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Universidad Fermín ToroFacultad de ingenieríaCabudare Edo. Lara

Distribuciones De Probabilidad de tipo continuo

Jose Angel Jimenez C.I. 23.903.936

Distribución Uniforme continúa:

La distribución uniforme continua U(a,b), es la de una variable aleatoria, X, con valores en el intervalo (a,b) y para las que la probabilidad de un intervalo es proporcional a su longitud, sea cual sea su posición.

Su función de densidad es constante, 

y su función de distribución lineal,

Despejando, se obtienen los cuantiles, qr=a+r(b-a) para 0<r<1.

La mediana coincide con la media, Me=(a+b)/2.

La moda es cualquier valor de la variable.

Sus momentos son E[X]=(a+b)/2, Var(X)=(b-a)2/12, g1=0 y g2=-6/5.

Si X sigue una U(a,b), entonces 

Además:

Si X es una variable aleatoria continua con función de distribución,

, estrictamente creciente entonces

Este resultado será de gran importancia cuando estudiemos la simulación de variables.

Ejemplo 1: En un trayecto urbano hay dos semáforos consecutivos de modo que 2.5 minutos después de que el primero se ponga verde se pone rojo el segundo. Ambos se cierran cada 2 minutos, permaneciendo cerrados 30 segundos.

Un conductor se ha detenido en el primero y el tiempo en recorren la distancia entre ambos semáforos es una U(1,4). ¿Cuál es la probabilidad de que se pare en el segundo?

Del enunciado se deduce que deberá parar si emplea entre 2.5 y 3 minutos en ir del primero al segundo, es decir,

p[2.5 < X < 3]= F(3) - F(2.5) = (3-1) / 3 - (2.5-1) / 3 = 0.166.

Distribución Gamma:

La distribución gamma (Laplace, 1836) es una distribución biparamétrica, que se designa abreviadamente como g(a,p), donde a y p son valores positivos. Su función de densidad vale

donde  . Además,

Esperanza

Varianza

Modasi p>1

Mediana carece de expresión

explícita

Coeficiente de simetría

Coeficiente de Kurtosis

En particular: Dos distribuciones gamma son especialmente utilizadas: la denominada chi-2 con n grados de libertad (g(1/2 , n/2)), y la exponencial negativa (g(a,1)) .La suma de variables gamma g (a,p) independientes es una variable gamma de primer parámetro a y de segundo parámetro la suma de todos los segundos parámetros.Si X es una g (a,p), entonces k X es una g (a / k , p)Ejemplo 4: El tiempo de reparación, en horas, de una pieza es una g (0.5 , 2). El precio de venta de la misma es de 5 mil euros y el de fabricación de mil euros. ¿A cuanto debemos cobrar la hora de reparación para obtener un beneficio medio de 3 mil euros?Se nos pide una cantidad K, de modo que el beneficio medio, E(B), sea 3.El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K* E(X) = 4 - K* (2 / 0.5) lo igualamos a 3, de donde se deduce que K=1/4, es decir 250 euros, para obtener un beneficio de 3 mil euros.

Distribución Exponencial negativa: 

Es una caso particular de la Gamma cuando p=1. E (a)= g (a,1)

Función de densidad Función de distribución

E(X)= 1 / a

La suma de variables exponenciales independientes es una gamma.

Tiene la propiedad del olvido, es decir cumple que

Si X sigue una distribución E (a), entonces

Ejemplo 5: El tiempo en servir una mercancía es una E (a) de media 5. Han pasado 2 días y el cliente aún no ha recibido la mercancía, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que esperar al menos 3 días más?Como E(X)=5, el parámetro en 1/5.Debemos calcular p[ X > 5 | X > 2 ] = p [ X > 3 ] = 0.606.

Distribución de Weibull: 

La distribución de Weibull (Weibull, 1939) es una distribución triparamétrica, abreviadamente descrita como W(x0,b,a), con función de densidad

y de distribución

Propuesta inicialmente para estudiar la resistencia de los materiales a la rotura, hoy día se emplea en Control de calidad y en fiabilidad de sistemas.

La variable  es una exponencial negativa de parámetro 1, e(1).

Existe una distribución de Weibull estándar, W(0,1,a).

Los momentos de X se obtienen sin dificultad a partir de los de Y.

Distribución de Erlang

La distribución gamma, cuando a es un entero positivo se conoce con el nombre de Erlang. Cuando a=1, la distribución de Erlang se reduce a una distribución exponencial negativa. Nótese que la variable aleatoria de una distribución exponencial negativa puede pensarse como el lapso que transcurre hasta el primer evento de Poisson.

Otro caso especial del modelo de probabilidad gamma es la distribución chi-cuadrado.

Si se hace a= u /2 y  q=2 , se obtiene:

donde u recibe el nombre de grados de libertad.

La media y varianza de la distribución chi-cuadrado se obtienen de los de la gamma.

E[X]= u  y  Var[X]=2. u