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EstatísticaEstatísticaAula 16Aula 16
Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli RodriguesSantos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues
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Aula 17Aula 17
Distribuição NormalDistribuição Normal
AplicaçõesAplicações
Distribuição UniformeDistribuição Uniforme
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A área (isto é, a integral) sob a função de densidade de probabilidade em um determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse intervalo
Distribuição Contínua de ProbabilidadeDistribuição Contínua de Probabilidade
RevisãoRevisão
( ) 0f x
( ) ( )b
a
P a X b f x dx
( ) 1f x dx
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( ) ( ) E X X f X dX Para uma variável aleatória contínua
Esperança de uma v.a. contínuaEsperança de uma v.a. contínua
)()( ii xfxXE v.a. discreta
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Para uma variável aleatória contínua
Variância e Desvio Padrão de uma v.a. ContínuaVariância e Desvio Padrão de uma v.a. Contínua
2 2( ) ( ) ( )Var X X p X
2 2( ) ( ) ( ) Var X X f X dX
( )Var X
- v.a. discreta
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Distribuição UniformeDistribuição Uniforme
DefiniçãoDefinição
1 2 … n
f(x)área = 1
1. Sempre positiva
2. Área abaixo da curva exatamente igual a 1
( ) 0f x
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Distribuição UniformeDistribuição Uniforme
DefiniçãoDefinição
3. A área sob a curva e acima de qualquer intervalo de valores é a probabilidade (proporção) de todas as observações que se enquadram naquele intervalo.
1 se
( )a x b
f x b a 0 caso contrário
a b
f(x)
área = ( )P a X b
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Distribuição UniformeDistribuição Uniforme
DemonstraçãoDemonstração
f(x)
Xa b
X = [a, b] a X b
f(x) = ?
?
( ) 1h b a
( )b
a
f x 1 (área do retângulo)
h
1h
b a
1( )f x
b a
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Distribuição UniformeDistribuição Uniforme
Esperança e VariânciaEsperança e Variância
X = [a, b] a X b
1( )f x
b a
( ) ?
( ) ?
E X
Var X
( ) ( )b
a
E X xf x dx
1 1( )
b b
a a
E X x dx xdxb a b a
2 2 21 1( )
2 2
b
a
x b aE X
b a b a
2 2 ( )( )( )
2( ) 2( )
b a b a b aE X
b a b a
2
a b
f(x)
Xa b
1/(b - a)
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Distribuição UniformeDistribuição Uniforme
Esperança e VariânciaEsperança e Variância
X = [a, b] a X b
1( )f x
b a
2 2( ) ( )b
a
E X x f x dx
2 2 21 1( )
b b
a a
E X x dx x dxb a b a
3 3 32 1 1
( )3 3
b
a
x b aE X
b a b a
3 32( )
3( )
b aE X
b a
( )2
a bE X
2 2( ) ( ) [ ( )]Var X E X E X
f(x)
Xa b
1/(b - a)
continua ...
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Distribuição UniformeDistribuição Uniforme
Esperança e VariânciaEsperança e Variância
1( )f x
b a
3 3 2( )( )
3( ) 4
b a a bVar X
b a
( )2
a bE X
3 3 24( ) 3( )( )( )
12( )
b a b a a bVar X
b a
3 3 3 2 2 34 4 3 3 3 3( )
12( )
b a b ab a b aVar X
b a
3 2 2 33 3( )
12( )
b ab a b aVar X
b a
3( )
12( )
b a
b a
2( )
12
b a
f(x)
Xa b
1/(b - a) X = [a, b] a X b
2 2( ) ( ) [ ( )]Var X E X E X
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Distribuição UniformeDistribuição Uniforme
Esperança e VariânciaEsperança e Variância
a X b
1( )f x
b a
( )2
a bE X
2( )( )
12
b aVar X
f(x)
Xa b
1/(b - a)
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A Distribuição Normal é o modelo mais usado para expressar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória
Esta distribuição também é conhecida como Curva de Gauss, e apresenta um gráfico em forma de sino, com média determinando o centro da função e com desvio padrão determinando a largura da função
Distribuição Normal (Gaussiana)Distribuição Normal (Gaussiana)
IntroduçãoIntrodução
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É a mais usada e mais famosa distribuição de probabilidade para v.a. contínuas
Uma Distribuição de frequência pode ter o seguinte formato
Gráfico simétrico em relação à: média, mediana,....
ocorrendo isto, provavelmente os dados de origem se comportam segundo a distribuição normal
Distribuição Normal (Gaussiana)Distribuição Normal (Gaussiana)
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2
2
( )
21( )
2
X
f x e
2,71828...
X
e
Parâmetros da distribuiçãoParâmetros da distribuição
média da população
desvio padrão da população
Notação: X ~ N ( ; 2 )
Distribuição Normal (Gaussiana)Distribuição Normal (Gaussiana)
~ significa segue X ~ significa que a v.a. segue uma distribuição ...
