Estimación de Avenidas de Diseño Mediante el Uso de la Teoría Multivariada de

Extremos

Dr. Álvaro Alberto Aldama Rodríguez1 y Dr. Aldo Iván Ramírez Orozco21Consultor Independiente, 2Profesor Investigador del Centro del Agua del

ITESM

SAMARIA

C. H. PEÑITAS

PRESA MALPASO

TEAPA

MACUSPANA

SALTO DEL AGUA

PUYACATENGO

TAPIJULAPABOCA DEL CERRO

SAN PEDROGONZÁLEZ

PLATANAR

GAVIOTAS

Río Usumacinta

Río Samaría

Río Macuspana Río T

ulija

Río San Pedro y San PabloRío Usumacinta

Río

San

Ped

ro

Río

Usu

mac

inta

Río G

rijalva

Río

Mez

cala

pa

Río

Pic

huca

lco

Río

Tea

pa

Río La S

ierra

Río Carrizal

Río

Grij

alva

Río P

uyacatengo

Río Platanar

Río ChilapaRío Grija

lva

G O L F O D E M É X I C ON

ESTACIÓN HIDROMÉTRICA

C. H. LA ANGOSTURA

PICHUCALCO

CÁRDENASVILLAHERMOSA

C. H. CHICOASÉN

TUXTLA GUTIÉRREZ

Río Alto GrijalvaRío Yayahuita

Río Alto Grijalva

Río Mezcalapa

Ríos de la Sierra

Ríos Samaria y Carrizal

Río Grijalva

Río Chilapa

Río Usumacinta

ESCALA GRAFICA

KILÓMETROS

0 10 5020 30

40

Hidrografía del sistema Grijalva-Usumacinta

Introducción La seguridad de una estructura cualquiera está

determinada por su respuesta ante un evento que puede

presentarse o ser excedido con una probabilidad

determinada.

En el caso de una presa o una obra para control de

inundaciones, dicho evento puede ser la tormenta de

diseño o la avenida de diseño.

Dado que el evento que incide directamente sobre un vaso o

cualquier obra para control de inundaciones es la avenida

de diseño, se considera más apropiado caracterizar la

seguridad de una presa en términos de su respuesta ante la

ocurrencia de dicha creciente.

La estimación de avenidas de diseño es el proceso de

obtener las características del hidrograma que se utilizará

para determinar las dimensiones de una obra.

El fin de los métodos de estimación de avenidas de

diseño es determinar de la mejor manera posible la

magnitud del evento correspondiente a un nivel de

riesgo aceptable.

La estimación de avenidas se realiza con base en un

nivel de riesgo determinado, que se traduce en un

periodo de retorno de diseño, que corresponde al

número de años en el que, estadísticamente, el evento de

diseño puede presentarse o ser excedido.

Estimación de avenidas de diseño

Enfoques de estimación de avenidas de diseño

Hidrometeorológico. Basado en registros de precipitación y la modelación del proceso lluvia-escurrimiento.Hidrométrico. Basado en registros de

escurrimiento y el uso de funciones de distribución de probabilidad.

Ventajas del enfoque hidrometeorológico

Registros de precipitación más abundantes que los de escurrimiento

Obtención del hidrograma completo de la avenida

Medición de la precipitación en México

5575 estaciones climatológicas con datos históricos (la mayoría con pluviómetro solamente)

77 observatorios meteorológicos

4594 estaciones con coordenadas conocidas

Densidad aproximada = 1 estación pluviométrica / 400 km2

Recomendación mínima de la OMM:

Terreno plano 1 estación por cada 600 a 900 km2

Terreno montañoso 1 estación por cada 100 a 250 km2

México no cumple con la recomendación mínima

Ventajas del enfoque hidrométrico

Registros de caudales suficientemente prolongados para realizar análisis de frecuencias de gastos máximos anuales.

Obtención de estimaciones con significado probabilista.

Existencia de una gran diversidad de distribuciones de probabilidad, incluidas las de poblaciones mezcladas, a fin de tomar en cuenta el comportamiento y origen de las avenidas.

Desventajas del enfoque hidrométrico

Los registros de escurrimiento no son homogéneos (dependen de los cambios de la cuenca).

