UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE ESCOLA DE ENGENHARIA ENGENHARIA ELTRICA

DANILO TEMERLOGLOU DE ABREU

ESTIMAO DE SINAIS CATICOS UTILIZANDO O ALGORITMO DE VITERBI

So Paulo 2007

1

DANILO TEMERLOGLOU DE ABREU

ESTIMAO DE SINAIS CATICOS UTILIZANDO O ALGORITMO DE VITERBI

ORIENTADOR: PROF. DR. MARCIO EISENCRAFT

So Paulo 2007

Trabalho de Graduao Interdisciplinar apresentado a Escola de Engenharia Eltrica da Universidade Presbiteriana Mackenzie, como requisito parcial obteno do grau de Bacharel em Engenharia.

2

AGRADECIMENTOS

A Deus, que me concedeu inteligncia e disposio para a realizao desse trabalho.

Ao orientador Dr. Marcio Eisencraft pelo incentivo e constante disposio em me ajudar e orientar ao longo desta pesquisa.

A meus pais, Maria Helena e Dionsio, e ao meu irmo, Thales, pelo apoio durante a realizao deste trabalho.

minha namorada Martha pelo incentivo e pacincia para que eu pudesse desenvolver uma boa pesquisa.

3

RESUMO

Sinais caticos tm sido estudados visando-se possveis aplicaes em Telecomunicaes. Porm, os sistemas propostos na literatura apresentam baixo desempenho comparado aos sistemas convencionais quando o canal de comunicao ruidoso. Neste trabalho, analisada uma alternativa para melhorar esse desempenho. Ela se baseia na teoria da estimao, que por meio de mtodos estatsticos, busca recuperar o sinal transmitido. O trabalho se prope a discutir um dos mtodos de estimao de sinais caticos chamado algoritmo de Viterbi. Tentando tornar este trabalho mais acessvel, preocupa-se em fazer uma reviso bibliogrfica sobre a teoria dos sistemas dinmicos no-lineares e sobre o processamento estatstico de sinais. Utilizam-se sinais e sistemas de tempo discreto para facilitar a anlise das tcnicas propostas por meio de simulaes computacionais.

Palavras-chave: Sinais caticos. Estimao de sinais. Algoritmo de Viterbi.

4

ABSTRACT

The possible applications of chaotic signals in Telecommunications have been largely investigated. However, the systems proposed until now present low performance when the communication channel is noisy. In this work, we study an alternative to improve their results. It is based on the estimation theory, which by statistical methods, seeking to recover the transmitted signal. The work intends to discuss one of the methods of estimation of chaotic signals called Viterbi algorithm. To make this work accessible to a larger public, we include a review on the theory of nonlinear dynamical systems and on the statistical processing of signals. The algorithms performance are accessed via computer simulations.

Key-words: Chaotic signals. Estimation of signals. Viterbi algorithm.

5

LISTA DE ILUSTRAES

Grfico 1 - Exemplo de rbita do mapa logstico com condio inicial ( )0 0,01y = ............. 10 Grfico 2 - Exemplo de rbita com um ponto fixo ................................................................ 18 Grfico 3 - Exemplo de rbita com dois pontos fixos ........................................................... 19 Grfico 4 - Diagrama de bifurcao ..................................................................................... 23 Grfico 5 - Diagrama de bifurcao ampliado entre os pontos 3,82 e 3,86 ............................ 24 Grfico 6 - (a) Iterao do mapa logstico com condio inicial ( )0 0,2y = e (b) com condio inicial ( )0 0,201y = ............................................................................................... 25 Grfico 7 - Exemplo de rbita de perodo 2 .......................................................................... 26 Grfico 8 - (a) Mapa tenda inclinada com 0,4 = ; (b) exemplo de rbita deste mapa ......... 28 Grfico 9 - (a) Mapa tenda; (b) exemplo de rbita do mapa tenda ........................................ 29 Grfico 10 - (a) Mapa quadrtico; (b) exemplo de rbita do mapa quadrtico ....................... 30 Grfico 11 - Expoente de Lyapunov em funo do parmetro a para o mapa logstico ........ 32 Grfico 12 - (a) Densidade invariante x pontos da rbita; (b) Histograma de um mapa logstico ............................................................................................................................... 32 Grfico 13 - (a) Densidade invariante x pontos da rbita; (b) Histograma de um mapa tenda inclinada .............................................................................................................................. 33 Grfico 14 - (a) Densidade invariante x pontos da rbita; (b) Histograma de um mapa quadrtico ............................................................................................................................ 34 Grfico 15 - (a) Sinal original; (b) sinal corrompido por rudo; (c) sinal estimado ................ 46 Grfico 16 - (a) Erro sem utilizar o algoritmo de Viterbi; (b) erro aps utilizar o algoritmo .. 46 Grfico 17 - inSNR x outSNR ................................................................................................. 47 Grfico 18 - inSNR x outSNR do mapa tenda inclinada com variaes do parmetro ......... 50 Grfico 19 - inSNR x outSNR do mapa tenda inclinada com variaes do nmero de intervalos ............................................................................................................................................ 51 Grfico 20 - inSNR x outSNR do mapa quadrtico com variaes do nmero de intervalos ..... 52

6

LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SMBOLOS

jC Centro de cada subintervalo do domnio

( ).rp

Densidade de probabilidade de rudo

( )' .f

Derivada de f U Domnio

ija Elemento da matriz de transio de estados

( )nf x

Ensima iterao de um mapa genrico

( )q n j=

Estado

( ).h

Expoente de Lyapunov

( )1y n +

Mapa especfico

( )f x

Mapa genrico

A

Matriz de transio de estados

( ),n j

Matriz que indica o estado anterior mais provvel

N Nmero de pontos da rbita

IN Nmero de intervalos

( ).L

Nmero de Lyapunov

Parmetro do mapa tenda inclinada p

Ponto fixo

rP

Potncia do rudo

( ),n j

Probabilidade da amostra n estar no estado j inSNR

Relao sinal-rudo de entrada

outSNR

Relao sinal-rudo de sada

r Rudo

s Sinal distorcido

s Sinal estimado s Sinal original

jU Subintervalos do domnio n

Varivel discreta independente (tempo) q Vetor contendo a seqncia de estados estimada q Vetor genrico contendo uma seqncia de estados

7

SUMRIO

1 INTRODUO......................................................................................... 8 1.1 SINAIS CATICOS E SISTEMAS DE COMUNICAO..................................... 9 1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO............................................................................... 12 2 SINAIS CATICOS................................................................................................ 14 2.1 HISTRICO DE SINAIS CATICOS EM SISTEMAS DE COMUNICAO..... 14 2.2 SISTEMAS DINMICOS NO LINEARES........................................................... 16 2.3 DEFINIES BSICAS........................................................................................... 17 2.4 EXEMPLOS DE MAPAS QUE GERAM SINAIS CATICOS.............................. 21 2.4.1 Mapa Logstico.......................................................................................................... 21 2.4.2 Mapa Tenda Inclinada............................................................................................. 28 2.4.3 Mapa Tenda.............................................................................................................. 29 2.4.4 Mapa Quadrtico...................................................................................................... 30 2.5 CAOS E NMERO DE LYAPUNOV...................................................................... 31 2.6 DENSIDADE INVARIANTE.................................................................................... 33 3 ESTIMAO DE RBITAS POR MEIO DO ALGORITMO DE VITERBI.. 36 3.1 REPARTIO DO DOMNIO ................................................................................ 37 3.2 ESTIMAO DE UM SINAL CORROMPIDO PELO RUDO.............................. 39 3.2.1 Exemplo numrico do algoritmo de Viterbi........................................................... 44 3.2.2 Exemplo grfico do algoritmo de Viterbi............................................................... 46 4 SIMULAES......................................................................................................... 50 5 CONCLUSES......................................................................................................... 55 APNDICE A ROTINAS COMPUTACIONAIS NO MATLAB......................... 57 REFERNCIAS....................................................................................................... 64

8

1 INTRODUO

A comunicao cada dia mais importante na vida humana. Telefonia celular,

televiso de alta definio, transmisso via satlite, comunicao ptica e comunicao sem

fio so alguns exemplos de como o mundo est envolvido com as tecnologias de sistemas de

comunicao.

Um sistema de comunicao genrico pode ser representado pelo Diagrama 1

(HAYKIN, 2001).

Diagrama 1- Sistema de comunicao Fonte: Haykin (2001)

Estimativa da

mensagem do sinal

Sinal de mensagem

Codificador da fonte

Demodulador

Modulador

Codificador de canal

Decodificador de canal

Decodificador da fonte

Receptor

Fonte de informao

Canal

Transmissor

Usurio da informao

9

A fonte de informao o ente que envia um sinal de mensagem para o

transmissor. Muitas vezes, para facilitar a transmisso de dados, uma modulao feita no

transmissor. Modulao o processo de converter o sinal da mensagem para uma forma que

seja compatvel com as caractersticas de transmisso do sinal (HAYKIN, 2001, p.23).

O canal, que o meio de comunicao, pode ser um fio, cabo coaxial, fibra

ptica ou ar, dentre outras possibilidades. Ao longo do canal surgem interferncias e

distores que afetam o sinal transmitido.

Ao chegar ao receptor, o sinal novamente convertido para sua forma original.

Devido s caractersticas do canal, o sinal recuperado quase nunca exatamente igual ao

transmitido.

A comunicao pode ser feita atravs de sinais analgicos ou digitais

(HAYKIN, 2001). Sinais analgicos podem assumir uma quantidade no-enumervel de

valores diferentes. J os sinais digitais podem assumir apenas um nmero enumervel de

valores.

A seguir define-se de forma intuitiva o que um sinal catico e mostra-se um

exemplo. Alm disso, resumem-se as possveis aplicaes destes sinais em sistemas de

comunicao, inserindo este trabalho no contexto de pesquisa atual.

1.1 SINAIS CATICOS E SISTEMAS DE COMUNICAO

O termo sinal catico tem vrias definies na literatura. Nesta pesquisa

adotada a definio de Alligood, Sauer e Yorke (1996) segundo a qual um sinal catico

determinstico, aperidico e sensvel s condies iniciais, ou seja, condies iniciais muito

prximas geram seqncias com valores completamente diferentes depois de algumas

iteraes.

10

A seqncia formada pelos pontos obtidos aps sucessivas iteraes chamada

de rbita (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996).

Como exemplo de sistema que gera rbitas caticas, considere a equao de

diferenas

( ) ( ) ( )( )1 4 1y n y n y n+ = (1) conhecida como mapa logstico.

Para exemplificar, no Grfico 1, so apresentadas as 101N = primeiras

iteraes deste mapa com condio inicial igual a ( )0 0,01y = utilizando a Equao (1).

Grfico 1 Exemplo de uma rbita do mapa logstico com condio inicial ( )0 0,01y =

Os sinais caticos tm caractersticas que podem ser interessantes para sistemas

de comunicao. Algumas delas so: possuem banda larga, so aperidicos e tem

impossibilidade de predio aps pouco tempo de simulao (ABEL; SCHWARZ, 2002).

A idia da aplicao do caos em sistemas de comunicao surgiu no incio da

dcada de 1990 (PECORA; CARROLL, 1990). Nos ltimos anos, vrios artigos tm proposto

11

sistemas de modulao que utilizam sinais caticos ao invs dos sinais senoidais (ABEL,

2002; CORRON, 1997; DRAKE, 1998; LAU; TSE, 2003).

Duas das reas de comunicao que podem vir a aplicar sinais e sistemas

caticos so a comunicao por espalhamento espectral (spread spectrum) e a criptografia

(ABEL; SCHWARZ, 2002; CORRON; HAHS, 1997).

A comunicao por espalhamento espectral pode aumentar a robustez contra

interferncias causadas por sinais de banda estreita (ABEL; SCHWARZ, 2002). Ela

utilizada na terceira gerao de comunicaes mveis, em alguns satlites para comunicaes

e no Sistema de Posicionamento Global (GPS - Global Positioning System) (LAU; TSE,

2003). No caso da criptografia, a mensagem codificada antes da transmisso dificultando a

captura da informao ao longo do canal.

A caracterstica aperidica dos sinais caticos pode ser usada para gerar vrios

cdigos em sistemas CDMA. Essa propriedade dificulta o entendimento de como esses sinais

se comportam ao longo do tempo para um receptor no-autorizado (ABEL; SCHWARZ,

2002).

O uso de sinais caticos nessas aplicaes se justifica por trs fatores: (i) baixo

custo, (ii) dificuldade de deteco da informao e (iii) facilidade para gerar diferentes formas

de onda devido sensibilidade s condies iniciais (ABEL; SCHWARZ, 2002).

Um problema de sistemas de comunicao baseados em sinais caticos que

seu desempenho em canais com rudo ruim (DRAKE, 1998; EISENCRAFT, 2001). O

objetivo deste trabalho estudar uma alternativa para tentar melhorar este desempenho. Esta

consiste em obter estimativas desses sinais usando o algoritmo de Viterbi (DEDIEU; KISEL,

1999; EISENCRAFT, 2006).

12

Para tornar o trabalho acessvel a um pblico mais amplo, feita uma reviso

bibliogrfica sobre sinais caticos em sistemas unidimensionais e sobre o processamento

estatstico de sinais.

Para facilitar a anlise da tcnica proposta por meio de simulaes

computacionais, utilizam-se sinais e sistemas de tempo discreto. As simulaes so feitas com

o programa Matlab.

1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO

Este trabalho dividido em 5 captulos.

No Captulo 2 faz-se uma reviso bibliogrfica sobre caos em sistemas

dinmicos unidimensionais. Ele comea com um breve histrico a respeito de sinais caticos.

Logo a seguir feita uma abordagem rpida envolvendo algumas aplicaes de sinais caticos

na rea de comunicaes e apresenta-se o problema debatido nesta pesquisa. Alm disso,

conceitos a respeito de sistemas dinmicos unidimensionais so abordados. Esses conceitos

englobam: rbitas caticas, periodicidade, sensibilidade s condies iniciais, nmero de

Lyapunov e densidade invariante. Alguns mapas tambm so discutidos. Nesse captulo, as

principais referncias utilizadas so (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996; MONTEIRO,

2006; STROGATZ, 1993).

No Captulo 3, o algoritmo de Viterbi analisado tanto conceitualmente quanto

matematicamente. Ele contm um resumo histrico da teoria da estimao. Depois

explicado como feita a estimao e como implementado o algoritmo de Viterbi. As

principais fontes de pesquisa foram (DEDIEU; KISEL, 1999; EISENCRAFT, 2006).

O Captulo 4 contm simulaes e as respectivas anlises da estimao por

meio do algoritmo de Viterbi.

13

Finalmente, no Captulo 5, so apresentadas as principais concluses desta

monografia e indicadas propostas de trabalhos futuros.

14

2 SINAIS CATICOS

O incio desse captulo descreve um resumo histrico da evoluo do conceito

matemtico de caos e os fatores que desencadearam o interesse por ele em diversas reas, em

especial em Telecomunicaes. Logo a seguir, as definies bsicas a respeito do estudo de

sistemas dinmicos no-lineares so apresentadas. Alguns mapas que geram rbitas caticas

so analisados. Rapidamente mostrado o que o expoente de Lyapunov e sua relao com o

caos. Por fim, o conceito de densidade invariante ajuda a entender a estimao de sinais

conforme visto a partir do Captulo 3.

Existem muitos livros e artigos que retratam esses assuntos aos quais o leitor

interessado pode recorrer. Por exemplo, Alligood, Sauer e Yorke (1996), Monteiro (2006),

Strogatz (2000) e Devaney (1992). Sendo assim, limita-se aqui a discusso ao essencial

necessrio nos captulos subseqentes.

2.1 HISTRICO SOBRE SINAIS CATICOS EM SISTEMAS DE COMUNICAO

O estudo de sistemas dinmicos e conseqentemente do caos comea no sculo

XVII. Na poca, Newton formulou os princpios da Fsica clssica (NEWTON, 1999). Estas

leis foram usadas para explicar a atrao gravitacional entre dois corpos. Depois de Newton,

outros cientistas e matemticos buscaram estender estes resultados ao Problema dos Trs

Corpos (STROGATZ, 2000). Porm, muitas dificuldades foram encontradas.

Poincar, no fim do sculo XIX, props uma nova forma de pensar a respeito

dessa questo (POINCAR, 1890). Poincar queria saber se um sistema convergiria para um

ponto fixo ou para uma rbita peridica ao invs de tentar descobrir como ele funcionava em

15

cada momento. Portanto, ele estava preocupado com a soluo qualitativa das equaes

diferenciais que descreviam o problema (STROGATZ, 2000).

No incio do sculo passado, tcnicas no-lineares comearam a ser estudadas

por matemticos e fsicos que observavam, modelavam e analisavam os fenmenos naturais.

As novas descobertas que foram feitas encontraram aplicaes na rea de Engenharia

(SILVA; YOUNG, 2000). Por exemplo, os osciladores no-lineares foram importantes no

desenvolvimento de tecnologias, tais como: radar, rdio, laser e Phase-Locked-Loop (PLL)

(STROGATZ, 2000).

At a dcada de 1960, pensava-se que a soluo de uma equao de diferenas

poderia gerar dois tipos de resultados: a tendncia de chegar a um valor fixo ou a uma rbita

peridica (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996).

Por meio das suas experincias, Lorenz estudou modelos para estimar previso

do tempo (LORENZ, 1963). A partir da resoluo das equaes obtidas por Lorenz,

obtiveram-se duas concluses: essas equaes nunca tendem a um equilbrio ou estado

peridico e que partindo de condies iniciais prximas, rapidamente os resultados ficam

completamente diferentes (STROGATZ, 2000). Essa dependncia sensvel das equaes da

circulao atmosfrica ficou conhecida como efeito borboleta (MONTEIRO, 2006).

O termo caos no sentido usado neste trabalho foi utilizado pela primeira vez

num artigo publicado por Li e Yorke (1975). Eles mostraram que para qualquer mapa que

originasse uma rbita de perodo 3, existiriam rbitas com qualquer perodo inteiro e todas

elas seriam instveis.

Para um sinal ser catico ele deve ser aperidico, ou seja, no tender a

nenhuma rbita peridica e ser sensvel s condies iniciais, isto , rbitas com condies

iniciais muito prximas logo sero totalmente diferentes ao longo das iteraes. (ALIGOOD;

16

SAUER; YORKE, 1996). Um exemplo de sinal catico mostrado no Grfico 1 da pgina

10.

Com a evoluo da tecnologia, o desempenho dos computadores melhorou e

estes ficaram mais acessveis. A facilidade para verificar experimentalmente as teorias na rea

de sistemas dinmicos no-lineares permitiu que muitos pesquisadores viessem a se interessar

em utiliz-las em suas respectivas reas (EISENCRAFT, 2006).

O estudo dos sinais caticos surgiu da anlise de problemas em tempo

contnuo. Entretanto, durante a dcada de 1970, May achou exemplos de caos por meio da

iterao de equaes de diferenas no estudo de populao biolgica. (MAY, 1974;

STROGATZ, 2000).

A anlise de sistemas no-lineares em tempo discreto tem algumas vantagens:

as equaes de diferenas so fceis de serem simuladas em computador, as equaes de

tempo contnuo podem ser analisadas por meio de equaes de diferenas e os

comportamentos caticos podem ocorrer em casos mais simples em tempo discreto

(MONTEIRO, 2006).

Em tempo contnuo, um sinal catico s pode ser gerado para sistemas de

ordem maior ou igual a trs, ou seja, com trs equaes diferenciais, enquanto em tempo

discreto possvel que ele ocorra em sistemas de primeira ordem (MONTEIRO, 2006).

2.2 SISTEMAS DINMICOS NO-LINEARES

Todo o estudo feito usando anlise de modelos. Modelos sugerem como os

processos do mundo real se comportam (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996, p.3).

17

A maioria dos fenmenos fsicos no-linear. Os sistemas que geram sinais

caticos tambm so no-lineares e, logo, so muito importantes para a compreenso de

grande parte dos fenmenos.

Sistemas dinmicos podem ser estudados de duas formas: em tempo contnuo e

em tempo discreto. Em tempo contnuo a abordagem feita atravs de equaes diferenciais.

No caso da anlise no tempo discreto, equaes de diferenas so utilizadas para representar o

sistema. Nessa pesquisa todas as consideraes so feitas em tempo discreto.

Sistema dinmico uma variedade de estados possveis que segue uma regra

que determina o estado presente em termos de estados passados (ALIGOOD; SAUER;

YORKE, 1996, p.1).

Inicialmente trata-se apenas de sistemas unidimensionais definidos no intervalo

[ ]0,1 . Alm disso, os sistemas no devem mudar com o tempo e devem ser no-lineares. Conseqentemente, apenas com a condio inicial possvel obter todos os demais pontos da

rbita.

2.3 DEFINIES BSICAS

Para o estudo de recuperao de sinais caticos imersos em rudo, so

necessrios conceitos sobre dois tpicos: sinais caticos e mtodos de estimao. A seguir so

apresentadas definies fundamentais de sinais caticos.

Mapa uma equao de diferenas usada para representar um modelo.

Uma rbita ou sinal com condio inicial x de um mapa ( )f x o conjunto de

pontos ( ) ( ) ( ){ }2 3, , , ,...x f x f x f x . Entende-se que ( )2f x a segunda iterao da funo ( )f x . Outra maneira de simbolizar seria ( ) ( )( )2f x f f x= .

18

O domnio U contm todos os pontos possveis de uma rbita.

Algumas consideraes podem ser feitas a partir do grfico chamado teia de

aranha (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996).

Considerando o eixo de coordenadas cartesianas, a representao de um grfico

teia de aranha segue os seguintes passos: esboar os grficos do mapa e de ( )f x x= , adotar uma condio inicial, calcular a sada, fazer um tracejado vertical ligando a condio inicial

at o ponto obtido atingir o grfico ( )f x x= , fazer o tracejado horizontal at a interseco com o mapa. Depois, deve-se manter o procedimento e verificar o que ocorre ao longo das

iteraes.

Os pontos de interseco dos grficos so chamados de pontos fixos.

Observe os Grficos 2 e 3 dos mapas ( ) 3f x x= e ( ) ( )1 2 1f x x x+ = .

Grfico 2 Exemplo de mapa com um ponto fixo

19

Grfico 3 Exemplo de mapa com dois pontos fixos

No Grfico 2, o ponto fixo 0p = . Observe que para condies iniciais longe

de zero os valores afastados de zero tendero a ir para . No Grfico 3, temos os pontos fixos

0p = e 12

p = . Note que para a condio inicial de 0,1 a rbita tende a 0,5 que um dos

pontos fixos dessa rbita.

A anlise da estabilidade de pontos fixos importante porque os sistemas do

mundo real so constantemente sujeitos a pequenas perturbaes (ALIGOOD; SAUER;

YORKE, 1996, p.9).

Suponha que numa rbita exista um ponto fixo p e uma vizinhana ( )V p em torno desse ponto. Considere tambm que a distncia entre p e ( )V p seja . Supondo

um

nmero pequeno e, que todos os pontos prximos do ponto fixo p , tendam a se afastar dele

20

(ao longo das iteraes), ento p um ponto fixo instvel. Ele tambm chamado de fonte

ou ponto fixo repulsivo. O ponto fixo 0p = do Grfico 2 um exemplo de fonte .

Por outro lado, se os pontos prximos ao ponto fixo p tenderem ao prprio p ,

ele ser um ponto fixo estvel. Ele tambm chamado de sorvedouro ou ponto fixo atrativo.

O ponto fixo 0,5p = do Grfico 3 um exemplo de ponto fixo atrativo.

Matematicamente a definio de ponto fixo atrativo essa:

( )lim kk

f x p

= (2)

Na Equao 2, k

o nmero de iteraes e ( )f x representa o mapa analisado. O conjunto das condies iniciais que tm rbitas que convirjam para um

atrator chamado de bacia do ponto fixo atrator.

Para classificar analiticamente a estabilidade dos pontos fixos deve-se calcular

o mdulo da derivada no ponto fixo. Caso o mdulo seja menor que 1, o ponto fixo estvel.

Matematicamente define-se que se ( )' 1f p < o ponto fixo p estvel. Porm, se ( )' 1f p >

o ponto fixo p instvel. Quando ( )' 1f p = no possvel determinar analiticamente a estabilidade do ponto fixo. Esses resultados podem ser demonstrados conforme (ALIGOOD;

SAUER; YORKE, 1996), pgina 10.

Assim, a estabilidade est ligada derivada no ponto estudado. Logo, a anlise

grfica est ligada reta tangente ao ponto. Se a reta tangente ao ponto fixo apresentar uma

inclinao que esteja no intervalo 4 4pi pi < < ou 3 5

4 4pi pi< < , o ponto fixo ser estvel

(MONTEIRO, 2006).

Existem casos em que aps certo nmero de iteraes a rbita varia sempre

entre os mesmos pontos. Por exemplo, uma rbita que aps muitas iteraes oscile entre 0,5 e

0,8 apresenta uma rbita de perodo 2.

21

Portanto, se p um ponto peridico de perodo 2 para um mapa ( )f x , ento

p um ponto fixo do mapa ( ) ( )2g x f x= . Um exemplo de rbita peridica mostrado no Grfico 7 na pgina 26.

Pode-se estender o conceito de estabilidade para rbitas peridicas. Considere

que os pontos dessas rbitas sejam 1 2, ,p p ... , kp sendo k o perodo da rbita. Para determinar

sua estabilidade calcula-se o mdulo do produto das derivadas nos pontos fixos da rbita.

Caso esse valor seja menor que 1, a rbita peridica estvel. Ento, se

( ) ( ) ( )2 1' ... ' ' 1kf p f p f p < , a rbita estvel e caso ( ) ( ) ( )2 1' ... ' ' 1kf p f p f p > , a rbita instvel.

2.4 EXEMPLOS DE MAPAS QUE GERAM RBITAS CATICAS

Nessa seo, analisam-se as caractersticas de alguns mapas. O mapa logstico

analisado com mais detalhes. Os outros mapas so abordados de maneira sucinta.

2.4.1 ESTUDO DO MAPA LOGSTICO

O mapa logstico surgiu da pesquisa sobre o nmero de habitantes numa

regio. Primeiramente foi elaborado um modelo em que ( ) ( )1 2y n y n+ = . Mas esse modelo no satisfatrio porque existem fatores limitantes, tais como: falta de alimento, guerras e

falta de espao fsico. Sem essas consideraes, a populao tenderia ao infinito. Depois disso

foi proposto o seguinte modelo ( ) ( ) ( )( )1 2 1y n y n y n+ = . Esse j um modelo bem melhor porque leva em conta as limitaes referidas acima. Genericamente, a equao

22

( ) ( ) ( )( )1 1y n ay n y n+ = (3) (MONTEIRO, 2006).

Esta a famlia de mapas logsticos. Um dos mapas mais estudados dessa

famlia aquele em que 4a = .

Considere as condies iniciais no intervalo [ ]0,1 . A anlise do valor de a pode ser resumida assim: para 0 1a< < , o mapa tem um ponto fixo atrativo em 0x = ;

para 1 3a< < , temos um ponto fixo atrativo em 1axa

= ; para 3 3,45a< < , o mapa tem

uma rbita peridica de perodo 2; para 3,45 4a< < , ocorre um comportamento que ser

analisado pouco adiante e para 4a > , a anlise deixa de ser interessante porque no h

atrao de rbitas. No ltimo caso, a tendncia que aps vrias iteraes as rbitas tendam

a .

A compreenso do estudo do comportamento do mapa logstico pode ser

facilitada pelo diagrama de bifurcao. Por meio dele possvel analisar mudanas

significativas num conjunto de pontos fixos ou rbitas peridicas (ALIGOOD; SAUER;

YORKE, 1996).

O procedimento para obt-lo atravs de simulao computacional : escolher

um valor inicial do parmetro a , escolher um valor aleatrio y no intervalo [ ]0,1 , calcular a rbita de y segundo a Equao 3, ignorar as 100 primeiras iteraes e plotar o grfico a partir

da iterao de nmero 101 (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996). As primeiras iteraes

devem ser rejeitadas porque deve se esperar que a rbita convirja para um ponto fixo ou rbita

peridica ou no convirja. O nmero de iteraes que deve ser descartado no fixo. Por

exemplo, no Grfico 7 da pgina 26, somente 7 iteraes no devem ser consideradas.

23

Usando o computador, pode-se gerar um diagrama de bifurcao, conforme

mostra o Grfico 4.

Grfico 4 Diagrama de bifurcao

O diagrama mostra o incio, a evoluo e o fim dos atratores. Por exemplo,

para 3,3a = , se for passada uma reta vertical, verifica-se que dois pontos so cortados. Eles

representam uma rbita de perodo 2.

Por esse diagrama fica fcil observar que para a em torno de 3,5 comeam a

ocorrer rbitas de perodo 4. Depois passamos a ter rbitas de perodo 8, depois 16 e assim

sucessivamente.

Aproximadamente a partir de 3,57a , observe que existem rbitas de todos

os perodos.

24

Por meio do Grfico 5, percebe-se tambm que existe um trecho interessante

de 3,82 a 3,86.

Grfico 5 Diagrama de bifurcao ampliado entre os pontos 3,82 e 3,86

Analisando esse grfico, pode-se dizer que para 3,84a = existe uma rbita de

perodo 3.

Uma caracterstica marcante que ocorre em sinais caticos a sensibilidade s

condies iniciais. Isso significa que quando condies iniciais muito prximas so iteradas

vrias vezes, no comeo elas estaro bem prximas, porm os valores das rbitas logo

comearo a ficar totalmente diferentes uns dos outros. Essa caracterstica tambm chamada

de dependncia sensvel com relao s condies iniciais.

Como exemplo observe o Grfico 6 no qual foram utilizados 4a = e 41n = .

25

Grfico 6 (a) Iterao do mapa logstico com condio inicial ( )0 0,2y = e (b) com condio inicial de ( )0 0,201y =

A Tabela 1 mostra alguns pontos das rbitas acima.

Tabela 1 - Valores das rbitas obtidas de um mapa logstico com pequena variao da condio inicial

Nmero de iteraes Condio inicial igual a 0,2 Condio inicial igual a 0,201 0 0,2 0,201 1 0,64 0,6424 2 0,9216 0,9189 3 0,289 0,2981 5 0,5854 0,5458 6 0,9708 0,9916 15 0,0039 0,0205 20 0,82 0,9877 25 0,9864 0,1627 30 0,3203 0,4324 Perceba que, bem no incio, os pontos das rbitas so quase iguais e que logo

eles ficam totalmente diferentes. A anlise numrica tambm ajuda a verificar essa

caracterstica dos sinais caticos.

26

Considerando N com um inteiro positivo, define-se que um ponto x

eventualmente peridico quando ( ) ( )n p nf x f x+ = , para qualquer n N e p o menor inteiro possvel. Isso significa que aps certo nmero de iteraes a rbita passa a ser peridica.

Observe a rbita obtida para a famlia do mapa logstico feito com 50 iteraes,

com 3,3a = e ( )0 0,35y = no Grfico 7.

Grfico 7 Exemplo de rbita de perodo 2.

Nota-se que a partir da stima iterao, inicia-se uma rbita peridica de

perodo 2 que oscila entre os valores 0,4794 e 0,8236.

O nmero de rbitas do mapa para cada perodo pode ser feita por meio de uma

tabela peridica de mapas.

A tabela 2 mostra o incio da tabela peridica do mapa logstico:

Tabela 2 - Pontos fixos e periodicidade no mapa logstico

27

Perodo k

Nmero de pontos

fixos de ky

Nmero de pontos

fixos de ky de

rbitas peridicas

menores

rbitas de perodo

k

1 2 0 2 2 4 2 1 3 8 2 2 4 16 4 3 5 32 2 6 6 64 14 8 7 128 2 18 8 256 16 30 9 512 8 56 10 1024 34 99 11 2048 2 186 12 4096 64 336 13 8192 2 630

Sendo y

o mapa logstico e k o perodo da rbita, o nmero de pontos fixos

de ky 2k .

Para o preenchimento da terceira coluna basta observar que os pontos fixos de

rbitas de perodo 2 tambm so pontos fixos de rbitas de perodo 4. Da mesma forma, os

pontos fixos de rbitas de perodo 3 tambm so pontos fixos de rbitas de perodo 6.

Para a obteno da ltima coluna faz-se a segunda coluna menos a terceira e

divide-se pela primeira. Assim na terceira linha temos 8 2 23

= .

Quando o sistema possui rbitas de todos os perodos ele gera sinais caticos.

2.4.2 MAPA TENDA INCLINADA

28

O mapa tenda inclinada definido pelas seguintes expresses:

( )( ) ( )( ) ( )

2 1, 1

1 11

2 1, 1

1 1

y ny n

y ny n

y n

+ + + + =

+ +

(4)

O Programa 2 do Apndice faz o Grfico 8 (b) correspondente a uma rbita

gerada pelo mapa tenda inclinada.

Observe abaixo o mapa tenda inclinada e uma rbita gerada por ele para 81n =

iteraes, condio inicial ( )0 0,2y = e o parmetro 0,4 = .

Grfico 8 (a) Mapa tenda inclinada com 0,4 = ; (b) exemplo de rbita deste mapa

2.4.3 MAPA TENDA

29

O mapa tenda definido pela seguinte equao de diferenas:

( ) ( )1 1 2*y n y n+ = (5) Quando o parmetro do mapa tenda inclinada zero, obtido o mapa tenda.

Logo, o mapa tenda um caso particular do mapa tenda inclinada.

No Grfico 9, mostrado o mapa tenda e a rbita gerada por ele para

( )0 0,026y = com 71n = iteraes. Para condies iniciais com nmeros racionais, a rbita tende ao ponto fixo

1 , ou seja, no catica (EISENCRAFT, 2006). Para gerar o Grfico 9, foi necessrio fazer

a conjugao do mapa quadrtico (EISENCRAFT, 2006). Essa adaptao est explicada nas

pginas 30 e 31.

Grfico 9 (a) Mapa tenda; (b) Exemplo de rbita do mapa tenda

2.4.4 MAPA QUADRTICO

30

O mapa quadrtico definido pela seguinte equao de diferenas:

( ) ( )21 2 1y n y n+ = + (6) A seguir o mapa quadrtico e uma rbita gerada por esse mapa com 61n =

iteraes e condio inicial ( )0 0,845y = .

Grfico 10 (a) Mapa quadrtico; (b) Exemplo de rbita do mapa quadrtico

O problema de gerar rbitas para o mapa tenda pode ser resolvido por meio da

relao entre os mapas quadrtico e tenda. Pode se mostrar que se pode obter uma rbita do

mapa tenda a partir do quadrtico pela seguinte relao (ALLIGOD; SAUER; YORKE,

1996):

( )1cos

2TQx

Cpi +

= (7)

31

Na Equao 7, x o vetor contendo os valores dos pontos da rbita em cada

iterao do mapa quadrtico e TQC corresponde ao vetor contendo os valores dos pontos da

rbita do mapa tenda.

2.5 CAOS E NMERO DE LYAPUNOV

O nmero de Lyapunov serve para quantificar a taxa mdia de separao dos

pontos que esto perto de um ponto fixo. O expoente de Lyapunov o logaritmo natural do

nmero de Lyapunov.

Considere um mapa genrico ( )f x

que possui uma rbita constituda pelos

pontos{ }1, 2, 3,...x x x . Ento, o nmero de Lyapunov, matematicamente, dado por:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 11 1 2lim ' ' ... ' nnn

L x f x f x f x

= (8)

O expoente de Lyapunov, matematicamente, dado por:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 21lim ln ' ln ' ... ln ' nn

h x f x f x f xn

= + + + (9)

Note que ln L h= .

Deve-se ressaltar que existem algumas rbitas com nmero de Lyapunov

indefinido. Um desses casos ocorre quando ( ) 0 =ixf . Toda rbita que atrada para um ponto fixo atrativo assintoticamente

peridica.

Se a rbita no for assintoticamente peridica e o expoente de Lyapunov ( )1h x for maior que zero, a rbita catica.

32

No Grfico 11, mostrado como varia o expoente de Lyapunov em funo do

parmetro a do mapa logstico.

Grfico 11 Expoente de Lyapunov em funo do parmetro a para o mapa logstico

A partir do Grfico 11, algumas observaes interessantes podem ser feitas.

Note que at 3,57a , no existe caos porque o expoente de Lyapunov negativo. Aps esse

valor existem finos traos negativos que so aquelas rbitas peridicas analisadas no

diagrama de bifurcao.

Essa anlise do expoente de Lyapunov outra maneira de visualizar que o caos

para a famlia de mapas logsticos ( ) ( ) ( )( )1 1y n ay n y n+ = comea a partir de 3,57a .

33

2.6 DENSIDADE INVARIANTE

Um histograma geralmente pode indicar a quantidade de pontos de uma rbita

que esto em cada regio dentro de cada subintervalo num domnio. (DEVANEY, 1992).

A estatstica de sinais digitais pode comear a ser analisada a partir de um

histograma, em que mostrada a freqncia com que cada valor iterado aparece. Para a

gerao de um histograma prtico, primeiro divide-se o intervalo do domnio em intervalos

uniformes. Depois, itera-se o mapa em questo.

Suponha que [ ]0,1U = e que i seja o nmero de intervalos. Considerando que

in o nmero de pontos num determinado intervalo e que N o nmero total de pontos

analisados, calcula-se a freqncia com a equao:

ii

nfN

= (10)

Para o mapa logstico com 4a = , 100000n = iteraes e condio inicial

( )010

y pi= , obteve-se o histograma do Grfico 12.

Grfico 12 (a) Densidade invariante x pontos da rbita ; (b) Histograma de um mapa logstico

34

Observe agora um histograma do mapa quadrtico com 100000n = iteraes e

condio inicial ( )0 0,845y = .

Grfico 13 (a) Densidade invariante x pontos da rbita; (b) Histograma de um mapa quadrtico

As funes densidade evoluem de acordo com o operador de Perron

Frobenius. Pode ser demonstrado que para o mapa quadrtico, o grfico terico da densidade

invariante dada pela frmula (LASOTA, A; MACKEY, M, 1985).

( ) ( )11

f xx xpi

=

(11)

Note que no Grfico 13, referente ao mapa quadrtico, h um nmero maior de

pontos nos extremos do intervalo [ ]1,1 e que h poucos pontos perto de zero. Em outras palavras, o mapa quadrtico possui uma densidade invariante no-uniforme. Existe uma maior

probabilidade de um ponto da rbita desse mapa estar nos extremos do domnio do que nas

demais partes.

35

A seguir um histograma do mapa tenda inclinada com 100000n = iteraes e

condio inicial ( )0 0,2y = .

Grfico 14 (a) Densidade invariante x pontos da rbita; (b) Histograma de um mapa tenda inclinada

No grfico acima, nota-se uma distribuio quase constante ao longo de todos

os intervalos, dificultando a previso das prximas iteraes de uma rbita do mapa tenda

inclinada. Nesse caso, a densidade invariante uniforme com qualquer ponto da rbita tendo

igual chance de estar em cada lugar do domnio.

O intuito deste captulo explicar os assuntos e conceitos mais relevantes sobre

sinais caticos e estimao de sinais de tal forma que o entendimento do algoritmo de Viterbi

fique mais claro no Captulo 3.

36

3 ESTIMAO DE RBITAS POR MEIO DO ALGORITMO DE VITERBI

Neste captulo, trata-se da aplicao do algoritmo de Viterbi estimao de

rbitas, tema central deste trabalho. Antes disso, comenta-se de forma resumida a respeito da

teoria da estimao.

A teoria da estimao tem importncia em diversas reas de processamento de

sinais, tais como: radar, voz, anlise de imagens, biomedicina, comunicaes, controle e

sismologia (KAY, 1993). Esse trabalho visa aplic-la em sistemas de Telecomunicaes.

O comportamento intrincado de sinais caticos pode ser tratado quando

observado de uma perspectiva estatstica (SETTI et al., 2002). A anlise individual de sinais

caticos difcil. Por esta razo, eles so estudados conjuntamente, por meio de um estudo

estatstico.

Qualitativamente, os mtodos desenvolvidos para recuperar sinais caticos em

meio ruidoso, em geral, tm desempenho igual: todos funcionam quando h pouco rudo junto

com o sinal e dificilmente apresentam bons resultados para rudo elevado. A dificuldade

fundamental de desenvolver um bom modelo de estimador para sinal catico a prpria

natureza do sinal (DRAKE, 1998, p.2). O problema que esses sinais so analisados apenas

com funes no-lineares, tornando difcil encontrar um modelo adequado de estimador.

A principal razo pela qual as aplicaes da modulao catica ainda esto em

seus estgios iniciais a grande sensibilidade do processo de demodulao, ou seja, o rudo

dificulta o estabelecimento da comunicao (DEDIEU; KISEL, 1999).

As maneiras de reduzir os efeitos do rudo podem ser divididas em 4

abordagens: (i) auto-sincronismo, (ii) teoria de controle, (iii) reduo de rudo e (iv) teoria da

estimao (DRAKE, 1998).

37

O auto-sincronismo a capacidade de sistemas caticos se sincronizarem sem

a necessidade de interveno externa. Esses sistemas podem ser separados em estveis e

instveis. O subsistema instvel usado para copiar o sistema. Quando h rudo, o subsistema

estvel permite uma menor distoro do sinal devido ao rudo (DRAKE, 1998).

A teoria de controle pode ser feita de duas formas: utilizar tcnicas que

estimam valores de estados imediatamente anteriores e tcnicas de identificao de sistemas

que mudam os parmetros do modelo conforme o comportamento do sistema. Esse mtodo se

utiliza de sistemas dinmicos lineares (DRAKE, 1998).

A reduo de rudo busca separar o comportamento catico de flutuaes

aleatrias. Ao contrrio da teoria de controle, a reduo de rudo utiliza propriedades

especficas de sistemas dinmicos caticos (DRAKE, 1998).

A primeira conexo entre caos e a teoria da estimao foi elaborada por

(MYERS ; TAPLEY, 1976). A teoria da estimao pode ser dividida basicamente em dois

grupos: clssico e bayesiano. Os estimadores clssicos modelam o valor a ser pesquisado

como desconhecido, mas considerando o sinal sendo determinstico. J os bayesianos o

caracterizam como uma quantidade aleatria caracterizada pela funo densidade de

probabilidade. (DRAKE, 1998). O algoritmo de Viterbi se enquadra no grupo bayesiano.

3.1 REPARTIO DO DOMNIO

O algoritmo de Viterbi funciona bem para mapas com densidade invariante

uniforme. A seguir analisado como feita a repartio do domnio para os casos com

densidade uniforme e no-uniforme.

38

Uma das decises importantes para que o algoritmo de Viterbi funcione bem

a partio do domnio. Conforme visto no Captulo 2, o domnio diz respeito a todos os

valores possveis de uma rbita. Nos casos que so estudados neste captulo, o domnio

[ ]1,1U = . A diviso do domnio simbolizada por subintervalos ,1j IU j N sendo IN o nmero total de subintervalos do domnio.

Cada subintervalo define um estado. Define-se que o sistema est no estado

( )q n j= se o ponto da rbita ( )s n estiver no subintervalo jU no instante n . O centro de cada subintervalo jU representado por ( )C j .

At hoje foram propostos dois modos de diviso do domnio em intervalos.

A primeira maneira foi proposta por Dedieu e Kisel (1999). A partio feita

com intervalos uniformes. Nos casos analisados, o domnio [ ]1,1U = tem comprimento 2.

Logo, cada intervalo tem comprimento 2IN

= .

Por exemplo, para 5IN = , tm-se os seguintes subintervalos:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

1 2 3

4 5

1; 0,6 , 0,6; 0,2 , 0,2;0,2 ,0,2;0,6 , 0,6;1 .

U U U

U U

= = =

= =

(12)

A Equao 13 expressa o subintervalo jU em funo do .

( )[ ]

1 1; 1 , 1,2,..., 1

1 ;1 ,I

I

j j j Nj N

=

=

(13)

Estudos e simulaes mostraram que, utilizando esta escolha de partio, o

algoritmo de Viterbi produz bons resultados somente em rbitas geradas por mapas que tm

densidade invariante uniforme (DEDIEU; KISEL, 1999; EISENCRAFT, 2006).

Para os casos de mapas com densidade invariante no-uniforme, surgiu a idia

de dividir o domnio em subintervalos de tal forma que a probabilidade de cada ponto da

39

rbita estar em um subintervalo seja igual em cada um deles. O estudo dessa implementao

est em (EISENCRAFT, 2006). Para o mapa quadrtico, da Equao 6, por exemplo, com

5IN = , os subintervalos so

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

1 2 3

4 5

1; 0,8081 , 0,8081; 0,3111 , 0,3111;0,2992 ,0,2992;0,8115 , 0,8115;1 .

U U U

U U

= = =

= =

(14)

Utilizando o Programa 3 do Apndice podem-se obter esses valores.

Para o desenvolvimento da idia proposta, calcula-se a rea total TA

compreendida entre o mapa e o eixo horizontal. Depois divide-se a rea total em IN

intervalos de tal forma que cada rea seja igual. A Equao (15) fornece o clculo de cada

rea IA .

TI

I

AAN

= (15)

Conhecendo-se IA , obtm-se os pontos nos quais divide-se o domnio.

A seguir, apresentado como se chega equao do problema de estimao e a

sua soluo pelo algoritmo de Viterbi.

3.2 ESTIMAO DE UM SINAL CORROMPIDO PELO RUDO

O objetivo do algoritmo de Viterbi obter um sinal ( )s n contendo os valores mais prximos de um sinal original ( )s n que foi corrompido por rudo ( )nr a partir de

( ) ( ) ( )s n s n r n= + . Neste trabalho, o rudo que modifica o sinal o rudo branco gaussiano aditivo.

40

Define-se q como sendo o vetor que contm a seqncia de estados estimada.

A partir de q , o vetor contendo os pontos da rbita estimado s obtido pelo centro ( )C j dos intervalos definidos por estes estados.

Para 1n + amostras de s , o vetor corrompido pelo rudo

( ) ( ) ( )0 , 1 ,...,s s s n= s , a seqncia estimada ( ) ( ) ( ) 0 , 1 ,...,q q q n= q e o vetor estimado :

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 , 1 ,..., .C q C q C q n = s (16) Antes do estudo do algoritmo faz-se necessrio a obteno das funes

densidade de probabilidade envolvidas.

Considere q como sendo um vetor genrico contendo uma seqncia de 1n +

estados, ( ) ( ) ( )0 , 1 ,...,q q q n= q . O problema da estimao pode ser resumido em encontrar q tal que

( ) ( ) max .P P| = |q

q s q s (17)

A seqncia estimada q

dado o sinal distorcido s

a que possui maior

probabilidade entre as seqncias de estado q possveis dado o sinal distorcido. Em outras

palavras, a seqncia estimada q ser a de maior probabilidade dada as amostras corrompidas

por rudo s .

