estadística descriptiva 2.1 promedios y medidas de posición 2.2
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 1
Estadística Descriptiva
2.1 Promedios y medidas de posición2.2 Medidas de dispersión2.3 Medidas de asimetría. Valores atípicos.2.4 Medidas de desigualdad.2.5 Valores atípicos: Diagrama de caja y
bigotes2.6 Transformación lineal de una variable:
comportamiento de las medidas numéricas estudiadas
Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA)
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 2
CARACTERIZACIÓN DE UNA VARIABLE:� Medidas de posición (2.1)◦ Central (promedios)◦ No central (cuantiles)
� Medidas de dispersión (2.2)� Medidas de asimetría (2.3)� Medidas de desigualdad (2.4)
� Media aritmética� Mediana� Moda
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 3
N
nxx i
ii∑=
Dada la siguiente distribución obtenga la media:
Rentas (10 2 €) n i
500-15001500-25002500-35003500-45004500-55005500-6500
378421
25
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 4
Rentas (10 2 €) n i x i x in i
500-15001500-25002500-35003500-45004500-55005500-6500
378421
100020003000400050006000
300014000240001600010000
6000
25 73000
€10292025
73000 2===∑
N
nxx i
ii
1. Suma de las desviaciones respecto a la media
2. Cambios de origen
3. Cambios de escala
4. Media de varios grupos
( ) 0=−=∑ ∑ iiii nxxnd
xbxbxx ii =⇒= ''
axxaxx ii +=⇒+= ''
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 5
1x
grupo 1 2 … r
media …
observaciones …
Tamaño N1 N2 … Nr
2x rx
N
xNxNxN
N
xNx rrii +++== ∑ K2211
ix1
ix2 rix
Dados r grupos distintos de los que se conocen sus diferentes medias y tamaños poblacionales:
La media global se puede obtener como la suma ponderada de las Medias de cada grupo
� Datos no agrupados ni=1•N impar: Valor central de la variable•N par: Media de los 2 valores centrales
� Datos no agrupados: Primer valor de la variable con Ni>N/2 (hay una excepción a esta regla)
� Datos agrupados
ii
i
i an
NNLMe
1
12 −
−
−+=
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 6
DE
BC
AD
AB =
semejantes Triangulos
ADEy ABC
Polígono acumulado de frecuencias
Li-1 LiMe
Ni
N/2
Ni-1
AD
E
C
B
Rentas (10 2 €) n i
500-15001500-25002500-35003500-45004500-55005500-6500
378421
25
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 7
Rentas (10 2 €) n i Ni
500-15001500-25002500-35003500-45004500-55005500-6500
378421
31018222425
25
nteanteriorme Calculada €102920 2=x
€10*5.281210008
105.1225002
5.122
21
1 =−+=−
+=
=
−− i
i
i
i an
NNLMe
N
� Datos no agrupados ni=1: Obtención inmediata
� Datos no agrupados: xj con mayor nj
� Datos agrupados
variableAmplitud
constante Amplitud
11
11
11
11
iii
ii
iii
ii
ahh
hLMo
ann
nLMo
+−
+−
+−
+−
++=
++=