Puede existir incertidumbre en la estimación de los parámetros de la distribución de probabilidad.

En los métodos convencionales sólo se obtiene una característica de la avenida, esto es, el gasto pico, y la forma de la avenida de diseño se obtiene “mayorando la avenida máxima histórica”, lo cual en estricto sentido haría imposible asociar un periodo de retorno a la misma.

Tormenta elemental en una cuenca

Considérese una tormenta elemental que ocurre en una cuenca, sobre un área A, con una intensidad I y una duración d, a una distancia efectiva L de la salida de aquélla. El efecto de la tormenta será un hidrograma de salida, caracterizado por el gasto pico Qp, el tiempo pico tp, y el volumen escurrido V.

t

i(t)I

d

Q(t)

t

Qp

tp

VA

L

Modelo advectivo-difusivo del proceso lluvia-

escurrimiento Para fines de argumentación conceptual, el proceso lluvia-

escurrimiento puede ser modelado representando a la cuenca como un “metacanal”, como lo han propuesto Snell y Sivalpan (1995). Entonces, puede considerarse que el gasto Q a lo largo del cauce principal de la cuenca está gobernado por la siguiente ecuación de advección-difusión:

donde t representa el tiempo; x, la coordenada espacial a lo largo del cauce principal; U, una velocidad advectiva efectiva, y D, un coeficiente de difusión efectivo.

2

2

xQ

DxQ

UtQ

∂∂=

∂∂+

∂∂

Gasto pico producido por una tormenta elemental

El gasto pico producido por una tormenta elemental puede obtenerse a partir de la solución analítica del problema gobernado por el modelo advectivo-difusivo, que resulta en la siguiente expresión:

),( rep CPfIAgQ =

donde f representa un factor de escurrimiento directo y

−−

−−−

+

+−

−−+

=

−

dt

dtC

C

P

dt

dtC

C

P

dt

dtC

C

P

dt

dtC

C

PCPg

p

pr

r

e

p

pr

r

eP

p

pr

r

e

p

pr

r

ePPre

e

ee

/

/1

21

erf)1/(

)1/(1

21

erf

/

/1

21

erf)1/(

)1/(1

21

erf21

),(

2/

2/2/

e

ee

siendo Pe=UL/D un número de Pécléct, y Cr=Ud/L un número de Courant, ambos característicos del binomio tormenta elemental-cuenca. Se puede demostrar que la relación tp/d es una función de Pe y Cr y, por tanto, de L.

Caracterización probabilista de una tormenta elemental

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∞∞

=≤≡=≤≡

=≤≤≡

L

l

I

i

I L

didlLiLlPLZdldiliIiPIZ

dldiliLlIiPLIZ

0 00 0

0 0

),()()(,),()()(

,),(),(),(

ςς

ς

La descripción más simple que se puede proponer de una tormenta elemental que ocurre en un área fija y tiene una duración fija, es aquélla en la que intervienen dos variables aleatorias: I y L. Sea entonces la densidad de probabilidad conjunta de dichas variables ζ(I,L), a partir de la cual se puede calcular la distribución de probabilidad conjunta, así como las distribuciones marginales de I y L, dadas respectivamente por:

Periodo de retorno conjunto Se puede demostrar que el periodo de retorno

conjunto de I y L, o dicho de otro modo, el periodo de retorno de la tormenta elemental está dado por:

),()()(11

),(1

, LIZLZIZLlIiPT

liLI +−−

=>>

≡

Periodos de retorno de tormentas y avenidas (1)

Cuando se realiza un análisis de frecuencias de tormetas máximas anuales, se puede estimar una intensidad de diseño, ID, asociada con un periodo de retorno seleccionado para tal fin, TID. Ahora bien, empleando la teoría de distribuciones derivadas se puede calcular la distribución de probabilidad del gasto pico producido por una tormenta elemental, a partir de ζ(I,L). Se puede demostrar que los periodos de retorno de diseño de la intensidad y del gasto pico se pueden expresar respectivamente como:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

1

0 0

1

0 0

)(),(,

)(),(1

)(1

)(),(,

)(),(1

)(1

−∞

−∞

−=

>≡

−=

>≡

∫ ∫

∫ ∫Dp

p

Dp

Q

rereDp

DQ

Q

rereD

DI

dqlClPg

dll

lClPgq

QqPT

LCLPgdq

dlllClPg

qIiP

T

ς

ς

Periodos de retorno de tormentas y avenidas (2)

Evidentemente, TQpD≠TID, lo cual demuestra que el periodo de retorno de la avenida no es el mismo que el de la tormenta. Pero además, TI,LD≠TID, lo cual muestra que es inadecuado caracterizar a una tormenta sólo a través del comportamiento aleatorio de su intensidad.

Comentarios sobre el enfoque hidrometeorológico La descripción probabilista de tormentas de diseño

a través de la intensidad exclusivamente, es incompleta.

Para diseñar hidrológicamente una presa es necesario conocer el periodo de retorno de la avenida de diseño, lo cual no es posible cuando se emplea una tormenta de diseño, dado que su periodo de retorno no coincide con el de la avenida que produce.

Los modelos lluvia-escurrimiento no funcionan bien para eventos extremos.

Lo anterior resalta las limitaciones del enfoque hidrometeorológico.

Diseño o revisión hidrológica de presas

Para determinar Zmáx y Omáx es necesario transitar el hidrograma completo de la avenida de diseño por el vaso.

I(t)Parámetros de diseño: Zmáx, Omáx

O(t)

t

t

OmáxZmáx

Análisis de frecuencias tradicional

Año Gasto máximo anual(m3/s)

1940 15801941 25091942 10521943 4005

. .

. .

. .

. .

. .1999 85022000 35102001 19202002 4355

Registro histórico

Muestra aleatoria de una sola variable: Gasto pico

10000

20000

•10 100 1000

• • • •• ••• •• •• •

• • • •

Q

• • • • ••• •• •• •

• • • •• • • • •••• •

Q para T=1000 años

T

Periodo de retorno( )PQqP

T>

= 1

Observaciones sobre el análisis de frecuencias

tradicional Se requiere del hidrograma completo para diseñar

o revisar la presa.

En la práctica, la forma del hidrograma se define en forma arbitraria, “mayorando” la avenida máxima histórica.

La respuesta de los vasos es sensible al gasto pico y también a otros parámetros de la avenida.

Se requiere caracterizar probabilistamente toda la avenida.

Parametrización de hidrogramasQ

t t

Q

tp

QpVQ=Q(t;Qp, tp, V)

Hidrograma real Hidrograma parametrizado

Triangular

QP

V

Q

t

QP

tp Cúbica

Q

t

V

QP

tpPearson

tV

Q

tp

Hidrogramas triparamétricos hermitianos

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 50 100 150 200 250 300tiempo (h)

Gasto (m3 /s)

Orden 5

Orden 3

Orden 1

( )

[ ]

[ ]( ) ( )

∞∪∞−∈

∈

−−

−

∈

=

,0,;0

,;1

,0;

,,;1

b

ppb

pp

pp

p

bpp

tt

ttttt

ttQ

tttt

Q

ttQtQb ( )

[ ]

[ ]( ) ( )

∞∪∞−∈

∈

−−

+

−−

−

∈

−

=

,0,;0

,;231

,0;23

,,;

32

32

3

b

ppb

p

pb

pp

ppp

p

bpp

tt

ttttt

tt

tt

ttQ

tttt

tt

Q

ttQtQb

( )

[ ]

[ ]( ) ( )

∞∪∞−∈

∈

−−

−

−−

+

−−

−

∈

+

−

=

,0,;0

,;615101

,0;61510

,,;

543

543

5

b

ppb

p

pb

p

pb

pp

pppp

p

bpp

tt

ttttt

tt

tt

tt

tt

ttQ

tttt

tt

tt

Q

ttQtQb

Solución analítica aproximada de ecuación de

tránsito en vasos

I(t)

O(t)

t

t

OmáxZmáx

dtdS

OI =−

)()( )();( 210 εεε OtStStS ++=

[ ]S t e I d et

t0 0 0( ) ( )= +∫ −S τ τ τ

τττττττ ττ τ ddIedIeetS

t

o o

t

++−

+−= ∫∫ ∫−

0

'0

'01 ')'(Sln')'()( S

ε << 1

dS

dtS I t+ =+1 ε ( )

S

Tránsito de la avenida de diseño de la presa “El Molinito”, Son.

