Presentacin de PowerPoint

Tuxtla Gutirrez, Chiapas. 3 de agosto de 2015

Probabilidad y EstadsticaMC. Julio Cosme Pola Velzquezmecsoil_pol@Hotmail.com U1: Estadstica descriptivaU3: Variables DiscretasU5: Inferencia EstadsticaU2: ProbabilidadU4: Variables ContinuasU6: Regresin y correlacinContenido temticoCriterios de evaluacin:Trabajos de investigacin.Tareas.Participacin.Exmenes.30%70%MC. Julio Cosme Pola Velzquez1Introduccin a la EstadsticaMC. Julio Cosme Pola Velzquez21.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptivaImportancia de la Estadstica:

Tomar decisiones.Solucionar problemas.Desde el punto de vista prctico, los conocimientos en estadstica nos permiten:Los empresarios de la construccin buscan siempre la rentabilidad de sus proyectos, consideran que la estadstica es esencial en el proceso de la toma de decisiones.

El control de calidad, la minimizacin de costos, productos e inventarios y asuntos empresariales, pueden manejarse eficazmente por medio de procedimientos estadsticos.1234MC. Julio Cosme Pola Velzquez31.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptiva

Importancia de la Estadstica:Continuamente tenemos presiones debido a problemas econmicos tales como: una inflacin galopante, sistema tributario engorroso y oscilaciones excesivas en el ciclo empresarial.A medida que aumenta la complejidad de nuestro mundo, se hace cada vez ms difcil tomar decisiones inteligentes.56MC. Julio Cosme Pola Velzquez41.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptiva

Importancia de la Estadstica:El mundo laboral paga ms a las personas que son capaces de plantear las preguntas correctas para alcanzar los objetivos fundamentales, que a quienes tienen la responsabilidad de resolverlas.La compresin de los principios financieros y econmicos permiten aplicar las tcnicas estadsticas para hallar soluciones viables y tomar decisiones. Quienes se desempean en el sector industrial, descubren que comprender la estadstica mejora las oportunidades y la promocin laboral mediante el enriquecimiento del desempeo laboral.

78MC. Julio Cosme Pola Velzquez51.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptiva

MC. Julio Cosme Pola Velzquez61.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptiva

MC. Julio Cosme Pola Velzquez7

1.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptivaMC. Julio Cosme Pola Velzquez8

1.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptivaMC. Julio Cosme Pola Velzquez91.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptiva

MC. Julio Cosme Pola Velzquez10

1.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptivaMC. Julio Cosme Pola Velzquez111.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptivaGerencia de calidad totalLa competencia mundial de las empresas se intensifica y surge: la Gestin de Calidad Total (Total Quality Management, TQM), que tiene como propsito central:En la actualidad, la mayora de las empresas tienen departamentos de control de calidad (Quality Control, QC) cuya funcin es recolectar datos sobre el desempeo y solucionar problemas de calidad.

La promocin de las cualidades del producto que el consumidor considera importante: 1). La ausencia de defectos, 2) Servicio eficiente y 3) Respuesta rpida a las posibles quejas del consumidor. MC. Julio Cosme Pola Velzquez121.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptivaGerencia de calidad total

La TQM involucra el uso de equipos administrativos integrados por ingenieros, expertos en marketing, diseo, estadstica y otros profesionales que contribuyen a la satisfaccin del cliente, funcin conocida como Despliegue de la Funcin de Calidad (Quality Function Deployment, QFD), diseada para reconocer y agenciar las inquietudes de los consumidores.En la actualidad, la mayora de las empresas tienen departamentos de control de calidad (Quality Control, QC) cuya funcin es recolectar datos sobre el desempeo y solucionar problemas de calidad.MC. Julio Cosme Pola Velzquez131.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptiva

Gerencia de calidad totalPara mejorar la calidad de un producto se usa los crculos de Control de Calidad (Quality Control, QC), integrados por grupos pequeos de empleados (entre 5 y 12) que se renen regularmente para solucionar problemas relacionados con el trabajo. Los miembros del QC:Son todos de la misma rea de trabajo.Reciben capacitacin en control estadstico de calidad y en planeacin de grupos.Por medio de discusiones abiertas y del anlisis estadstico, logran mejoras significativas en reas como: el mejoramiento de calidad, el diseo del producto, la productividad, mtodos de produccin, hasta la reduccin de costos y seguridad.MC. Julio Cosme Pola Velzquez141.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptivaGerencia de calidad total

En las empresas es cada vez ms comn la necesidad de mantener la calidad del producto. Si una firma va a competir de manera exitosa, debe tomar las precauciones para garantizar que sus productos cumplan con estndares bsicos.