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 8
1−= iLMo
1−= iLMo
iii x
LLMo =+= −
21
iLMo =Li-1
Li-1Li-1LiLi Li
Caso 1: ni+1=0 Caso 2: ni-1=ni+1 Caso 3: ni-1=0Caso 1: ni+1=0
Li-1 Li
Caso 1: ni+1=0
Li-1
Caso 1: ni+1=0
LiLi-1
Caso 1: ni+1=0Caso 1: ni+1=0
Li-1
Caso 1: ni+1=0
LiLi-1
Caso 1: ni+1=0 Caso 2: ni-1=ni+1Caso 2: ni-1=ni+1
Li-1
Caso 2: ni-1=ni+1
Li
Caso 2: ni-1=ni+1
Li-1
Caso 2: ni-1=ni+1
LiLi-1
Caso 2: ni-1=ni+1 Caso 3: ni-1=0Caso 3: ni-1=0Caso 3: ni-1=0Caso 3: ni-1=0Caso 3: ni-1=0
Li-1
Caso 3: ni-1=0
LiLi-1
Caso 3: ni-1=0
1
1
:es proporción La
−
+=− i
i
i n
n
ma
m
Li-2 Li+1Li-1 LiMo
m
ai
ni-1
ni+1
ni
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 9
Rentas (10 2 €) n i
500-15001500-25002500-35003500-45004500-55005500-6500
378421
25
Rentas (10 2 €) n i
500-15001500-25002500-35003500-45004500-55005500-6500
378421
25
nteanteriorme Calculadas €10*2812.5 Me €10*2920 22 ==x
€10*6364.2863100047
42500 2
11
11 =
++=
++=
+−
+− i
ii
ii a
nn
nLMo
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 10
� Mediana (N/2)� Cuartiles/as (N/4)� Deciles/as (N/10)� Percentiles/as (N/100)
ii
i
i an
NNLQ
1
114 −
−
−+= i
i
i
i an
NNLMe
1
12 −
−
−+=
ii
i
ij an
NjNLQ
1
14 −
−
−+=
ii
i
i an
NNLQ
1
134
3−
−
−+=
ii
i
i an
NNLQ
1
124
2−
−
−+=
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 11
ii
i
ij an
NjNLD
1
110 −
−
−+=
� Deciles
� Percentiles
ii
i
ij an
NjNLP
1
1100 −
−
−+=
Alquiler (103 €)
n i
2-33-44-66-8
8-1212-20
100150350100150150
1000
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 12
Alquiler (103 €)
n i Ni
2-33-44-66-8
8-1212-20
100150350100150150
100250600700850
1000
1000
€10*4286.52350
25050042 31
1 =−+=−
+= −− i
i
i
i an
NNLMe
700100/70
200100/20
7504/3
5002/
==
==
N
N
N
NP20
Me
P70
Q3
€10*3333.94150
70075084
331
13 =−+=−
+= −− i
i
i
i an
NNLQ
€10*6667.31150
1002003100
2031
120 =−+=−
+=−
− ii
i
i an
NNLP
€10*82100
6007006100
7031
170 =−+=−
+=−
− ii
i
i an
NNLP
Solución
Poca variabilidad
Poca dispersión
Homogeneidad
Promedio poco representativo Promedio representativo
Mucha variabilidad
Mucha dispersión
Heterogeneidad
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 13
Empresa A Empresa Bx i n i x in i x i n i x in i
150200250
131
150600250
50120590
131
50360590
1000 1000
2005
1000==Ax 2005
1000==Bx
¿En cuál de estas dos empresas es más representativo el salario medio?
¿En cuál de estas dos empresas es más representativo el salario medio?
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 14
Medidas de dispersión
Absolutas Relativas
RecorridoVarianza y D. Estándar
Coeficiente deVariación
Empresa A Empresa Bx i n i x i n i
150200250
131
50120590
131
100150250 =−=AR 54050590 =−=BR
¿En cuál de estas dos empresas es más representativo el salario medio?
