estatica 2015
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EstaticaTRANSCRIPT
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
ELABORADO POR:
ING LUIS ALFREDO VARGAS MORENO
PROFESOR DEL CURSO
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA
DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL
ESTATICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN
CRISTOBAL DE HUAMANGA
ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE
INGENIERIA CIVIL
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573SILABO
1. DATOS GENERALES
1.1 Nombre de la Asignatura : Esttica
1.2 Cdigo : IC-243
1.3 Crditos : 5
1.4 Tipo : Obligatorio
1.5 Requisito : FS-142, MA-146
1.6 Plan de Estudios : 2004
1.7 Semestre Acadmico : 2015-I
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573 1.8 Duracin : 16 semanas
1.9 Perodo de inicio y trmino : 30/03/2015
17/07/2015
1.10 Docentes Responsables :
Ing Lus Alfredo Vargas Moreno
1.11 N horas de clases semanales
1.11.1 Tericas : 4
1.11.2 Prcticas : 2
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1.12 Lugar
1.12.1 Teora : H-216
1.12.2 Prctica : H-216
1.13 Horario
1.13.1 Teora : Lunes: 19-21hrs
1.13.2 Teora : Jueves: 16-18hrs
1.13.2 Practica : Viernes: 16-18hrs
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732. SUMILLA
Segn el plan curricular, la sumilla es la siguiente:
Conceptos y principios fundamentales de la mecnica,
operaciones con fuerzas, equilibrio de cuerpos rgidos,
determinacin de propiedades de las secciones, fuerzas
en vigas y cables.
3. OBJETIVOS
3.1 General: Determinar el comportamiento de cada
estructura en base a los criterios de continuidad de los
elementos estructurales.
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573 3.2 Especifico: Se pretende que el alumno aprenda los
conceptos bsicos relacionados con el equilibrio de los
cuerpos rgidos teniendo en cuenta las fuerzas actuantes y
sus puntos de aplicacin. Suministrar las herramientas que
le permitan plantear y resolver problemas relacionados con
el equilibrio de partculas y cuerpos rgidos. Darle
conocer al estudiante los conceptos bsicos para analizar
diferentes tipos de estructuras estticamente
determinadas.
4. METODOLOGA
En el desarrollo del curso se promover la participacin
activa del estudiante, utilizando mtodos: inductivo-
deductivo; modo: colectivo explicativo; forma: intuitivo
sensorial; con sus respectivos procedimientos y tcnica
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573 como lluvia de ideas, seminarios, enseanza en grupos,
estudio dirigido, talleres y otros.
RECURSOS DIDACTICOS
Se utilizara proyector multimedia y pizarra acrlica.
5. SISTEMA DE EVALUACIN
Se evaluara por medio de la rendicin de un Examen
Parcial y un Examen Final.
La nota final se obtendr aplicando la siguiente frmula:
1 1
2
EP EFPF
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055736. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA
Esttica, Beer R. Johnston.
Esttica, J. L. Meriam.
Esttica Grfica, Otto Henkel.
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
SEM FECHAS CONTENIDO RESP.
01 30/03/2015 Introduccin, Definicin, Vectores, Regla
del Paralelogramo, suma de tres o mas
vectores, escalares, mecnica de las
partculas, fuerzas en un plano.
Resultante de varias fuerzas concurrentes.
Descompocisin de una fuerza en
componentes.
Lavm
02 06/04/2015 Componentes rectangulares de una fuerza,
vectores unitarios.
Suma por suma de sus componentes,
equilibrio de una partcula, fuerzas en el
espacio.
Lavm
7.0 Programa Analtico - Practico
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573SEM FECHAS CONTENIDO RESP.
03 13/04/2015 Equilibrio de una partcula en el espacio,
slido rgido, principio de transmisibilidad,
momento de una fuerza con respecto a un
punto.
Teorema de Varignon, componentes
rectangulares del momento de una fuerza.
Lavm
04 20/04/2015 Producto escalar de dos vectores,
proyeccin de un vector sobre un eje dado,
producto mixto de tres vectores.
Momento de una fuerza con respecto a un
eje, par de fuerzas, suma de pares,
representacin de un par.
Lavm
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573SEM FECHAS CONTENIDO RESP.
05 27/04/2015 Descomposicin de una fuerza: en una
fuerza y un par en un punto dado,
reduccin de un sistema de fuerzas a una
fuerza y un par.
Casos particulares de la reduccin de un
sistema de fuerzas: fuerzas coplanares,
fuerzas paralelas; caso general.
Lavm
06 04/05/2015 Equilibrio del slido rgido, equilibrio en dos
dimensiones. Tipos de apoyos.
Tipos de ligaduras, equilibrio de un slido
rgido sometido a tres fuerzas.
Lavm
07 11/05/2015 Equilibrio de un slido sometido a dos
fuerzas, centro de gravedad, centro de
Lavm
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573SEM FECHAS CONTENIDO RESP.
07 11/05/2015 Gravedad de rea planas, centro de
gravedad de lneas.
reas y lneas compuestas, centro de
gravedad por integracin.
Lavm
08 18/05/2015 Lneas.
Teoremas de Pappus-Guldin, cargas
repartidas sobre vigas.
Lavm
09 25/05/2015 EXAMEN PARCIAL
10 01/06/2015 Volmenes, cuerpos y volmenes
compuestos.
Vigas, tipos de vigas, en voladizo,
simplemente apoyada, con voladizos, vigas
isstticas, hiperestaticas.
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573SEM FECHAS CONTENIDO RESP.
11 08/06/2015 Vigas combinadas, tipos de cargas, fuerza
cortante y momento flector, convencin de
signos.
Diagrama de fuerzas cortantes y momento
flector.
Lavm
12 15/06/2015 Relaciones entre la carga, la fuerza
cortante y el momento flector.
Ejemplos.
Lavm
13 22/06/2015 Momento de inercia, momento de inercia de
un rea finita, momento polar de inercia,
radio de giro.
Teorema de Steiner, producto de inercia,
momentos de inercia respecto a ejes
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573SEM FECHAS CONTENIDO RESP.
14 29/06/2015 Inclinados, direccin de ejes principales,
producto de inercia respecto de ejes
inclinados, crculo de Mhor.
Lavm
15 06/07/2015 Momento de inercia mximo y mnimo.
Armaduras, marcos.
Lavm
16 13/07/2015 EXAMEN FINAL Lavm
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
CAPITULO 1
Esttica de Las Partculas
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Fuerzas en el Plano
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
ESTATICA Es una ciencia fsico matemtica, que describe y
predice las condiciones de reposo o movimiento de los
cuerpos bajo la accin de fuerzas.
Vectores.- son expresiones matemticas que poseen
mdulo direccin y sentido.
Ejemplo de magnitudes vectoriales
- Las fuerzas
- Los desplazamientos
- Las velocidades
- Las aceleraciones
- Los momentos lineales etc.
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573La Suma de los vectores, se realiza grficamente
utilizando la regla del paralelogramo.
Regla del Paralelogramo.- Se puede sustituir dos
vectores por un nico vector denominado resultante, el
cual se obtiene trazando la diagonal de un
paralelogramo cuyos lados son los vectores iniciales.
Ejemplo.- Sumar los vectores A y B, cuyas
caractersticas estn dadas grficamente (A).
Propiedad: A+B=B+A
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573r A
r B
r A
r B
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Sumar los vectores:
Para sumar tres vectores, se suman primero dos de
ellos y luego resultante se suma al tercer vector.
Suma de tres 3 o mas vectores
r r r A B C , ,
r r r r r r A B C A B C ( )
A B
C
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
C
Escalar.-
Es una magnitud que no tiene punto de aplicacin,
direccin ni sentido; solo tiene mdulo
Ejemplos de magnitudes escalares:
- El Volumen
- La Masa
- La energa
R
A B
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Una fuerza representa la accin de un cuerpo sobre otro. Toda fuerza es un vector, por lo tanto posee un punto de aplicacin, direccin, sentido y mdulo.
Mecnica de la Partculas
Fuerzas en un plano
Modulo.- Viene hacer cierto numero de unidades.
