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Rosa – 2015
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hojeProbabilidade CondicionalIndependência de EventosTeorema da Probabilidade TotalLei de BayesVariáveis AleatóriasPMF, CDF
Aulas passadasEspaço AmostralÁlgebra de EventosAxiomas deProbabilidadeAnáliseCombinatória
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Probabilidade CondicionalRelacionamento entre a ocorrência de um evento e outros eventos
Qual a probabilidade do evento A dado que o evento B ocorreu?Dado que o resultado do experimento aleatório é elemento de B, qual a probabilidade deste ser também elemento de A?
Espaço amostral passa a ser o evento B
SEvento BEvento A
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Probabilidade Condicional
Definição:
P [A∣B ]=P [A∩B]
P[B]Probabilidadede A dado B
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Eventos IndependentesSejam A e B dois eventos sobre o mesmo espaço amostral S
A e B são independentes se
P [A∩B ]=P [A ]P [B ]
Note que se A e B são independentes, então
P [A∣B ]=P [A∩B ]
P [B ]=
P [A ]P [B ]
P [B ]=P [A ]
2 eventos são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro
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Regra do produto (1)Teorema : Considere um conjunto finito de eventos tais que os eventos condicionais
tenham probabilidades positivas.
Temos que:
A i /A1∩A2∩...∩A i−1
A1, A2, ..., An
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Regra do produto (2)Para demonstrar basta escrever:
E reescrever o lado direito da equação usando a definição de probabilidade condicional:
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Exemplo: Dado e moeda
Evento A: resultado do dado é ímpar
Evento B: resultado da moeda é cara
Eventos A e B são independentes ? S={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co),
(4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)}
P [A∩B]=P [A]P[B]=1/4
P [A∩B ]
A∩B
P[A] = 1/2, P[B] = 1/2
= {(1,Ca), (3,Ca), (5,Ca) }
= 3/12 = 1/4
A e B sãoindependentes!
P [A/B]=P[ A∩B] /P [B]=1/2
6 resultados em 12
3 resultados em 6
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Exemplo: Dois dadosEvento A : os dois dados são pares
Evento B : soma dos dados é menor que 7A e B são independentes?A = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),(6,2), (6,4),
(6,6)}B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2),
(2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}
P [A∩B ]≠P [A ]P [B ]
P [A∩B ]
A∩BP[A] = 9/36=1/4, P[B]=15/36=5/12
= {(2,2), (2,4), (4,2) }
= 3/36 = 1/12
A e B não sãoindependentes!
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Eventos: Mutuamente Exclusivos x Independentes
Experimento Aletório: Jogar um dado e uma moedaS={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co),
(4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)}
Evento A: resultado da moeda é cara P(A) = 1/2
Evento B: resultado da moeda é coroa P(B) = 1/2
Eventos A e B são independentes ou mutuamente exclusivos?
A∩B=∅ A e B são mutuamenteexclusivos!
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Eventos: Mutuamente Exclusivos x IndependentesEvento A: resultado do dado é maior do que 2
Evento B: resultado da moeda é caraS={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co),
(4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)}
A∩B = { (3,Ca), (4,Ca), (5,Ca), (6,Ca)}
P [A∩B] = 4/12 = 1/3
P [A∩B]=1/3=P [A]P [B]=2 /6
P[A] = 8/12 = 2/3, P[B] = 1/2
A e B sãoindependentes!
P [A/B]=P[ A∩B] /P [B]=2 /3
8 resultados em 12
2 resultados em 3
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CondicionamentoRelacionar eventos para calcular probabilidade
Sejam A e B dois eventos, temos que
P [A∩B]P [A∩B] mutuamenteexclusivos
Definição de probabilidadecondicional
P [A]=P [ A∩B∪A∩B ]
=
=
definição deconjuntos
P [A∩B]P [A∩B]
P [A∣B ]P [B]P[A∣B]P [B ]
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Teorema da Probabilidade Total
Generalização do conceito
Seja Bi (i=1,...,n) uma partição do espaço amostral
mutuamente exclusivos, união é igual ao espaço amostral
B1
B2
B3
Bn-1
Bn
. . .A
Considere o evento Aprobabilidade de A ocorrer (em função de B
i)?