(ε=0.23756)

Para fines prácticos, la solución de orden uno es suficiente.

140

160

180

200

220

240

260

280

0 50 100 150Tiempo (h)

Alm

acen

amie

nto

(M

m3 )

Verdadera

Solución

Orden CeroOrden UnoOrden Dos

Análisis de sensibilidad de vasos ante avenidas

Q

ttp

Qp

V

tp, Qp, V (adimensional)

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

Alm

acen

amie

nto

Máx

imo

Volumen

Tiempo pico

Gasto pico

(adi

men

s ion

al )

0 0.20 0.40 0.60

Descripción biparamétrica (Qp, V )

⇒

Sensibilidad de la respuesta del vaso al volumen de las

avenidas

La gráfica anterior hace evidente que la asignación arbitraria del volumen de escurrimiento de la avenida, que es lo que se haría con el análisis de frecuencias tradicional del gastos pico, tiene una gran influencia en el volumen del superalmacenamiento y por consiguiente en el nivel máximo que alcanza el agua dentro del vaso.

Análisis de frecuencias conjunto (1)

( ) ( )V,vQqP,VQF ppqv ≤≤=

)()()(11

,VQFVFQFT

pqvvpq,VQp +−−

=

( )V,vQqPT

p,VQp >>

= 1

Periodo de retorno conjunto del hidrograma

donde:

(función de distribución de probabilidad conjunta)

( ) ( ) ( )∫ ≤==∞

∞−ppqvpq QqPdV,VQFQF

( ) ( ) ( )∫ ≤==∞

∞−VvPdQ,VQFVF ppqvv

(funciones de distribución de probabilidad marginales)

Análisis de frecuencias conjunto (2)

)(11

pqQ QF

Tp −

=

)(11

VFT

vV −

=

Los periodos de retorno individuales están dados por:

Gasto pico:

Volumen:

Problema de optimización no lineal Sea Zm= Zm(Qp,V) la máxima elevación que alcanza el

agua en el vaso de una presa cuando se transita un hidrograma caracterizado por el par (Qp,V). Entonces, la avenida de diseño para un periodo de retorno TD dado, corresponderá a la solución del siguiente problema:

Dpqvvpq

,VQ

pmmVQ

T,VQFVFQF

T

VQZZ

p

p

=+−−

=

=

∗∗∗∗

∗∗

)()()(11

),(máx),(

:a sujeta

y a la curva elevaciones-capacidades del embalse, así como a su política de operación.

Procedimiento de soluciónSe pretende determinar el par de valores (QP,V)

que produzca los efectos más desfavorables (máximo nivel Zm) en la presa por diseñar o revisar. Definir un periodo de retorno de diseño o revisión.Determinar Qp y V para satisfacer TQp,V =TD.Construir el hidrograma completo con la mejor

parametrización de acuerdo con la cuenca en estudio.Transitar el hidrograma por el vaso y determinar Zm (se

ven implicadas la topografía, las características del vertedor, las políticas de operación, etc.)

Elegir otro par (Qp,V) y repetir el proceso hasta obtener el máximo de Zm.

Calcular los periodos de retorno individuales.

Revisión del diseño hidrológico de la presa “El Infiernillo”,

Mich. y Gro.Diseño original

Qp = 38,777 m3/s (Creager)

Datos actuales

NAMO = 165.00 msnmNAME = 180.40 msnmEcorona = 184.00 msnm

Una revisión del diseño, en 1982, motivó la modificación de niveles y la sobrelevación de la cortina.

Presa “El Infiernillo”, Mich. y Gro.

Análisis de frecuencias de gastos máximos anuales (convencional)

El hidrograma de diseño se definió mayorando la avenida máxima histórica (en gasto pico), ocurrida en 1967, con lo cual el volumen de escurrimiento es:

Al transitar esta avenida, se alcanza una elevación de la superficie libre del agua de 183.00 msnm. El NAME se sobrepasa por 2.60 m y queda aún 1.00 m a la corona.