Un elemento prioritario del TQM es el Control Estadstico de Calidad (Statistical Quality Control, SQC), conjunto de herramientas y mtodos estadsticos. El SQC, est diseado para asegurar que los productos cumplan con normas y especificaciones de produccin. Este objetivo, se realiza a travs del muestreo de aceptacin, el cual implica probar una muestra aleatoria de los productos para determinar si debe aceptar o rechazar el lote o el nmero mximo de defectos que una empresa est dispuesta a tolerar (proceso conocido como: Nivel de calidad aceptable, Acceptable Quality Level, AQL).MC. Julio Cosme Pola Velzquez15

1.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptiva

MC. Julio Cosme Pola Velzquez161.1 Conceptos bsicos de la Estadstica Descriptiva.MC. Julio Cosme Pola Velzquez171.1 Conceptos bsicos de la Estadstica DescriptivaConcepto de Estadstica:

Ciencia que estudia la acumulacin, anlisis, interpretacin y presentacin de datos numricos (Black, 2005).Ciencia que se ocupa de la obtencin de informacin y que proporciona instrumentos para la toma de decisiones cuando prevalecen condiciones de incertidumbre (Muoz et al., 2010).Ciencia que recolecta, describe e interpreta datos (Johnson y Kuby, 1999).Es el arte y la ciencia de reunir datos, analizarlos, presentarlos e interpretarlos, para la toma de decisiones (Anderson, 2008, p. 3).Ciencia que recoge, organiza, presenta, analiza, e interpreta datos con el fin de proporcionar la toma de decisiones ms eficaz (Lind, 2008, p. 4).MC. Julio Cosme Pola Velzquez181.1 Conceptos bsicos de la Estadstica DescriptivaClasificacin de la Estadstica:EstadsticaEstadstica Descriptiva:Esta formada por los mtodos grficos y numricos que se utilizan para resumir y procesar los datos y transfrmalos en informacin (Newbold et al., 2012, p.5).Estudia la obtencin, organizacin, presentacin y descripcin de la informacin numrica (Chao, 1985, p.16).Estadstica Inferencial:Constituye la base para hacer predicciones, previsiones y estimaciones que se utilizan para transformar la informacin en conocimiento (Newbold et al., 2012, p.5).Emplea datos de una muestra para hacer estimaciones y probar hiptesis acerca de las caractersticas de una poblacin (Anderson, 2008, p.16).MC. Julio Cosme Pola Velzquez191.1 Conceptos bsicos de la Estadstica DescriptivaMuestraEs una parte que se selecciona de una poblacin para someterla a anlisis (Levine et al., 2014, p.8).Es un subconjunto observado de valores poblacionales (Newbold et al., 2008, p.3)Es una parte de la poblacin representativa del conjunto (Black, 2005).PoblacinConsta de todos los objetos o individuos sobre los que se desea obtener conclusiones (Levine, 2014, p. 7).Representa la coleccin completa de elementos o resultados de la informacin buscada (Navidi, 2006, p. 7).Es la coleccin o conjunto, de individuos, objetos o eventos cuyas propiedades sern analizadas (Johnson y Kuby, 1999).Proceso que recolecta datos de toda una poblacin (Anderson, 2008, p. 16).Es la informacin disponible para todos los objetos de la poblacin (Devore, 2008, p. 2).CensoMC. Julio Cosme Pola Velzquez201.1 Conceptos bsicos de la Estadstica DescriptivaEstadsticoEs una medida que describe una variable que utiliza datos de una muestra (Levine et al., 2014, p.8).Es una caracterstica especfica de una muestra (Newbold et al., 2008, p.4)Es una caracterstica medible de una muestra (Chao,1995, p.22).ParmetroEs una medida que describe una variable que utiliza datos de una poblacin (Levine, 2014, p. 7).Es una caracterstica especfica de una poblacin (Newbold, 2008, p. 4).Son las caractersticas medibles de una