Direccin.- Esta dado por la recta soporte de la fuerza. Dicha recta se caracteriza por el ngulo que forma con una lnea dada o prefijada. Sentido.- Se indica mediante una flecha
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
A=Partcula 5= Modulo A= Punto de aplicacin = Direccin
Problema.- Determinar grfica y analticamente la resultante de las fuerzas mostradas en la figura:
A Lnea prefijada
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ley de Cosenos Ley de Senos
2500N
1750N
95
1750N
2500N
95
R
2 2 21750 2500 2(1750)(2500) 85R Cos
2924R N
2924 1750
85Sen Sen
0.85Sen
58.40
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- La suma de las fuerzas A (que es horizontal
y de 10N) y B (vertical) produce la fuerza C que tiene
un mdulo de 20N. Cules son el mdulo de la fuerza
B y la direccin de la fuerza C? [Utilizar el polgono de
fuerzas para conseguir unos resultados aproximados,
que en este caso es un tringulo, y realizar adems los
clculos analticos.]
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Resultante de Varias fuerzas concurrentes
O
A
B C
La resultante de las fuerzas se obtiene por medio de la regla del polgono. Esta fuerza resultante produce los mismos efectos que las fuerzas originales.
r r rA B C FuerzasCoplanares
O Particula
, ,
O
A
B
C R
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Descomposicin de una fuerza en componentes
Una fuerza nica F puede ser sustituida por dos mas fuerzas que actuando simultneamente producen los mismos efectos sobre la partcula.
Nota.- Para los fines del curso es de sumo inters considerar 2 casos de la descompocisin de una fuerza y que a su vez estas dadas en dos direcciones.
Primer caso.- Cuando se conoce la direccin de ambas componentes.
F= dato
L1 y L2 = dato
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
F
L2
L1
F
B
A
L2
L1
A y B, Solucin
Segundo Caso.- Cuando una de las componentes es conocida. La segunda componente se obtiene utilizando la regla del tringulo.
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573A y R= dato
Problema.- Se quiere descomponer la fuerza P, cuyo mdulo es de 400N, en dos componentes dirigidas segn las rectas a-a y b-b. Determinar trigonomtricamente el ngulo , sabiendo
que la Componente de P segn la recta a-a debe ser de 280N.
B= incgnita
A
R R A
B
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
a
a
b
b P
280N
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
, , ?, ?
, * * *
2 2 2
2 2 2
P A B 2ABCos
P 400 A 280 B
50 400 280 B 2 280 B Cos50
(Ley de csenos)
(Ley de senos)
( )
A P
Sen Sen50
ASen50arcSen
P
a
a
b
P
280N
280N
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Sabiendo que =30, determinar el mdulo de la fuerza F de modo que la fuerza resultante ejercida sobre el cilindro sea vertical. Cul es el correspondiente valor del mdulo de la resultante?
F
600N
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
600
30 20 Sen Sen
F
F
600
30 130 Sen Sen
R
R
Componentes rectangulares de una fuerza Cuando una fuerza se descompone en dos fuerzas cuyas direcciones forman un ngulo de 90 entre si, se dice que son componentes rectangulares, porque forman un rectngulo.
F
600N
F
R
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Vectores unitarios.- Son aquellos vectores que tiene como mdulo la unidad.
El vector unitario segn el eje x, se denomina por i.
FFy
Fxa
x
y
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573El vector unitario segn el eje y, se denomina por j.
Componentes segn las direcciones x e y de la fuerza
F
j
i x
y
Mdulo = 1
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Fx, Fy son escalares apropiados Fx, Fy, pueden ser positivos o negativos; el valor absoluto de Fx, Fy, vienen hacer los mdulos de las componentes segn las direcciones x e y, de la fuerza F.
F Fxi+Fyjj
ia
x
y
rF
r rFx Fxi
r rFy Fyj
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Fx F Cos
El Modulo de la fuerza F:
2 2F Fx Fy
Fy F Sen
FyTg
Fx
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Determinar las componentes x e y de cada una de las fuerzas indicadas en el sistema mostrado en la figura.
x
y
80N 100N
120N
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
x
y
80N 100N 120N
80cos330
80 330
Fx i
Fy sen j
100cos 290
100 290
Fx i
Fy sen j
120cos 220
120 220
Fx
Fy sen
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Suma de fuerzas por suma de sus componentes
R A B C y
x
AB
C
xA
yA
xB
yB
xC
yC y
x
R
xR
yR
Rx Fx Ry Fy
( )Rxi Ax Bx Cx i
( )Ryj Ay By Cy j
R Rx Ry
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Equilibrio de una partcula
Si la resultante de todas las fuerzas que actan sobre una partcula es nula, se dice que la partcula esta en equilibrio.
0R F ( ) 0Fxi Fyj
0Fx 0Fy
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Dos cables estn unidos en C y cargados segn se muestra en la figura. Determinar la tensin en AC y BC.
0.60
0.80
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
ax
y
T B C
1 0 0
T A C
T CosBC
T SenBC
T CosAC
T SenAC
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Fuerzas en el Espacio
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Fuerzas en el espacio
2 2 2F F x F y F z
Fx FCos xFy FCos y
Fz FCos z
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Problema.- Determinar las componentes x, y, z de la fuerza de 250N y los ngulos que forma esta con los ejes coordenados.
2 2 2(cos ) (cos ) (cos ) 1x y z
F Fxi Fyj Fzk
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
250 30Fy Cos
30
y
x z
250N
25
(250 60) 25Fx Cos Cos
(250 60 ) 25Fz Cos Sen
F
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Problema.- Si se sabe que la tensin en AB es de 39kn, determinar los valores que deben tener las tensiones en AC y AD de modo que la resultante de las 3 fuerzas aplicadas en A sea vertical.
x xF FCos
xx
FCos
F
x
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA EN EL ESPACIO
0R F
( ) 0Fxi Fyj Fzk
0, 0, 0Fx Fy Fz
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Una gra (que no se muestra) esta soportando una jaula de 2kN a travs de tres cables: AB, CB y DB. Ntese que D est en el centro de la cara exterior de la jaula; C esta a un a distancia de 1.6m de la esquina de dicha cara, y B esta directamente sobre el centro de esa cara. Cules son las fuerzas F1, F2 y F3 que transmiten los cables?
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Cul es la suma de las tres fuerzas? La fuerza de 2 kN esta en el plano yz.
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
CAPITULO 2
Slido Rgido
Sistemas Equivalentes
de Fuerzas
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Son aquellos slidos que se consideran indeformables.
Las fuerzas que actan sobre un slido rgido pueden
ser exteriores e interiores:
SOLID RIGIDO
1) Las fuerzas exteriores representan la accin de
otros cuerpos sobre el slido rgido considerado.
2) Las fuerzas interiores son aquellas que mantienen
unidas las partculas del slido rgido.
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Nota.- Cada una de las fuerzas exteriores que actan sobre un slido rgido es capaz si no se le opone otra de imprimir al slido un movimiento de traslacin o de rotacin, o ambos a la vez.
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD
Si: F, F=Mdulo, direccin, Sentido L, L es la misma recta soporte O, O son puntos diferentes de aplicacin de la fuerza
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Estas fuerzas producen el mismo efecto fsico sobre el
solid rgido, por lo que se dice que son
mecnicamente equivalentes.
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN PUNTO
Se define el momento
de una fuerza F,
respecto de un punto O,
al producto vectorial de
un vector posicin
llamado r y de un vector
fuerza llamado F.
OM r F .OM rFSen F d
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573El mdulo de Mo mide la tendencia de la fuerza F a imprimir al slido rgido una rotacin alrededor de un eje dirigido segn Mo.
NOTA.- Dos fuerzas son mecnicamente equivalentes, si y solo si son iguales (mdulo, direccin y sentido) y sus momentos respecto a un punto dado tambin son iguales.
