estatÍstica professor manuel. ao pesquisarmos uma dada população estatística, freqüentemente,...
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ESTATÍSTICAProfessor Manuel
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Ao pesquisarmos uma dada população estatística, freqüentemente, não é possível fazermos um levantamento de todos os elementos que o compõem.
Nesse caso, procuramos obter dados diferentes de uma parte da população estatística, que
denominaremos Amostra.
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Distribuição de FreqüênciaFez-se uma pesquisa com 25 jovens de um bairro paulista, a respeito do time de futebol para o qual torciam. O resultado obtido aparece na lista seguinte:
Palmeiras São Paulo Palmeiras Santos Palmeiras
Corinthhians
Santos Corinthhians
Corinthhians
São Paulo
Santos Palmeiras Corinthhians
Portuguesa Corinthhians
Juventus Corinthhians
São Paulo Santos Corinthhians
Corinthhians
Santos Santos Palmeiras São Paulo
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Construindo uma tabela...
Time FreqüênciaPalmeiras 5
Corinthhians 8
Santos 6
Juventus 1
São Paulo 4
Portuguesa 1
Total ƒ = 25
As freqüências são os nos de elementos da população ou amostra pesquisada que correspondem à faixa do fenômeno estudado.
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Continuando . . .Chamamos de freqüência relativa (ƒr), a razão entre a freqüência correspondente (ƒ) e o nº total de pesquisados (ƒ), ou seja:
ƒr =ƒ
ƒÉ comum a apresentação da freqüência relativa em porcentagem:
ƒp = (100 . ƒr) %
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Continuando . . .
Na situação que estamos examinando, a porcentagem de torcedores do Palmeiras é:
ƒp = (100 . 0,2) = 20%
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Construindo uma nova tabela
Time Freqüência (ƒ)
Freqüência (ƒr)
Porcentagem
Palmeiras 5 5/25 = 0,20 20%
Corinthhians
8 8/25 = 0,32 32%
Santos 6 6/25 = 0,24 24%
Juventus 1 1/25 = 0,04 4%
São Paulo 4 4/25 = 0,16 16%
Portuguesa 1 1/25 = 0,04 4%
Total ƒ = 25 1 100%
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Construindo uma nova tabela
Obs.: São sempre válidos os seguintes resultados:
ƒ
Total ƒ = 25 1 100%
Somatório da
Freqüência
ƒr ƒSomatório da Freqüência
Relativa
Somatório da Freqüência Relativa em
Porcentagem
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Gráfico de Barras ou de ColunasNo gráfico de barras, colocamos as freqüências num eixo horizontal usando retângulos de mesma largura, cujos comprimentos são proporcionais às freqüências.
Gráfico de Barras
5
8
6
1
4
1
0 2 4 6 8 10
Palmeiras
Santos
São Paulo
Tim
es
Freqüência
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Gráfico de Barras ou de ColunasGráfico de Colunas
5
8
6
1
4
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Palmeiras Corinthhians Santos Juventude São Paulo Portuguesa
Times
Freq
üênc
ia
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Gráfico de SetoresGráfico de Setores
Palmeiras
20%
Corinthhians
32%Santos
24%
J uventude
4%
São Paulo
16%
Portuguesa
4%
Nos gráficos de setores, desenhamos um círculo e o dividimos em setores que tenham áreas proporcionais às porcentagens (ou freqüências).
Corinthians: 32% de 360° é 115,2°
Santos: 24% de 360° é 86,4°
Palmeiras: 20% de 360° é 72,0°
Portuguesa: 4% de 360° é 14,4°
Juventus: 4% de 360° é
14,4°
São Paulo: 16% de 360° é 57,6°
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Consideremos uma pesquisa na qual foram obtidos os resultados que constam na lista abaixo:
1 1 1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9
Mediana
Chamamos de mediana (Md) de uma distribuição o valor que ocupa o posição central quando todos os valores são colocados em ordem.Exemplo:
21 observações
10 observações de um lado
10 observações do outro ladoMd
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Obs.: Se o nº dos valores da lista for par, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais quando todos eles são colocados em ordem.
