estadística iii. diseÑo y analisis de experimentos 2014 segundo semestre henry lamos estadística...

Estadística III. H Lamos 1

Estadística III.DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS

2014Segundo semestre

HENRY LAMOS


Supuestos para el ANOVA

Residuales herramienta base de diagnóstico


Ejemplo a desarrollar en claseUna agencia gubernamental para la protección del medio ambiente ha establecido reglamentos muy estrictos para el control de desechos de las fábricas. Un empresa tiene cuatro plantas y sabe que la planta A satisface los requisitos impuestos por el gobierno pero quisiera determinar cuál es la situación de las otras tres. Para el efecto se toma cinco muestras de los líquidos residuales de cada una de las plantas y se determina la cantidad de contaminantes. Los resultados del experimento aparecen en la tabla.


Planta Cantidad de contaminante

A 1.65 1.72 1.50 1.37 1.6

B 1.7 1.85 1.46 2.05 1.8

C 1.4 1.75 1.38 1.65 1.55

D 2.1 1.95 1.65 1.88 2

Proporcionan los datos anteriores evidencia suficiente que indique que existe una diferencia en la cantidad media de contaminantes para las cuatro plantas?


One-way ANOVA: Planta A. Planta B. Planta C. Planta D

Source DF SS MS F PFactor 3 0,4649 0,1550 5,20 0,011Error 16 0,4768 0,0298Total 19 0,9417

S = 0,1726 R-Sq = 49,37% R-Sq(adj) = 39,87%

1. Supuesto de NormalidadPara verificar el supuesto se puede usar una gráfica de probabilidad normal de los residuales. La gráfica debe tener una apariencia de línea recta. Una distribución de los errores que tienen colas considerablemente más gruesas o delgadas que la distribución normal es “grave”.


Puntos atípicos

Error en cálculos

Error en codificación de

datos

Circunstancias experimentales

ijijij yye ˆ

Residuales


0,082 -0,072 -0,146 0,184

0,152 0,078 0,204 0,034

-0,068 -0,312 -0,166 -0,266

-0,198 0,278 0,104 -0,036

0,032 0,028 0,004 0,084

Planta A Planta B Planta C Planta D1,65 1,7 1,4 2,11,72 1,85 1,75 1,95

1,5 1,46 1,38 1,651,37 2,05 1,65 1,88

1,6 1,8 1,55 2

FITS1 FITS2 FITS3 FITS41,568 1,772 1,546 1,9161,568 1,772 1,546 1,9161,568 1,772 1,546 1,9161,568 1,772 1,546 1,9161,568 1,772 1,546 1,916


Ordenar los residuales de menor a mayor Asignar valores crecientes espaciados

uniformemente entre 0 y 1 a . Una forma usual es asignar el valor de a

Después se grafican en papel probabilidad normal las parejas

Una gráfica de probabilidad normal también se construye en papel gráfico común graficando los valores normales estandarizados

2. Supuesto de IndependenciaPara verificar el supuesto se usa una gráfica de los residuales en secuencia del tiempo.Una tendencia a tener corridas de residuales positivos y negativos indican una correlación positiva entre los residuales.


La aleatorización adecuada del experimento es importante para la independencia del error.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-0.400

-0.300

-0.200

-0.100

0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

Residuos

Residuos

3. Supuesto de HomocedasticidadUna manera de visualizar el cumplimiento del supuesto es a través de una gráfica de los residuales contra valores ajustados Si el modelo es correcto y se satisfacen los supuestos, los residuales deberán estar sin estructura.


No deberán estar relacionados con ninguna otra variables, incluyendo la respuesta predicha.

GRA

FICA

.iy

• Prueba de Bartlett.


iguales son todasNo :

....:2

1

22

21

2

i

ao

H

H

aN

SnS

aNna

cSnSaNq

c

q

a

iii

p

i

a

i

a

iiip

1

2

2

11

11

210

210

20

)1(

)()1()1(3

11 log)1(log)(

3026.2 g.l )1(con cudadrado-chi aleatoria variableuna es a-

La hipótesis Nula deberá rechazarse si:

1,22

0 a

• Prueba de Levene modificada

Prueba que las varianzas son iguales en todos los tratamientos utilizando la desviación de las observaciones de cada tratamiento de la mediana de los tratamientos.

La prueba de Levene modificada evalúa entonces si la media de estas desviaciones es igual o no para todos los tratamientos.


njaiyyd ijijij ,..2,1;,..2,1|,~|

• Cuando las desviaciones medias son iguales, las varianzas de las observaciones de todos los tratamientos serán iguales.Se prueba con el estadístico F ANOVA usual para probar la igualdad de medias que se aplica a las desviaciones absolutas..