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Equação:
2x
21
e2
1xf
σ
μ
πσ
média
Desvio padrão
Distribuição Normal (Gaussiana)Distribuição Normal (Gaussiana)
- x
0
0 ,4
-3 -2 -1 0 1 2 3
X
f(x)
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a) suave, unimodal e simétrica em relação à média
Propriedades da curva normal
b) aproxima-se do eixo das abscissas à medida que x se afasta da média curva muda a concavidade nos pontos – e +
c) a área total sob a curva representa 100% de probabilidade
d) por causa da simetria, à esquerda da média 50% e à direita da média também 50% médiaTambém a moda e a
mediana
Distribuição Normal (Gaussiana)Distribuição Normal (Gaussiana)
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Distribuição NormalDistribuição Normal
0
0.1
40 50 60 70 80 90 100
Médias diferentes e desvios padrão iguais
0
0.1
40 50 60 70 80 90 100
Médias iguais e desvios padrão diferentes
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Como calcularemos probabilidades?
A probabilidadeentre 150 e 200
média = 100 e desvio padrão 50
X ~ N (100, 502)
Distribuição NormalDistribuição Normal
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Distribuição NormalDistribuição Normal
Toda vez que um no estiverAfastado da média1áreacorresponde a68,26% daárea total
O mesmoraciocínio para:2 95,5%,2,575
99% ...
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z vezes o desvio padrãoPara direita
Para esquerda
Distribuição NormalDistribuição Normal
P(µ-σ < X < µ-σ ) = 0,6826
P(µ-2σ < X < µ-2σ ) = 0,9545
P(µ-3σ < X < µ-3σ ) = 0,9973
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Distribuição NormalDistribuição Normal
Exemplo 1Exemplo 1
Se a distribuição do consumo de Se a distribuição do consumo de sacos de cimentosacos de cimento no no período entre o pedido de compra e a entrega segue uma período entre o pedido de compra e a entrega segue uma distribuição normal, podemos utilizar a curva abaixodistribuição normal, podemos utilizar a curva abaixo
-10 0 10 20 30 40
= 15 sacos
= 6 sacos
X = consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega
X ~ N (15, 62)
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Distribuição NormalDistribuição Normal
Exemplo 1Exemplo 1
Proporções e probabilidades do consumo de Proporções e probabilidades do consumo de sacos de sacos de cimentocimento no período entre o pedido de compra e a entrega no período entre o pedido de compra e a entrega
= 15 sacos
= 6 sacos
15 21 2793
68%
95%
probabilidade de consumir entre 9 e 21 sacos no período é de 0,68probabilidade de consumir entre 9 e 21 sacos no período é de 0,68 probabilidade de consumir entre 3 e 27 sacos no período é de 0,95probabilidade de consumir entre 3 e 27 sacos no período é de 0,95
Em 2,5% das vezes o consumo é superior a 27 sacosEm 2,5% das vezes o consumo é superior a 27 sacos Em 50% das vezes o consumo é superior a 15 sacosEm 50% das vezes o consumo é superior a 15 sacos
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Portanto, em mais de 16% das vezes necessitou-se de mais cimento do que o disponível no estoque.
Proporções e probabilidades do consumo de Proporções e probabilidades do consumo de sacos de sacos de cimentocimento no período entre o pedido de compra e a entrega no período entre o pedido de compra e a entrega
Distribuição NormalDistribuição Normal
Exemplo 1Exemplo 1
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
(21 27) 0,135P X
( 21) 0,16P X
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Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal PadrãoVimos que a curva normal possui áreas
padronizadasP(µ - σ < X < µ - σ) = 0,6827 z = 1 vez o desvio padrão distante de médiaP(µ - 2σ < X < µ - 2σ) = 0,9545 z = 2 vezes ...P(µ - 3σ < X < µ - 3σ) = 0,9973 z = 3 vezes ...
σμX
z
z é a chamada variável
reduzida, calculadaassim:
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σμX
z
Com a variável
reduzida
2z
21
e2
1zf
π
A equação original se modifica:
Média = 0 e Desvio padrão = 1
Distribuição normal padrão Z ~ N(0,1)
As tabela fornecemo valores da áreaEntre 0 e z
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Muitas vezes estamos interessados em valores deMuitas vezes estamos interessados em valores de probabilidade que a regra 68-95-99,7 não pode nosprobabilidade que a regra 68-95-99,7 não pode nos fornecer fornecer
Padronização daPadronização da
curva Normalcurva NormalTabela Tabela zz
Como calcular a área abaixo da curva (probabilidade) Como calcular a área abaixo da curva (probabilidade) nestes casos?nestes casos?
