estimacion de-parametros
TRANSCRIPT
![Page 1: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/1.jpg)
Estimación de parámetros poblacionales
![Page 2: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/2.jpg)
Sumario
• Estimación puntual.• Estimación por intervalos de confianza.
– De una media poblacional ( ) • con conocida .• desconocida.
– De una proporción poblacional ( P )
• Presición y confiabilidad de una estimación por intervalo.
• El tamaño de la muestra en función de la precisión y confiabilidad de la estimación.
![Page 3: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/3.jpg)
Estimación estadística
• Operación que determina un valor numérico de un parámetro que caracteriza una población a partir del valor numérico de ese parámetro en una muestra
![Page 4: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/4.jpg)
Estimación puntual
• Estamos interesados en realizar un estudio para describir las características del desarrollo físico en niñas cubanas entre 8 y 9 años de edad, por medio de la observación de algunas dimensiones antropométricas.
![Page 5: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/5.jpg)
Estimación puntual• La variable X (talla) se distribuye normal en la
población cuyos parámetros µ y , se desconocen, lo expresado es común escribirlo en la notación:
X N (, )
X se distribuye normal con media poblacional µ y desviación estándar poblacional .
![Page 6: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/6.jpg)
Estimación puntual• Para continuar se ha tomado una muestra de
tamaño n = 90 y queremos estimar la talla media y la desviación estándar.
• x1, x2, x3,..., xnn
i1 2 3 ni=1
xX +X +X +...+X
X=n n
n 2
2 2 2 2i2 1 2 3 ni=1
x -x(X -X) +(X -X) +(X -X) +...+(X -X)
S = =n-1 n-1
2S= S
![Page 7: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/7.jpg)
Estimación puntual• Si al realizar los cálculos apropiados se obtiene
que:
entonces esas cifras son las estimaciones de la media y la desviación estándar poblacionales, o sea, de y .
.X 126 9 cm y S = 6.15 cm
![Page 8: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/8.jpg)
Estimación puntual• La primera suposición que se hizo fue sobre el
tipo de ley de distribución de la variable aleatoria talla en la población (NORMAL).
• Sin hacer esa suposición no hubiese sido posible resolver el problema de estimación.
• Después se hizo la selección de la muestra y se sustituyeron los valores en las fórmulas.
• La utilidad práctica del estadígrafo radica en que por medio de un proceder de cálculo se obtiene un valor único, la estimación puntual.
![Page 9: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/9.jpg)
Estimación puntual• La media muestral es un estimador de la media
poblacional ,
• La desviación estándar muestral S, sirve de estimador de la desviación estándar poblacional .
X
![Page 10: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/10.jpg)
Estimación puntual• De igual forma, en el estudio de proporciones, la
proporción muestral p sirve de estimador de la proporción poblacional P.
ap= P
n
![Page 11: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/11.jpg)
Estimación puntual• Constituye, en este esquema, un aspecto esencial
la selección de la muestra, con la que, por sustitución de los valores observados en la expresión del estimador, hallamos un valor numérico (una estimación) que debe corresponder a un parámetro poblacional bajo estudio, descriptor de una propiedad de interés. Luego, por el momento lo que tenemos son
estimaciones puntuales tanto de medias como
de proporciones poblacionales.
![Page 12: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/12.jpg)
Estimación puntual• La incertidumbre en el proceso de selección de
muestras aleatorias, deja en dudas la utilidad de la estimación puntual.
• No se tiene información en relación con cuán cerca está el valor encontrado del verdadero valor del parámetro poblacional.
• No conocemos si la diferencia entre la cifra estimada y el verdadero valor del parámetro es admisible o no.
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
![Page 13: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/13.jpg)
Estimación por intervalo de confianza
• Una solución mejor, que incluye el error debido al muestreo.
• Se conoce como intervalo de confianza para estimar un parámetro desconocido al intervalo aleatorio de la forma donde:
Límite inferior
Límite inferior • Que esperamos que
contenga al parámetro con una Probabilidad dada.
95%, 99%
![Page 14: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/14.jpg)
PARA RECORDAR
![Page 15: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/15.jpg)
Distribución de la media muestral con varianza conocida
• Si una variable aleatoria X sigue una distribución normal con media y conocida
• Entonces la media muestral de tamaño n, sigue una distribución también normal con media y desviación estándar igual a dividida por la raíz del tamaño de muestra n.
• Por consiguiente, la variable aleatoria Z obtenida mediante el procedimiento ya estudiado anteriormente sigue la normal estándar.
![Page 16: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/16.jpg)
Distribución de la media muestral con varianza conocida
• Si X N ( , ) , entonces
• Por consiguiente, la variable aleatoria Z obtenida mediante el procedimiento sigue la normal estándar.
)Xn
( )X
Z N 0 , 1
n
( )
XZ N 0 , 1
Coeficiente de confianza.
![Page 17: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/17.jpg)
Distribución de la media muestral con varianza desconocida
• Si se presenta una situación similar pero con desconocida, entonces el estadígrafo definido es t y una distribución t-Student con n-1 grados de libertad.
• Recordemos también que esta distribución para más de 30 observaciones se aproxima a la normal estándar.
![Page 18: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/18.jpg)
Distribución de la media muestral con varianza conocida
• Si X N ( , ) , con desconocida.
• Donde S es la desviación estándar de la muestra
( )X
n-1S
n
t t
![Page 19: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/19.jpg)
Intervalo de confianzapara con conocida
• Se denomina intervalo de confianza para con nivel de confiabilidad del (1-) ·100%, a la expresión:
• z1−/2: percentil de orden 1−a/2 de la distribución normal estándar.
• Si 1- = 0,95 Z1−/2 = 1,96• Si 1- = 0,99 Z1−/2 = 2,58
1 12 2X Z , X Z
n n
![Page 20: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/20.jpg)
Intervalo de confianzapara con conocida
• Se denomina intervalo de confianza para con nivel de confiabilidad del (1-) ·100%, a la expresión:
• z1−/2: percentil de orden 1−a/2 de la distribución normal estándar.
• Si 1- = 0,95 Z1−/2 = 1,96• Si 1- = 0,99 Z1−/2 = 2,58
1 12 2X Z , X Z
n n
![Page 21: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/21.jpg)
Intervalo de Confianza
1 2X Z
n
1 2X Z
n
![Page 22: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/22.jpg)
Ejemplo• Un cardiólogo desea hallar un intervalo de
confianza del 95% para el nivel de colesterol promedio de todos los pacientes que presentan problemas cardíacos, asume que la distribución de los niveles de colesterol es normal con una desviación estándar =0,47 y utiliza la siguiente muestra al azar de niveles de colesterol en mmol/L de 20 pacientes con problemas cardíacos.
4,7 4,8 4,6 4,9 4,55,0 4,4 5,1 4,3 5,24,2 5,2 4,2 5,2 4,25,3 4,3 6,0 4,7 4,8
![Page 23: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/23.jpg)
• Primer paso:
– Estimar el valor de
• Segundo paso:
– Determinar el Coeficiente de Confianza “Z”
• Tercer paso:
– Determinar el Intervalo de Confianza
• Cuarto paso:
– Interpretar el Resultado
![Page 24: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/24.jpg)
11 2 n+ +...+
X= = 4.78n
x x x
295% 1-Z1−a/2 = 1,96
0.975
0,474.78 1.96 4.78 0.21
20X Z
n
3
4.78 – 0.21 , 4.78 + 0.21
4.57 , 4.99
![Page 25: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/25.jpg)
4Con un nivel de confiabilidad del 95 % podemos afirmar que el nivel de colesterol de todos los pacientes con problemas cardíacos se encuentra entre 4.57 y 4.99 mmol / litro
![Page 26: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/26.jpg)
Intervalo de Confianza
4.57 mmol / litro 4.99 mmol / litro
Nivel de confiabilidad del 95 %
![Page 27: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/27.jpg)
Intervalo de confianzapara con desconocida
• Para n>30
• z1−/2: percentil de orden 1−a/2
de la distribución normal estándar.
• Si 1- = 0,95 Z1−/2 = 1,96
• Si 1- = 0,99 Z1−/2 = 2,58
1 12 2
S SX Z , X Zn n
![Page 28: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/28.jpg)
Intervalo de confianzapara con desconocida
• Para n<30
• t n-1 , 1−/2: percentil de orden 1−a/2
de la t-Student con n-1 grados de libertad
1 12 2n-1, n-1 ,
S SX t , X tn n
![Page 29: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/29.jpg)
Ejemplo• La distribución del total de las calificaciones en
siete pruebas efectuadas se comportan normalmente.