poblacin (Chao, 1995, p. 21).ParmetroEs el proceso de efectuar un estudio para recolectar datos de una muestra (Anderson et al., 2008, p.16).MC. Julio Cosme Pola Velzquez211.1 Conceptos bsicos de la Estadstica DescriptivaClasificacin de los Estudios estadsticos (Anderson et al., 2008, p.16):Estudios estadsticosExperimentales :Se identifica primero la variable de inters. Despus se ubica otra u otras variables que son controladas para lograr datos de cmo sta influye sobre la variable de inters. Observacionales y no experimentales:No se controlan las variables de inters. El tipo ms usual de estudio observacional es quiz una encuesta. Por ejemplo, en una encuesta mediante entrevistas personales, primero se identifican las preguntas de la investigacin. Despus se presenta un cuestionario a los individuos de la muestra.MC. Julio Cosme Pola Velzquez221.1 Conceptos bsicos de la Estadstica DescriptivaMC. Julio Cosme Pola Velzquez23ObservacionesEs el conjunto de mediciones obtenidas para un determinado elemento (Anderson et al., 2008, p.6).VariableEs una caracterstica de un objeto o individuo (Levine, 2014, p. 6).Es una caracterstica de los elementos que es de inters (Anderson, 2008, p. 6).Caracterstica de inters sobre cada elemento individual de una poblacin o muestra (Johnson y Kuby, 1999, p.10).ElementoSon las entidades de las que se obtienen los datos (Anderson et al., 2008, p.6). DatosEs el conjunto de valores individuales asociados con una variable (Levine, 2014, p. 6).Son los valores encontrados para cada variable en cada uno de los elementos (Anderson, 2008, p. 6).Valor de la variable asociada a un elemento de una poblacin o muestra (Johnson y Kuby, 1999, p.10).1.1 Conceptos bsicos de la Estadstica DescriptivaMC. Julio Cosme Pola Velzquez24Tipos de variables:Tipos de VariablesVariable cualitativa (atributo/categrica):Tienen valores que solo pueden colocarse en categoras (Levine et al., 2014, p.6).Cuando la caracterstica que se estudia es de naturaleza no numrica (Lind et al, 2008, p.8).Se mide de manera no numrica (Webster, 2000, p.9). Variable cuantitativa (numrica):Tienen valores que representan cantidades (Levine et al., 2014, p.6).Cuando la variable que se estudia aparece en forma numrica (Lind et al., 2008, p.8).Si las observaciones pueden expresarse numricamente ((Webster, 2000, p.9)1.1 Conceptos bsicos de la Estadstica DescriptivaMC. Julio Cosme Pola Velzquez25Tipos de variables cuantitativas:Variables cuantitativasVariable continua:Producen respuestas numricas que surgen de un proceso de medicin (Levine et al., 2014, p.6).Tomar cualquier valor dentro de un intervalo especfico (Lind et al, 2008, p.8).Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un rango dado, generalmente resulta de una medicin (Webster, 2000, p.9). Variable discreta:Tienen valores numricos que surgen de un proceso de conteo (Levine et al., 2014, p.6).Adoptan solo ciertos valores y existen vacos entre ellos (Lind et al., 2008, p.8).Esta limitada a valores o nmeros enteros. Con frecuencia son el resultado de la enumeracin o del conteo ((Webster, 2000, p.9)MC. Julio Cosme Pola Velzquez261.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptiva

Resumen de los tipos de variables (Lind et al., 2008, p.9)Elementos: Los suelos de la ciudad de Tuxtla Gutirrez, Chiapas.NoNombre del geomaterialVariablesCuantitativasCualitativasqu(kg/cm2)c(kg/cm2)m(t/m3)LL(%)

IP(%)Tipo de suelo(SUCS)Color1Arcilla (0.30 a 1.10 m)Guardera de la Sub-delegacin del IMSS. Tuxtla Gutirrez, Chiapas.1.00.51.76036CHCaf Obscuro21.1 Conceptos bsicos de la estadstica descriptiva