CME

CMTF0

INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS


Regresión Lineal.

Se desarrolla un modelo empírico para pronosticar y

optimizar.

Comparaciones gráficas de las

medias.

Se grafican las medias de los

niveles sobre el eje x.

Contrastes.Comparaciones de Pares de Medias de

los tratamientos.

Después de realizar el experimento el experimentador está listo para sacar conclusiones prácticas acerca del problema bajo estudio.

Las conclusiones pueden obtenerse mediante:

Análisis


Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevLevel N Mean StDev -+---------+---------+---------+--------Planta A 5 1,5680 0,1366 (-------*--------)Planta B 5 1,7720 0,2160 (--------*-------)Planta C 5 1,5460 0,1592 (-------*-------)Planta D 5 1,9160 0,1689 (-------*-------) -+---------+---------+---------+-------- 1,40 1,60 1,80 2,00

1. ContrastesAl realizar el ANOVA en el modelo con efectos fijos se rechaza la Hipótesis Nula, y por lo tanto se desea conocer cuáles efectos son diferentes . Muchos métodos de comparaciones múltiples usan el concepto de contraste.Un contraste se define como una combinación de los parámetros medias


a

ii

a

iii cc

11

0,


0: 0:

HipótesisdePrueba

0,

11

1

11

a

iii

a

iiio

a

ii

a

iii

cHcH

cc

• Estadístico de prueba tEl contraste de interés en términos de los totales de los tratamientos:

Cuando los tamaños de muestra de los tratamientos son iguales:


normal aleatoria variable una es

a

1i.ii yc

a

1i

2i

22a

1i.ii

ii

a

1i.ii

a

1i.ii

a

1i.iic

a

1i.ii

n/cn)ycnvar()cvar(

cn)y(Ecn

)y(Ec)yc(E)c(E

,ycc


La Hipótesis Nula deberá rechazarse si:

aNo tt ,2/

Estadístico de prueba t

• Estadístico de prueba FEl cuadrado de una variable aleatoria t con v grados de libertad, es una variable aleatoria F con un grado de libertad en el numerador y v grados de libertad en el denominador.


La Hipótesis Nula deberá rechazarse si:

aNo FF ,1,

• Intervalos de confianzaPuede expresarse en términos de los promedios de los tratamientos.


Si el intervalo de confianza incluye al cero no deberá rechazarse la Hipótesis Nula.

.1

i

a

ii ycC

1

2,2/

11

2,2/

a

ii

EaN

a

iii

a

ii

EaN c

N

MStCcc

N

MStCP

Método SchefféCompara todos los contrastes posibles entre las medias de los tratamientos.Si se tienen m contrastes a comprobar:

Prueba de hipótesis

El contraste correspondiente a los promedios de los tratamientos es:


0: 0: 1 uuo HH

El error estándar de este contraste es:

Puede demostrarse que el valor crítico contra el quedeberá compararse Cu es :


a

iiiuEC ncMSS

u1

2 /


• Se rechaza la Hipótesis Nula si:

Para probar la hipótesis de que el contraste

difiere significativamente de cero, se compara Cu

con el valor crítico.

Contrastes Ortogonales

Dos contrastes con coeficientes {cᵢ} y {dᵢ} son ortogonales, si:

o para un diseño no balanceado

Para a tratamientos, el conjunto de a-1 con contrastes ortogonales hace la partición de la suma de cuadrados debida a los tratamientos en a-1 componentes independientes con un solo g.l. Por lo tanto, las pruebas que se realizan en este son independientes.


Ejemplo


Existen varias formas de elegir los coeficientes de los contrastes ortogonales para un conjunto de tratamientos. En general, algún elemento en la naturaleza del experimento sugiere las comparaciones de interés. Por ejemplo, si hay a=4 tratamientos, donde el tratamiento 1 es de control y donde los niveles del factor en los tratamientos 2, 3 y 4 son de interés para el experimentador, los contrastes ortogonales apropiados pueden ser:

Tratamiento Coeficiente de los contrastes

1 (control) -3 0 0

2 1 1 0

3 1 -1 1

4 1 0 -1

3. Comparaciones de pares de Medias de tratamientos

Útiles cuando el interés se centra en comparar los pares de medias de tratamientosQuiere probarse:

Algunos de los métodos para realizar dichas comparaciones son.