O teorema de Bayes afirma que

( ) ( ) ( )( )p s P q

P sp s|| = qq

(18)

41

sendo ( )p s a funo densidade de probabilidade dos possveis vetores s e ( )p |s q a funo densidade de probabilidade levando em conta que o vetor de estados original q . A

probabilidade ( )P q

diz respeito chance de obter o vetor q quando o mapa for iterado.

Como ( )p s no depende de q , o vetor estimado q : ( ) ( ) ( ) arg max arg max

q qP q s p s q P q= | = |q (19)

O vetor estimado q o vetor q que tem a maior probabilidade de ocorrer.

Enquanto na Equao 17, faz-se referncia probabilidade, a Equao 19 mostra quem o

vetor contendo a seqncia mais provvel de estados.

Considere somente os primeiros 1p + estados de um vetor genrico pq e de

um vetor observado ps . Pela notao que est sendo utilizada, tem-se que:

( ) ( ) ( ) ( )0 , 1 ,..., 1 ,p q q q p q p= q (20)

e

( ) ( ) ( ) ( )0 , 1 ,..., 1 , .p s s s p s p= s (21)

A probabilidade de obter a seqncia de estados pq quando o mapa iterado :

( ) ( ) ( )( ) ( )11p pP P q p q p P = | q q (22) A probabilidade de obter a seqncia pq a probabilidade de que a seqncia

1pq tenha ocorrido vezes a chance de estando no estado ( )1q p ele mude para o estado

( )q p .

42

As amostras de rudo so independentes. Por esta razo, pode-se equacionar a

probabilidade do vetor de amostras do sinal distorcido sabendo que a seqncia estimada

pq como:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )

0 0

0

p p

p p rn n

p

r

n

p p s n q n p s n s n

p s n C q n

= =

=

| = | =

s q

(23)

sendo ( ).rp a funo densidade probabilidade do rudo ( )r n . A aproximao na Equao 23 devido repartio do domnio. Para um IN pequeno, ( )s n e ( )( )C q n estaro possivelmente afastados. Porm, se for utilizado um elevado IN , a aproximao torna-se

prxima de uma igualdade.

Supondo que o mapa em questo possui densidade invariante uniforme, pode-

se dizer que a probabilidade de estar em qualquer dos subintervalos no instante 0n = igual.

A partir dessa considerao e combinando as Equaes 19, 22 e 23 chega-se a

( ) ( )( ) ( ) ( )( )11

arg max 1N

qn

P q n q n p s n q n

=

= | |q (24)

Uma forma de implementar a Equao 24 dada pelo algoritmo de Viterbi,

que descrito a seguir.

Considere ( ),n j simbolizando a probabilidade da seqncia de estados mais provvel que no instante n esteja no estado j dado o vetor s . Matematicamente,

( ) ( )( )1, max ,n

nn j P q n j s = = |q q (25)

Assim, a Equao 24 pode ser reescrita dessa maneira:

( ) ( ) ( ), max 1, ij jin j n i a b = s (26)

em que

43

( ) ( )( )1ija P q n j q n i= = | = (27) e

( )( ) ( ) ( )( )jb n P n q n j= | =s s (28) Os valores de ija correspondem s probabilidades de uma amostra ( )ns estar

no subintervalo jU quando em ( )1n s ela estiver em iU . Os valores de jb so as probabilidades que dependem da funo densidade de probabilidade de rudo rP .

O Diagrama 2 ajuda a esclarecer o algoritmo de Viterbi.

Diagrama 2 Exemplo do funcionamento do algoritmo de Viterbi. Esto representadas possveis seqncias at 5n = de um sinal.

O smbolo ( )5,4 a probabilidade da seqncia de estados mais provvel que no instante 5n = est no estado ( )5 4q = .

1 2 3 4 5 0

1

2

3

4

5

n

j

( )5,2 3 =

( )3,5 3 =

( )5,4

44

Primeiramente, numa fase chamada de avano, a Equao 25 utilizada para

obter ( ),n j no instante n para os IN intervalos. Sempre escolhido o caminho mais provvel na continuidade de cada seqncia.

Ao final dessa fase, seleciona-se a opo que fornece a mais alta probabilidade.

Depois, inicia-se a fase de retrocesso, que permite obter a seqncia de estados

mais provvel ( )q n . Atravs da matriz ( ),n j guardado o estado anterior 1n que contm a maior probabilidade de ter ocorrido.

Sendo ipi a probabilidade a priori de ( )0s estar no estado i , pode-se resumir o algoritmo de Viterbi atravs das equaes a seguir:

Incio do algoritmo

( ) ( )( )( )0, 0 ,1

0, 0i i Ii b i N

i

=

=

s (29)

Fase de avano

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

1

1

, max 1, ,1 1,1

, max 1, ,1 1,1I

I

j Ii N

ij j Ii N

n j n i b n i N j N

n j n j a b n i N j N

=

=

s

s

(30)

Trmino do avano

( ) ( )1

1 arg max 1,Ii N

q N N i

= (31)

Fase de retrocesso

( ) ( )( ) 1, 1 , 2,...,1,0q n n q n n N= + + = (32) 3.2.1 EXEMPLO NUMRICO DO ALGORITMO DE VITERBI

O intuito desse tpico facilitar o entendimento do algoritmo atravs de um

exemplo.

45

Considere um sinal [ ]0,75; 0,25;0,25; 0,75;0,3= s . Existem 5 amostras indo de 0n = at 4n = . Suponha que aps o sinal ter sido corrompido, tem-se

[ ]0,82; 0,6;0,1; 0,4; 0,1= s . O caso de anlise ser do mapa tenda que possui densidade invariante

uniforme. Logo, cada intervalo tem 2 2 0,54IN

= = = . O domnio U dividido nos seguintes

subintervalos: [ ]1 1; 0,5U = , [ ]2 0,5;0U = , [ ]3 0;0,5U = e [ ]4 0,5;1U = .

Com os dados fornecidos a seqncia original [ ]4;2;3;1;3=q . Na amostra

0n = , o valor de 0,75 se enquadra em 4U . Sendo assim, ( )0 4q j= = .

Neste exemplo utiliza-se uma matriz de transio ( ) ,1 , 4ija i j= A que pode ser obtida de maneira similar do Programa 3 do Apndice e :

0,5 0,5 0 00 0 0,5 0,50 0 0,5 0,5

0,5 0,5 0 0

=

A (33)

O elemento 34a indica que a probabilidade de que se o ponto da rbita estiver

em 3U no instante n e ele estar em 4U no instante 1n + 0,5 .

Suponha que a seqncia mais provvel at o instante 4n = terminando no

estado 3j = seja [ ]4,1,3,5,3=q . Supondo que dentre todas as outras seqncias que terminam em 4n = , o vetor q do estado 3j = seja o mais provvel, pode-se dizer que =q q .

A probabilidade de q ocorrer ( )4,3 . Ao final da fase de avano, alm das probabilidades, tm-se as os estados anteriores mais provveis. Assim, ( )4,3 5 = , ( )3,5 3 = , ( )2,3 1 = ,

( )1,1 4 = e ( )0,4 0 = .

46

Para obter a seqncia, parte-se da Equao 31. Depois, necessrio somente

substituir na Equao 32. Assim:

( ) 4 3q = (34) ( ) ( )( ) ( ) 3 4, 4 4,3 5q q = = = (35) ( ) ( )( ) ( ) 2 3, 3 3,5 3q q = = = (36) ( ) ( )( ) ( ) 1 2, 2 2,3 1q q = = = (37) ( ) ( )( ) ( ) 0 1, 1 1,1 4q q = = = (38)

3.2.2 EXEMPLO GRFICO DO ALGORITMO DE VITERBI

Os grficos desse tpico foram gerados a partir do mapa tenda inclinada com

0,2 = , 21n = iteraes e 10IN = subintervalos.

O Grfico 15 mostra um exemplo de como o algoritmo de Viterbi melhora um

sinal original distorcido pelo rudo. No item (a), temos sinal original s . No item (b),

mostrado o sinal corrompido por um rudo branco s e no item (c) , o sinal estimado s obtido.

47

Grfico 15 (a) Sinal original; (b) sinal corrompido por rudo; (c) sinal estimado

O Grfico 16 mostra o erro dos sinais distorcido e estimado, respectivamente.

Grfico 16 (a) Erro sem utilizar o algoritmo de Viterbi; (b) erro aps utilizar o algoritmo

48

Na simulao tambm foi calculada a mdia dos erros sem utilizar e utilizando

o algoritmo. A mdia de erro com rudo foi de 0,3538 enquanto que a mdia de erro com a

estimao foi de 0,1091. Com esses valores, percebe-se que o algoritmo de Viterbi foi muito

eficiente neste caso.

O Grfico 17 mostra a relao sinal rudo da entrada inSNR

pela relao sinal

rudo na sada outSNR .

Grfico 17 - inSNR x outSNR

Esse grfico foi obtido a partir do Programa 5 do Apndice. Aps a escolha do

vetor de inSNR , calculou-se o sinal estimado e a varincia entre este sinal e o sinal original

para cada amostra do sinal original. Cada amostra do sinal original foi elevada ao quadrado e

dividida pela varincia. Depois foi feita a converso desse vetor para decibis. Por fim, foi

feita uma mdia do desvio quadrtico, obtendo outSNR .

49

O desempenho bom enquanto out inSNR SNR> . Percebe-se que at cerca de

20 dB o algoritmo consegue uma boa estimao do sinal. Caso venha um sinal com uma

inSNR maior que esse valor, o algoritmo estima um sinal pior do que o corrompido.

Para que esse mtodo seja utilizado, deve-se ter um nmero elevado de

subintervalos do domnio e , alm disso, o mtodo no pode estimar um sinal com pouco

rudo.