',F F 'O OM M
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573TEOREMA DE VARIGNON
1 2 3( ..... )O nM r R r F F F F
1 2 3 ..... )nr R r F r F r F r F
Fn
1 2 3 ..... nR F F F F
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA
F
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
r xi yj zk
F Fxi Fyj Fzk
OM r F
OM Mxi Myj Mzk
O
i j k
M x y z
Fx Fy Fz
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Una fuerza de 450N esta aplicada en A. Determinar a) El momento de la fuerza respecto al punto D. B) La fuerza mnima que aplicada en B produce el mismo momento respecto a D.
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730.3 0.125r i j
450 30 450 30F Sen i Cos j
(0.3,0.125)r DA A D
0.3 0.125 0
450 30 450cos30 0
F
D
i j k
M
sen
88.788 .FDM k N m
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
M rxFSen
M Fxd
Se sabe que:
Si F mnimo d=mximo
max88.788 imok Fd
2 288.788 (0.3) (0.225)F
236.768F N
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
. .P Q P Q C o s
:
x y z
Si
P P i P j P k y
x y zQ Q i Q j Q k
. .P Q Px Qx PyQy PzQz
. .PxQx PyQy PzQz PQCos
.
.
Px Qx PyQy PzQzCos
P Q
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573PROYECCION DE UN VECTOR SOBRE UN EJE DADO
P RCosOLRr
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
. . . ( . ) .R S R S C o s R C o s S
. .ROLR S P S.R
O L
R SP
S
.RO LP R
PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES
, ,R S T
Se define como producto mixto de tres vectores a la siguiente relacin:
. ( )R S T
Sean los vectores:
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
rR
rS
rT
r r rR S T
Rx Ry Rz
Sx Sy Sz
Tx Ty Tz
.( )
.( ) .( ) .( )R S T S T R T R S Propiedad:
Problema.- Un poste esta sujeto por medio de tres vientos como se aprecia en la figura. Determinar el ngulo que forman los cables AD y AC.
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Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Solucin:
( 14,0,0) (0,48,0) ( 14, 48,0)AD D A
14 48 0AD i j k
(16,0, 24) (0,48,0) (16, 48, 24)AC C A
16 48 24AC i j k
2 2 2( 14) ( 48) (0)AD
2 2 2(16) (48) (24)AC
. 14 16 48 48 0
. 50 56
AC
AD
AD AC x xCos
AD AC x
42.02
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO DE
UN EJE
Se define el
momento de una
fuerza con respecto
a un eje, como la
proyeccin sobre el
eje del momento de
la fuerza con
respecto a un punto
del eje.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Fsicamente el momento de una fuerza con respecto de un eje, mide la tendencia de hacer girar el solid alrededor de dicho eje.
. . . .FOMF F F
OL OL O OM P M M
.( ) .FOLM r F
.FOL
x y z
M x y z
Fx Fy Fz
Pr oductoMixtodetresvectores
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Calcular el momento de la fuerza P, con respecto al punto A y a la recta AB.
x
y
z
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573AM r P
( ,0, ) (0, , ) ( , ,0)r a a a a a a
( , ,0) ( ,0, ) (0, , )
2
a a a a a aP P P
a
(0,100, 100)P
(2, 2,0)r
2 2 0
0 100 100
A
i j k
M
200 200 200AM i j k
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
.( ) .PAB
M r F
1 0 0
2 2 0 .(1,0,0)
0 100 100
P
ABM
200PAB
M i
PAR DE FUERZAS
Se llama par de fuerzas, al sistema formado por dos fuerzas F y-F, que tienen el mismo modulo, rectas soportes paralelos y sentidos opuestos.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573RESULTANTE DE UN PAR DE FUERZAS
La resultante de un par de fuerzas es un momento, siendo este un vector libre (se puede aplicar en cualquier punto)
Suma de Pares
1:Si setiene M Momentodeun par
2M Momentodeun par
1 2 ,la sumadeM M M esotromomentodeotro par
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Representacin de un par Puede ser representado por vectores:
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Cualquier fuerza F, que acta sobre un solid rgido puede ser trasladada a un punto arbitrario O, sin mas que aadir un par cuyo momento sea igual al momento de F con respecto a dicho punto.
Descompocision de una fuerza, en una fuerza y un par en un punto dado.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Reduccin de un sistema de fuerzas, a una fuerza y un par
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
R F
( )R
O OM M r F
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
z
Problema.-Reducir el
sistema fuerza-par
aplicado al slido
mostrado en la figura,
al punto cuyas
coordenadas son: (8,-
7,-5)cm.
F1=1000kgf
(Contenido en el
plano ABC)
F2=2000kgf
F3=3000kgf
d=20cm
(0,4,0)
(5,0,0)
(6,0,7)
(0,4,5)
(0,0,5)
O F1
F1
F2
F3
A
B
C
y
x
d
(3,3,2)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1F6 0 2 (8,0, 24)
6 4 2
i j k
CAxCB
1 8,0, 241000 20( )
640
F
M x
1
6325 0 18,974F
M i j k
2F
2
3,3, 52000( )
43F
z
(0,4,0)
(5,0,0)
(6,0,7)
(0,4,5)
(0,0,5)
O F1
F1
F2
F3
A
B
C
y
x
d
(3,3,2)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732 915 915 1525F i j k
2
5 10 7
915 915 1525
F
i j k
M
2
21655 14030 4575F
M i j k
3F 3 3000F k
3
8 7 10
0 0 3000
F
i j k
M z
(0,4,0)
(5,0,0)
(6,0,7)
(0,4,5)
(0,0,5)
O F1
F1
F2
F3
A
B
C
y
x
d
(3,3,2)
(8,-7,-5)
(3,3,2) (8, 7, 5)r
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055733
21,000 24,000F
M i j
1 2 3R F F F
915 915 1475R i j k kgf
1 2 3R F F F
M M M M
5670 9970 14,399R
M i j k Casos Particulares de la Reduccin de un Sistema de Fuerzas
a) Fuerzas Coplanares Son fuerzas que actan en un mismo plano.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
R
OMdR
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573b) Fuerzas Paralelas
yR F R
x xM M R
z zM M
R
OM r R
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573.Rz yM x R
R
z
y
Mx
R
.Rx yM z R
R
x
y
Mz
R
c) Caso General
TORSOR
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1
( ).( )RoR M RMR R
Solucin
Reduciremos todo el
sistema de fuerzas
primero al origen (0,0,0)
1 ( . ).R
oM M
Problema.- Reducir el sistema de fuerzas aplicado a la placa
mostrado en la figura, a un torsor. Especificar el eje y el paso
del torsor.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
40 6 8 0 40(8 6 )
0 0 40
i j k
C i j
40 320 240C i j
10 6 0 4 10( 4 6 )
0 10 0
i j k
C i k
10 40 60C i kj
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
10 0 8 4 10(4 8 )
10 0 0
i j k
C i k
10 (40 80 )C j k
10R i
360 280 140C i j k
1
( ).( ).
C R RC
R R Torsor
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1
( 360, 280, 140).( 10,0,0) ( 10,0,0).
10 10C
1 360C i
2 1C C C
2 280 140C j k
2r R C
( 0) ( 0) ( 0)
10 0
2
0
80 140
i j k
x y jz k
10 10 280 140zj yk j k
28,
14
z
y
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Paso del torsor (P)
1 360 3610
CP
R
Ecuacin del eje
El eje es paralelo al eje x.