Prueba Tukey Método LSD Prueba Rango de Duncan DUNNET

• Prueba Tukey

Se hace uso del estadístico del rango estudentizado:

Para probar la hipótesis se obtiene el estadístico de prueba:


n/MSE

yy

n/s

yyq

)yyvar(

)yy(Eyyq

minmax

2

minmax

minmax

minmaxminmax


E

v,k,

Ev,k,

MSv

q

n/MSq)v,k(T

de libertad de grados

ordenado. arreglo un en ostratamient de medias k de grupo un

para Student de adoestandariz oestadístic el es donde


Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba. Esto es, se rechaza la hipótesis nula si:

Tyy .j.i


Intervalo de confianza se construye mediante la siguiente expresión:

Réplicas desiguales. Prueba Tukey-Kramer

Para probar la hipótesis se obtiene el estadístico de prueba:


E

vk

ji

Evk

MSv

q

nn

MSqvkT

de libertad de grados

ordenado. arregloun en tos tratamiende mediask de grupoun

paraStudent de adoestandariz oestadístic el es donde

11

2),(

,,

,,

El método de mínima diferencia significativa LSD Se hace uso del estadístico t para probar las hipótesis.

Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba.


Prueba del Rango Múltiple de DUNCAN


En este caso los promedio de los tratamientos deben ordenarse de menor a mayor.A continuación, en la tabla de Duncan de los rangos significativos, se obtienen los valores

p,frPara p = 2, 3, …, a donde α es el nivel de significación y f es el numero de grados de libertad del error.

• Prueba del Rango Múltiple de DUNCAN

Deben obtenerse los valoresEl error de cada promedio se determina como


p,fr

. Sp,frR

iyp

.

n

MSES

iy

Finalmente se empiezan a obtener las diferencias entre las medias, comenzado a comparar la más grande contra la menor y así sucesivamente, hasta obtener todas las diferencias posibles

Estas diferencias se comparan con los correspondientes, siendo p el número de pasos aparte que están dichas medias comparadas.

Dos pares de medias se consideran significativamente diferentes si


pR

pji Ryy ..

• DUNNET : Comparación de medias de un tratamiento con un control.Alguna de las medias de uno de los tratamientos es un control (a) y se está interesado en compararla con las medias de los tratamientos restante.Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba.


aiEai nn

MSfadyy11

;1..

d debe leerse de la tabla correspondiente para dichos valores.a es el número de tratamientos.f son los Grados de Libertad de MSE.


Se trata de un experimento con un solo factor con a= 5 niveles del factor y n= 5 réplicas. Se tienen entonces 25 corridas que se corren de manera aleatoria.

Fibras

Peso % de algodón

PROCESO Resistencia a la Tensión (Y)


En la siguiente tabla se registran los datos obtenidos:

Peso porcentual del algodón

ObservacionesTotal Promedio

1 2 3 4 515 7 7 15 11 9 49 9,820 12 17 12 18 18 77 15,425 14 18 18 19 19 88 17,630 19 25 22 19 23 108 21,635 7 10 11 15 11 54 10,8

376 15,04.iy.iy

Para los datos tabulados se obtienen:•Total de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.•Promedio de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.•Gran total de todas las observaciones.•Promedio de todas las observaciones.

..y ..y

Anova


Análisis de Varianza

Fuente de variación Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados

Medios

Entre tratamientos SSTrat= 475,76 a-1= 4 MSTrat=

118,94

Dentro de los tratamientos SSE=161,2

N—a

=20

MSE= 8,06

Total SST=636,96 N-1=24

84,2

76,14

20,4,05.0

F

MS

MSF

E

Trato

Se rechaza la hipótesis Nula con un nivel de significancia de 0.05

aNao FF ,1,


Prueba de Levene modificadaEn la siguiente tabla se registran las desviaciones:

Peso porcentua

l del algodón

Desviaciones

1 2 3 4 5 total15 2 2 6 2 0 1220 5 0 5 1 1 1225 4 0 0 1 1 630 3 3 0 3 1 1035 4 1 0 4 0 9

179 2401

ijy 2 2ijy96.82SCT

78

96.4

SCE

SCTrat

84.2

32.020/78

4/96.4

20,4,05.0

F

Fprueba

Estimación de parámetros% 15 -5,2420 0,3625 2,5630 6,5635 -4,24


ijiijy i04,15.. y

• Intervalo de confianza para la media del tratamiento 4

5

06,8086,206,21

5

06,8086,206,21 4

• Residuales

• Gráfica de Probabilidad Normal


Verificación de los supuestos del ANOVA

% Residuales15 -2,8 -2,8 5,2 1,2 -0,820 -3,4 1,6 -3,4 2,6 2,625 -3,6 0,4 0,4 1,4 1,430 -2,6 3.4 0.4 -2.6 1.435 -3.8 -0.8 0.2 4.2 0.2