P [A]=∑i=1
i=n
P [A∣Bi ]P [Bi ]Teorema da ProbabilidadeTotal
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Lei de Bayes Permite o cálculo da probabilidade de um evento B
condicionado a um evento A, dado que se conhece o inverso
Uso do teorema da probabilidade total
P [B i /A]=(P [A/B i]P [B i])
(∑i=1
i=n
P [A∣B i ]P [B i])P [A]
P [Bi∩A]
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Exemplo 1Técnica (imperfeita) para acusar defeitos em processadores
95% verdadeiro positivo
5% falso positivo
1% dos processadores possuem defeitos
Qual a probabilidade de um processador ser defeituoso dado que o teste foi positivo?Eventos
D : processador defeituoso
T : resultado do teste é positivo
teste acusa defeito quando processadorestá defeituosoteste acusa defeito quando processadorestá ok
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Exemplo 1D : processador defeituoso
T : resultado do teste é positivo
Pergunta: P[D|T] ?
P [D ]=0.01
P [D∣T ]=P[D∩T ]
P [T ]=
P[T∣D ]P[D ]
P [T ]
P [T∣D]=0.95 P [T∣D ]=0.05
P [T ]=P [T∣D ]P [D ]P [T∣D ]P [D ]
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Exemplo 2Em um teste de múltipla escolha, ou um estudante sabe a resposta ou arrisca uma das alternativas. Seja p a probabilidade do estudante saber a resposta e1p a probabilidade do estudante arriscar adivinhála. Assuma que um estudante que arrisca a resposta, acerta a resposta correta com probabilidade 1/m, onde m é o número de alternativas de múltipla escolha. Qual é a probabilidade condicional de que um estudante soubesse a resposta da questão, dado que ele respondeu corretamente ?
=> Primeiro passo: definição dos eventos
=> Segundo passo: definição da equação a ser usada
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Exemplo 2Evento C: o estudante responde corretamente
Evento K: o estudante sabe a resposta
Se m=5 e p=1/2, então a probabilidade de um estudante saber a resposta de uma questão que ele respondeu corretamente é 5/6.
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Exemplo 3Vamos supor que vamos selecionar 3 cartas em um baralho comum (com 52 cartas) ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de retirarmos 3 reis?
Pela regra do produto, temos:
Evento Ai={iésima carta retirada é rei}, onde i=1,2,3
Queremos calcular P(A1∩A 2∩A3)
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Exemplo 4Um canal de comunicação transporta dois tipos de sinais, denotados por 0 e 1. Devido ao ruido, um 0 transmitido pode ser recebido como 1 e 1 como 0. Para um dado canal, assuma a probabilidade de 0.94 que um 0 transmitido seja corretamente recebido como 0 e a probabilidade de 0.91 que um 1 seja recebido como 1. Assuma também a probabilidade 0.45 de transmitir um 0. Determine:
– Probabilidade que um 1 seja recebido
– Probabilidade que um 0 seja recebido
– Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi
recebido
– Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi
recebido
– Probabilidade de um erro
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Exemplo 4Definição de eventos:
– 0 é transmitido
– 0 é recebido
– 1 é transmitido
– 1 é recebidoT 1=T 0
R1=R0
T 0
R0
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Exemplo 4Perguntas:
– Probabilidade que um 1 seja recebido
– Probabilidade que um 0 seja recebido
– Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi recebido
– Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi recebido
– Probabilidade de um erro
P(R1)
P(R0)
P(T 1/R1)
P(T 0 /R0)
P(R1/T 0)P(T 0)+P(R0 /T 1)P(T 1)
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Exemplo 4Sabese que:
P(R0/T 0)=0.94 ⇒P (R1/T 0)=1−P (R0 /T 0)=0.06P(R1 /T1)=0.91 ⇒P(R0/T 1)=1−P(R1/T 1)=0.09P(T 0)=0.45 ⇒P (T1)=1−P (T 0)=0.55
Cálculo de P(R1) e P(R
0)
P(R1)=P(R1/T 1)P(T 1)+P (R1/T 0)P (T 0)
0.91∗0.55+0.06∗0.45=0.5545
P(R0)=1−P(R1)=0.4455
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Exemplo 4Sabese que:
P(R0/T 0)=0.94 ⇒P(R1/T 0)=1−P(R0/T 0)=0.06P(R1/T 1)=0.91 ⇒P(R0 /T 1)=1−P(R1/T 1)=0.09P(T 0)=0.45 ⇒P(T 1)=1−P(T 0)=0.55
Cálculo de P(T1/R
1)
P(T 1/R1)=P(T 1∩R1)
P(R1)=
P(R1/T 1)P(T 1)
P(R1)=
0.91∗0.550.5545
=0.9026
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Exemplo 4Sabese que:
P(R0/T 0)=0.94 ⇒P(R1/T 0)=1−P(R0/T 0)=0.06P(R1/T 1)=0.91 ⇒P(R0 /T 1)=1−P(R1/T 1)=0.09P(T 0)=0.45 ⇒P(T 1)=1−P(T 0)=0.55
Cálculo de P(T0/R
0)
P(T 0 /R0)=P(T 0∩R0)
P(R0)=
P(R0/T 0)P(T 0)
P(R0)=
0.94∗0.450.4455
=0.9494
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Exemplo 4Sabese que:
P(R0/T 0)=0.94 ⇒P(R1/T 0)=1−P(R0/T 0)=0.06P(R1/T 1)=0.91 ⇒P(R0 /T 1)=1−P(R1/T 1)=0.09P(T 0)=0.45 ⇒P(T 1)=1−P(T 0)=0.55
Cálculo de P(“Erro”)
P(Erro)=P(R1/T 0)P (T 0)+P(R0 /T 1)P(T 1)
0.06∗0.45+0.09∗0.55=0.0765
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Variáveis Aleatórias
Necessidade de expressar eventos de forma precisa
Interesse não no resultado aleatório, mas numa função do resultado
Idéia: Mapear eventos em números reais!
A B C D E
reais
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Exemplo: 1 dado
Considere um dadoGanha 10 se o resultado é 6, zero se o resultado é 4 ou 5, e perde 5 se o resultado é 1, 2 ou 3
1 2 3 4 5 6
0 10-5
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Definição de V.A.
Uma variável aleatória X é uma função sobre um espaço amostral S que associa um número real a cada elemento de S
v.a. é uma função (e não uma variável)
imagem de X é o espaço amostral (discreto ou contínuo)
função não precisa ser bijetora (umparaum)
X :S ℜ
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Exemplo: 2 dados
Considere dois dados (vermelho e preto)
Espaço amostral:S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), ... }
Seja X uma v.a. que representa a soma dos dois dados
Inversa de X
eventos que levam a um certo valor de X
X = 4 : {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
X i , j =i j
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Função probabilidade de massa (pmf)
Associar probabilidade a valores de uma v.a.
Seja X uma v.a. (discreta)
Qual a probabilidade de X = x?Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x
notação de pmf (probability mass function)
{s∣X s=x }
pX x =P [X =x ]=P [{s∣X s=x }]= ∑X s=x
P [s]
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Propriedades da função probabilidade de massa
onde xi são todos os valores que a variável aleatória pode assumir
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Exemplo: 2 dados
Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados
Defina a pmf de X
Qual é o domínio de X (valores que X pode assumir)?
= 1/36
= 2/36
= 3/36
X=2 : {(1,1)}
X=3 : {(1,2), (2,1)}
X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}
. . .
pX x =P [X =x ]
pX 2=P [X =2]
pX 3=P [X =3]
px 4=P [X =4]
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Exemplo: 2 dadospmf, graficamente
x (valor que X pode assumir)
P [
X =
x]
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Função distribuição cumulativa (cdf)
Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual)
Dada v.a. X, temos
notação da cdf (cumulative distribution function)
FX(x) é não decrescente
Limite quando x tende a infinito é 1
F X x =P [X x ]=P [{s∣X sx }]= ∑X sx
P [ s ]
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Propriedades da função distribuição cumulativa