V = 12,400 millones de m3

Para un periodo de retorno de 10,000 años se tiene:

Qp = 60,060 m3/s

Análisis de frecuencias conjunto utilizando marginales Gumbel doble

Para un periodo de retorno conjunto de 10,000 años se tiene:

Zmáx = 186.73 msnm

Qp = 54,000 m3/sV = 13,960 millones de m3

= 3,800 añosTV = 4,507 años

La presa no es segura para un evento con periodo de retorno de

10,000 años

La corona se sobrepasa en 2.73 m.

pQT

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 50 100 150 200 250

time (h)

Dis

char

ge (

m3/

s)G

asto

m3 /

s

Tiempo (h)

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 50 100 150 200 250

time (h)

Dis

char

ge (

m3/

s)G

asto

m3 /

s

Tiempo (h)

Revisión del diseño hidrológico de la presa “Huites”, Sin.

Diseño original

Qp = 30,000 m3/s V = 5,240 millones de m3

Datos actuales

NAMO = 270.00 msnmNAME = 290.00 msnmEcorona = 290.75 msnm

Presa “Luis Donaldo Colosio” Huites, Sinaloa

Análisis de frecuencias de gastos máximos anuales (convencional)

El hidrograma de diseño se definió mayorando la avenida máxima anual de 1990, mientras la máxima histórica (en gasto pico) ocurrió en 1960. El volumen de escurrimiento es:

Al transitar esta avenida, se alcanza una elevación de la superficie libre del agua de 289.37 msnm, dejando un bordo libre, a la corona, de 1.38 m.

V = 5,240 millones de m3

Para un periodo de retorno de 10,000 años se tiene:

Qp = 30,000 m3/s

La presa parece segura

Análisis de frecuencias conjunto utilizando marginales Gumbel doble

Para un periodo de retorno conjunto de 10,000 años se tiene:

Zmáx = 290.58 msnm

Qp = 29,000 m3/sV = 5,979 millones de m3

= 6,034 añosTV = 3,135 años

La presa es menos segura de lo que se cree

pQT

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 50 100 150 200 250

tiempo (h)

3G

asto

(m

/s)

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 50 100 150 200 250

tiempo (h)

3G

asto

(m

/s)

Revisión del diseño hidrológico del proyecto “La Parota”,

Guerrero

Diseño convencional

Qp = 22,993 m3/s V = 8,912 millones de m3

Datos relevantes

NAMO (avenidas) = 170.00 msnmNAMO (estiaje) = 175.00 msnmNAME = 180.00 msnmEcorona = 183.00 msnm

Sitio para la ubicación de la cortina de lapresa “La Parota”, Guerrero

Análisis de frecuencias conjuntoPara un periodo de retorno conjunto de 10,000

años se tiene:

Zmáx = 179.50 msnm

Qp = 23,531 m3/sV = 5,726 millones de m3

La presa es hidrológicamente segura

Conclusiones Tanto el enfoque hidrometeorológico como el análisis de

frecuencias de gastos máximos tradicionales, para la estimación de avenidas de diseño de presas, son incompletos e inadecuados.

Para el caso de vasos, el método propuesto evita la arbitrariedad en la asignación del volumen de la avenida. Se obtiene la solución con los efectos más desfavorables sobre el vaso en particular, cuyas características se involucran en el proceso de estimación de la avenida de diseño

Comentarios La teoría multivariada de valores extremos ha sido aplicada y

extendida por los autores para resolver problemas de estimación de avenidas de diseño en redes de ríos, en las que comúnmente se requiere el uso de distribuciones de tres o más variables aleatorias.

En particular, se ha demostrado que la distribución de probabilidad de poblaciones mezcladas comúnmente conocida como “Gumbel doble”, satisface las denominadas “fronteras de Fréchet” y las “condiciones de Galambos”.

Asimismo, se ha desarrollado una metodología para la estimación del parámetro de asociación del modelo logístico de Gumbel, para la construcción de funciones de probabilidad de extremos multivariadas, basada en el concepto de “contenidos de probabilidad”.

Actualmente se trabaja en el problema de presas en cascada y en una estrategia de solución que permita acotar la complejidad computacional de problemas que involucren un número apreciable de variables aleatorias.