MC. Julio Cosme Pola Velzquez27

MC. Julio Cosme Pola Velzquez28Escalas o niveles de medicinNivel nominal:Los datos de nivel nominal poseen las siguientes propiedades: 1) Las categoras de datos se encuentran representadas por etiquetas o nombres, y 2) An cuando las etiquetas se codifiquen con nmeros, las categoras de datos no tienen ningn orden lgico (Lind et al., 2008, p.9-13).Cuando el dato de una variable es una etiqueta o un nombre que identifica atributo de un elemento (Anderson et al., 2008, p. 6-7) .Utiliza nombres o clasificaciones como datos para establecer la categora distintos y separados, los nmeros servirn tan solo para indicar las categoras y no tienen significado numrico. Una medida en escala nominal no indica ningn orden de preferencia (Webster, 2000, p. 12-13). Coca cola.Pepsi.7-up.Mirinda.PeafielEjemplo: Los tipos de refrescos existentes en tu ciudad.1.1 Conceptos bsicos de la Estadstica DescriptivaMC. Julio Cosme Pola Velzquez29Escalas o niveles de medicinNivel ordinal:Las propiedades del nivel ordinal son: 1) Las clasificaciones de los datos se encuentran representadas por conjuntos de etiquetas o nombres (alto, medio, bajo), las cuales tienen valores relativos, y 2) En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden clasificar u ordenar (Lind et al., 2008, p.9-13).Si los datos muestran las propiedades de los datos nominales y adems tiene sentido el orden o jerarqua de los datos (Anderson et al., 2008, p. 6-7) .Clasifican las observaciones en categoras con un orden significativo o secuencia de datos. Es decir, las observaciones se clasifican con base en algunos criterios (Webster, 2000, p. 12-13). Totalmente de acuerdo.De acuerdo.Sin opinin.En desacuerdo.Total desacuerdo.Ejemplo: Sears Roebuck, es uno de los minoristas ms grandes de USA, clasifica sus productos como: bueno, mejores y los mejores.1.1 Conceptos bsicos de la Estadstica DescriptivaMC. Julio Cosme Pola Velzquez30Escalas o niveles de medicinNivel de intervalo:Las propiedades del nivel de intervalo son: 1) Las clasificaciones de datos se ordenan de acuerdo con el grado que posea la caracterstica en cuestin, y 2) Diferencias iguales en la caracterstica representan diferencias iguales en las mediciones. Es importante destacar que el cero 0 es un punto ms en la escala. No representa la ausencia de estado e incluye las propiedades del nivel ordinal (Lind et al., 2008, p.9-13).Si los datos tienen las caractersticas de los datos ordinales y el intervalo entre valores se expresa en trminos de una unidad de medicin fija. Los datos de intervalo siempre son numricos (Anderson et al., 2008, p. 6-7) .Las variables se miden de manera numrica y llevan inherente un rango u ordenamiento. La diferencia entre los valores es importante. El valor de cero se selecciona arbitrariamente, es un punto de referencia arbitrario (Webster, 2000, p. 12-13). 30 F40 F50 F60 F70 FEjemplo: La variacin de temperatura de una ciudad. Entre el primer dato y el segundo existe una diferencia de 10 Farenheit y as sucesivamente.MC. Julio Cosme Pola Velzquez31Escalas o niveles de medicinNivel de razn:Las propiedades del nivel de razn son: 1)Las clasificaciones de datos se ordenan de acuerdo con la cantidad de caractersticas que poseen, y 2) Diferencias iguales en la caracterstica representan diferencias iguales en los nmeros asignados a las clasificaciones, y 3) El punto cero representa la ausencia de caractersticas y la razn entre dos nmeros es significativa(Lind et al., 2008, p.9-13).Si los datos tienen todas las propiedades de los datos de intervalo y la proporcin entre dos valores tiene significado (Anderson et al., 2008, p. 6-7) .Se basa en un sistema numrico en el cual el cero es significativo (es un valor fijo en cualquier escala) y la diferencia entre los valores es importante. La escala de razn se utiliza para medir muchos tipos de datos que se encuentran en el anlisis empresarial, tales como: costos, rentabilidad y niveles de inventario. Por ejemplo, el valor de cero dlares para medir los ingresos, puede interpretarse de manera lgica para explicar que no ha habido ventas (Webster, 2000, p. 12-13). 1.1 Conceptos bsicos de la Estadstica Descriptiva1.1 Conceptos bsicos de la Estadstica DescriptivaMC. Julio Cosme Pola Velzquez32