Exemplo:Consideraremos uma pesquisa na qual foram obtidos os resultados que constam na seguinte lista:
1 2 3 4 5 6 7 8
Mediana
4 observações do outro lado
4 observações de um lado
Temos:4+5Md = 2 = 4,5
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Mediana
Nº de Pontos
Freqüência
0 7
2 10
4 12
6 11
8 7
10 2
Total 49
Exemplo: Determine a mediana da distribuição da freqüência dada pela tabela abaixo:
Solução:Neste caso, em que há 49 valores, a posição central é a 25ª, observando as freqüências, percebemos que:
7 + 10 < 25 e 7 + 10 + 12 > 25; logo, temos: Md = 4.
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Média
Chamamos de média (M) de uma distribuição a média aritmética dos valores dados.
Exemplo:Numa pesquisa foram obtidos os resultados que constam na lista abaixo:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8M =8
= 4,5
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Moda“O mais freqüente”
Exemplo 1:
1 2 3 3 3 4 5 6 Moda = 3
Exemplo 2:
1 2 2 2 3 3 4 4 4 Moda = 2 e 4
Exemplo 3:
1 2 3 4 Moda = Não existe (estado amodal)
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DesvioConsideraremos a distribuição cujos resultados constam na lista seguinte:
4 6 7 8 10
Sabemos que a média desta distribuição é:
4 + 6 + 7 + 8 + 10M =
5= 7
Chamamos de desvio de cada valor a diferença entre esse valor e a média da distribuição. Assim:
• o desvio do valor 4 é 4 - 7 = - 3;• o desvio do valor 6 é 6 – 7 = - 1;• o desvio do valor 7 é 7 – 7 = 0;• o desvio do valor 8 é 8 – 7 = 1;• o desvio do valor 10 é 10 – 7 = 3.
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Desvio Médio
Chamamos de desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios. No exemplo analisado, o desvio médio:
DM = | -3 | + | -1 | + | 0 | + | 1 | + | 3 |
5=1,6
Generalizando, tendo-se uma distribuição cujos resultados constam na lista abaixo:
x1 x2 xn
E cuja média é M, define-se como desvio médio dessa distribuição a expressão:
DM = | x1 – M| + | x2 – M| + . . . + |xn – M|
n
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VariânciaChamamos de variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios. No exemplo em questão, a variância é:
V =(-3)2 + (-1)2 + (0)2 + 12 + 32
5= 4
Generalizando, tendo-se uma distribuição cujos resultados constam na lista seguinte:
x1 x2 xn
e cuja média é M, define-se com variância dessa distribuição a expressão:
V = (x1 – M)2 + (x2 – M)2 + . . . + (xn – M)2
n
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Desvio - Padrão
Chamamos de desvio-padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância:
DP = Vv
No nosso exemplo, o desvio-padrão é:
DP = Vv = V4 = 2
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ExercíciosMODA = 3 MEDIANA = 3
0+1+1+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+4+4+4+5+5+5+5MÉDIA =
1+2+2+8+3+4MÉDIA = 6220
= 3,1
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= 42% de 360º
= 42 x 360º =100
151210
= 151,2%
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MaGols =0+0+1+1+1+2+2+3+4+4+4+5
12
MaGols =2712
= 2,25
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23 x 5 + 5 x 9 + 10 x 8 + 9 x 7 + 13 x 3,723 + 5 + 10 + 9 + 13
Ma =
Ma =351,1
60
Ma = 5,85
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rp = 45%
45%
37,5
17,5%
A r = = 0,455761280
B 360º 100%
135º X%
135 x 100360
X =X = 37,5%
37,5% + 45% = = 82,5%
100% - 82,5% == 17,5%
C 17,5% de 1280 == 224
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