50

4 SIMULAES E RESULTADOS

Utilizando toda a teoria vista nos Captulos 2 e 3, foram desenvolvidos

programas para simular o comportamento do algoritmo de Viterbi ao variar-se alguns

parmetros (EISENCRAFT, 2006).

A partir da diviso do domnio em subintervalos, o mapa iterado diversas

vezes e depois calculada a chance do prximo ponto estar em cada um dos intervalos.

Obtm-se dessa forma a matriz de transio A que quadrada e do tipo I IN N em que IN

o nmero de subintervalos. O sinal de entrada uma rbita gerada pelo mapa em questo.

As informaes necessrias para a simulao da estimao so: o sinal original

( )s n , o sinal corrompido ( )s n , a potncia do rudo no canal rP , o nmero de intervalos IN , o mapa, e a matriz de transio A .

Os mapas utilizados para as simulaes so: mapa tenda (Eq. 5), mapa tenda

inclinada (Eq. 4) e mapa quadrtico (Eq. 6).

A fim de minimizar o erro do algoritmo, antes de simular o algoritmo de

Viterbi, fora-se a condio do intervalo definido no domnio. Assim, se um ponto do sinal

ruidoso for maior que 1, aproximado para 1 e se for menor que 1 , aproximado para 1 .

No Grfico 18, foi feita a variao do parmetro do mapa tenda inclinada.

Utilizaram-se 10IN = intervalos, com 1000 repeties para cada valor de inSNR e 21N =

pontos iterados do mapa.

O inSNR e o outSNR foram obtidos da mesma forma que foi explicado no

Grfico 17. O programa 7 do Apndice foi utilizado para gerar o Grfico 18.

51

Grfico 18 - inSNR x outSNR para o mapa tenda inclinada com variaes do parmetro . Foram

usados 10IN = subintervalos e 21N = pontos da rbita.

Observe que para o mapa tenda inclinada com 0 = , o resultado obtido foi

melhor. Os piores resultados foram obtidos para valores de prximos dos extremos (-1 e

1). Perto de 20 dB, o algoritmo deixa de ser interessante para o mapa tenda inclinada com

0,8 = . Note que a partir desse valor, a outSNR passa a ser menor que a inSNR . Este

resultado significa que o sinal estimado estar mais longe do sinal original comparado com o

sinal corrompido. Nesse caso, para melhorar o desempenho deve-se aumentar o nmero de

intervalos uniformes.

52

No Grfico 19, a simulao foi feita tambm com o mapa tenda inclinada s

que a variao foi com o nmero de subintervalos utilizados. Foi utilizado 0,2 = .

Mantiveram-se as 1000 repeties por valor de inSNR

e rbitas com 21N = iteraes.

Grfico 19 - inSNR x outSNR do mapa tenda inclinada com variaes do nmero de intervalos

Note que quanto maior o nmero de intervalos, melhor o resultado da

estimao. Por volta de 32,5inSNR = dB, para 10 intervalos, o algoritmo de Viterbi acaba no

sendo interessante para a estimao.

No Grfico 20, a variao do tamanho da matriz de transio foi feita com o

mapa quadrtico, caso em que necessria uma partio no-uniforme. Novamente foram

feitas 1000 repeties por valor de inSNR

e as rbitas foram obtidas com 21N = iteraes.

53

Grfico 20 - inSNR x outSNR do mapa quadrtico com variaes do nmero de intervalos

As mesmas observaes feitas anteriormente podem ser vista no mapa

quadrtico. O nmero de intervalos tem uma influncia muito grande no desempenho do

algoritmo de Viterbi.

Comparando o desempenho do algoritmo de Viterbi nos mapas quadrtico e

tenda inclinada com variao do nmero de intervalos, pode-se observar que para o mapa

tenda inclinada com 0,2 = , ele apresenta resultados ligeiramente melhores. Por exemplo,

para 10 intervalos, no quadrtico, o algoritmo satisfatrio at quase 35 dB enquanto que no

tenda inclinada, com 0,2 = , de 32,5 dB.

Os resultados obtidos no so parecidos com os obtidos na tese de Eisencraft

(2006). Os valores de inSNR e outSNR no so os mesmos. necessrio um estudo mais

aprofundado para verificar os possveis motivos das diferenas de resultados.

54

Para as simulaes feitas neste captulo, foram utilizados intervalos no-

uniformes no mapa quadrtico e uniformes no mapa tenda inclinada.

Apesar de terem sido mostradas poucas simulaes, deve-se ressaltar que para

cada uma delas o tempo gasto foi de aproximadamente 7 horas. Esse tempo foi obtido a partir

de um computador com processador Pentium D de 2,8 GHz.

55

5 CONCLUSES

Este trabalho teve como propsito analisar uma forma de estimar um sinal

catico transmitido em meio ruidoso de forma a obter um sinal mais prximo do transmitido

originalmente. O mtodo estudado foi o algoritmo de Viterbi.

Para que o trabalho atingisse um pblico mais amplo, fez-se primeiramente

uma introduo aos sinais caticos e sistemas de comunicaes nos Captulos 1 e 2. Alm

disso, tambm foi revisada a teoria da estimao de sinais na primeira parte do Captulo 3.

A partir desses conceitos fundamentais, iniciou-se o estudo do algoritmo de

Viterbi aplicado estimao de sinais caticos. Nas simulaes realizadas no Captulo 3,

mostrou-se o caso de apenas um sinal sendo transmitido, um rudo aleatrio que foi

adicionado a ele, e o sinal estimado pelo mtodo. Os resultados foram satisfatrios. Para as

condies propostas naquele exemplo, se 20inSNR > dB, o algoritmo deixa de ser

interessante.

Nas simulaes do Captulo 4, dois parmetros foram variados a fim de se

analisar qual era a influncia deles no resultado da estimao. No Grfico 18, na anlise do

mapa tenda inclinada com variao de , verificou-se que para 0 = , tm-se um maior

conjunto de valores de inSNR para os quais a outSNR maior. Portanto, nesse caso obtm-se

o melhor resultado, com esse parmetro.

O parmetro que mais altera os resultados do algoritmo o nmero de divises

do intervalo IN . Quanto maior for o nmero de intervalos, ocorre um nmero maior de casos

em que outSNR maior que inSNR , como mostrado nos Grficos 19 e 20.

Por meio dos resultados obtidos, pode-se concluir que o algoritmo de Viterbi

tem um bom desempenho para mapas com densidade invariante uniforme, como o mapa tenda

56

inclinada. Para os casos com outros tipos de mapa se faz necessria uma modificao nas

divises que deve ser feita no domnio estudado. A diviso feita de tal forma que as reas

obtidas entre o mapa e o eixo horizontal devem possuir o mesmo valor, ou seja, a

probabilidade de que um ponto esteja num subintervalo a mesma de que ele esteja em

qualquer outro subintervalo.

Deve-se tambm considerar as limitaes do mtodo. Para casos nos quais h

pouco rudo, o algoritmo acaba diminuindo a outSNR em relao ao inSNR . Um fator

importante para explicar essa limitao so as aproximaes pelos pontos centrais dos

intervalos. Como os pontos do sinal ruidoso esto prximos do original, essa estimao acaba

por obter pontos mais distantes do mesmo.

Os assuntos abordados neste trabalho, em geral, no so vistos num curso de

graduao. Houve a necessidade de muito estudo para escrever os captulos iniciais e tambm

com a parte de simulao.

Algumas sugestes para trabalhos futuros resultantes desta pesquisa so: como

aplicar o algoritmo de Viterbi em sistemas de comunicao como ML-CSK (Maximum

Likelihood Chaos Shift Keying Chaveamento Catico com mxima verossimilhana) e ML-

DCSK (Maximum Likelihood Differential Chos Shift Keying Chaveamento catico

diferencial com mxima verossimilhana) (EISENCRAFT, 2006), comparao do algoritmo

de Viterbi com outros mtodos de estimao e anlise de resultados do algoritmo de Viterbi

considerando outros tipos de distoro alm do rudo branco gaussiano. Um dos professores

da banca, aps a apresentao desse trabalho, tambm sugeriu um estudo a respeito do ponto

timo dentro de um subintervalo no-uniforme.