-15 -10 -5 0 5 10 15

-2.5

-1.5

-0.5

0.5

1.5

2.5

RESIDUALES

• Prueba de Bartlett.


iguales son los todosNo :

....:2

1

222

21

i

ao

H

H

06,8

0,94 3026.2

1,1)525()15()15(3

11 0,45 log)15()06,8(log)525(

2

20

115

1

5

1

21010

p

iii

S

c

q

cSq

Se acepta la hipótesis Nula ya que:

1,22

0 a

%

15 11

20 9,8

25 4,3

30 6,8

35 8,2

2iS

49,94;05,02

Varianza Muestral


Prueba de Levene modificadaEn la siguiente tabla se registran las desviaciones:

Peso porcentua

l del algodón

Desviaciones

1 2 3 4 5 total15 2 2 6 2 0 1220 5 0 5 1 1 1225 4 0 0 1 1 630 3 3 0 3 1 1035 4 1 0 4 0 9

179 2401

ijy 2 2ijy96.82SCT

78

96.4

SCE

SCTrat

84.2

32.020/78

4/96.4

20,4,05.0

F

Fprueba

• Contraste


Interpretación de resultados

25

0: 0:

.5.4.3.1

11

1

YYYYC

cHcHa

iii

a

iiio

aNo FF ,1,

25,31)5*4(

)25( 2

CSS

35,4 88,306.8

35,3120,1%,5 FFo

La Hipótesis Nula debe aceptarse puesto que

• Scheffé


5.5.4.3.1 yyyyC

54,25/)1111(06,81 SS

69,10)43,4(454,2 1,01.0 F

La Hípotesis Nula debe aceptarse puesto que

0: 0: 1 uuo HH

- 54311

• Comparaciones entre pares de medias de los tratamientos

• Tukey


38,55

06,823,4%5 T

Comparación Diferencia1 Vs 2 -5,61 Vs 3 -7,81 Vs 4 -11,81 Vs 5 -12 Vs 3 -2,22 Vs 4 -6,22 Vs 5 4,63 Vs 4 -43 Vs 5 6,84 Vs 5 10,8


• LSD


75,35

)06,8(2086,220,025.0 t

Comparación Diferencia1 Vs 2 -5,61 Vs 3 -7,81 Vs 4 -11,81 Vs 5 -12 Vs 3 -2,22 Vs 4 -6,22 Vs 5 4,63 Vs 4 -43 Vs 5 6,84 Vs 5 10,8


• Duncan


Dos pares de medias se consideran significativamente diferentes si

Número % Media1 15 9,85 35 10,82 20 15,43 25 17,64 30 21,6

Los promedio de los tratamientos deben ordenarse de menor a mayor.

P R2 2,95 3,753 3,1 3,944 3,18 4,045 3,25 4,13

p,frtabla de Duncan de los rangos significativos

Comparación Diferencia 4 Vs 1 11,8 > R54 Vs 5 10,8 > R44 Vs 2 6,2 > R34 Vs 3 4 > R23 Vs 1 7,8 > R43 Vs 5 6,8 > R33 Vs 2 2,2 < R22 Vs 1 5,6 > R32 Vs 5 4,6 > R25 Vs 1 1 < R2

pji Ryy ..

• DUNNETT: Se asume al tratamiento 5 como tratamiento control


76,45

)06,8(265,2)20,4(05.0 d


aiE nn

MSfad11

;1

Comparación Diferencia

1 Vs 5 -12 Vs 5 4,63 Vs 5 6,84 Vs 5 10,8

Contrastes Ortogonales


543120

310

54310

540

4:H

:H

:H

:H

C1=291.60

C2=31.25

C3=152.10

C4=0.81

Ejemplo 2.2. Se quiere evaluar la eficacia de distintas dosis de un fármaco contra la hipertensión arterial, comparándola con la de una dieta sin sal. Para ello se seleccionan al azar 25 hipertensos y se distribuyen aleatoriamente en 5 grupos. Al primero de ellos no se le suministra ningún tratamiento, al segundo una dieta con un contenido pobre en sal, al tercero una dieta sin sal, al cuarto el fármaco a una dosis determinada y al quinto el mismo fármaco a otra dosis. Las presiones arteriales sistólicas de los 25 sujetos al finalizar los tratamientos son:



Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5

180 172 163 158 147

173 158 170 146 152

175 167 158 160 143

182 160 162 171 155

181 175 170 155 160


Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5

180 172 163 158 147

173 158 170 146 152

175 167 158 160 143

182 160 162 171 155

181 175 170 155 160

Y1. = 178.2 Y2. = 166.4 Y3. = 164.6 Y4. = 158 Y5. = 151.4


Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de

libertadCuadrado

medio Fₒ

Tratamientos 2010.64 4 502.66 11.24

Error 894.4 20 44.72

Total 2905.04 24

Como F0,05(4,20) =2,87 y 11,24>2,87 rechazamos la hipótesis nula y concluimos que los resultados de los

tratamientos son diferentes.

