Mercedes de la Oliva ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA INFERENCIALESTADÍSTICA INFERENCIAL

Teorema Central del límiteTeorema Central del límite

Distribución de media y proporción Distribución de media y proporción muestralmuestral

Teorema Central del LímiteTeorema Central del Límite

• Si la media de una muestra de tamaño n, Si la media de una muestra de tamaño n, es elegida al azar de una población infinita, es elegida al azar de una población infinita, con media con media y desviación estándar y desviación estándar y si y si además n es grande, entonces:además n es grande, entonces:

tiene distribución normal estándartiene distribución normal estándar

X

n

XZ

Distribuciones de muestreo de Distribuciones de muestreo de medias y proporciones muestralesmedias y proporciones muestrales

• Si consideramos una muestra aleatoria y una Si consideramos una muestra aleatoria y una v.a. asociada, el interés está en conocer v.a. asociada, el interés está en conocer cómo se comporta la media muestral , así cómo se comporta la media muestral , así como la proporción muestral .como la proporción muestral .

• Afortunadamente el T.C.L. nos garantiza que Afortunadamente el T.C.L. nos garantiza que podemos asumir la normalidad de ambos podemos asumir la normalidad de ambos estadísticos.estadísticos.

Xp̂

Distribuciones de muestreo de Distribuciones de muestreo de medias y proporciones muestralesmedias y proporciones muestrales

• De esta forma tenemos:De esta forma tenemos:

n

XZ

n)p1(p

pp̂Z

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Intervalos de confianzaIntervalos de confianza

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• ESTIMACIÓN:ESTIMACIÓN:Puntual: Consiste en determinar un estimador a través

de un número sencillo, por ejemplo, “estimo que la media de las edades de los estudiantes de la Unimet es de 22 años”.

Por intervalos: Consiste en determinar un estimador de un parámetro poblacional a través de dos números entre los cuales se puede considerar que está el parámetro, por ejemplo, “estimo que la media de las edades de los estudiantes de la Unimet está entre 21 y 23 años”.

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• ESTIMACIÓN POR INTERVALOS:ESTIMACIÓN POR INTERVALOS:

Un intervalo de confianza debe caracterizarse por: • Contener el parámetro poblacional con una alta probabilidad• Tener un ancho relativamente pequeño

La confiabilidad de un estimador viene dada por el conocimiento de su error o de su precisión, así como por la probabilidad de que el verdadero parámetro poblacional esté contenido en el intervalo calculado.

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL MEDIA POBLACIONAL ::El intervalo de confianza para la media

poblacional debe tener la siguiente forma:

adprobabilid

alta una con Error)X(μ

decir, es bμa

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL MEDIA POBLACIONAL ::Caso 1: Si la variable original tiene distribución

normal y se conoce la varianza poblacional 2:

n

σzXErrorX

2α

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL POBLACIONAL ::Ejemplo: Se sabe que la edad de las asistentes en todos

los preescolares de Maracaibo es una variable con distribución normal. También se sabe que la desviación estándar de esta variable es de 4 años. Sin embargo, se desea estimar la edad promedio de estas trabajadoras. Para este fin, se considera una muestra aleatoria de 25 asistentes, arrojando una media de 22 años. Determine un intervalo de confianza del 95% para media de las edades de las asistentes de todos los preescolares de Maracaibo.

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL POBLACIONAL ::Ejemplo: Solución:podemos concluir que la edadpromedio de las asistentesen Maracaibo puede ser estimada por 22 años conun error máximo de 1,568.También es posible decir quela probabilidad de que la edad promedio esté entre 20,43 y23, 568 es de 0,95 1,56822

25

41,9622

n

σzX

2α

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL MEDIA POBLACIONAL ::Caso 2: Si la variable original tiene distribución

normal y se desconoce la varianza poblacional 2, pero n>30:

n

szXErrorX

2α

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL POBLACIONAL ::Ejemplo: Se sabe que la edad de las asistentes en todos

los preescolares de Maracaibo es una variable con distribución normal. Sin embargo, se desea estimar la edad promedio de estas trabajadoras. Para este fin, se considera una muestra aleatoria de 35 asistentes, arrojando una media de 22 años y una desviación estándar de 4,5 años. Determine un intervalo de confianza del 95% para media de las edades de las asistentes de todos los preescolares de Maracaibo.

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL POBLACIONAL ::Ejemplo: Solución:podemos concluir que la edadpromedio de las asistentesen Maracaibo puede ser estimada por 22 años conun error máximo de 1,49.También es posible decir quela probabilidad de que la edad promedio esté entre 20,51 y23, 49 es de 0,95 1,4922

35

4,51,9622

n

szX

2α

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL p:PROPORCIÓN POBLACIONAL p:El intervalo de confianza para la proporción

poblacional debe tener la siguiente forma:

adprobabilid

alta una con Error)p(p

decir, es bpa

ˆ

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL p:PROPORCIÓN POBLACIONAL p:Caso único: Si la variable original tiene

distribución binomial :

np)p(1

zpErrorp2

α

ˆˆ

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL p:PROPORCIÓN POBLACIONAL p:Ejemplo: Se sabe que las edades de las asistentes en

todos los preescolares de Maracaibo es una variable con distribución normal. Sin embargo, se desea estimar la proporción de estas trabajadoras que tienen más de 22 años. Para este fin, se considera una muestra aleatoria de 65 asistentes, de las cuales 23 tienen más de 22 años. Determine un intervalo de confianza del 90% para proporción de asistentes de todos los preescolares de Maracaibo cuya edad no exceda de los 22 años.

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

• INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL p:PROPORCIÓN POBLACIONAL p:Ejemplo: Solución:podemos concluir que la proporciónde las asistentes en Maracaibo que tienen edades que no excedenlos 22 años es de 0,646 con unun error máximo de 0,059.También es posible decir quela probabilidad de que la proporciónpoblacional esté entre 0,587 y0,705 es de 0,90 0,0590,646

656523

.6542

1,6456542

np)p(1

zp2

α

ˆ