Resumen de las caractersticas de los niveles de medicin(Lind et al., 2008, p.9)1.1 Conceptos bsicos de la Estadstica Descriptiva1.2 Medidas de tendencia central y de dispersin para datos agrupadosMC. Julio Cosme Pola Velzquez33Presentacin de resultadosElaboracin de grficas.Histograma.Polgonos de frecuencia.Anlisis estadstico descriptivoTabulacin de datos.Rango.Nmero de clases.Ancho de clase.Tabla de distribucin de frecuencias.No. de barrasIntervalo de claseFrecuencia, frec. acumulada, frec. relativa y frec. rel. acumuladaMarca de claseMedia aritmtica.MedianaModa.Primer momento estadsticoSegundo momento estadstico (Varianza y desviacin estndar).Tercer momento estadstico (sesgo).Cuarto momento estadstico (curtosis).MC. Julio Cosme Pola Velzquez34956109510988786577985967978971086571087696878810987108981. Recolectar los datos cuantitativos de la variable de estudio (Tabulacin de datos):2. Ordenar los datos cuantitativos obtenidos de manera ascendente:56677889910567788899105677888991056778889910567788991010Valor mnimoValor mximoMC. Julio Cosme Pola Velzquez353. Determinar el rango (R) de los datos:Rango, es la diferencia entre el dato cuantitativo de mayor valor y el dato cuantitativo de menor valor.

Ec. (1)4. Determinar el nmero de clases (Nc):Nmero de clases, se refiere al nmero de barras que constituye un histograma.Histograma, es una representacin grfica de una variable en formas de barras.4.1 Aplique la regla de Sturges:

Ec. (2.1)Ec. (2.2)

MC. Julio Cosme Pola Velzquez36

4.2 Aplique la regla de la base 2:

Ec. (2.3)MC. Julio Cosme Pola Velzquez375. Determinar el ancho de clase (Ac):Ancho de clases, se refiere al tamao o longitud constante que debe tener la base de cada barra en un histograma.

Ec. (3)

MC. Julio Cosme Pola Velzquez386. Tabla de distribucin de frecuencias:No. barraIntervalo de claseFrecuenciaFrec.AcumuladaFrec.RelativaFrec. Rel.AcumuladaMarca de clase(fi mci)15 x < 655(5/50)=0.10(5/50)=0.10(5+6)/2=5.5(5)(5.5)=27.526 x < 7611(6/50)=0.12(11/50)=0.22(6+7)/2=6.5(6)(6.5)=39.037 x < 81021(10/50)=0.20(21/50)=0.42(7+8)/2=7.5(10)(7.5)=75.048 x < 91334(13/50)=0.26(34/50)=0.68(8+9)/2=8.5(13)(8.5)=110.559 x < 101044(10/50)=0.20(44/50)=0.88(9+10)/2=9.5(10)(9.5)=95.0610 x < 11650(6/50)=0.12(50/50)=1.00(10+11)/2=10.5(6)(10.5)=63.0711 x < 120- - -=1.00- - -- - -=410.0=50MC. Julio Cosme Pola Velzquez39MC. Julio Cosme Pola Velzquez40MC. Julio Cosme Pola Velzquez41MC. Julio Cosme Pola Velzquez427. Determinacin de las medidas de tendencia central para datos agrupados:7.1 Media aritmtica:

Donde:fi= frecuencia en el intervalo i (i=1,2,3,n).mci= marca de clase en el intervalo i.n=nmero de datos (n=50).

7.2 Mediana:

Donde:Lime= Lmite inferior del intervalo donde se localiza el 50% de los datos.n=nmero de datos (n=50).fac= frecuencia acumulada que antecede al intervalo donde se localiza la mediana.fme= frecuencia del intervalo donde se localiza la mediana.Ac=ancho de la clase (Ac=1.0).Ec. (4)Ec. (5)MC. Julio Cosme Pola Velzquez43No. barraIntervalo de claseFrecuenciaFrec.AcumuladaFrec.RelativaFrec. Rel.AcumuladaMarca de clase(fi mci)15.0 x < 6.055(5/50)=0.10(5/50)=0.10(5+6)/2=5.5(5)(5.5)=27.526.0 x < 7.0611(6/50)=0.12(11/50)=0.22(6+7)/2=6.5(6)(6.5)=39.037.0 x < 8.01021(10/50)=0.20(21/50)=0.42(7+8)/2=7.5(10)(7.5)=75.048.0 x < 9.01334(13/50)=0.26(34/50)=0.68(8+9)/2=8.5(13)(8.5)=110.559.0 x < 10.01044(10/50)=0.20(44/50)=0.88(9+10)/2=9.5(10)(9.5)=95.0610.0 x < 11.0650(6/50)=0.12(50/50)=1.00(10+11)/2=10.5(6)(10.5)=63.0711.0 x < 12.00- - -=1.00- - -- - -=410.0=50

