U.E PROF EDGAR TITO

ESTATÍSTICA

PROF. RANILDO LOPEShttp://ueedgartito.wordpress.com

Introdução à Estatística Básica

1- O que é Estatística ?

A Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. A Estatística trata de fenômenos não determinísticos.

Um dos objetivos da Estatística é extrair informação dos dados para se obter uma melhor compreensão das situações que esses dados representam. Sempre que possível, deve-se utilizar métodos estatísticos para coletar os dados de modo a extrair o máximo de informação deles.

Uma parte da estatística (chamada de Estatística Descritiva) trata de explorar os dados procurando resumi-los e entender o que eles estão representando e sugerir modelos. Uma outra parte (a Estatística Inferencial) constrói modelos e procura testá-los para explicar melhor a situação e fazer previsões.

2- População e amostra

Qualquer estudo científico enfrenta o dilema do estudo da população ou de uma amostra. Em muitos casos é impraticável estudar-se toda a população, em virtude das distâncias consideradas, custo, tempo, logística, entre outras razões.

A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra. Para que a amostra seja confiável é preciso que sua obtenção seja livre de erros, tais como a falta de determinação correta da população, a falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra. Mais adiante, discutimos com mais detalhes o problema de obter uma amostra adequada para uma população.

3 – Estatística Descritiva

O objetivo da estatística descritiva é representar e resumir um conjunto de dados (seja referentes a uma amostra ou a uma população), de modo a facilitar o seu entendimento e permitir a construção de modelos adequados para explicar seu comportamento.Definições:

Uma unidade é um objeto ou pessoa que está em observação. Quando se trata de uma pessoa, chamamos essa unidade de sujeito(indivíduo).

Uma observação é a informação ou característica medida para cada unidade.

Uma característica que pode variar de unidade para unidade, chamamos de uma variável.

O conjunto de observações em uma ou mais variáveis, chamamos de um conjunto de dados.

Tipos de variáveis

As variáveis se dividem em 2(dois) grandes grupos: Variáveis Qualitativas e Variáveis Quantitativas

Definições:

As variavéis qualitativas podem ser ordinais, quando existe uma ordem nos seus valores, ou nominais, quando isso não ocorre.

Exemplos de variáveis qualitativas: sexo, número de telefone, etc.

As variáveis quantitativas de observações são numéricas, por exemplo: longitude, peso, etc. As operações aritméticas de tais valores têm sentido nessas variáveis. Essas variáveis, por sua vez, se classificam em variáveis discretas ou variáveis contínuas.

Variáveis contínuas podem tomar qualquer valor em um intervalo de valores entre dois limites quaisquer na reta real, tais como, por exemplo: um diâmetro que varie de 0 a 1 metro; altura; peso ou a quantidade de vinho em uma caneca de 50 ml.

Variáveis discretas são aquelas que podem tomar valores em um conjunto finito. Por exemplo: o número de respostas correta em cinco perguntas pode ser: 0, 1,2,3,4,ou 5; idade; número de filhos.

Quando se fala em variável discreta aborda-se um único valor tal como, por exemplo, a quantidade de peças defeituosas em uma amostra. A tipologia dos dados já determina se a variável será, portanto, contínua ou discreta. Isso implica que definir uma variável como contínua ou discreta já acarretará, mais adiante, que tipo de tratamento se dará a esta variável.

Frequência Absoluta e Frequência Relativa

Numa turma , a professora de Geografia resolveu fazer uma pesquisa para verificar de que região do país procediam os pais de seus alunos .

Frequência absoluta – Número de vezes que um valor da variável é citado ou observado. Acima temos representações de tabelas de frequência absoluta.

Frequência Relativa

Turma A : 32 alunos

11 preferem futebol( Frequência absoluta – FA)

A Frequência Relativa (FR) será (34,4%)

Turma B : 24 alunos

10 preferem futebol( Frequência absoluta – FA)

A Frequência Relativa (FR) será (41,7%)

Frequência Relativa : Registra a frequência absoluta em relação ao total de citações. Observe a tabela abaixo

110, 344 .

32F R

1 00 , 4 1 7 .

2 4F R

Fórmula da Frequência Relativa

Frequência absoluta

Nº de elementosFR

Tabela de frequência das variáveis quantitativas

Seja um grupo de alunos dos quais foram registrados a idade( anos); peso (kg) e altura (m)

Primeira situação Segunda situação

Tabelas de Frequências das variáveis quantitativas

Variável: Idade

Variável : Peso

Representação gráfica

Também conhecido como gráfico de linhas, esse tipo de gráfico é muito bom para mostrar quantidades que mudam com o tempo. Olhando um gráfico como esse, podemos dizer se a quantidade está aumentando ou diminuindo e se essa variação é grande ou pequena.

Gráfico de segmentos

Gráfico de vendas dos sedans pequenos entre julho/2007 e março/2008. Apenas o Logan e o Siena estão com tendência de alta.

Gráfico de BarrasOs gráficos de barras são muito usados para comparar quantidades.As barras podem aparecer deitadas ou de pé, quando também são chamadas de colunas.Seja de pé ou deitada, quanto maior o comprimento de uma barra, maior o valor querepresenta.

Gráfico de setoresQuase todo mundo chama esse gráfico pelo apelido: gráfico de pizza. Esse é um tipo de gráfico muito bom para mostrar quantas são as partes que compõem um certo universo, e qual é a participação dessa parte no todo, em porcentagem.

Construindo gráficos em setores

.

Histograma

É comum sua utilização quando uma variável tem seus valores indicados por intervalos

Medidas centrais são valores que resumem um conjunto de dados a um único valor que, de alguma forma, seja representativo do conjunto. As mais importantes medidas de tendência central são: a média aritmética, a mediana e a moda. Também são usados a média aritmética para dados agrupados, a média aritmética ponderada, a média geométrica, a média harmônica. Se os dados provêm de uma amostra, a média, a mediana e as demais medidas de tendência central são dados estatísticos e, se os dados provêm da população, eles são parâmetros.