Cálculo IntegralCálculo Integral
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Métrica dessa distância
Distância de X da média
N ( ; 2 ) N ( 0 ;1 )
Xz
z > 0 X maior que a média
z < 0 X menor que a média
= 0
= 1
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
A distribuição Normal Padrão é a distribuição de uma variável aleatória que possui igual a zero e 2 igual a 1. Nesta condição esta distribuição é representada por Z.
= 0 e 2 = 1
O cálculo da probabilidade normal, usando a função, algumas vezes requer métodos não elementares, portanto, esta probabilidade é determinada usando dados tabelados representados por:
(z) = P (Z z)
2z
21
e2
1zf
π
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Qual a probabilidade da variável aleatória z, Qual a probabilidade da variável aleatória z, distribuição normal padrão, estar entre 0 e 1?distribuição normal padrão, estar entre 0 e 1?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(0 1) 0,34p z
Regra 68-95-99,7
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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z 0,00
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586
0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535
0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409
0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173
0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793
0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240
0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490
0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524
0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327
0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891
1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214
1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298
1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147
Segunda casa decimal de z
(0 1)P z
z
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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P(Z > 1,26) = 1 – P(Z 1,26) = 1 – 0,896165 = 0,103835
P(Z < -0,86) = 0,194894
P(Z > -1,37) = 1 – P(Z -1,37) = 1 – 0,085343 = 0,914657
P(-1,25 < Z < 0,37) = P(Z < 0,37)-P(Z < -1,25)
= 0,644309 – 0,105650 = 0,538659
Calcular as seguintes probabilidades:
Exemplo 2Exemplo 2
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Controle de EstoqueControle de Estoque
O estoque de cimento em uma determinada obra acaba quando a O estoque de cimento em uma determinada obra acaba quando a demanda durante o tempo de espera (entre o pedido de compra e a demanda durante o tempo de espera (entre o pedido de compra e a entrega) é maior que 20 sacos. Qual a probabilidade de que isto entrega) é maior que 20 sacos. Qual a probabilidade de que isto aconteça?aconteça?
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
( 20)P X
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
= 15 sacos
= 6 sacos
Exemplo 3Exemplo 3
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20 150,83
6
Xz
( 20) ( 0,83)
0,5 0,2967 0,2033
P X P z
( 0,83)P z
A chance de que o estoque acabe antes do tempo de espera é de 20,33%.
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
( 20)P X
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0,83
Área da tabela z
z
X
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586
0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535
0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409
0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173
0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793
0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240
0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490
0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524
0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327
0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891
1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214
1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298
1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147
Segunda casa decimal de z c
z0 zc
(0 0,83)P z
z
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
Atenção: esta tabela é um pouco diferente da anterior
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Desenhar a curva com: 0 no meio, z1 e z2
Roteiro para uso da tabela
z1 e z2 em lados opostos: achar a área de cada um e somar
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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z1 e z2 no mesmo lado: diminuir:área maior – área menor
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Se quisermos uma área além de z?fazemos 0,5 – área de dentro
A mesma coisa para o lado esquerdo
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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O último caso é este
Fazemos:1 – área de dentro
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Qual a área entre z = -1 e z = 1?
0,3
41
30
,34
13
0,6826 ou 68,26%
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Qual a área entre z = -1,25 e z = 1,25?
0,3
94
4
0,3
94
4
0,7888 ou 78,88%
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Qual a área entre z = 1 e z = 2?
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Qual a área para z maior que 2,25?
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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QUE TIPO DE PROBLEMA NECESSITA DA DN E COMO RESOLVÊ-LO
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Ou quando houver condições teórico-práticas obedecidas
Quando os dados de origem se comportarem deste jeito;
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Roteiro: resolver problemas
1)Identificar a média, o desvio padrão e a área desejada
2)Desenhar a curva do problema
Média no meio Valores deinteresse
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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3) Calcular os valores de z:sXX
z
4) Desenhar a curva normal padrão
5) Calcular como antes (TABELA)
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
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Exemplo – restaurantePeso médio consumido: 0,56 kg. Desvio padrão
é de0,040 kg. Admitir que esta v.a. seja distribuída normalmente e determinar:(a)quantas pessoas comem entre 0,50 e 0,70 kg;(b) mais do que 0,65 kg.
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
1) = 0,56 e = 0,04 Letra a) P(0,50 < X < 0,70) = ? Letra b) P(X > 0,65) = ?
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2) Curva do problema
Letra a)
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
3) Valores de z
1,500,04
0,560,50z1
3,50
0,040,560,70
z2
4) Curva normal padrão
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5) Área (TABELA)
93,3% dos pratos servidos estãoentre 0,50 e 0,70 kg.
Área = 0,9330
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão
Letra b)
R.: somente 1,22% dos pratos têm peso maior que 0,65 kg.
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EstatísticaEstatísticaAula 16Aula 16
Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli RodriguesSantos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues