estado plástico de los cuerpos sólidos

Estado Plástico de los Cuerpos Sólidos Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos

El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.

Ing. Gabriel Pujol

Año de edición 2016

Estado Plástico de los Cuerpos Sólidos (Complemento Teórico)

Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol

Tabla de contenido

ESTADO PLÁSTICO DE LOS CUERPOS SÓLIDOS 3

CONCEPTOS GENERALES 3 SOLICITACIÓN AXIL PLÁSTICA 3 TORSIÓN PLÁSTICA 5 FLEXIÓN PLÁSTICA 7 FLEXIÓN COMPUESTA EN RÉGIMEN PLÁSTICO 9

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 22


Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12



Estado Plástico de los Cuerpos Sólidos

Conceptos Generales

Las deformaciones de los cuerpos sólidos se componen, por lo general, de una parte elástica y de una parte permanente.

En la teoría de la resistencia de los materiales se admite comúnmente que existe una serie de estados límites determinados, bajo los cuales los cuerpos sólidos o bien modifican su forma de un modo permanente, es decir, se hacen plásticos y empiezan a fluir, o bien se produce repentinamente en ellos una fractura.

Para los materiales metálicos que tienen un límite de fluencia bien marcado, se presenta el estado plástico cuando:

ctefl 22

13

2

32

2

21 2 (Von Misses)

Si bajo un estado de esfuerzos han sufrido deformaciones permanentes, una o varias partes de un cuerpo, éste después de la descarga no queda sin fatiga.

Estas fibras ejercerán, después de la descarga, esfuerzos interiores sobre sus demás partes. Los esfuerzos que quedan después de suprimida la carga exterior en el cuerpo, se llaman esfuerzos remanentes.

Solicitación Axil Plástica

En la figura se presenta un ensayo de tracción uniaxial sobre una barra sometida a tracción pura, donde se representan los fenómenos que la teoría de la plasticidad reproduce.

Un comportamiento elástico lineal hasta que la tensión aplicada alcanza el valor de y (límite de fluencia),

a partir del cual se produce un cambio en el comportamiento, aumentando más rápido las deformaciones mientras que la tensión se mantiene sensiblemente constante o varía muy poco (el material “fluye”).

Después de que la tensión sobrepasa el valor de y (régimen elasto-plástico) las deformaciones no son

recuperables totalmente, como se observa en el ciclo de cargadescarga OAB y a partir de un cierto valor de las deformaciones se produce la rotura del material. La deformación en A puede expresarse como:



erecuperabl non Deformació

erecuperabln Deformació donde

B

BABBAA

La figura del ensayo de tracción uniaxial se idealiza para ser simplificada. Puede visualizarse entonces

que para un punto P cualquiera en el espacio - la deformación tiene dos componentes, la

deformación elástica o recuperable y la deformación inelástica o irrecuperable.

Las deformaciones aumentan de manera indefinida a tensión constante igual al límite de fluencia lo que se denomina comportamiento elastoplástico perfecto, es decir:

plástican Deformació

elástican Deformació donde

p

epe

Si la deformación elástica vale cero es decir, si no hay deformación recuperable se tiene el caso de un comportamiento rígido plástico perfecto. También pueden tenerse los casos en los cuales la tensión no se mantiene constante después de alcanzar el límite de fluencia, aumentando (comportamiento rigidizable) o disminuyendo (comportamiento reblandecible) con la deformación.



Torsión Plástica

En el período elástico, cuando fl

todas las fibras del cuerpo están en régimen elástico, y el diagrama de tensiones resulta triangular, donde:

P

T

J

rM

Cuando la fibra más solicitada alcanza la

fluencia, o sea fl , el momento

aplicado resulta ser el momento torsor límite elástico (MTLE), entonces:

3

4 2

1

2

RMR

J

J

RM

flTLE

P

P

TLEfl

Cuando se sobrepasa el valor del MTLE se produce penetración plástica y el diagrama de tensiones se modifica, cuando la fibra llega a la tensión

fl sigue resistiendo, pero se deforma

pues no puede incrementar su tensión y si se descarga la pieza, las fibras no vuelven a su posición anterior. En la zona elástica las fibras tendrán una

deformación que será proporcional a

la tensión que soportan, en cambio, en la zona plástica, a pesar de que todas las fibras soportan la misma tensión

fl , le corresponden distintas

deformaciones , siendo:

R

c

R

rcrR F

F 1

La relación Rc

(que varía entre 0 y 1) se llama penetración plástica.

El momento capaz de producir una plastificación tal que 1R

c se llama momento torsor límite

plástico (MTLP), después del cual la pieza queda inutilizada y se produce fluencia generalizada de la sección:



F

flTLP

F

flTLP

drrrM

drrdF

rd

dFdM

2

2

y operando resulta:

322

32 R

MdrrM flTLP

F

flTLP

siendo además:

TLETLP

fl

fl

TLE

TLP MM

R

R

M

M

3

4

3

4

2

13

2

3

3

Si se representa MT en función del ángulo resulta:

P

T

JG

lM

cuando se produce penetración plástica, esta expresión es válida sólo para el núcleo elástico (NE).

Cuando la pieza está parcialmente plastificada, el par MT capaz de producir una penetración plástica c y

dejar un núcleo elástico NE de radio Fr , será:

PE

PET dFddFdMMM

33

3

3

2;

2

1;

FFPFP

FFEFE

rRMRdrMpara

rMrdMpara

por lo que:

33

33

33

64

64

6

4

F

TF

F

TF

FFT

MRRrRc

MRr

rRM

Cuando la pieza está parcialmente plastificada, la zona plastificada no se opone a la deformación, pero la

que aún está en período elástico girará un ángulo tal que:



2

4

FP

P

E rJcon

JG

lME

E

reemplazando EM y EPJ por sus correspondientes valores resulta:

F

F

rG

l

En una descarga de una pieza que soporta un MTLP, si la pieza se ha cargado por la recta ABC y en un punto C descargo, el gráfico tensiones deformaciones será recorrido por la recta CD. En la descarga las fibras se comportan como si fueran elásticas, o sea, se aplicaría un momento - MTLP (negativo) pero en período elástico.

La tensión de descarga * resulta:

F

fl

P

TLP

R

R

J

RM

3

4

2

13

2

4

3

*

Flexión Plástica

Si tengo una pieza de sección rectangular sometida a flexión, como:

nn J

hM

J

vM 2max

El momento flexor límite elástico (MFLE), será aquel para el cual F max ; y como 12

3hbJ n

resulta:

6

2hbM F

FLE

Si la sección está totalmente plastificada, toda la sección soporta una tensión F ; y el momento capaz

de producir esta penetración es el momento flexor límite plástico (MFLP).

Siendo z y D las respectivas resultantes de tracción y compresión resulta:



22

hD

hzM FLP

donde 2h

es el brazo de palanca interno. Además para una sección rectangular resulta:

22

1 hbdFDz FF

por lo que

2

4

1hbM FFLP y además:

FLEFLP

F

F

FLE

FLP MM

hb

hb

M

M

2

3

2

3

6

14

1

2

2

Sea una barra de sección rectangular, simplemente apoyada y cargada con una fuerza P en la mitad de su luz. Si aumentamos la intensidad de P el diagrama de momentos aumentará sus ordenadas, pero seguirá teniendo la misma forma.

Todas las fibras que están entre A y B estarán plastificadas, pero no todas tendrán la misma penetración plástica (por no ser el diagrama de momentos flexores constante).

La zona de la barra que tendrá mayor penetración será donde se encuentra concentrada la carga. Si para una carga P1 la zona plastificada es AB, para una carga P2 tal que P2 > P1 la zona plastificada será A’B’. Al ir aumentando P irá disminuyendo el núcleo elástico (NE) de la sección (segmento CD).

Cuando el núcleo elástico se anula d , ya no hay más equilibrio y se produce un colapso estructural (se produce una articulación plástica).

En las articulaciones plásticas no sucede lo que en las cinemáticas, el diagrama de momentos flexores no cambia, por lo que el momento no se anula en la articulación.



Flexión Compuesta en régimen Plástico

Supongamos una sección rectangular, solicitada por una fuerza normal excéntrica, al reducir al baricentro tendremos una fuerza normal y un momento flexor. El diagrama de tensiones se puede hallar como superposición de otros dos:

G

G

J

hM

F

N

J

hM

F

N

2

2

21

2

1



La tensión aumentará hasta alcanzar el

comienzo de la plastificación de la fibra que se

encuentra a 2h

, en cuyo caso tendremos:

G

FJ

hM

F

N

2max

y operando será:

GFF J

hM

F

N

21 pero

1

2

FF

GFF

FF

M

M

N

N

h

JM

FN

que es la ecuación de interacción.

)(rectaN

Nf

M

M

FF

en solicitación axil será:

1

0

F

F

N

N

M

M

y en flexión pura será:

0

1

F

F

N

N

M

M

Los dos casos límite será para:

roturaFN

M

FF

0 y

roturaMM

N

FR2

3

0

Para completar el diagrama definiremos rectas de excentricidad constante. Si para una sección conocemos el centro de presión, conocemos la excentricidad e, o sea:

eN

M ; para una sección rectangular será:



6

66

22

h

hb

hb

N

M

hbN

hbM

F

F

F

F

FF

FF

constante para cualquier sección que se tome

e

hKcon

N

NK

M

M

N

N

KM

M

FF

FF

6;

1

Problemas de aplicación

Ejercicio Nº I: Una varilla circular de longitud “l” y área transversal “Fv” está colocada dentro de un

tubo de igual longitud y área transversal “Ft”. Los extremos de la varilla y el tubo están unidos por un soporte rígido en un lado y una placa rígida en el otro, como muestra la figura. Suponemos que tanto la varilla como el tubo son de material elastoplástico. Se pide:

a) Trazar el diagrama carga-alargamiento (P-) para el conjunto varilla-tubo cuando se aplica la carga “P” creciente.

b) Calcular el alargamiento máximo del conjunto para una carga PC = 470 x Fv (MN).

c) Calcular la deformación máxima residual y las tensiones residuales en la varilla y en el tubo que quedan al retirar la carga “PC”.

Datos: Fv (m2), L (m), Ft (m2), Ev (MN/m2), Et (MN/m2), v-fl (MN/m2), t-fl (MN/m2)

Resolución:

a) Trazar el diagrama carga-alargamiento:

a.1) Intervalo elástico:

Por tratarse de solicitación axil, se aplicarán las ecuaciones correspondientes, considerando que la carga P será la suma de las correspondientes solicitaciones axiles del tubo y la varilla y que el alargamiento de tubo y varilla serán los mismos. Así se tiene:

EETTVV

E

T

TT

T

VV

VV

TeVeE

TV

TVE

l

FEFEP

lFE

lN

FE

lNl

ll

ll

NNP

0;;min

los alargamiento en régimen elástico los calculamos como sigue:



V

fl

T

fl

E

V

fl

Ve

T

fl

Te

E

l

E

l

E

ll

E

ll

VT

V

T

;min

a.1) Intervalo elasto-plástico:

Se verifica que la varilla alcanza primero el estado de fluencia, dado que v-fl < t-fl por lo que una

vez superado los valores de v-fl la varilla se deformará sin aumento de las tensiones, así será:

RETT

VflP

VflVe

TT

TT

TV

TVeP

l

FEFP

FN

FE

lNl

ll

NNP

V

V

;

el colapso se produce cuando el tubo alcanza la tensión límite de fluencia, por ello resulta:

TflVflR

TflTe

VflVe

TeVeR

FFP

FN

FN

NNP

TV

T

V

b) Alargamiento máximo del conjunto para una carga PC:

Siendo la carga aplicada: PE < PC < PR aplicamos la expresión correspondiente al intervalo elasto-plástico, así será:

lFE

FP

l

FEFP

TT

VflC

C

CTT

VflC

V

V

pero, del gráfico se aprecia que:

E

ECCs

Cs

VeE

E

EC

E

C

E

P

P

l

P

P

P

P

BC

EF

AC

DF

DEFABC

Re

1Re

1

1

pero



c) Deformación máxima residual y las tensiones residuales en la varilla y en el tubo que quedan al retirar la carga:

c.1) Tubo:

Dado que en ningún caso el tubo supera la tensión límite de fluencia, al descargarse no presentará tensiones ni deformaciones residuales.

c.2) Varilla:

La varilla, por su parte, supera la tensión límite de fluencia, al descargarse por consiguiente, presentará tensiones y deformaciones residuales. Para ello debemos estudiar su deformación y tensiones residuales en forma independiente de lo que sucede con el tubo. Por lo tanto, tendremos:

l

EVECEC

ResResVarilla

Ejercicio Nº II: Una La varilla de acero de sección “F”, está conectada a soportes rígidos y a 15 ºC no presenta esfuerzos. El acero es elastoplástico con un módulo de elasticidad E = 2,1x105 MN/m2 y

una tensión de fluencia fl = 240 MN/m2. Sabiendo

que el coeficiente de dilatación lineal del acero el

= 1,171x10-5 1/ºC, hallar las tensiones en la

varilla cuando:

a) La temperatura se eleva a 180 ºC.

b) La temperatura haya vuelto a 15 ºC.

Datos: F (m2), E (MN/m2), (1/ºC), fl (MN/m2),

Tf (ºC), Ti (ºC)

Resolución:

a) La temperatura se eleva a 180 ºC:

Por tratarse de solicitación axil (de origen térmico), se aplicarán las ecuaciones correspondientes. Así se tiene:

tlltllllltll ff 000000 1

además resulta:

tFEl

tlFEN

l

lE

F

N

l

l

F

N

E

0

0

0

0

y la variación de temperatura para que de inicio la fluencia será:



Ettl

E

ll

tll

E

ll

l

lE

fl

flfl

fl

fl

flfl

fl

fl

fl

fl

0

0

0

0

0

por lo que habrá un período (T) en el cual continúa la dilatación pero sin que aumenten las

tensiones:

FN

m

MN

ytTTT

fl

fl

flif

º180

2º180 240

b) La temperatura vuelve a 15 ºC:

La varilla, supera la tensión límite de fluencia, al descargarse por consiguiente, presentará tensiones y deformaciones residuales. Por lo tanto, tendremos:

FN

E

tl

l

Efl

fl

fl

ResRes

ResRes

º180Res

º180

0

º180º180

c) Gráfico:

Ejercicio Nº III: El árbol AB hecho de acero dulce, que se supone elastoplástico, es sometido a la acción de un momento torsor que se incrementa gradualmente. Se pide calcular:



a) El valor del momento torsor y el ángulo de torsión cuando ocurre la primera plastificación.

b) Idem cuando se produce plastificación total.

c) Determinar las tensiones residuales y el ángulo residual de torsión después de retirar el momento torsor Mt.

Datos: L (m), D ext. (mm), D int. (mm), fl (MN/m2), G (MN/m2)

Resolución:

a) Momento torsor y el ángulo de torsión cuando ocurre la primera plastificación:

La primera plastificación ocurrirá cuando las fibras correspondientes al radio exterior (más solicitadas en problemas de torsión) alcancen la fluencia. El momento capaz de producir primera plastificación se denomina momento torsor límite elástico y lo calculamos como sigue:

4444

44

2

2

32

2;

2;

32;

2

IE

ETE

IE

T

II

EEIEP

E

P

T

RR

RMD

DD

M

DR

DRDDJ

D

J

M

fl

E

IETLE

R

RRM

;

2

44

y además:

fl

E

LE

E

LE

E

P

T

P

T

GR

l

GR

lRJ

M

GJ

M

;

;;

b) Momento torsor y el ángulo de torsión cuando ocurre la plastificación total:

El momento capaz de producir una plastificación total (tal que todas las fibras alcancen la fluencia) se denomina momento torsor límite plástico y lo calculamos como sigue:

E

I

R

R

fl

A

flTLP drrddArM 2

2

0



33

3

2IEflTLP RRM

y los ángulos de torsión son:

GR

ly

GR I

fl

LP

I

fl

LP

c) Tensiones residuales y ángulo residual de torsión después de retirar el momento torsor:

En la descarga de una pieza que soporta un MTLP, si la pieza se ha cargado siguiendo la línea ABC y en el punto C descargo, el gráfico tensiones - deformaciones es recorrido por la recta CD. En la descarga las fibras se comportan como si fueran elásticas, o sea, se aplicaría un momento MTLP pero en período elástico, Así será:

GJ

M

GJ

M

P

TLELP

P

TLELP

ResRes

y las tensiones residuales serán:

ERG ResRes

d) Gráfico:

Ejercicio Nº IV: Para un elemento estructural de sección rectangular sometido a flexión compuesta (M = -2,150 tm.m; N = -8,5 tm) se pide:

a) Proyectar y dimensionar una sección rectangular con una relación h/b = 3. Adoptar: adm = 1400 Kg/cm2. Calcular las tensiones máximas (tracción y compresión) y graficarlas. Calcular la posición del eje neutro.

b) Calcular la máxima excentricidad de la fuerza normal para que sea max = fl = 2400 Kg/cm2 utilizando los diagramas de iteración. Calcular las tensiones máximas (tracción y compresión) y graficarlas. Calcular la posición del eje neutro.

c) Ídem anterior para una penetración plástica total.

d) Ídem anterior para una penetración plástica p = 0,5.

Resolución:

a) Proyectar y dimensionar una sección rectangular:

Esta sección deberá tener una relación alto/ancho (h/b = 3). Por ello será:



3612;

3;

2

432 hhbJ

hhbF

h

J

M

F

NG

G

Fl

por lo que resulta:

32

183

h

M

h

NFl

y adoptando h = 15 cm, verifica: 22

12601400cm

kg

cm

kg

calculando b resulta:

cmcmh

b 53

15

3

Calculamos las tensiones:

2

2

33,10332

12602

2

cm

kgh

J

M

F

N

cm

kgh

J

M

F

N

h

J

M

F

N

G

B

G

A

G

Calculamos la posición del eje neutro:

cm

cm

kg

cmcm

kg

hx

xhx BA

BAB 759,6

33,10331260

1533,1033

2

2

0

00

b) Calcular la máxima excentricidad de la fuerza normal para que sea max = fl = 2400 Kg/cm2 utilizando los diagramas de iteración:

En nuestro caso no hay plastificación (c = 0), por lo que será (en los gráficos de interacción):



...04722,0180

5,8

50,46

155240012

22

1802400155

1

2

2

3

2

t

t

N

N

mtcmcm

cm

kg

h

hb

h

JM

tcm

kgcmcmhbFN

M

M

N

N

Fl

FlGFl

Fl

FlFlFl

FlFl

Con esta relación entro al diagrama de interacción en abscisas y proyecto una vertical hasta que corte a la recta c/h = 0; allí proyecto este punto en ordenadas y obtengo la relación M/MFl y con este valor calculo M. Finalmente, la excentricidad será e = M/N.



