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EstatísticaEstatísticaAula 24Aula 24
Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Aula 24Aula 24
Teste de Hipóteses para 3 ou mais médias: Teste de Hipóteses para 3 ou mais médias: ANOVA dois fatoresANOVA dois fatores
Inferência sobre 3 ou mais médiasInferência sobre 3 ou mais médias
Objetivo: dadas 3 ou mais amostras, verificar a hipótese de igualdade de 3 ou mais médias populacionais mesmo objetivo de antes
Mas agora vamos verificar a influência não somente de um fator, mas de 2 fatores ANOVA de 2 fatores ou 2 critérios
Além de ser analisado se o nível de um determinado fator (tratamento) afeta a igualdade ou não das médias, será analisado se um dos fatores interfere no outro ou interage com o outro interação de fatores
Inferência sobre 3 ou mais médiasInferência sobre 3 ou mais médias
O que significa interação entre fatores?Um exemplo simples ...Suponhamos que a tabela abaixo mostre um os resultados de experimento com 2 fatores A e B, cada um com 2 níveis (Aalto, Abaixo, Balto e Bbaixo). Vamos analisar o que ocorre por causa da mudança de nível do fator
Fator A Fator BBbaixo Balto
Abaixo 10 20Aalto 30 40
A variação na resposta por causa dessa mudança chamaremos de efeito principal do fator
Inferência sobre 3 ou mais médiasInferência sobre 3 ou mais médias
O que significa interação entre fatores?Um exemplo simples ...O efeito principal do fator A é a diferença entre a resposta média no nível alto de A e resposta média no nível baixo de A
Fator A Fator BBbaixo Balto
Abaixo 10 20Aalto 30 40
2022010
24030A efeito
A variação no fator A do nível baixo para o nível alto faz a resposta média aumentar de 20 unidades
Fazendo o mesmo para B, a resposta média tem um aumento de 10 unidades
Inferência sobre 3 ou mais médiasInferência sobre 3 ou mais médias
O que significa interação entre fatores?Um exemplo simples ...Imaginemos agora que, no lugar do resultado 40 na tabela, tenhamos obtido o resultado 0
Fator A Fator BBbaixo Balto
Abaixo 10 20Aalto 30 40
Fator A Fator BBbaixo Balto
Abaixo 10 20Aalto 30 0
Que tipo de interferência no resultado ocorre?
022010
2030A efeito
O efeito de A depende do nível escolhido de B !
Inferência sobre 3 ou mais médiasInferência sobre 3 ou mais médias
O que significa interação entre fatores?Um exemplo simples ...O efeito que chamamos principal de A depende do nível de B ele é mascarado pela interação AB
Podemos estimar ou verificar a interação neste caso simples de 2 formas: calculando o efeito AB ou por gráficos
Fator A Fator BBbaixo Balto
Abaixo 10 20Aalto 30 40
Fator A Fator BBbaixo Balto
Abaixo 10 20Aalto 30 0
Inferência sobre 3 ou mais médiasInferência sobre 3 ou mais médias
O que significa interação entre fatores?
Fator A Fator BBbaixo Balto
Abaixo 10 20Aalto 30 40
Fator A Fator BBbaixo Balto
Abaixo 10 20Aalto 30 0
024010
23020AB interação
202
0102
3020AB interação
Exemplo: Um engenheiro suspeita que o acabamento de uma superfície de peças metálicas seja influenciado pelo tipo de tinta usada e pelo tempo de secagem. Ele selecionou três tempos de secagem (20, 25 e 30 minutos) e usou dois tipos de tinta. Três peças são testadas com cada combinação de tipo de tinta e tempo de secagem. Os dados são apresentados a seguir:
ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatores
Fator B
ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatores
Quais são os fatores?
Usaremos a tabela ANOVA de 2 fatores, verificando se há interação significativa e efeitos médios dos fatores significativos
ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatores
Como é construída a tabela ANOVA?
ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatoresComo calcular as somas quadráticas?Supondo 2 fatores: fator A com 2 (a = 2) tratamentos e fator B com 3 tratamentos (b = 3)
Fator B1 2 3 média
s totais
Fator A1 x111
x112
x121 x122
x131 x132
xml1 xtl1
2 x211x212
x221 x222
x231 x232
xml2 xtl2
médias xmc1 xmc2 xmc3 xtotais xtc1 xtc2 xtc3 xt
=
ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatoresNomenclatura:Célula intersecção entre fatores (em nosso exemplo há uma célula com os valores x111 e x112)No de níveis do fator A a = 2 (nosso exemplo)No de níveis do fator B b = 3 (nosso exemplo)No de réplicas n = 2 (nosso exemplo)Observação da ij-ésima célula para a k-ésima réplica xijk
ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatoresNomenclatura:SQA SQ devido às linhas ou fator ASQB SQ devido às colunas ou fator BSQAB SQ devido à interação entre A e BSQE SQ devido ao erroSQT = SQA + SQB + SQAB + SQE SQ totalE então, como calcular as somas quadráticas?Primeiro SQTDepois SQA, SQB e SQABDepoisSQE = SQT - SQA - SQB – SQAB
E as fórmulas?
ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatoresComo calcular as somas quadráticas?
abnxxxxx...xxxSQ
2t2
1112232
2231
2222
2121
2112
2111T
abnx
bnxxSQ
2t
2tl2
2tl1
A
abnx
anxxxSQ
2t
2tc3
2tc2
2tc1
B
BA
2t
2tcel23
2tcel22
2tcel21
2tcel13
2tcel12
2tcel11
AB SQSQabnx
nxxxxxxSQ
ij célula na totalxtcelij
SQE = SQT - SQA - SQB – SQAB
ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatores
ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatoresQuais os passos no teste de hipótese?1) Testar a hipótese nula de que não há qualquer
interação entre os fatores2) Se rejeitarmos H0 do passo 1 parar. Senão,
prosseguir e testar outras hipóteses passo 3
3) Testar as hipóteses: H0: não há qualquer efeito do fator linha (isto é, as
médias das linhas são iguais) H0: não há qualquer efeito do fator coluna (isto é, as
médias das colunas são iguais)
1)-1)(b-(aSQMQ AB
AB 1)-ab(nSQMQ E
E E
ABMQMQ
Verificar primeiro isto
ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatoresQuais os passos no teste de hipótese?
1
1
AplicaçõesAplicaçõesExemplo: Um engenheiro suspeita que o acabamento de uma superfície de peças metálicas seja influenciado pelo tipo de tinta usada e pelo tempo de secagem. Ele selecionou três tempos de secagem (20, 25 e 30 minutos) e usou dois tipos de tinta. Três peças são testadas com cada combinação de tipo de tinta e tempo de secagem. Os dados são apresentados a seguir:
Tinta (A) Tempo de Secagem (min) (B) Total Média20 25 30
174
18873
17878
255 621 69,0064 61 8550 44 92
292
24698
25966
196 701 77,8986 73 4568 88 85
Total 434 437 451 1322 Média 72,33 72,83 75,17 73,44
AplicaçõesAplicações
Tinta (A) a = 2T. Sec. (B) b = 3
n = 3N = 18
4.504,443321.3228545
66688692928578446174SQ2
22
2222222222T
AplicaçõesAplicações
355,563321.322
33701621SQ
222
A
27,443321.322
32451437434SQ
2222
B
1.878,7827,44355,563321.322
3196255259178246188SQ
2
222222
AB
SQE = 4.504,44 – 355,56 – 27,44 – 1.878,78 = 2.242,67
1.878,78
4.504,44
2.242,67
355,56
27,44
2-1 = 1
3-1 = 2
(2-1).(3-1) = 2
2.3.(3-1) = 12
2.3.3-1 = 17
355,56/1 = 355,56
27,44/2 = 13,72
1.878,78/2 = =939,39
2.242,67/12 = =186,89
1,90
0,07
5,03
AplicaçõesAplicações
Fc para AB = F0,05;2;12 = 4,7472 rejeita H0 passo 1 Parar, pois há interação entre os fatores
AplicaçõesAplicações
Tipo de Tinta
Tempo de secagem
20 min
25 min
30 min
Tipo 1 62,67 59,33 85,00Tipo 2 82,00 86,33 65,33
Interação detectada graficamente
Médias nas células
AplicaçõesAplicaçõesUso do Statdisk
AplicaçõesAplicaçõesUso do Statdisk
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