no topo “mudar”, então diagrama de momento fletor vai
“mudar” novamente ...
OU SEJA: teremos um processo iterativo!
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3. DESLOCABILIDADE HORIZONTAL
Nos edifícios, os pilares associados às vigas formam os pórticos
que resistem, não só às ações verticais, mas também às ações
horizontais
Pórtico formado por vigas e pilares (GIONGO, 2002)
As ações horizontais (vento, desaprumo) geram deslocamentos
horizontais. Esses deslocamentos, quando associados às ações
verticais vão gerar os efeitos de 2a ordem global.
Quando o aumento nos esforços decorrentes dos efeitos de 2a
ordem global for inferior a 10%, esses efeitos podem ser
desprezados. Para melhorar o comportamento da estrutura com
relação às ações horizontais (ex.: vento), outros elementos
estruturais podem ser associados aos pórticos, para dar maior rigidez
à estrutura.
Os principais são os pórticos entreliçados, as paredes estruturais
e os núcleos rígidos, estes, em geral, situados no contorno da
abertura para os elevadores.
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Elementos de contraventamento(FUSCO, 1986)
OBSERVAÇÃO:
Podemos considerar que as lajes possuem “rigidez praticamente infinita no plano
horizontal”, ou seja, são “incompressíveis” (“encurtam muito pouco”) quando
comprimidas. Portanto, as lajes “travam” o conjunto, e distribuem os esforços de
modo proporcional à rigidez de cada elemento do conjunto.
FTool: considerar lajes como elementos bi-articulados e rígidos. O comprimento
das lajes pode ser arbitrado pelo usuário.
Parede estrutural
Núcleo
Pórtico entreliçado
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Exemplo 01) Lousa
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4. CLASSIFICAÇÃO
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4.1. Efeito de 2ª ordem GLOBAL
4.2. Efeito de 2ª ordem LOCAL
4.3. Efeito de 2ª ordem LOCALIZADO
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5. GRAU DE DESLOCABILIDADE
As estruturas dos edifícios podem ser classificadas, segundo sua rigidez, em
contraventadas e não-contraventadas.
As estruturas contraventadas são as que os nós apresentam pequenos
deslocamentos horizontais. Nesse caso, podemos dispensar a consideração dos
efeitos globais de segunda ordem e a estrutura é dita indeslocável ou de nós fixos.
Nesse caso, apenas o efeito de 2ª ordem local é que deve ser considerado.
Já as estruturas não-contraventadas, também conhecidas como estruturas
deslocáveis ou de nós móveis, possuem pouca rigidez com relação às ações
horizontais e os efeitos de 2a ordem global devem ser obrigatoriamente
considerados. Nesse caso, tanto os efeitos de 2ª ordem local e global precisam ser
considerados.
As estruturas não contraventadas são estruturas flexíveis, que necessitam
que se leve em conta a não-linearidade física e a não-linearidade geométrica no
cálculo de seus deslocamentos e esforços.
A não-linearidade física representa o fato do concreto comprimido
“plastificar” (devido ao módulo E não ser constante) e o fato do concreto
tracionado “fissurar” (devido à sua baixa resistência à tração).
A não-linearidade geométrica implica em dizer que, não sendo os
deslocamentos horizontais desprezíveis, o equilíbrio da estrutura deve ser
calculado para a sua posição final e não mais para a sua posição inicial.
Destaca-se que a consideração dessas não-linearidades torna o problema
consideravelmente mais complexo.
Como critérios que podem ser usados para separar as estruturas de nós fixos
das estruturas de nós móveis têm-se os parâmetros e z.
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6. PARÂMETRO ALFA ()
1eqccs
k
)IE(
N.H
H = altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um
nível pouco deslocável do subsolo;
Nk = é a somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir
do nível considerado para o cálculo de H), com seu valor
característico.
(EcsIc)eq = rigidez de um pilar “hipotético” (ou “equivalente”), engastado na base
e livre no topo, que é igual à rigidez do sistema de contraventamento
da estrutura. Ou seja, aplicando-se uma força unitária no topo da
estrutura e no topo do pilar “hipotético” (ou “equivalente”), os dois
devem ter o mesmo deslocamento nesse ponto.
Observação:
Para calcular o deslocamento no topo da estrutura, a norma recomenda que:
o momento de inércia dos pilares e vigas deve ser calculado considerando-se a
seção bruta dos mesmos;
o valor do módulo de elasticidade a ser usado é o do módulo de deformação
tangencial inicial, é dado pela NBR 6118:2003 como sendo igual a:
ckci f5600E ( com Eci e fck dados em MPa)
Observação:
Quando a estrutura de contraventamento for composta por um (1) pilar-parede,
por exemplo, então a rigidez equivalente (EcsIc)eq será igual ao produto (Eci . Ic)
desse pilar-parede.
; onde :
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(pilar-parede é quando a maior dimensão da seção transversal é maior que 5
vezes a menor dimensão da seção transversal).
Exemplo 02) Lousa
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Exemplo 03) Lousa
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Observação:
Quando temos pilares-parede de mesma rigidez, podemos associá-los em um
único pilar-parede.
Portanto:
para “dobrar a rigidez” dobrar a “base” do momento de inércia;
para “triplicar a rigidez” triplicar a “base” do momento de inércia;
Etc...
Exemplo 04) Lousa
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Observação:
Quando temos o sistema de contraventamento sendo realizado por pórticos
(pilares associados com vigas), devemos seguir o procedimento mostrado no
Exemplo 05).
Exemplo 05)
Exemplo do cálculo do valor de (EcsIc)eq, relativo à estabilidade global da estrutura
de 3 andares (3 pisos + 1 cobertura = 4 pavimentos), com relação ao eixo x.
Portanto:
Se eqccs
3
)IE(3
H.1a ,
então: a.3
H.1)IE(
3
eqccs
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Observação:
Para que os efeitos de 2a ordem global possam ser desprezados,
têm-se a seguinte condição : 1
O valor de 1 depende do número de níveis de barras horizontais
(andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do
subsolo (n):
Exemplo:
para n 3 1 = 0,2 + 0,1 n
para n 4:
1 = 0,7 para contraventamento constituído exclusivamente
por pilares-parede
1 = 0,5 quando só houver pórticos
1 = 0,6 para associações de pilares-parede e pórticos
É importante destacar que, o edifício pode ter um
comportamento de nós fixos em uma direção e ter o comportamento
de nós móveis na outra.
n = 4 H
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Exemplo 06)
Para o edifício de 3 andares, verifique a sua estabilidade global através do
parâmetro .
Dados:
fck: 20 MPa;
Ação em cada pavimento: 10 kN/m2
Distância entre os pavimentos: 3 m
Pilares de canto: 20 cm x 20 cm
Pilares de extremidade: 20 cm x 40 cm
Vigas: 12 cm x 40 cm
Planta de edifício de 3 andares
a) Segundo a direção x
Na figura, tem-se a associação dos pórticos na direção x por meio das
barras rígidas bi-rotuladas.
4 x 3m = 12 m
4m 4m 4m 4m
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a) Esquema da associação
b) Pórticos planos
c) Vista superior
Para simplificar a análise, quando os pórticos possuem a mesma rigidez, ao invés
de associá-los por meio das barras bi-rotuladas, pode-se dobrar a rigidez de um
deles conforme mostrado na figura.
a) Esquema
a) Vista superior
Para obter o descolamento no topo da estrutura, foi usado um programa
para cálculo de esforços em pórticos planos (FTOOL).
1
19
Foram fornecidas ao programa as seguintes informações:
Módulo de deformação longitudinal do concreto: 25 044 MPa = 2 504,4 kN/cm2;
Características geométricas dos pilares (P1 + P4) e (P3 + P6):
Mom. de Inércia = 40 . 20 3 / 12 = 26 667 cm4;
Área = 40 . 20 = 800 cm2;
Características geométricas dos pilares (P2 + P5):
Mom. de Inércia = 80 . 20 3 / 12 = 53 333 cm4;
Área = 80 . 20 = 1 600 cm2;
Características geométricas das vigas:
Mom. de Inércia = 24 . 40 3 / 12 = 128 000 cm4;
Área = 24 . 40 = 960 cm2;
Portanto:
a = 0,04945 cm (valor calculado pelo FTool)
H = 1200 cm
(EcsIc)eq.= 11 648 129 424 kN.cm2
Cálculo do parâmetro x: eqccs
k
)IE(
N.H
H = 1200 cm
Nk = (10 kN / m2 / pavimento) . (6 m . 8 m) . 4 pavimentos = 1 920 kN
(considerar cobertura)
n (número de níveis de barras horizontais - andares - acima da fundação) = 4
(EcsIc)eq.= 11 648 129 424 kN.cm2
x = 0,49
Limite: Para n 4 1 = 0,5 (contraventamento por pórticos)
Portanto x < 1 Estrutura de nós fixos na direção do eixo x.
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b) Segundo a direção y
Na figura a seguir, tem-se a associação dos pórticos na direção y.
Esquema da associação
Pórticos planos
Vista superior
Para simplificar a análise, como os pórticos formados pelos pilares P1-P4 e
P3-P6 possuem a mesma rigidez, ao invés de associá-los por meio das barras bi-
rotuladas, pode-se dobrar a rigidez de um deles.
1
4 x 3m = 12 m
6m 6m 6m
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b) Esquema
c) Vista superior
Para obter o descolamento no topo da estrutura, foi usado o FTOOL.
Foram fornecidas ao programa as seguintes informações:
Módulo de deformação longitudinal do concreto: 25 044 MPa = 2 504,4 kN/cm2;
Características geométricas dos pilares (P1 + P4) e (P3 + P6):
Mom. de Inércia = 40 . 20 3 / 12 = 26 667 cm4;
Área = 40 . 20 = 800 cm2;
Características geométricas dos pilares P2 e P5:
Mom. de Inércia = 20 . 40 3 / 12 = 106 667 cm4;
Área = 40 . 20 = 800 cm2;
Características geométricas das vigas relacionadas ao pórtico formado pelos
pilares (P1+P4) e (P3+P6):
Mom. de Inércia = 24 . 40 3 / 12 = 128 000 cm4;
Área = 24 . 40 = 960 cm2;
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Características geométricas das vigas relacionadas ao pórtico formado pelos
pilares P2 e P5:
Mom. de Inércia = 12 . 40 3 / 12 = 64 000 cm4;
Área = 12 . 40 = 480 cm2;
Características geométricas das vigas relacionadas às barras rígidas: os valores
que podem ser arbitrados pelo usuário. Optou-se por se adotar uma barra com
comprimento igual a 1 metro, de modo que os pórticos não ficassem nem muito
próximos um do outro, nem muito afastados.
Comprimento das barras: 1 m (valor arbitrado pelo usuário)
Área : 1 cm2 (valor arbitrado, pois barra é rígida)
Momento de Inércia: 1 cm4 (valor arbitrado, pois barra é rígida)
Portanto:
a = 0,05154 cm (valor calculado pelo FTool)
H = 1200 cm
(EcsIc)eq.= 11 175 785 797 kN.cm2
Cálculo do parâmetro y: eqccs
k
)IE(
N.H
H = 1200 cm
Nk = (10 kN / m2 / pavimento) . (6 m . 8 m) . 4 pavimentos = 1 920 kN
(considerar cobertura)
n (número de níveis de barras horizontais - andares - acima da fundação) = 4
(EcsIc)eq.= 11 175 785 797 kN.cm2
y = 0,497
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Limite: Para n 4 1 = 0,5 (contraventamento constituído somente por
pórticos)
Portanto y < 1 Estrutura de nós fixos na direção do eixo y.
7. AÇÃO DO VENTO (RESUMO)
No local da obra, tem-se a velocidade básica do vento vo (mapa das isopletas)
Em seguida, calcula-se a velocidade característica vk em função dos parâmetros:
fator topográfico (S1)
fator estatístico (S3)
fator rugosidade (S2) rugosidade do terreno,
dimensões da edificação
vk = S1 . S2 . S3 . vo
Segundo SÁLES et al. (1994), para o caso de edifícios de grande altura é possível
dividi-los em várias partes e, a partir daí, calcular a velocidade característica (vk)
para essas partes, tomando como altura de referência a cota superior para cada
trecho.
Conhecendo-se o valor de vk, calcula-se o valor da pressão de obstrução q*
(pressão perpendicular à superfície da estrutura).
q* = 0,613 vk2 ( com q em N/m2 , vk em m/s ) ou
q* = 0,0613 vk2 ( com q em kgf/m2 , vk em m/s )
q*
q'
q''
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Para transformar essa pressão de obstrução (q*) em uma pressão estática (q), a
ser aplicada à estrutura, faz-se necessário conhecer o coeficiente de arrasto. Esse
coeficiente é usado para se obter a pressão global (ou mesmo a força global) que
o vento exerce na estrutura.
q = ca q*
Para complementar este assunto, ver apostila “Ação do Vento nas Edificações”,
dos professores José Jairo de Sales, Maximiliano Malite e Roberto Gonçalves.
Para obter os esforços em cada pórtico, pode-se associá-los de modo análogo
ao que é feito na verificação da estabilidade global.
Ressalta-se que esta associação é possível porque, como as lajes possuem rigidez
“infinita” no plano horizontal, elas permitem que os pórticos e paredes trabalhem
de modo conjunto para resistir às ações horizontais. Para representar as lajes
fazendo a associação entre os pórticos, utilizam-se barras bi-articuladas, com
área “infinita”. Exemplo:
q
q
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BIBLIOGRAFIA
FUSCO, P.B. (1986). Estruturas de Concreto: Solicitações Normais. Rio de Janeiro, Editora Guanabara Dois.
GIONGO, J.S. (2002). Concreto Armado: Projeto Estrutural de Edifícios. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. (apostila)
KIMURA, A. Material didático – TQS informática ltda. SÁLES, J.J.; MALITE, M.; GONÇALVES, R.M. (1994). Ação do Vento nas Edificações. São Carlos, Escola de
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. (apostila) Coeficiente de arrasto (ca) para edificações com planta retangular–Vento de BAIXA turbulência.
q ep = q . 6m
4 x 3m = 12 m
4m 4m 4m 4m
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Coeficiente de arrasto (ca) para edificações com planta retangular – Vento de ALTA turbulência. No caso de vento turbulento, geralmente observado em grandes cidades (categoria IV e V),
observa-se uma redução no valor do coeficiente de arrasto ca .
Uma edificação pode ser considerada em zona de alta turbulência quando sua altura for menor que
duas vezes a altura média das edificações nas vizinhanças, estendendo-se estas, na direção e sentido do
vento incidente, a distância mínima de:
500 m para uma edificação de até 40 m de altura;
1.000 m para uma edificação de até 55 m de altura;
2.000 m para uma edificação de até 70 m de altura;
3.000 m para uma edificação de até 80 m de altura.
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