Del gráfico obtenemos M/MFl = 0,944... por lo que será:

mt

mt

N

Me

mtmtMM Fl

5,05,8

25,4

25,450,4...944,0...944,0

Calculemos las tensiones:

2

2

33,21532

23802

2

cm

kgh

J

M

F

N

cm

kgh

J

M

F

N

h

J

M

F

N

G

B

G

A

G

Calculamos la posición del eje neutro:

cm

cm

kg

cmcm

kg

hx

xhx BA

BAB 125,7

33,21532380

1533,2153

2

2

0

00

c) Calcular la máxima excentricidad de la fuerza normal para que haya penetración plástica total:

En forma análoga entro al diagrama de interacción en abscisas con el valor N/NFl = 0,04722... y proyecto una vertical hasta que corte a la recta c/h = 1; allí proyecto este punto en ordenadas y obtengo la relación M/MFl y con este valor calculo M. Finalmente, la excentricidad será e = M/N.

Del gráfico obtenemos M/MFl = 1,50 por lo que será:

mt

mt

N

Me

mtmtMM Fl

794,05,8

75,6

75,650,450,150,1

En este caso las tensiones serán iguales a la tensión de fluencia:



En cuanto a la posición del eje neutro, proyectando sobre un eje normal a la sección, será:

cmb

Nhx

xhbNdFdF

Fl

Fl

h

xh

Fl

xh

h

Fl

145,722

2

0

0

2

2

2

20

0

d) Calcular la máxima excentricidad de la fuerza normal para que haya una penetración plástica p = 0,5:

Igual que antes, entro al diagrama de interacción en abscisas con el valor N/NFl = 0,04722... y proyecto una vertical hasta que corte a la recta c/h = 0,5; allí proyecto este punto en ordenadas y obtengo la relación M/MFl y con este valor calculo M. Finalmente, la excentricidad será e = M/N.

Del gráfico obtenemos M/MFl = 1,36 por lo que será:

mt

mt

N

Me

mtmtMM Fl

720,05,8

12,6

12,650,436,136,1

En este caso se manifiesta una penetración plástica por ambos lados de la sección ya que el punto representativo de los valores M/MFl y N/NFl cae en la parte de las curvas que definen a la función de plastificación parcial; en la parte donde la misma responde a una parábola.

Si designamos con v la penetración plástica que corresponde al borde superior (y con v’ la correspondiente al borde inferior) las condiciones de equivalencia (proyeccción sobre un eje normal a la sección y momentos respecto del baricentro de la misma) toman la forma siguiente:



El esfuerzo normal será:

NdFF

Ahora bien, las áreas plastificadas a ambos extremos de penetración v (marcadas en rojo), se equilibran dado que una poseen tensiones de fluencia (2400 kg/cm2) de tracción (+) y la otra de compresión (-). Otro tanto ocurre con las áreas que comprenden las fibras no platificadas (marcadas en verde) de valores h/4 de tracción (+) y h/4 de compresión (-).

El área marcada en azul (h – 2 x0), corresponde a las tensiones de compresión que son las responsables de el esfuerzo axil N y cuyo valor ya lo calculamos en el punto anterior:

b

NxhxhbN

Fl

Fl

00 22

Considerando que estamos ante un caso de penetración plástica al 50% (c/h = 0,5) tendremos la mitad de las fibras plastificadas (h/2 = 7,5 cm) y la mitad sin plastificar (h/2 = 7,5 cm), por lo que estamos en condiciones de calcular la penetración plástica v como sigue:

422

2

12

22

1000

hx

hxxh

hhv

por lo que llegamos a:

000444

xhh

xh

vx



Bibliografía Recomendada

Estabilidad II - E. Fliess

Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez

Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros

Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced Mechanics of Materials")

El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")

Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo

Mecánica de materiales - F. Beer y otros

Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler

Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros

Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir

Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana

Resistencia de materiales - V. Feodosiev

Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer

Resistencia de materiales - S. Timoshenko

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