Medidas de tendência central

Definição: A média (valor esperado, ou valor médio) de um conjunto de n observações é, simplesmente, a soma dos valores das observações dividida pelo número de observações.

Média Aritmética (MA)

Por exemplo: A idade de 6 pessoas de uma determinada residência são: 5, 20, 34, 30, 62, 67 usando os dados de idades de 6 pessoas, se obtém como valor médio anos.

Notação: Se x1, x2, ...., xn denota uma amostra de n observações, então a média da amostra denota-se por (MA) e é calculado como:

5 20 34 30 62 6736,3

6

1 1 2 .........

n

ii n

xx x x

MAn n

Média

Média Ponderada(MP) – Seja x uma variável quantitativa que assume valores x1, x2, ...., xn, com frequências absolutas respectivamente

iguais a n1, n2,...nkA média Aritmética Ponderada é definida como:

50 2 62 2 65 3 91 369, 2

2 2 3 3

x x x xMP

1 1 1 2 2 3 3

1 2 3

1

.. . . .... .

...

n

i ii n n

nn

ii

x px p x p x p x p

MPp p p p

p

Ex:As notas bimestrais de Adriana em Matemática foram respectivamente: 50; 62; 65; 91 e seus pesos são respectivamente 2,2,3,3. Qual foi a MP de Adriana?

Um feirante possuía 50kg de maçã para vender em uma manhã. Começou a vender frutas por R$ 2,50 o quilo e, com o passar das horas, reduziu o preço em duas ocasiões para não haver sobras. A tabela seguinte informa a quantidade de maçãs vendidas em cada período, bem como os diferentes preços cobrados pelo feirante.

2,50.32 2,00.13 1,40.5 1132,26 reais

32 13 5 50MP

32 13 5

2,50 2,50 ... 2,50 + 2,0 ...2,0 1,40 1, 40 ... 1, 40

32 13 5

vezes vezes vezes

MP

Ou seja, R$ 2,26 é o preço médio do quilo da maçã vendido.

Naquela manhã por quanto foi vendido, em média, o quilo da maçã?

Moda (Mo)Definição: Define-se moda de um conjunto de observações de uma amostra como sendo o

valor que surge com mais freqüência se os dados são discretos, ou, classemodal ao intervalo de classe com maior freqüência, se os dados sãocontínuos.

Exs:- No caso em que {0,0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4,5}, a moda é 0 e, neste caso, verifica-se

que nem sempre a moda é uma medida de tendência central.

- Por outro lado, tem-se que o conjunto {0,1,2,4,5,8} não tem moda

- A moda também pode ser determinada para variáveis qualitativas, como porexemplo: flamengo, flamengo, flamengo, flamengo, flamengo, vasco, vasco,fluminense, fluminense, fluminense, botafogo, américa. A moda é flamengo.

- A moda dos valores {0,0,0,1,1,2,2,2,3,4} são duas: 0 e 2. O conjunto é ditobimodal;

A mediana é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo:

Definição: Ordenados os elementos da amostra, do menor para o maior, a mediana de n observações é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois que a amostra de n elementos é ordenada:

Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios

(centrais).

Mediana(Me)

Observação: A mediana é resistente, isto é, não sofre com as alterações modificações efetuadas com as trocas nos valores extremos da amostra.

A moda é uma medida especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes

a mediana.Como n é par, a mediana será

Notas organizadas em ordem crescente

Número de faltas durante um periodo de 15 dias.0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7

Como n é ímpar 50% dos valores são maiores ou iguais a mediana e 50% dos valores são menores ou iguais a mediana.

Mediana

1ª Situação 2ª Situação

7,3 7,47,35

2

Vamos calcular a média e a mediana de um dos exemplos anteriores e fazer algumas observações:

267,96,7

40MA

7,35Me

Medindo Variações:

Considere 2 (dois) conjuntos de dados que têm a mesma média, a mesma mediana e a mesma moda. Naturalmente, eles diferem na variabilidade. Os valores do primeiro conjunto de dados estão mais concentrados ao redor de 60, como a seguir:

Lista 1: 55, 56, 57, 58, 59, 60, 60, 60, 61, 62, 63 64, 65

Média = mediana = moda = 60

Lista 2: 35, 40, 45, 50, 55, 60, 60, 60, 65, 70, 75, 80, 85

Média = mediana = moda = 60

XX

XXXXXXXXXXX35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

XX

X X X X X X X X X X35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

Medidas de dispersão

Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados relativamente à medida de localização do centro da amostra.

Supondo ser a média a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão: a variância, que será definida a seguir.

Variância

Definição: Define-se a variância(V) como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra. Assim, se as n observações de uma variável X são x1, x2, ..., xn, a variância é

22 2 2

1 1 2

( )( ) ( ) ... ( )

n

ii n

x MAx MA x MA x MA

Vn n

onde é a média aritmética das observações

Observação: A variância de uma amostra é mais comumente definida como acima, mas substituindo o denominador por n-1 (isto é feito para que ela seja um estimador não enviesado da verdadeira variância da população). Para amostras grandes, ambas as expressões dão praticamente o mesmo resultado.

1 2 ... nx x xM A

n

Definição: Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão. Assim, o desvio padrão de uma variável X cujos valores são x1, x2, ..., xn, é dada por

O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for seu valor maior será a dispersão dos dados da amostra.Exemplo:

2 2 21 2( ) ( ) ... ( )nx MA x MA x MA

DP Vn

Desvio-padrão

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FIM