• Se extrae una muestra de 40 estudiantes que realizaron las pruebas y se obtienen los siguientes datos:
658 562 731 710 679 631 694 663 615 623654 565 669 710 654 720 729 700 617 683657 721 635 617 795 580 689 638 689 710642 704 641 721 767 625 741 694 689 702
n >30
![Page 30: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/30.jpg)
• Primer paso:
– Estimar el valor de y
• Segundo paso:
– Determinar el Coeficiente de Confianza “Z”
• Tercer paso:
– Determinar el Intervalo de Confianza
• Cuarto paso:
– Interpretar el Resultado
![Page 31: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/31.jpg)
11 2 n+ +...+
X= = 673.10n
x x x
295% 1-Z1−a/2 = 1,96
2 2 2
+ +...+1 2 nS= =51,86
n-1
-X -X -XX X X
![Page 32: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/32.jpg)
0.95
51.86SX ± Z × = 673.10 ± 1.96 × = 673.10 ± 16.59n 40
3
673.10 – 16.59 , 673.10 + 16.59
656.51 , 689.69
Con un nivel de confiabilidad del 95 % podemos afirmar que el total promedio en las pruebas de ingreso de todos los estudiantes se encuentra entre 656.51 y 689.69.
4
![Page 33: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/33.jpg)
Intervalo de Confianza
656.51 689.69
Nivel de confiabilidad del 95 %
![Page 34: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/34.jpg)
Estimación por intervalos de confianza de una proporción poblacional ( P )
• Al igual que sucede con la media muestral, para muestras grandes este sigue una distribución NORMAL con media P y varianza P.Q dividido por el tamaño de la muestra.
• Donde Q = 1 – P
)P Qp ~ N ( P , n
![Page 35: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/35.jpg)
• Primer paso:
– Estimar el valor de P
• Segundo paso:
– Determinar el Coeficiente de Confianza “Z”95% Z1−/2 = 1,9699% Z1−a/2 = 2,58
• Tercer paso:
– Determinar el Intervalo de Confianza
• Cuarto paso:
– Interpretar el Resultado
ap
n
α1- 2
qp ± Z . p . "q= 1-p"n
![Page 36: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/36.jpg)
Ejemplo
• Se quiere hallar un intervalo de confianza con el
95 % de confiabilidad para la proporción en la
población, de enfermos de estomatitis subprótesis.
Se realiza un pesquizaje en portadores de prótesis
estomatológicas de Ciudad de La Habana,
efectuándose para ello, la selección de una
muestra aleatoria de 50 portadores, y se encuentra
que 25 padecían de la citada enfermedad.
![Page 37: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/37.jpg)
1
295% Z1−a/2 = 1,96
a 25p = = = 0.5
n 50
![Page 38: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/38.jpg)
3
Con un nivel de confiabilidad del 95 % podemos afirmar que la verdadera proporción de enfermos de estomatitis subprótesis en la población se encuentra entre 0.36 y 0.64 :
4
α1- 2
qp ± Z . p . "q= 1-p"n
0.50.5 ± 1.96 . 0.5 . = 0.5 ± 0.1450
IC: 0.36 , 0.64
![Page 39: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/39.jpg)
TAMAÑO DE LA MUESTRA
Precisión:
Tamaño de la muestra:
¿De qué factores depende el ¿De qué factores depende el tamaño de la muestra?tamaño de la muestra?
1 2.d = Z
n
2α1- 2
Sn = (Z . )d
![Page 40: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/40.jpg)
1. Variabilidad del universo que se estudia.
2. Precisión que se quiere de los resultados.
FACTORES PARA DETERMINAR EL TAMAÑO DE LA MUESTRA
3. Confiabilidad que se desea obtener.
![Page 41: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/41.jpg)
Supongamos que se quiere hacer una estimación por intervalo de confianza para la media de la población de tallas de niñas de 7 años. Se selecciona una muestra aleatoria de niñas para estimar la media poblacional y se desea alcanzar una precisión de 1 cm. Si se conoce que la desviación estándar de la talla en la población es 5.53cm, con una confiabilidad del 95 %. ¿Cuál sería un tamaño de muestra adecuado?
EJEMPLO
![Page 42: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/42.jpg)
TAMAÑO DE LA MUESTRA
n = (z1−a/2 s / d)2
Fórmula del tamaño de la muestra:
n = (1,96 . 5,53 / 1)2
n = 118
![Page 43: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/43.jpg)
Estimador y EstimaciónEstimador y Estimación
Llamamos estimador a una función de los elementos de una muestra aleatoriamientras que llamamos estimación a la cifra numérica o valor observado del estimador, obtenida por sustitución de los valores muestrales en la expresión del estimador.
![Page 44: Estimacion de-parametros](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081418/558b73f2d8b42a911b8b4690/html5/thumbnails/44.jpg)
Intervalos de ConfianzaIntervalos de Confianza
Los intervalos de confianza se construyen como función de los valores observados en la muestra y nos permiten afirmar que el parámetro desconocido se encuentra entre ciertos valores con un determinado nivel de confiablidad.