En la de menor recorrido (A)
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 15
minmax xxR −=
13 QQRQ −=
19 DDRD −=
199 PPRP −=
Nº individuos Nº días Ni
menos de 5 1 1
De 5 a 10 2 3
De 10 a 15 1 4
De 15 a 20 2 6
De 20 a 25 3 9
De 25 a 30 5 14
De 30 a 35 5 19
De 35 a 40 3 22
De 40 a 50 2 24
De 50 a 60 1 25
De 60 a 80 1 26
26
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 16
Nº individ Nº días Ni
menos de 5 1 1
De 5 a 10 2 3
De 10 a 15 1 4
De 15 a 20 2 6
De 20 a 25 3 9
De 25 a 30 5 14
De 30 a 35 5 19
De 35 a 40 3 22
De 40 a 50 2 24
De 50 a 60 1 25
De 60 a 80 1 26
26
N/4 6,5
3N/4 19,5
N/10 2,6
9N/10 23,4
N/100 0,26
99N/100 25,74
Recorrido 80-0= 80 personas
Recorrido Intercuartílico 15 personas
Cuartil 1 20,83333333
Cuartil 3 35,83333333
Recorrido Interdecílico 38 personas
Decil 1 9
Decil 9 47
Recorrido Intercentílico 73,5 personas
Centil 1 1,3
Centil 99 74,8
Solución:
( )Varianza
2
22
2
N
nxxS
N
ndS iiii ∑∑ −
==
( ) típicaoestándar Desviación
2
N
nxxS ii∑ −
=
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 17
Empresa A Empresa Bx i n i x in i d i d i
2n i x i n i x in i d i d i2n i
150200250
131
150600250
-500
50
25000
2500
50120590
131
50360590
-150
-80
390
22500
19200
152100
1000 5000 10000 193800
10005
5000
200
2 ==
=
A
A
S
x
387605
193800
200
2 ==
=
B
B
S
x
¿En cuál de estas dos empresas es más representativo el salario medio?
En la de menor varianza (A)
1. Cambios de origen
2. Cambios de escala
3. Cambio de origen y de escala
4. Fórmula de cálculo
222'' xxii SbSbxx =⇒=
222'' xxii SbSbxax =⇒+=
22'' xxii SSaxx =⇒+=
( ) 222
2 xN
nx
N
nxxS iiii
x −=−
= ∑∑
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 18
x
SCV =
Interpretación:� Dispersión mínima CV=0
� ∆ Dispersión → ∆ CV� CV≈1 o mayor → Media no representativa
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 19
0
400
800
1200
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
400
800
1200
0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45
0
400
800
1200
0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0
400
800
1200
1600
2000
0.250 0.375 0.500 0.625
Campaniforme
Forma de UCampaniforme asimétrica -
Campaniforme asimétrica +
S
MoxCAP
−=
0>CAP
0=CAP 0<CAP
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 20
( )3
3
SN
nxx
CAFii∑ −
=
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 21
( )3
4
4
−−
=∑
SN
nxx
CCFii
Interpretación:
CCF>0 ApuntadaCCF=0 Apuntamiento normalCCF<0 Aplastada
Xi ni
0 15
1 26
2 19
3 22
4 18
100
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 22
xi ni xini xi2ni
0 15 0 0 -2,02 -123,6361
1 26 26 26 -1,02 -27,5914
2 19 38 76 -0,02 -0,0002
3 22 66 198 0,98 20,7062
4 18 72 288 1,98 139,7231
100 202 588 -0,1 9,2016
leve As.0381.03415.1
1002016.9
7603.03415.1
102.2
3415.17996.102.2100
58802.2
100
202
3
22
+===−=
==−===
CAFCAP
SSx
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 23
∑
≤≤≤
ini
K21
x de reparto el estudiamos
xxx
:son variablela de valorescuyos,individuos N Dados
L
:extremas posiciones dosExisten
kk xxx ==== −121x
buciónequidistri o mínima Desiguadad 1.
L
00x
máxima dDesigualda 2.
