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Bioestatística - UFAM

Estatística

Profa. Maria Ivanilde S. Araújoe-mail: [email protected]


Distribuições Discretas


Variáveis Aleatórias Discretas

• Definição: Uma função X, definida sobre o espaço amostral e com valores num conjunto enumerável de ponto da reta, é dita uma variável aleatória discreta.



• Definição: Chama-se função de probabilidade da v.a. discreta X, que assume os valores a função , que a cada valor de associa a sua probabilidade de ocorrência, isto é,



• Definição: Diz-se que X é uma variável aleatória (v.a.) discreta, se existir uma função pdenominada função de distribuição (f.d.) de X que satisfaça as seguintes condições:


Variáveis Aleatórias Discretas• A esperança (ou média ou valor esperado) de X é

definida como

• A variância de X é definida como



• A função de distribuição acumulada de X é definida por



• Descreve quantidades aleatórias (dados de interesse) que podem assumir valores particulares e os valores são finitos.

• Por exemplo, uma variável aleatória discreta pode assumir somente os valores 0 e 1, ou qualquer número inteiro, etc. Um exemplo de variável climatológica discreta são as tempestades com granizo.


• Alguns modelos de distribuição são frequentemente usados para representar a função distribuição de densidade (f.d.) de variáveis aleatórias discretas..

o Estudaremos os seguintes modelos:o Distribuição Bernoulli;o Distribuição Binomial;o Distribuição Poisson;


Distribuição de Bernoulli

• Jakob Bernoulli, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, Suíça, 27 de dezembro de 1654 – 16 de agosto de 1705).



Motivação: Muitos experimentos apresentam ou não uma determinada característica:

• Uma moeda lançada: o resultado é cara ou coroa;

• Uma dado é lançado: ou ocorre face 5 ou não (ocorrendo então uma das faces 1, 2,3,4 ou 6);

• Uma criança vai nascer: ou é menina ou menino



Definição: Um experimento de Bernoulli é um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis denotados por

Onde: a probabilidade de sucesso é denota por p e está

entre 0 e 1.

Seja X um experimento de Bernoulli onde ocorre sucesso ou fracasso.



A distribuição de Bernoulli é a distribuição de uma v.a. X associada a um experimento de Bernoulli, onde se define:

Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p+q=1, ou seja, q=1−p. Temos que:

x 0 1P(X = x) 1 - p p



Nessas condições a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli, e sua função de probabilidade é dada por:

que é denotada por:



onde: e



Exemplo: Um experimento aleatório consiste em lançar um dado honesto e observar o seu resultado. Seja X a variável aleatória que vale 1, se o resultado é “5”, e 0 em outro caso.

Neste caso a probabilidade de sucesso é p = 1/6.

BUSSAB, pg. 143.

E temos que:X: sucesso ou fracasso.

Então o modelo correspondente é dado por:


Distribuição Binomial Motivação: Consideremos n repetições

independentes de um experimento de Bernoulli com parâmetro p.

• Uma moeda balanceada é lançada 5 vezes seguidas.

Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

• Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Qual a probabilidade do time A ganhar 4 jogos?


Distribuição Binomial

Vamos definir a seguinte v.a. associada a este experimento:

X = número de sucessos obtidos nas n repetições. Onde:

• A probabilidade de sucesso é constante ao longo do experimento;

• Cada experimento é independente.



Definição: A variável X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p e tem função de probabilidade dada por:

Com: e



onde:n é o número de repetições do experimento;x é o número sucessos nas n repetições;n-x é o número de fracassos nas n repetições;p é a probabilidade de sucesso num ensaio

individual;q é a probabilidade de fracasso num ensaio

individual.



• Denotada por:

onde:

e,



Exemplo: O evento gênero feminino, ao nascimento de uma criança, possui probabilidade p=1/2 de ocorrer. Encontre a distribuição de probabilidade do gênero feminino de um casal com prole n=6 e calcule qual é a probabilidade de que o casal venha a ter pelo menos duas filhas.

LOESCH, Claudio. Probabilidade e Estatística, pg. 57.