Un punto de paso del eje es (0,-14,28)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
CAPITULO 3
Equilibrio del Slido
Rgido
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
0 ( ) 0F M r F 0, 0 0x y zF F F 0, 0 0x y zM M M
Equilibrio en dos dimensiones Las fuerzas exteriores y la estructura, se encuentran en el plano de la figura; es evidente que las reacciones en los apoyos se encontraran en el mismo plano:
Equilibrio del slido rgido Se dice que un slido rgido esta en equilibrio, cuando las fuerzas exteriores que actan sobre el, forman un sistema de fuerzas equivalentes a cero:
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Tipos de apoyo
1 Una reaccin con una recta soporte conocida
Rodillos
Balancn Superficie lisa Reaccin con una recta soporte conocida Numero de incgnitas = 1
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Reaccin con una recta soporte
conocida Numero de incgnitas = 1
Deslizadera Pasador u ojal
Reaccin con una recta soporte conocida
Cable Biela
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Reaccin con recta soporte desconocida
Articulacin Superficie rugosa
Numero de incgnitas = 2
Fuerza y par
Numero de incgnitas = 3 Empotramiento
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573REACCIONES EN APOYOS Y UNIONES
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573REACCIONES EN APOYOS Y UNIONES
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573REACCIONES EN APOYOS Y UNIONES
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730xF 0yF 0AM
Tipos de ligaduras
1 El tipo y numero de apoyos, determina el nmero de incgnitas o reacciones (R).
2 Para un sistema general de fuerzas, el nmero de ecuaciones es igual a tres (Q).
3 Si R=Q:
a) El sistema es estable, esta completamente
ligado y estticamente determinado.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
b) El sistema es inestable, tiene ligadura impropia y son estticamente indeterminados.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Un slido rgido esta impropiamente ligado siempre que
sus apoyos aunque pueden generar un nmero
suficiente de reacciones, estn dispuestos de tal forma
que las reacciones sean concurrentes o paralelas.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055734 Si R
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Las reacciones en A y B, introducen slo 2 incgnitas,
una de las ecuaciones, no se satisfacera.
5 Si R>Q: el sistema es estticamente indeterminado (hiperestatico)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Ligadura completa, estructura estticamente
indeterminada, el nmero de reacciones mayor que el
nmero de ecuaciones de equilibrio
Determinacin del Tipo de Ligadura
Para una estructura coplanar:
2 ; CompletamenteLigadab RSi N N n Estructura
2 ; ParcialmenteLigadab RSi N N n Estructura
2 ; esEstaticamenteindeterminadab RSi N N n Estructura
2 ; esEstaticamentedeterminadab RSi N N n Estructura
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2.5m 2.5m
3.0m
Problema.- En la estructura mostrada en la figura,
calcular las reacciones en los apoyos A y B, en funcin
del angulo .
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730BM
400 2.5 5 3 0y xA A
0xF
0yF 400 0 400y y yA B A BSen
En (1)
1000
5 3B
Sen Cos
0x xA BCos A BCos
Bx
By
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
333.33B N
333.33xA N
400.00yA N
Para el problema =90-
=90, =0
Equilibrio de un slido rgido sometido a tres fuerzas
Si un slido rgido sometido a tres fuerzas est en
equilibrio, las rectas soportes de las 3 fuerzas deben
ser concurrentes o paralelas
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
0DM Si se toma momento respecto al punto de concurrencia
de dos de ellas, la recta de accin de la tercera fuerza,
necesariamente tendr que concurrir a este punto para
que el momento sea nulo.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Equilibrio en Tres dimensiones
Las reacciones en apoyos y uniones de una estructura
tridimensional, comprende desde una fuerza nica
(apoyo en superficie lisa), hasta seis (tres fuerzas y
tres momentos/ apoyo de empotramiento).
Para expresar las condiciones de equilibrio de un
slido rgido, es necesario seis ecuaciones escalares,
a saber:
0, 0 0x y zF F F
0, 0 0x y zM M M
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573En la mayora de los problemas, las ecuaciones
escalares anteriores, se obtendrn mas
cmodamente si las condiciones del equilibrio del
slido rgido considerado se expresan primero en
forma vectorial, de la siguiente manera:
0 ( ) 0F M r F
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573REACCIONES EN APOYOS Y UNIONES
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573REACCIONES EN APOYOS Y UNIONES
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573REACCIONES EN APOYOS Y UNIONES
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
CAPITULO 4
Fuerzas Repartidas
Centros de Gravedad
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Centroides de reas y Curvas Planas
i
i
W W
c i i
i
Wx W x
Tomando momentos con
respecto al eje y
i i
ic
W x
xW
(1)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Anlogamente, se tiene:
i i
ic
W y
yW
La localizacin de la lnea de accin del peso
resultante W de la placa esta dada por la coordenadas
xc, e yc.
W
V i iW V i iW At (3)
(2)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573(3) en (1) y (2)
( )i ii
c
At x
xAt
( )i ii
c
At y
yAt
El punto situado sobre el rea A, localizado por la coordenadas xc e yc, se define como el
centroide de esta rea.
i i
ic
A x
xA
i i
ic
A y
yA
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Si se sigue subdividiendo el rea de la placa en las
reas elementales Ai, se llega a una situacin limite,
de modo que:
0i
i i
i Ac
A
xdAA x
x LimA A
0i
i i
i Ac
A
ydAA y
y LimA A
Las dos ecuaciones
anteriores constituyen
la definicin formal de
las coordenadas
centroidales del rea
A.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573,es el momento de primer orden del area A con respecto al eje "y"
A
xdA
,es el momento de primer orden del area A con respecto al eje "x"A
ydA
Centroides de Curvas Planas
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
i i
ic
l x
xl
i i
ic
l y
yl
0i
i i
i lc
l
xdll x
x Liml l
0i
i i
i lc
l
ydll y
y Liml l
Notas
1 Si un rea o una lnea, posee un eje de simetra, el
centro de gravedad debe estar situado sobre dicho eje.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732 Si un rea o una lnea, posee dos ejes de simetra,
el centro de gravedad debe estar situado en el punto
de interseccin de ellos.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055733 Si un rea o una lnea, posee un centro de simetra,
el centro de gravedad debe estar situado en dicho
centro de simetra.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573reas y lneas compuestas
El centro de gravedad de reas y lneas compuestas,
se determina descomponiendo el rea o la lnea
compuesta en reas o lneas conocidas mas
pequeas.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1 1 2 2
1 2
.........
........
i ic
i
x A x A x Ax
A A A
1 1 2 2
1 2
.........
........
i ic
i
y A y A y Ay
A A A
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2( ) ( )x h c y k
2x cy
x a y h2a
ch
22 ax y
h
Problema.- Hallar la abcisa del
centro de gravedad del rea
sombreada.
solucin
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
x b2
2
hby
a
2
2
3
2
. 3 . 3( ). ( )
3 4 3 4
3 3
a h a b hbb
axah hb
a
4 4
3 3
3( )
4
a bx
a b
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Centros de Gravedad por integracin
reas (elemento vertical)
ydxdA
x xel yy
el 2
A
xdA
x A
A
xydxx
b
a
A
ydA
y A
A
ydxy
y
b
a 2
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Hallar la abcisa del centro de gravedad del
rectngulo mostrado en la figura.
xxel
hdxdA
A
xhdxx
b
0
bh
hx
x
b
0
2
2
2
bx
x dx
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
( )dA a x dy
2el
a xx x
A
xdA
x A
0
0
( )( )2
( )
c
c
x aa x dy
xa x dy
2el
x ax
(a,c)
Elemento horizontal
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
y yel
A
ydA
y A
0
0
( )
( )
c
c
y a x dyy
a x dy
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
d
rCosxel3
2
2
)( rrddA
0
2
0
2
2
2)
3
2(
dr
drrCos
x
2
2 drdA
A
xdA
x A
Coordenadas Polares
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
rSenyel3
2
A
ydA
y A
0
2
0
2
2
2)
3
2(
dr
drrSen
y
Problema.- Hallar la abcisa del centro de gravedad del
rea sombreada.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
x
x,y
22 ax y
h
dx
2
2x
a
hy
ydxdA
b
a
b
a
ydx
xydxx
b
a
b
a
dxxa
h
dxxa
hx
x
)(
)(
2
2
2
2b
a
b
a
x
x
x
3
4
3
4
)(
)(
4
333
44
ba
bax
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
P(x,y)
dx
dy
dL
ydxddL 22
L
xdL
x L
x xel
L
ydL
y L
y yel
dxdx
dydL 2)(1
dydy
dxdL 2)(1
dd
drrdL 22 )(
Lneas
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Teoremas de Pappus-Guldin
Estos teoremas, se refieren a las superficies y a
cuerpos de revolucin.
Una superficie de revolucin se genera por la rotacin
de un lnea curva plana alrededor de un eje fijo.
Ejemplo:
Esfera Cono Toro
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Un cuerpo de revolucin se genera por la rotacin de
un rea plana alrededor de un eje fijo. Ejemplo:
Teorema N1
El rea de una superficie de revolucin es igual a la
curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida
por el C.G. del rea cuando se genera la superficie
Esfera Cono
Toro
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573ydLdA 2
ydLdA 2
ydLA 2
LyA 2
Siendo 2y, la distancia recorrida por elC.G.de la linea LNota.- La curva generatriz, no debe cortar el eje
alrededor del cual gira.
y
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Teorema N2
El volumen de un cuerpo de revolucin es igual al rea
generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el
C.G. del rea cuando se genera el cuerpo volumen.
ydAdV 2
ydAdV 2
ydAV 2
AyV 2
y y
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Nota.- El teorema no puede aplicarse, si el rea
generatriz, corta al eje alrededor del cual se genera el
cuerpo de revolucin.
Siendo 2y, la distancia recorrida por elC.G.del area A.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Determinar el rea superficial y el volumen
del remolque para materiales sueltos que se muestra
en la figura 8.16.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
L
13.092
0.405 0.45 0.9
2.541 1.05 2.42
7.2 1.2 6
2.541 1.05 2.42
0.405 0.45 0.9
L(m) ( )y m2( )y m LyA 2
22 13.092 82.26A m
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
A A(m2)
6.984
0.972 0.45 2.16
0.36 1 0.36
4.32 0.6 7.2
0.36 1 0.36
0.972 0.45 2.16
( )y m3( )y m AyV 2
32 6.984 43.88mV
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Cargas Repartidas sobre vigas
Se puede sustituir una carga repartida sobre una
viga, por una carga concentrada; el mdulo de esta
carga es igual al rea bajo la curva de cargas y su
recta de accin pasa por el centro de gravedad de
esta rea.
L
wdxW0
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
nndwxdwxdwxdwxWx ...................332211
:oM
i
i
idwxWx
i
i
iw
dwxLimWxi
0 xdwWx AxdAx
L
0
Nota.- La carga concentrada es equivalente slo en lo
que se refiere a fuerzas exteriores, puede emplearse
para hallar las reacciones, pero no para calcular
fuerzas interiores y deformaciones.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Volmenes
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
0M
i
i
i wrWr
)()( jrwjrWi
ii
jrwjrWi
ii ).().(
).(.0
i
iiw
rwLimrWi
ii dwrrW ..
Relaciones escalares
xdwWx.
ydwWy.
zdwWz.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Nota.- Si el cuerpo esta constituido por un material
homogneo, entonces el centro de gravedad de un
cuerpo, es el mismo que el centro de gravedad de su
volumen:
ii dvrrV ..
xdvVx.
ydvVy.
zdvVz.
Son las coordenadas del
centro de gravedad. :,, zyx
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
xdv se le denomina momento de primer orden del volumen respecto al plano yz.
ydv
zdv
se le denomina momento de primer orden del
volumen respecto al plano xz.
se le denomina momento de primer orden del
volumen respecto al plano xy.
Notas
1 Si un volumen posee un plano de simetra, su
centro de gravedad, debe estar situado en dicho
plano.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732 Si un volumen posee dos planos de simetra, su
centro de gravedad, debe estar situado en la
interseccin de dichos planos.
3 Si un volumen posee tres planos de simetra, su
centro de gravedad, debe estar situado en el punto de
interseccin de dichos planos.
Cuerpos y Volmenes Compuestos
i
i
iwxWx ii
iwyWy i ii
zW z w
i
i
ivxVx ii
ivyVy i ii
zV z v
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- en el semicono mostrado en la figura,
determinar las coordenadas del centro de gravedad.
)3
(2
1 hBV
)3
(2
1 2haV
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
dxy
dv2
2
x
y
h
a yx
h
a
xxel 3
4yyel
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
dvxVx el
h
dxy
xVx0
2
2.
h
dxh
xa
xVx0
2
22
2.
hx4
3
dvyVy el
a
dxyy
Vy0
2
.2
.3
4
a
dya
hyyVy
0
2
.2
.3
4
ay
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
CAPITULO 5
Fuerzas en Vigas
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
VIGAS
Se conoce como Viga, a un elemento estructural
diseado para soportar cargas aplicadas en diversos
puntos a lo largo de la misma.
En la mayora de los casos las vigas soportan cargas
perpendiculares al eje de la viga, producindose en la
viga fuerzas cortantes y momentos flectores.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573En ingeniera y arquitectura se denomina viga a un
elemento constructivo lineal que trabaja
principalmente a flexin. En las vigas la longitud
predomina sobre las otras dos dimensiones y suele
ser horizontal.
El esfuerzo de flexin provoca tensiones de traccin y
compresin, producindose las mximas en el cordn
inferior y en el cordn superior respectivamente, las
cuales se calculan relacionando el momento flector y el
segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a
los apoyos se producen esfuerzos cortantes o
punzonamiento.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Tipos de Vigas
Viga en voladizo
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Si la viga esta sujeta solamente en un extremo, de tal
manera que su eje no pueda girar en ese punto, se le
llama viga en voladizo.
Viga simplemente apoyada
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Viga con voladizos
Es una viga simplemente apoyada y que tiene uno o
los dos extremos que continan mas all de estos
puntos.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Todas las vigas consideradas anteriormente son tales
que se pueden calcular las reacciones en los apoyos
utilizando las ecuaciones de equilibrio esttico y se les
denomina vigas estticamente determinadas.
Vigas hiperestaticas
Si el nmero de reacciones que se ejercen sobre la
viga excede el nmero de ecuaciones del equilibrio
esttico, las reacciones de las vigas son
estticamente indeterminadas.
Vigas estticamente determinadas
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
V. Empotrada en un
extremo y s. Apoyada
en el otro V. Continua V. Biempotrada
Vigas Combinadas
Son aquellas vigas que se conectan (dos o mas)
mediante rotulas o articulaciones para formar una
nica estructura continua.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Tipos de carga
1 Carga aislada (aplicada en un punto), se expresa N.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732 Carga repartida uniforme y con variacin, se
expresa en N/m.
3 Carga por medio de un par, se expresa en N-m.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Fuerza Cortante y Momento Flector en una viga
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Si se corta una viga en C y se suprime la parte derecha de sta seccin, se deber sustituir la parte
suprimida por el efecto que ejerca sobre la parte de
la izquierda; efecto que consiste en una fuerza
cortante vertical (V) juntamente con un par (M).
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573La fuerza V y el par M mantienen en equilibrio la parte
de la izquierda de la barra bajo la accin de las
fuerzas RA y P1.
Fuerza Cortante (V)
La suma algebraica de todas las fuerzas verticales
situados a un lado de la seccin C, se llama fuerza cortante en esa seccin.
Momento Flector (M)
La suma algebraica de los momentos de las fuerzas
exteriores situados a un lado de la seccin C, se llama momento flector en C.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Convencin de signos
El esfuerzo cortante (V) y el momento flector (M) en
una seccin determinada de una viga se consideran
positivos cuando las fuerzas interiores y los pares que
actan sobre cada parte de la viga estn dirigidos
como se indica en la figura.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573* El esfuerzo cortante en C es positivo cuando las fuerzas exteriores (cargas y reacciones) que actan
sobre la viga tienden a cortar la viga en la seccin
como se indica en la figura.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573* El momento flector (M) en la seccin es positivo
cuando las fuerzas exteriores que actan sobre la viga
tienden a doblar la viga en la seccin como se indica
en la figura.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores
Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos
flectores, es la representacin grafica del efecto que
se producen en cada una de las secciones de la viga.
* Las fuerzas cortantes positivas, se graficaran sobre el
eje de la viga y los negativos debajo.
* Los momentos flectores se graficarn, si es positivo
debajo del eje y si es negativo encima del eje.
