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ESTADÍSTICA INFERENCIAL
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Sesión No. 10
Nombre: Pruebas de hipótesis referentes al valor de la media de
la población
Contextualización
En estadística existen dos métodos para la estimación de parámetros
poblacionales:
• Estimación puntual.
• Estimación por intervalos de confianza.
En la estimación puntual se emplean métodos matemáticos avanzados para
calcular estimadores teóricos de diversas distribuciones de probabilidad. Este
tipo de procedimientos se denomina puntual en el sentido de que obtiene
fórmulas para el cálculo exacto expresado como una cantidad de un parámetro
poblacional. Por otra parte, la estimación por intervalos de confianza se utiliza
cuando, debido a las características de la población, no es posible estimar el
valor de un parámetro de manera puntual. En este caso, se procede a calcular
un rango dentro del cual se tiene una determinada certeza o confianza de que el
parámetro poblacional investigado existe.
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Introducción al Tema
Actualmente los conteos poblacionales no solamente funcionan como medida de
conocimiento para el gobierno que rige el estado, sino que también puede ser
utilizado por empresas que se dedican a la mercadotecnia y la publicidad, pues
mediante los segmentos de población en cuanto a edad, sexo y nivel de vida se
pueden establecer medidas en los productos que se comercializan dentro del
país, por parte del gobierno se pueden conocer las medidas para los
medicamentos que se distribuyen en las distintas zonas de la región o el conteo
y control de estadísticas para empleo, entre muchas cosas mas.
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Explicación
Método de intervalos de confianza para pruebas de hipótesis
referentes a la media. Intervalo al (1 — )100% de confianza para
la media poblacional μ. Muestra grande (n > 30).
Para calcular este tipo de intervalo se utiliza la siguiente fórmula:
Donde: corresponde al valor de z que determina un área bajo la curva de la
distribución normal de
es la desviación estándar poblacional.
es la media de la muestra
Como la mayoría de los casos se desconoce la desviación estándar poblacional
, puede emplearse la siguiente aproximación:
En donde s es la desviación estándar de la muestra.
Ejemplo: Supóngase que se desea estimar el tiempo promedio de vida de la
memoria ram de una computadora portátil. Para ello se analiza una muestra de
50 equipos y se obtiene una duración media de 1 520 horas con una desviación
estándar de 190 horas. Estimar el verdadero valor promedio de la vida de la
memoria r am mediante un intervalo de confianza al 90 por ciento.
Solución: Con base en el enunciado del problema, se tienen los siguientes datos:
• = 1520 horas • s = 190 horas • (1 – α) = 0.9 • α= 0.1 • n= 50
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En consecuencia:
=1520 1.645(26.87701)
=1520 44.2012
Es decir, puede afirmarse con una confianza de 90% que el verdadero valor de
la vida media de la memoria ram objeto de estudio está dada por el siguiente
intervalo: 1475.8 < µ < 1564.2
Intervalo al (1 — )100% de confianza para la media poblacional μ.
Muestra pequeña (n < 30)
Para estimar la media poblacional empleando muestras con menos de 30
elementos, se emplea la fórmula:
En donde la distribución t se basa en (n –1) grados de libertad y el valor tα/2 se
toma de la tabla de valores críticos de la t de Student. Cabe mencionar que se
asume que la población de la cual se extrae la muestra se distribuye
aproximadamente como una normal.
Ejemplo: Supóngase que para el ejemplo anterior, únicamente es posible
seleccionar una muestra de cinco equipos, con lo que se obtiene una duración
media de 1.532 horas con una desviación estándar de 185 horas. Estimar el
verdadero valor promedio de la vida de la memoria ram mediante un intervalo de
confianza al 90 por ciento.
Solución: Con base en el enunciado del problema, se tienen los siguientes
datos:
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5
• = 1532 horas • s= 185 horas • (1–α)= 0.9 • α= 0.1 • n= 5
• Grados de libertad: 5 – 1= 4
En consecuencia:
=1532
= 1532 176.39
Es decir, puede afirmarse con una confianza de 90% que el verdadero valor de
la vida media de la memoria ram objeto de estudio está dada por el siguiente
intervalo: 1355.61 < µ < 1708.39.
Pruebas respecto a la media del proceso en el control
estadístico de procesos
El control estadístico de procesos se relaciona estrechamente con el control de
calidad. Este concepto cobra especial interés en el campo de la industria y el
sector productivo. Una de las principales herramientas para el control estadístico
de procesos es la gráfica de control, la cual se obtiene al graficar periódicamente
las mediciones de una variable en el tiempo.
La variación que se presenta en una variable que mide una determinada
característica de calidad de un producto obedece a una causa identificada o bien
a una variación de carácter aleatorio. Se dice que un proceso de producción se
encuentra en control si la variación de las características de calidad del producto
sólo obedece al azar.
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Conclusión
Los intervalos son medios de control que se utilizan para reducir el numero de
datos que se presentan en un documento, es decir, si se desea hacer un conteo
estadístico del número 1 al 1000000, no es necesario poner de un número en
uno, sino que se crean intervalos de las cantidades que se deseen, pueden ser
de 10 en 10, o de 1000 en 1000, para representar de mejor manera la situación,
esto es útil, pues al momento de graficar no se utiliza un espacio mayo y se
puede apreciar la curva de comportamiento en la representación.
Gracias a los intervalos se reduce el número de operación y las fórmulas
funcionan de la misma manera, reduciendo el trabajo y presentado un nivel de
confianza aceptable en el resultado final.
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Gráfica de control para medias
Este tipo de gráficas se utiliza para vigilar una cierta característica de calidad de
un producto y se basa en el análisis de varias muestras aleatorias. Si se define
la media como una variable de calidad de un proceso, se utiliza la gráfica para
el control de medias como herramienta de análisis del proceso. En esta gráfica,
se traza una línea central que representa el valor medio μ del proceso y se
obtiene calculando el promedio del promedio de las muestras analizadas,
denotado por . Paralelas a ésta, se trazan dos líneas: a la que se encuentra en
la parte superior de la línea central se le denomina límite de control superior
(LCS); y a la que se encuentra en la parte inferior, límite de control inferior (LCI).
Estas líneas delimitan la región en la que se espera se encuentren las medias de
las muestras observadas. Si, en efecto, las medias se encuentran dentro de esta
región, se dice que el proceso está en control.
La línea central y los límites de control se determinan con las siguientes
expresiones:
LCS=
LCS=
Donde:
k = Número de muestras, cada una de tamaño n
= Media de la i-ésima muestra.
Ri= Rango de i-ésima muestra.
• A2 = Valor tomado de tablas especializadas para el control de calidad.
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Ejemplo: Considera la siguiente tabla en la que se consignan observaciones
provenientes de diez muestras —cada una con cuatro elementos— acerca de
medidas en pulgadas de una determinada refacción:
Realiza la gráfica de control para la media. Solución. De los datos de la tabla se
tiene que:
• k= 10
• n= 4
• = 1.42225
– • = 0.3
• A2= 0.729 (Valor obtenido de tablas especializadas de control de calidad).
Estas tablas pueden consultarse en textos de control estadístico de la calidad.
Consecuentemente:
• LCS = 1.42225 + 0.729(0.3)
• LCS = 1.64095
• LCI = 1.42225 – 0.729(0.3)
• LCI = 1.20355
Con lo que se obtiene la siguiente figura:
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Actividad de Aprendizaje
Instrucciones: en base a lo visto anteriormente, resuelve los siguientes
elementos.
1. Corresponde al valor de z que determina un área bajo la curva de la
distribución normal de α / 2:
2. Expresa la confianza del intervalo:
3. Supongamos que se desea estimar el tiempo promedio de vida de la memoria
ram de una computadora portátil. Para ello se analiza una muestra de 45
equipos y se obtiene una duración media de 1500 horas con una desviación
estándar de 105 horas. Si se estima el verdadero valor promedio de la vida de la
memoria ram mediante un intervalo de confianza al 95%, responde lo siguiente:
3.1 El valor de (1 –α) es igual a:________
3.2 El valor de α es igual a:________
3.3 El valor de z α/2 viene dado por:________
3.4 El intervalo de confianza está dado por:______
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Bibliografía
García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de
Cultura Económica.
Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística.
México: Sociedad Matemática Mexicana.
Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.
Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley
Iberoamericana.
Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México:
UNAM.