X é o número de filhas de um casal com 6 filhos.A distribuição de probabilidade é dada por:



x 0 1 2 3 4 5 6

P(X=x) 0,0156 0,0938 0,2344 0,3125 0,2344 0,0938 0,0156

A probabilidade do nascimento de pelo menos duas filhas:


Distribuições Contínuas


Variáveis Aleatórias Contínuas

• Definição: Uma função X, definida sobre o espaço amostral e assumindo valores num intervalo de números reais, é dita uma variável aleatória continua.


Variáveis Aleatórias Contínuas

• Definição: Diz-se que X é uma variável aleatória (v.a.) contínua, se existir uma função denominada função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X que satisfaça as seguintes condições:

Para qualquer , teremos ;


Variáveis Aleatórias Contínuas• A esperança (ou média ou valor esperado) de X é

definida como

• A variância de X é definida como

• A função de distribuição acumulada de X é definida

por


• Alguns modelos de distribuição são frequentemente usados para representar a função distribuição de probabilidade (f.d.p.) de variáveis aleatórias (v.a.) contínuas.

o Estudaremos apenas um modelo:o Distribuição normal;


Distribuição Normal• É a distribuição de probabilidade mais importante

na estatística.

• Abrange um grande número de fenômenos.

• Possui gráfico simétrico, em formato de sino.

• As medidas de tendência central: media, moda e mediana são todas idênticas (simetria).


Distribuição Normal

• Definição: Uma variável aleatória contínua X, definida para todos os valores da reta real, tem densidade normal com parâmetros µ e , onde e se sua f.d.p. é dada por

Notação: .


Distribuição Normal• Caracterização:


Distribuição Normal• Propriedades:O máximo da função densidade de probabilidade

se dá no ponto A distribuição é simétrica em relação ao centro Os pontos de inflexão são exatamente

;Verifica-se na distribuição normal que:


Distribuição Normal

• Gráfico da f.d.p.


Distribuição Normal• Exemplo:


Vimos que, para cada valor de existe uma distribuição normal diferente. Deste modo, o cálculo de áreas sob a curva normal, frequentemente necessário, deverá ser feito sempre em função dos particulares valores de . Para evitar essa trabalhosa tarefa de calcular essas áreas, foi determinada uma distribuição normal padrão ou reduzida. Através da distribuição normal padrão é possível estudar qualquer variável que tenha distribuição normal, com quaisquer valores para .

DISTRIBUIÇÃO NORMAL


Distribuição Normal Padrão

• Definição: Seja uma variável aleatória X com distribuição normal com média zero e desvio padrão igual a um, cuja a função de densidade da normal padrão é definida por:

Notação:



A função densidade de probabilidade da distribuição normal padrão facilitou o cálculo das áreas sob a curva.

Assim, a curva da normal padrão foi dividida em pequenas tiras, cujas áreas forma calculadas e apresentadas numa tabela. Na tabela da distribuição normal padrão, podemos encontrar as áreas correspondentes aos intervalos de 0 a x.



• Gráfico da curva da normal padrão



A distribuição normal padrão e sua tabela podem ser utilizadas para a obtenção de probabilidades correspondentes a qualquer variável X que tenha distribuição normal.

A distribuição de uma variável X, com quaisquer valores para , pode ser obtida pela transformação da variável X na variável Z, através da expressão


Distribuição Normal Padrão• Para utilizar os valores da tabela, devemos

transformar X em Z.

Após a transformação, podemos procurar na tabela a área compreendida entre 0 e z, que corresponderá à área entre .


Distribuição Normal Padrão• Exemplo: Sabemos que as notas de 450

alunos estão normalmente distribuídas, com média 3,9 e desvio padrão . Determine:

A probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27.• Resolução:

Para determinar a probabilidade ocorrer uma nota maior do que 4,27, devemos encontrar a área localizada à direita de 4,27 na curva normal.



= 0,5 - 0,40658



ou seja, ou 9,34%


Referências

• DANTAS, C. A. B. – Probabilidade: Um curso Introdutório;

• MEYER, P. L. – Probabilidade (Aplicações à Estatística);

• BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. – Estatística Básica;

• Farias, A. M. L. – Variáveis Aleatórias Continuas – UFF;

• Loesch, C. (2012), Probabilidade e Estatística, Rio de Janeiro: LTC.

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