Problema.- Para la viga mostrada en la figura,
determinar:
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
a) Reacciones en los apoyos
b) Ecuaciones de fuerza cortante y momento flector
c) Diagramas de fuerza cortante y momento flector
d) Momentos flector mximo y su respectiva ubicacin.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573a) Reacciones
Diagrama de cuerpo libre:
0 .AM S Horario
* 0B BPa
Pa R L RL
0 .BM S horario
* 0A APb
R L Pb RL
a b
RA RB
L
P
C
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573b) Ecuaciones de fuerza cortante y momento flector
T ra m o A C , s e c c io n 1 -1 0 x a
VPb
L M
Pb
Lx
0 0x M
Pabx a M
L
a b
Pb/L Pa/L
L
P
C
1
1 x
y
x A
B
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573,sec 2 2TramoCB cion a x L
a b
Pb/L Pa/L
L
P
C
2
2
x
y
x A
B
Pb PaV P
L L
( )Pb
M x P x aL
Pabx a M
L
0x L M
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573c) Diagramas
X
V
Pb
L
Pa
L
(+)
(-)
X
M
(+) (+)
Pab
LMomento F. Mximo
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573d) Momento mximo y su ubicacin
MPab
L x a
Relaciones entre la carga, el esfuerzo cortante y el
momento flector
dx
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730componentesverticales
( ) 0V wdx V dv
dvw
dx (1)
(2) dM
dxV
c c
( ) .M dM M Vdx wdxdx
2
0
0cM
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573La expresin N1, indica que para una viga cargada en
la forma anterior, la pendiente del diagrama de fuerzas
cortantes (dv/dx) es igual y de signo contrario a la
intensidad de la carga (w) bajo el punto en
consideracin.
La expresin N2, nos indica que la pendiente del
diagrama de momentos flectores (dM/dx), es igual a la
fuerza cortante.
La expresin N2, demuestra tambin que el momento
flector es mximo cuando la fuerza cortante es igual a
cero.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
dx
dV wdx
D
C
X
D CX
V V wdx
V V AreabajolacurvaentreCyDD C ( )
De la Ec. N1
D
C
D X
C XdV wdx
dvw
dx
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573La fuerza cortante entre dos puntos cualesquiera de
una viga es igual y de signo contrario al rea de la
curva de carga comprendida entre dichos puntos.
dM Vdx
M M VdxD Cx
x
C
D
D
C
D x
C xdM Vdx
De la Ec. N2
(Area bajola curva deldiagrama defuerzascortantesentreCyD)D CM M
dM
dxV
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Ejemplo:
Diagrama de cuerpo libre:
L
A B
w
L
A B
w
R =wL/2A R =wL/2A
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
L
A B
w
R =wL/2A R =wL/2A
R R w LA B
R RA B
R Rw L
A B 2
V V wdx wxx Ax
0
M A 0M M Vdxx AX
0
x AV V wx
2A
wLV
2x
wLV wx Ec. Una recta
x
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
M wL
x dx wL
x dxxX X
( ) ( )2 20 0
Mw
L x x P a ra b o lax 22( )
AC
wL/2
(+)
(-)
L/2
wL/2
B
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
(+)
wL /82
dM
dxV Elvalordel MomentoMaximocorrespondea 0 :
V wL
x xL
( )2
02
MwL
MAX 2
8
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Dibujar los diagramas de fuerza cortante y
momento flector para la viga mostrada en la figura.
6 3
AB
C
20N/m
6 3
AB
C
20N/m
R =80N R =40NA C
V NA 80
M A 0
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573La variacin de la fuerza cortante entre dos puntos, es
igual a menos el rea comprendida bajo la curva de
carga entre dichos puntos, por lo tanto se puede
obtener VB.
V V NB A ( )( )20 6 120
La pendiente dv/dx=-w, es constante entre A y B, por
tanto el diagrama de fuerzas cortantes entre estos
puntos es una lnea recta.
6 3
AB
C
20N/m
R =80N R =40NA C
120B AV V
80BV
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Entre B y C el rea bajo la curva de carga es cero, por
lo tanto: V V V V NC B C B 0 40
La fuerza cortante es constante entre B y C
A
D B
40N
(+)
(-)
x
80N
C 6 3
AB
C
20N/m
R =80N R =40NA C
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573A la ubicacin de la seccin donde el momento flector
es mximo le denominaremos D (V=0). x x
x m
80
6
40
4
La variacin del momento flector entre
dos puntos, es igual al rea
comprendida bajo la curva de carga
entre dichos puntos, por lo tanto se
puede obtener MD. 160D AM M
160DM A
D B
40N
(+)
(-)
x
80N
C
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
A
D B
(+)
C
(+)
160Nm
120Nm
4 80 2 40
2 2B A
x xM M 120BM
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573El diagrama de momentos flectores est conformado
de una parbola seguido por un segmento de lnea
recta; la pendiente de la parbola en A es igual al
valor de V en ese punto.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
CAPITULO 6
Fuerzas Repartidas
Momentos de Inercia
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
El momento de inercia del
elemento de rea
respecto del eje x es:
dIx y dA 2
Momentos de Inercia (I)
El momento de inercia o momento de segundo orden
respecto a un eje en su plano, esta dado por el
producto del rea del elemento y el cuadrado de la
distancia entre el elemento y el eje.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
El momento de Inercia de un rea finita respecto a un
eje en su plano es la suma de los momentos de inercia
respecto de ese eje de todos los elementos de rea
contenidos en ella.
Momento de Inercia de un rea Finita
Ix dIx y dA 2
Iy dIy x dA 2
Unidades Las unidades del momento de Inercia son la cuarta
potencia de la unidad de longitud, por ejemplo: cm4
El momento de inercia del elemento de rea respecto
del eje y es: dIy x dA 2
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Momento Polar de Inercia (Io)
Viene hacer el momento de segundo orden con
respecto a un polo.
2Io dA pero x y2 2 2
2 2( )Io x y d A Io x dA y dA ( ) ( )
2 2
Io Iy Ix
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Radio de Giro (k)
1 El radio de giro de un rea, respecto al eje x, esta
definido por:
xx
Ik
A
2 El radio de giro de un rea, respecto al eje y, esta
definido por:
y
y
Ik
A
3 El radio de giro de un rea, respecto al polo (o),
est dado por:
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
oo
Ik
A
Teorema de Steiner
2
x xI I Ad
2
y yI I Ac
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573El momento de Inercia de un rea respecto a un eje
cualquiera, es igual al momento de inercia respecto a
un eje paralelo que pasa por el centro de gravedad
mas el producto del rea por el cuadrado de la
distancia entre los dos ejes.
Producto de Inercia Ixy
El producto de inercia de un rea respecto de los ejes
x e y, esta definido por:
xyI xydA
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055731 A diferencia de los momentos de inercia Ix, Iy; el
producto de inercia Ixy puede ser positivo o
negativo. 2 Cuando uno de los ejes x, y ambos, son ejes de
simetra del rea A, el producto de inercia Ixy es igual a
cero.
3 El producto de inercia de un rea respecto a los
ejes x e y, es igual al producto de inercia del rea con
respecto a los ejes centroidales, mas el producto de
las distancias de los ejes centroidales por el rea.
xy x yI I Acd
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Fsicamente el momento de inercia es la resistencia
que ofrecen los cuerpos a la aceleracin angular por
efecto de un momento de fuerza.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Momento de Inercia respecto a ejes inclinados
Por definicin
2
xI y d A x ysen x cos
y y xsencos
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
IxIx Iy Ix Iy
Ixysen
2 2
2 2cos (1)
Para el momento de inercia con respecto al eje y, reemplazamos por (+90).
Direccin de ejes principales
dIx
d
0
22 m
Ixytg
Ix Iy
2( 2 )m
Ixytg
Ix Iy
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Productos de Inercia con respecto a ejes inclinados
Ix y x y dA
Ix y IxyIx Iy
sen
cos22
2 (2)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Circulo de Mhor
De (1) y (2) ordenando y sumando el cuadrado,
tenemos:
Ix y IxyIx Iy
sen
cos22
2
IxIx Iy Ix Iy
Ixysen
2 2
2 2cos
2 2 2[ ( )] [ ] ( ) ( )2 2
x y x y
x x y xy
I I I II I I
( )x h y R 2 2 2 Ecuacin de un Circulo
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
x I x
y Ix y
2
Ix Iyh
2 2( )2
Ix IyR I xy
Los momentos de inercia, se representan en el eje de
las abcisas y los productos de inercia a lo largo del eje
de las ordenadas.