Consideremos que se lleva a cabo un experimento para comparar el tiempo que tardan tres marcas de portátiles HP, Dell, Toshiba en cargar un mismo sistema operativo.Se toma una muestra de cuatro portátiles de la marca HP,es decir, se mide el tiempo (en segundos) que tardan en cargar el sistema operativo cuatro portátiles de HP. De Dell se toman seis medidas y cinco de la Toshiba. La tabla siguiente registra los resultados del experimento:



Yi.

HP 10.7 11.2 12.0 15.5 12.35

Dell 13.4 11.5 11.2 15.1 13.3 12.9 12.90

Toshiba 11.5 12.7 15.4 16.1 15.2 14.18

Diagrama de Cajas y Bigotes


H0: todas las medias son iguales:µ1 = µ2 = µ3

H1: no todas las medias son iguales

La media de la muestra global seria:

Estadístico de prueba


Anova

Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de

libertadCuadrado

medio Fₒ

Tratamientos 39.80 2 4.113 1.24

Error 8.226 12 3.32

Total 48.026 14


F0,05;2;12 = 3,89, Por lo tanto no rechazamos la hipótesis nula.



Level N Mean GroupingPlanta A (control) 5 1,5680 APlanta D 5 1,9160Planta B 5 1,7720 APlanta C 5 1,5460 A

Means not labeled with letter A are significantly different from control level mean.

Dunnett's comparisons with a control

Family error rate = 0,05Individual error rate = 0,0196

Critical value = 2,59

Control = Planta A

Intervals for treatment mean minus control mean

Level Lower Center Upper --+---------+---------+---------+-------Planta B -0,0790 0,2040 0,4870 (----------*----------)Planta C -0,3050 -0,0220 0,2610 (----------*----------)Planta D 0,0650 0,3480 0,6310 (----------*----------) --+---------+---------+---------+------- -0,25 0,00 0,25 0,50

Grouping Information Using Tukey Method

N Mean GroupingPlanta D 5 1,9160 APlanta B 5 1,7720 A BPlanta A 5 1,5680 BPlanta C 5 1,5460 B

Means that do not share a letter are significantly different.

Tukey 95% Simultaneous Confidence IntervalsAll Pairwise Comparisons

Individual confidence level = 98,87%

Planta A subtracted from:

Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------Planta B -0,1087 0,2040 0,5167 (--------*--------)Planta C -0,3347 -0,0220 0,2907 (--------*--------)Planta D 0,0353 0,3480 0,6607 (--------*--------) +---------+---------+---------+--------- -0,70 -0,35 0,00 0,35

Planta B subtracted from:

Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------Planta C -0,5387 -0,2260 0,0867 (--------*-------)Planta D -0,1687 0,1440 0,4567 (--------*--------) +---------+---------+---------+--------- -0,70 -0,35 0,00 0,35

Planta C subtracted from:

Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------Planta D 0,0573 0,3700 0,6827 (--------*--------) +---------+---------+---------+--------- -0,70 -0,35 0,00 0,35



Grouping Information Using Tukey Method

N Mean GroupingPlanta D 5 1,9160 APlanta B 5 1,7720 A BPlanta A 5 1,5680 BPlanta C 5 1,5460 B

Means that do not share a letter are significantly different.

Tukey 95% Simultaneous Confidence IntervalsAll Pairwise Comparisons

Individual confidence level = 98,87%



Planta A subtracted from:

Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------Planta B -0,1087 0,2040 0,5167 (--------*--------)Planta C -0,3347 -0,0220 0,2907 (--------*--------)Planta D 0,0353 0,3480 0,6607 (--------*--------) +---------+---------+---------+--------- -0,70 -0,35 0,00 0,35



Planta B subtracted from:

Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------Planta C -0,5387 -0,2260 0,0867 (--------*-------)Planta D -0,1687 0,1440 0,4567 (--------*--------) +---------+---------+---------+--------- -0,70 -0,35 0,00 0,35

Planta C subtracted from:

Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------Planta D 0,0573 0,3700 0,6827 (--------*--------) +---------+---------+---------+--------- -0,70 -0,35 0,00 0,35

estadística iii. diseÑo y analisis de experimentos 2014 segundo semestre henry lamos estadística...

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