57

APNDICE

Rotinas computacionais em MATLAB

58

1 SKEW Obtm o mapa tenda inclinada %[s] = skew(alfa,s0) %Itera mapa skew uma vez % alfa = parametro do mapa % s0 = vetor de pontos a ser iterado function s = skew(alfa,s0) indicesmenores = (find(s0alfa)); c11 = 2/(alfa+1); c12 = (1-alfa)/(1+alfa); c21 = 2/(alfa-1); c22 = -(1+alfa)/(alfa-1); s(indicesmenores) = c11*s0(indicesmenores)+c12; s(indicesmaiores) = c21*s0(indicesmaiores)+c22;

2 ORBITATI Obtm rbitas do mapa tenda inclinada % nit = numero de iteracoes % x0 = condicao inicial % alfa = parametro do mapa tenda inclinada function y=orbitati(nit,x0,alfa) y(1)=x0; for i=2:nit if y(i-1)

59

end I=[-1 X(b) 1] %devolve intervalos para algoritmo

4 TENTIVA Obtm a matriz de transio para o mapa tenda inclinada function matrizdetransicao=tentativa(nintervalos) close all; alfa=0.2; I=quaseviterbi(nintervalos,50000,alfa); %obtem intervalos obtidos no programa 3 variavel=length(I); for i=1:variavel-1 x=linspace(I(i),I(i+1),1000); for j=1:length(x) if x(j)

60

%Nb = 10; %Limitacao hard de y y(find(abs(y)>1))=sign(y(find(abs(y)>1))); %limitacao hard

%Pontos centrais dos intervalos deltab = 2/Nb; k = 1:Nb; Bc = ((2*k-Nb-1)/Nb)'; if strcmp(mapa,'quadratico'), Bc = -cos(pi*(Bc+1)/2); end

% Inicializacao delta(:,1) = dist(y(1),Bc,varruido)/Nb; fi(:,1) = zeros(Nb,1);

% Forward Pass for t = 2:Npontos, for j = 1:Nb, for i = 1:Nb, calc(i) = delta(i,t-1)*a(i,j); end calcmax = max(calc); indmax = find(calc == calcmax); delta(j,t) = max(calc)*dist(y(t),Bc(j), varruido); fi(j,t) = indmax(1); end end

%Termino termino = find(delta(:,Npontos) == max(delta(:,Npontos))); s(Npontos) = termino(1);

%Backward Pass for t = Npontos-1:-1:1, s(t) = fi(s(t+1),t+1); end xchapeu = Bc(s)';

5 ALGORITMO DE VITERBI Obtm Grficos dos sinais originais, com rudo e estimado, erro e relao sinal rudo

%scriptfinal e=0:50; f=0:50; close all; tamanho=21; Nb=10; mapa='skew'

61

a=tentativa(10); SNRindB=linspace(0,60,60);

for i=1:length(SNRindB)

for b=1:10 x0=2*rand(1,1)-1; sinaloriginal=orbitati(tamanho,x0,0.2); N=0:length(sinaloriginal)-1; l=length(N); r=0.4*randn(1,tamanho); sinalcorrompido=sinaloriginal+r; y=sinalcorrompido; varruido=0.4; xchapeu = viterbi(y,varruido,Nb,a,mapa); sinaloriginalaoquad=sum(sinaloriginal.^2); potenciasinal=sinaloriginalaoquad/tamanho; varianciaruido=var(sinalcorrompido-sinaloriginal); varianciaestimada=var(xchapeu-sinaloriginal); SNRin(i)=potenciasinal/varianciaruido; SNRinput(i)=10.^(SNRin(i)/10); sigma(i)=potenciasinal/SNRin(i); SNRout=sinaloriginalaoquad/varianciaestimada; SNRoutdB(i)=10*log10(SNRout); SNRoutput(i)=[SNRoutdB(i)]; erro=sinaloriginal-xchapeu; errocomruido=sinaloriginal-sinalcorrompido; mediaSNRinput(i)=[mean(SNRinput)];

end mediaSNRoutput(i)=[mean(SNRoutput)]; end mediaerro=mean(erro.^2) mediaerrocomruido=mean(errocomruido.^2) figure(1) subplot(3,1,1) plot(N,sinaloriginal) grid on ylabel('Sinal original') axis([0 20 -1.2 1.2]); subplot(3,1,2) plot(N,sinalcorrompido) grid on ylabel('Sinal corrompido por ruido') axis([0 20 -1.2 1.2]); subplot(3,1,3) plot(N,xchapeu) grid on xlabel('n') ylabel('Sinal estimado')

62

axis([0 20 -1.2 1.2]) figure(2) subplot(2,1,1) plot(N,errocomruido) grid on ylabel('Erro sem utilizar o algoritmo') axis([0 20 -1.2 1.2]); subplot(2,1,2) plot(N,erro) grid on xlabel('n') ylabel('Erro utilizando o algoritmo') axis([0 20 -1.2 1.2]); figure(3) plot(SNRindB,mediaSNRoutput) grid on hold on plot(e,f,'c') grid on xlabel('SNRin') ylabel('SNRout') axis([0 30 0 30])

6 SCRIPTFINALGRAFICOVITERBI Obtm as relaes sinal rudo da entrada pela relao sinal rudo na sada ao variar o parmetro alfa do mapa tenda inclinada %scriptfinalgraficoviterbi %Nb=numero de intervalos %SNRindB=relacao sinal ruido de entrada %xchapeu=sinal estimado %alfa=0.2; %numrepete=numero de repeti function [SNRindB, mediaSNRoutput] = scriptfinalgraficoviterbitialfa(alfa,a); tamanho=21; Nb=10; mapa='skew' SNRindB=linspace(0,40,60); SNR=10.^(SNRindB/10); numrepete=10; n = 0:tamanho-1; for i=1:length(SNRindB) for b=1:numrepete [SNRindB(i) b alfa] x0=2*rand(1,1)-1; sinaloriginal=orbitati(tamanho,x0,alfa); sinaloriginalaoquad=sum(sinaloriginal.^2); potenciasinal=sinaloriginalaoquad/tamanho; potenciaruido=potenciasinal/SNR(i); r=sqrt(potenciaruido)*randn(1,tamanho); sinalcorrompido=sinaloriginal+r;

63

xchapeu=viterbi(sinalcorrompido,potenciaruido,Nb,a,mapa); denSNRout=var(xchapeu-sinaloriginal) SNRout=sinaloriginalaoquad/denSNRout; SNRoutdB(b)=10*log10(SNRout); erro=sinaloriginal-xchapeu; errocomruido=sinaloriginal-sinalcorrompido; end mediaSNRoutput(i)=[mean(SNRoutdB)]; end end

7 GRAFICVITERBITIALFA Obtm o Grfico de relao sinal rudo da entrada pela relao sinal rudo na sada ao variar o parmetro alfa do mapa tenda inclinada %function [SNRin,mediaSNRoutput] = graficviterbi(alfa) close all; alfa = -0.8:.4:0.8; a=tentativa(10) e=0:50; f=0:50; for indalfa=1:length(alfa) [SNRindB(indalfa,:), mediaSNRoutput(indalfa,:)] =scriptfinalgraficoviterbitialfa(alfa(indalfa)); end figure(1) plot(SNRindB(1,:),mediaSNRoutput(1,:),'r') hold on plot(SNRindB(2,:),mediaSNRoutput(2,:),'b') hold on plot(SNRindB(3,:),mediaSNRoutput(3,:),'k') hold on plot(SNRindB(4,:),mediaSNRoutput(4,:),'g') hold on plot(SNRindB(5,:),mediaSNRoutput(5,:),'m') hold on plot(e,f,'c') hold on xlabel('SNRin') ylabel('SNRout')

64

REFERNCIAS

ABEL, A.; SCHWARZ, W. Chaos communications-principles, schemes, and system analysis; Proceedings of the IEEE, v. 90, n. 5, p.691 710, may. 2002.

ALLIGOOD, K. T.; SAUER, T. D.; YORKE, J. A. Chaos - An Introduction to Dynamical Systems, New York: Springer, 1996.

CORRON, N.J.; HAHS, D. W. A new approach to Communications using Chaotic Signals, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, v. 44, n. 5, p.373-382, 1997.

DEDIEU, H.; KISEL, A. Communications with chaotic time series: probabilistic methods for noise reduction. International Journal of Circuit Theory and Applications, v. 27, p. 577-587, 1999.

DEVANEY, R. L. A first course in chaotic dynamical systems: Theory and experiment, Westview Press, 1992.

DRAKE, D. F. Informations Role in the Estimation of Chaotic Signals. 1998. Thesis (Doctor in Philosophy in Electrical Engineering) - Georgia Institute of Technology, 1998.

EISENCRAFT, M. Sistemas de comunicao utilizando sinais caticos. 2001. 115 p. Dissertao (Mestrado em Engenharia) - Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, So Paulo, 2001.

EISENCRAFT, M. Contribuies da teoria da estimao para modulaes digitais que utilizam sinais caticos. Tese (Doutorado em Engenharia) - Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, So Paulo, 2006.

HAYKIN, S. Communication systems, New York: John Wiley, 2001.

KAY, S. M. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall Inc., 1993.

LASOTA, A.; MACKEY, M. Probabilistic properties of deterministic systems Cambridge: Cambridge University, 1985.

LAU, F. C. M.; TSE, C. K. Chaos-based digital communication systems, Berlim: Springer, 2003.

LI, T. Y.; YORKE, J. A. Period three implies chaos. American Mathematics Monthly, v. 82, p. 985-992, 1975.

LORENZ, E. Deterministic non-periodic flows. Journal of the Atmospheric Sciences, v. 20, p. 130, 1963.

65

MAY, R. M. Biological populations with nonoverlapping generations: stable points, stable cycles, and chaos. Science, v. 186, p. 645-647, 1974.

MONTEIRO, L. H. A. Sistemas Dinmicos, So Paulo: Livraria da Fsica, 2006.

MYERS, K.; TAPLEY, B. Adaptive sequential estimation with unknown noise statistics. Proceedings of the IEEE Automatic Control, v.21, n.4, p. 520-523, 1976.

NEWTON, I. The Principia : mathematical principles of natural philosophy. Berkeley: University of California, 1999.

PECORA, L. M.; CARROLL, T. L. Synchronization in chaotic systems. Physical Review Letters, v. 64, n. 8, p. 821-824, 1990.

POINCAR, H. Sur les equations de la dynamique et le problme de trois corps. Acta Mathematica, v. 13, p. 1-270, 1890.

SETTI, G.; MAZZINI, G.; ROVATTI, R.; CALLEGARI, S. Statistical Modeling of Discrete- Time Chaotic Process - Basic Finite-Dimensional Tools and Applications. Proceedings of the IEEE, v. 90, n. 5, 2002.

SILVA, C. P.; YOUNG, A. M. Introduction to chaos-based communications and signal processing, Proceedings of the IEEE Aerospace Conf, 2000.

STROGATZ, S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos. Massachusets: Persus Publishing, 2000.