2 2 2[ ( )] [ ] ( ) ( )2 2
x y x y
x x y xy
I I I II I I
( )x h y R 2 2 2
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Construccin:
Para dibujar un crculo cuyo centro se encuentra en el
eje de los momentos, es necesario conocer
adicionalmente dos puntos de paso del circulo, por lo
tanto de las ecuaciones (1) y (2):
Punto A
0
Ix Ix
Ix y Ixy
Punto B
0
Ix Iy
Ix y Ixy
Ix y IxyIx Iy
sen
cos22
2
IxIx Iy Ix Iy
Ixysen
2 2
2 2cos
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
I
I
I
I
I
X'
X'YX
XY
I Y
I XY
-
X
Y
I maxI min
max
min
p1
p2
p1
X+ I Y2
A
B
2
2
2
I X'Y
I X'Y
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Momentos de Inercia Mximo y Mnimo
mI2
in
Ix IyR
mI2
ax
Ix IyR
2 2
m ,maxI ( ) ( )2 2
in
Ix Iy Ix IyIxy
I
I
I
I
I
X'
X'YX
XY
I Y
I XY
-
X
Y
I maxI min
max
min
p1
p2
p1
X+ I Y2
A
B
2
2
2
I X'Y
I X'Y
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Para la seccin mostrada, hallar:
a) Ix, Iy, Ixy b) Orientacin de los
ejes principales que
pasa por el origen.
c) Momentos principales
de Inercia.
d) Comprobar los
resultados anteriores
usando el circulo de Mhor. 8
6
2
2
y
x
d) Determinar el momento y producto de Inercia, para
un ngulo de 45, medido a partir del eje x en sentido antihorario
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573a) 3
1
12.6 144
3Ix
3
2
16.2 16
3Ix
3
1
12 .6 16
3Iy
3 2
2
16 .2 6.2.5 336
12Iy
Ix 160
Iy 352
8
6
2
2
y
x
1
2
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732 2
1
2 . 63 6
4I x y
2 0 5 .1 .( 6 .2 ) 6 0Ix y
Ixy 96
8
6
2
2
y
x
1
2
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
22 m
Ixytg
Ix Iy
2.962 1
160 352
2 45 22.5
m
m m
tg
2 2
m ,m axI ( ) ( )2 2
in
Ix Iy Ix IyIxy
2 2
m ,max
160 352 160 352I ( ) (96)
2 2in
m
m
I 3 9 2
I 1 2 0
a x
i n
b)
c)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
I
I
X'
X'Y
x
y
160,96
352,-96
d)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573d)
A(160,96)
B(352,-96)
Ixy
Ix
x
y
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
I
I
X'
X'Y
x
y
391.76,0
120.24,0
135
45
160,96
352,-96
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
I
I
X'
X'Y
x
y
391.76,0
120.24,0
135
45
352,96
160,96
90
160,96
352,-96
Del grafico:
Iu =160
Iv =352
Iuv=-96
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573a)
8
6
2
2
y
x
1 2
3
3
1
12.2 5.33
3Ix
3
2
16.2 16.00
3Ix
3 2
3
12.4 (4 2) 4 138.67
12Ix
1 160.00Ix
3
1
12 .2 5.33
3Iy
3 2
2
16 .2 (6 2)5 336
12Iy
3
3
12 .4 10.67
3Iy 3 352Iy
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2 2
1
12 .2 4
4Ixy
2 (6 2)1 5 60Ixy
3 (2 4)4 1 32Ixy
96Ixy 8
6
2
2
y
x
1 2
3
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
CAPITULO 7
Anlisis de Estructuras
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Armaduras
Una armadura, es una unidad estructural en la que los
miembros estn arreglados de tal manera que forman
uno o mas tringulos conectados.
Todos los miembros de una armadura, puede actuar
bajo dos tipos de fuerza; ya sea en tensin o en
compresin.
Si un miembro esta a tensin, la fuerza del miembro
provoca una fuerza de traccin en el nudo.
Si el miembro esta en compresin, la fuerza del
miembro provoca una fuerza de empuje en el nudo.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Existen tres mtodos para solucionar una armadura, a
saber:
a) Mtodo de los nudos
b) Mtodo de las secciones
c) Mtodo grfico
Problema N01.- Determinar, usando el mtodo de los
nudos, las fuerzas axiales en las barras de la
estructura representada, as como tambin las
reacciones en los soportes, (indicar la calidad de las
barras).
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2kn 2kn
A B
C
D
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732kn 2kn
A B
C
D
Nudo B
0xF 0BA BDCos
0yF
2 0BDSen
5.20BD KN
4.80BA KN
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Nudo A
0xF
0yF
0AB ACCos
5.20AC KN
2 0AD ACSen
4.00AD KN
2kn 2kn
A B
C
D
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732kn 2kn
A B
C
D
0yF
0DA DBSen Dy
6.00Dy KN
0DBCos DC
4.80DC KN
Nudo D
0xF Dy
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732kn 2kn
A B
C
D
0Cx CD CACos
0Cx
0Cy CASen
2.00Cy KN
0yF Nudo C
0xF
Cx
Cy
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Diagrama de Cargas
2kn 2kn
A B
C
D
4.8
5.24
4.8
5.2
2 6
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema No2.- Determinar las fuerzas axiales en las
barras FH, GH y GI de la estructura representada:
1kn
1kn
1kn
1kn
1kn
5kn 5kn 5kn
5 5 5 5 5 5
30
A
F
L
H
G
8m
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Mtodo de las secciones
Calculo de las reacciones
0AM
7.50yL KN
1 (5 10 15 20 25) 30 5 (5 10 15) 0yL
1kn
1kn
1kn
1kn
1kn
5kn 5kn 5kn
A
F
H
G
12.5kn 7.5kn
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1kn
1knH
G
7.5kn
I
HF
HG
IG
0GM
15 1 10 7.5 15 1 5 0HF Sen 13.81HF KN
0HM 16
1 5 7.5 10 03
IG
13.13IG KN
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730LM
15 1 10 1 5 0HG Sen
1.37HG KN Problema No3.- En la armadura del problema No1,
calcular las fuerzas en cada una de las barras as
como su respectiva calidad.
Solucin
Cuando se tienen muchas barras que calcular, es
engorroso aplicar el mtodo de los nudos, por lo que
se aplica el mtodo grafico o mtodo de Maxwell-
Cremona.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Mtodo Grfico o Mtodo de Maxwell-Cremona
1.- Se calculan las fuerzas externas (reacciones en los
apoyos).
2.- Se grafica la estructura a una escala conveniente.
3.- Se nombra la estructura con la notacin de Bow.
4.- Se grafica las fuerzas externas a una escala
conveniente.
5.- Se empieza a resolver grficamente las barras en
cada uno de los nudos, teniendo en cuenta que para
ello se debe ir al nudo que tiene dos incgnitas
(barras).
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
5.2 4
2kn 2kn
A B
C
D
2 6
a
b
c
d
e
f
2kn 2kn
A B
C
D
2 6
1.-
a
b
c
d e f
6 2
2 y 3.-
4 y 5.-
2 2
4.8
4.8
5.2
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1kn
1kn
1kn
1kn
1kn
5kn 5kn 5kn
A
F
H
G
12.5kn 7.5kn
1.-
Problema No4.- En el Tijeral del problema No2, calcular
las fuerzas en cada una de las barras as como su
respectiva calidad.
8m
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1kn
1kn
1kn
1kn
1kn
5kn 5kn 5kn
5 5 5 5 5 5
30
A
F
L
H
G
8
2.-
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055733.-
1kn
1kn
1kn
1kn
1kn
5kn 5kn 5kn
A
F
H
G
12.5kn 7.5kn
a
b
c
d e
f
g
hij
k l
m
n
o p
qr
s t
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1kn
1kn
1kn
1kn
1kn
5kn 5kn 5kn
A
F
H
G
12.5kn 7.5kn
a
b
c
d e
f
g
hij
k l
m
n
o p
qr
s t
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s,t
4.-
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s,t
1kn
1kn
1kn
1kn
1kn
5kn 5kn 5kn12.5kn 7.5kn
a
b
c
de
f
g
hij
k l
m
n
o p
qr
s t26
.56
5.0
0
23.44
20.17
13.81
13.81
8.0
0
12
0.5
0
0.0
0
23.44 17.81 13.13 14.06 14.06
6.38
8.22 1.37
1.06
14.88
15.94
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s,t
1kn
1kn
1kn
1kn
1kn
5kn 5kn 5kn12.5kn 7.5kn
a
b
c
de
f
g
hij
k l
m
n
o p
qr
s t26
.56
5.0
0
23.44
20.17
13.81
13.81
8.0
0
12
0.5
0
0.0
0
23.44 17.81 13.13 14.06 14.06
6.38
8.22 1.37
1.06
14.88
15.94
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Marcos
Un marco esta conformado por una serie de
miembros, las que se localizan en un solo plano y que
todas las fuerzas que actan sobre esta estructura
quedan en el plano de la estructura.
La diferencia entre una armadura y un marco, es que
las fuerzas actuantes en este ltimo, pueden estar
ubicado ya sea en los puntos de conexin de sus
miembros o en cualquier lugar intermedio a lo largo
de la longitud de los miembros del marco.
Las cargas pueden ser concentradas, de momento y
distribuidas.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Ejemplos:
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Anlisis de Fuerzas en los Marcos
1 Trazar el diagrama de cuerpo libre del marco
completo.
2 Imaginar el marco desarmado y trazar el diagrama
de cuerpo libre de cada uno de los miembros del
marco.
3 Si un miembro es una barra de armadura, la fuerza
desconocida que acta sobre ella se dibuja con
direccin conocida con un sentido real supuesto.
4 Todos los valores de fuerzas calculadas negativas
se trataran como cantidades negativas a travs del
resto de la solucin.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Hallar las fuerzas en todas las juntas del
marco indicado en la figura.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
0eM 200(3) (9) 125(12) 0cR
233cR lb
0xF 200 0exR
200exR
125 0ey cR R
0yF
108eyR
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
(a)
(b)
(c)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730dM
200(3) (6.93) 0axR
87axR lb
0xF 200 0ax dxR R
113dxR lb
0yF 0ay dyR R (1)
(a)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
0dM
108(6) 233(3) (12) 0byR 112byR lb
(b)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730xF
200 0dx bxR R
200 113 0bxR 87bxR lb
0yF 108 233 0dy byR R
108 233 112 0dyR 13dyR lb
En la Ecuacin N1
( 13) 0ayR 13ayR lb
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
87
233 112
Diagrama de Cargas
200
a
d
125 a
b d c e
87
13
113
13
113
13
200
108
87
13
87 112
(a)
(b)
(c)
b
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
87
13 200
113
13
87
13
125
87
108 233 112
13
113
200
87
112
Diagrama de Cargas
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
A B
C D
E
8Kips
2ft 5 3 1 2
5
2
Problema.-
Hallar las
fuerzas en
todas las juntas
del marco
indicado en la
figura.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
A
By
C D
E
8Kips
2ft 5 3 1 2
5
2
0AM
+
Ay
Ax
(8)(13) 11 0yB
9.45yB Kips
0BM
+
( )(11) (8)(2) 0yA
1.45yA Kips
0xF
0xA
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
By
8Kips
Cy
Ax
Cx
Ey
Ex
Cy
Cx
Dy
Dx
Ey
Ex
Dy
Dx
Ay
(a)
(b)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730CM
+
(8)(11) 8 0yD
11yD Kips
0DM
+
( )(8) (8)(3) 0yC
3yC Kips
0xF
0x xD C x xD C
0EM
+
( )(7) 3 5 ( )(5) 0y xA C
0.97xC Kips
0xF 0x xE C
0.97xE Kips
0yF
0y y yA C E
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055731.55yE Kips
RESUMEN
0 , 1.45
9.45
0.97 , 3
0.97 , 11
0.97 , 1.55
x y
y
x y
x y
x y
A Kips A Kips
B Kips
C Kips C Kips
D Kips D Kips
E Kips E Kips
3
0.97
1.55
0.97
1.45
(b)
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
8Kips
3
0.97
11
0.97
(a)
0 , 1.45
9.45
0.97 , 3
0.97 , 11
0.97 , 1.55
x y
y
x y
x y
x y
A Kips A Kips
B Kips
C Kips C Kips
D Kips D Kips
E Kips E Kips
9.45
1.55
0.97
11
0.97
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Cadenas y Cables
A menudo encontramos cables o cadenas que se
utilizan para soportar cargas.
En los puentes colgantes, se encuentra disposiciones
coplanares en las cuales un cable soporta una gran
carga. En tales casos el peso propio del cable suele
ser insignificante.
En las lneas de alta tensin elctrica la fuerza principal
es el peso propio del cable.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Cables Flexibles con Cargas Concentradas
El anlisis de un cable flexible de esta clase suele
consistir en encontrar las reacciones en los soportes,
la fuerza en cada segmento del cable y la
configuracin del cable cargado.
Problema.- Dado el cable flexible que se muestra en la
figura, determnese las fuerzas de reaccin en A y F,
las fuerzas en cada segmento del cable y las
dimensiones yc, yd , ye.
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
3
2m 3 5 4 2
60kn
80kn 70kn
90kn
A
B
C
D
E
F
2
16m
yc yd
ye
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
3
2m 3 5 4 2
60kn
80kn 70kn
90kn
A
B
C
D
E
F
2
16m
yc yd
ye
RA RF
Ax
Ay Fy
Fx
Diagrama de cuerpo libre
yEF
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730FM
+
3 2
y xA A
90 2 70 6 80 11 60 14 16 2 0y xA A
105.50xA kn 158.20yA kn
0yF 60 80 70 90 0y yA F
141.80yF kn
0xF 0x xA F
105.50xF kn
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573FUERZA EN BC
3
2m 3 5 4 2
60kn
80kn 70kn
90kn
A
B
C
D
E
F
2
16m
yc yd
ye
RA RF
Ax
Ay Fy
Fx
yEF
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
60kn
B
C
Ax
Ay
BCx
BCy
0yF 60 0y yA BC
98.20yBC kn
0xF
0x xA BC
105.50xBC kn
BC
98.20
3 105.50
BC
2.79BC m
5.79c b BCy y m
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Fuerza en CD
60kn
B
C
Ax
Ay
CDx
CDy
0yF 60 80 0y yA CD
18.20yCD kn
0xF
0x xA CD
105.50xCD kn
D
80kn
CD
18.20
5 105.50
CD 0.86CD m
6.65d c CDy y m
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
60kn
B
C
Ax
Ay
DEx
DEy
D
80kn 70kn
E
Fuerza en DE
0yF 60 80 70 0y yA DE
51.80yDE kn
0xF
0x xA DE
105.50xCD knDE
51.80
4 105.50
DE
1.96DE m
4.69e d DEy y m
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Cables Flexibles con Cargas Repartidas
oTCos T
TSen W
2 2
OT T W
O
WTg
T
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Cable Parablico
2 2 2
OT T w x
O
wxTg
T
0DM +
02
O
xwx T y
2
2 O
wxy
T
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2
01 ( )
Bx
B
dyS dx
dx
2
2 O
wxy
T
/ Ody
wx Tdx
2 2
201
Bx
B
O
w xS dx
T
-
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732 2 4 4
2 40(1 .......)
8
Bx
B
O O
w x w xS dx
T T
2 2 4 4
2 4(1 .......)
6 40
B BB B
O O
w x w xS x
T T
2
2
BB
O
wxy
T
2 42 21 ( ) ( ) .......3 5
B BB B
B B
y yS x
x x