MC. Julio Cosme Pola Velzquez447. Determinacin de las medidas de tendencia central para datos agrupados:7.2 Moda:

Donde:Limo= Lmite inferior del intervalo donde se localiza la mayor frecuencia.fmo= frecuencia de la clase modal.f1= frecuencia anterior a la clase modal.f2= frecuencia posterior a la clase modal.Ac=ancho de la clase (Ac=1.0).Ec. (6)MC. Julio Cosme Pola Velzquez45No. barraIntervalo de claseFrecuenciaFrec.AcumuladaFrec.RelativaFrec. Rel.AcumuladaMarca de clase(fi mci)15.0 x < 6.055(5/50)=0.10(5/50)=0.10(5+6)/2=5.5(5)(5.5)=27.526.0 x < 7.0611(6/50)=0.12(11/50)=0.22(6+7)/2=6.5(6)(6.5)=39.037.0 x < 8.01021(10/50)=0.20(21/50)=0.42(7+8)/2=7.5(10)(7.5)=75.048.0 x < 9.01334(13/50)=0.26(34/50)=0.68(8+9)/2=8.5(13)(8.5)=110.559.0 x < 10.01044(10/50)=0.20(44/50)=0.88(9+10)/2=9.5(10)(9.5)=95.0610.0 x < 11.0650(6/50)=0.12(50/50)=1.00(10+11)/2=10.5(6)(10.5)=63.0711.0 x < 12.00- - -=1.00- - -- - -=410.0=50

MC. Julio Cosme Pola Velzquez468. Determinacin de las medidas de dispersin para datos agrupados (momentos estadsticos):Los momentos estadsticos (Mei), permiten establecer la caracterizacin de la curva de distribucin de frecuencia sin la necesidad de desarrollar los elementos grficos.8.1 Momento estadstico de primer grado (Me1):La diferencia entre las marcas de clase con respecto a la media aritmtica deben ser cero o prximas a l, ya que los valores de las desviaciones por arriba y por debajo de la media aritmtica deben ser iguales.

Ec. (7)Donde:fi= frecuencia en el intervalo i (i=1,2,3,n).mci= marca de clase en el intervalo i.x= media aritmtica.n=nmero de datos.MC. Julio Cosme Pola Velzquez478.2 Momento estadstico de segundo grado (Me2):Representa el promedio de las desviaciones al cuadrado de las marcas de clase con respecto a la media conocida como varianza, V .

Ec. (8)Donde:fi= frecuencia en el intervalo i (i=1,2,3,n).mci= marca de clase en el intervalo i.x= media aritmtican=nmero de datos (n=50).S=desviacin estndar.

Ec. (9)MC. Julio Cosme Pola Velzquez488.3 Momento estadstico de tercer grado (Me3):Las desviaciones de las marcas de clase con respecto a la media aritmtica se elevan al cubo promedindolas con respecto al nmero de elementos conjunto, lo que permite establecer el tipo de sesgo que describe la curva de distribucin de frecuencias a travs del coeficiente de asimetra K1.

Ec. (10)Donde:fi= frecuencia en el intervalo i (i=1,2,3,n).mci= marca de clase en el intervalo i.x= media aritmtican=nmero de datos (n=50)S3=desviacin estndar elevada al cubo.

Ec. (11)El coeficiente de asimetra se obtiene a partir de la siguiente expresin:MC. Julio Cosme Pola Velzquez49

Coeficiente de asimetraCurva de distribucin de frecuencias (forma)Si k1>0Asimetra derechaSesgo positivoSi k1=0SimtricaSin sesgoSi k10La curva es leptocrticaSi k4-3=0La curva es mesocrticaSi k4-3