121 ≠==== − kk xxx L
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 24
� Índice de Gini� Curva de Lorenz� P90/P10
xini
x1n1
x2n2
xini
xknk
∑xini
Qi
Q1=q1
Q2=q1+q2
Qi=q1+q2+…+qi
Qk=q1+q2+…+qk=1
Pi
P1=p1
P2=p1+p2
Pi=p1+p2+…+pi
Pk=p1+p2+…+pk=1
pi
p1=n1/Np2=n2/N
pi=ni/N
pk=nk/N1
qi
q1=x1n1/∑xini
q2=x2n2/∑xini
q3=x3n3/∑xini
qk=xknk/∑xini
1
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 25
Salario (103 €)
ni xi pi xini qi Pi Qi
0.5-2.52.5-4.54.5-6.56.5-8.5
19227250
1.53.55.57.5
0.380.440.140.04
28.577.038.5
15159
0.17920.48430.24210.0943
1
0.380.820.96
1
0.17920.66350.9056
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Frecuencias (Pi)
Mas
as (Q
i)
aIG
QPQPIG iiii
2
11
=
−= ∑∑ ++
Curva de LorenzÍndice de Gini
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 26
0=IG 1=IG
Desigualdad bajaDesigualdad bajaDesigualdad bajaDesigualdad baja Desigualdad altaDesigualdad altaDesigualdad altaDesigualdad alta
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fr ec ue nc i as ( P i )
Equidistribución
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Fr ec ue nc ia s ( P i )
Desigualdad máxima
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Fr e cuenc ias ( P i )
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Fr ec ue nc ia s ( P i )
0≈IG 1≈IG
Salario (103 €)
ni xi pi xini qi Pi Qi PiQi+1 Pi+1Qi
0.5-2.52.5-4.54.5-6.56.5-8.5
19227250
1.53.55.57.5
0.380.440.140.04
28.577.038.5
15159
0.17920.48430.24210.0943
1
0.380.820.96
1
0.17920.66350.9056
1
0.25210.74270.9600
-1.9548
0.14690,63700.9057-1.6896
2652.06896.19548.111 =−=−= ∑∑ ++ iiii QPQPIG
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 27
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Frecuencias (Pi)
Mas
as (Q
i)
� Es el cociente entre el Percentil 90 y el percentil 10� Como mínimo toma el valor 1 (equidistribución)� Cuanto mayor es mayor es la desigualdad� Ejemplo anterior de desigualdad
4983.50263.16429.5
6429.527
41455.4100
90
0263.1219
055.0100
10
45100/905100/10
10
90
1
190
1
110
==
=−+=−
+=
=−+=−
+=
==
−−
−−
PP
an
NNLP
an
NNLP
NN
ii
i
i
ii
i
i
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 28
[ ]QQ RQRQ 5.1,5.1
:intervalo del fueraestán que variablela de Valores
31 +−
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 29
Valores extremos:� Fuera del intervalo(Q1-1.5 RQ, Q3+1.5
RQ)Se marcan ○� Fuera del intervalo(Q1-3 RQ, Q3+3 RQ)Se marcan *
Indicios deasimetría
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 30
Francisco Trujillo
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 31
Cambio de origen
xi’=xi+a
Cambio de escala
xi’=bxi
Transformación lineal
xi’=bxi+a
Promedios y Posic.Media
Mediana
Moda
Percentiles
DispersiónVarianza
Desviación típica
C. Variación
AsimetríaC. A. Pearson
Me’=Me+a
Mo’=Mo+a
Pj’=Pj+a
Sx’2= Sx
2
Sx’= Sx
CAP’=CAP
Me’=bMe
Mo’=bMo
Pj’=bPj
Sx’2=b2 Sx
2
Sx’=b Sx
CAP’=CAP
Me’=bMe+a
Mo’=bMo+a
Pj’=bPj +a
Sx’2=b2 Sx
2
Sx’=b Sx
CAP’=CAP
axx +=' xbx ='
( )axSCV x
+=' CVCV ='
axbx +='
( )axSCV x
+='
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 32
x
ii S
xxz
−=
11
02 ===
zz SS
z
€10*5.0€10*2.2
€10*2€10*3.244
44
====
BB
AA
Sx
Sx
Se hace un estudio sobre la renta trimestral de los ciudadanos de 2 países distintos ( a y B), con los siguientes resultados:
Un habitante de A tiene una renta anual de 2.5*104 € y uno de B de 2.3*104 € ¿Cuál de ellos se encuentra en mejor posición relativa?
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Pilar López Delgado 33
B de habitante elMejor 2.05.0
2.23.2
1.02
3.25.2
=−→
=−→
B
A