estrazione del segnale dal rumore nella misura di immagini...
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Estrazione del segnale dal rumore nella misura di immagini del cielo
P. de BernardisDipartimento di Fisica
Università La Sapienza, Roma
Cos’è il segnale ?– In Astrofisica e Cosmologia l’ informazione è
trasportata principalmente da fotoni che provengono da sorgenti lontanissime.
– Di questi fotoni si vuole misurare• La distribuzione angolare (quanti ne provengono dalla
direzione di interesse, e quanti dal suo intorno ?) e quindi l’ immagine della sorgente di interesse
• Le energie (per una data direzione di interesse, quanti fotoni per ogni energia ?). Siccome E=hν=hc/λ, questo corrisponde a studiarne lo spettro I(λ). Processi fisici diversi che avvengono nella sorgente producono fotoni di energia diversa, quindi la spettroscopia è la chiave per capire come funzionano le sorgenti di interesse.
• Lo stato di polarizzazione (in che direzione oscilla il campo elettrico dell’ onda elettromagnetica proveniente dalla sorgente? E’ casuale (sorgente termica) o c’è una direzione privilegiata(sorgente non termica) ?
• La statistica dei fotoni (emissione di tipo coerente o no…)
HST: le immagini
Astrofisica Multibanda
• Osservare solo nel visibile non è sufficiente.• L’ astrofisica moderna è basata sul
confronto delle immagini della stessa sorgente in più bande: X, UV, Visibile, Infrarosso, Millimetrico, Radio…
• Solo questo confronto permette di capire a fondo la fisica della sorgente.
• Immagine ottica della nostra Galassia (proiettata in coordinate Galattiche): sono evidenti le zone del disco oscurate dalle nubi di polvere.
• Immagine nel lontano infrarosso (12, 25, 60, 100 μm) della nostra Galassia: le zone piu’ scure nel visibile sono le piu’brillanti nel lontano IR.
• La nebulosa Aquila nel visibile e nel lontano infrarosso (ISO)
VISIBILE:LUCE DELLE STELLE
λ=21 cm idrogeno neutro
λ=0.01 cm polvere
Raggi X: processi violenti (dischi di accrescimento etc.)
Andr
omed
a
WMAPHinshaw et al. 2006astro-ph/0603451
BOOMERanGMasi et al. 2005astro-ph/0507509
1oMappe dell’ Universo nelle microonde: com’era l’ universo 13.7 miliardi di anni fa.
• Uno spettrometro e’ uno strumento che permette di analizzare la luce, separando le diverse lunghezze d’ onda che la costituiscono.
• Nel caso del prisma si utilizza la dipendenza dell’ indice di rifrazione del vetro dalla lunghezza d’ onda.
• Nel caso del reticolo si divide il fronte in un grande numero di parti uguali che si fanno interferire. Si realizza interferenza costruttiva in una sola direzione che dipende dalla lunghezza d’ onda.
• In ogni caso la direzione in cui la luce esce dallo spettrometro dipende dalla sua lunghezza d’ onda.
• Sul rivelatore si registrera’ in diverse posizioni l’ intensita’ luminosa di ciascuna delle componenti a diversa lunghezza d’ onda.
spettrometro
Lente
CCD
λ
• Spettrometro con reticolo ad echelle
Corpo Nero
Nubedi gas
Prisma
Prisma
Prisma
Spettro continuo
Spettro di emissione di righe
Spettro di assorbimentodi righe
• Le spettroscopia e’ un mezzo potentissimo di indagine fisica e astronomica. Con essa si possono studiare le condizioni fisiche, la composizione chimica della sorgente, lo stato di moto della sorgente.
Osservabili fisiche :
• Flusso(per sorgenti non risolte, puntiformi)
• Brillanza(per sorgenti estese)
νν dtdAddEF =
νϕθν ddtdAd
dEBΩ
=),(
ννν deFAW ∫=
Ω= ∫∫ dRAdeBAW ),( ϕθννν
Il piu’ semplice sistema di misura della Brillanza (fotometro)
AREA SENSIBILE DELRIVELATORE
COLLETTORE DIFLUSSO
DISTANZA FOCALE
AREA SENSIBILE DELRIVELATORE
BAdeBAdRAdeBAWV Ωℜ=Ωℜ≈Ωℜ=ℜ= ∫∫∫ νϕθν νννν ),(
Il rivelatore produce un segnale proporzionale alla potenza radiativa incidente su di esso. La costante di proporzionalita’ e’ detta Responsivita’ del rivelatore.
COLLETTORE DIFLUSSO, area A
DISTANZA FOCALE
BAdeBAdRAdeBAWV ininininin Ωℜ=Ωℜ≈Ωℜ=ℜ= ∫∫∫ νϕθν νννν ),(
2
222
4;
4 fdDA in
inin πθππ ==Ω=
BAdeBAdRAdeBAWV ininininin Ωℜ=Ωℜ≈Ωℜ=ℜ= ∫∫∫ νϕθν νννν ),(
2
222
4;
4 fdDA in
inin πθππ ==Ω=
inininout
outout ADDfd
fDddA Ω=====Ω
44444444
222
2
2
2
2222
πθπππππθππ
Conservazione della rapidita’ ottica (throughput) AΩ
f
Ruota cambia aperture (definisce l’ Ωin)
Fotometro astronomico di base :
Ruota cambia filtri (definisce la risposta spettrale eν)
∫Ωℜ=ℜ= ννν deBAWV inin
Rivelatore: trasduce la potenza radiativa raccolta in un segnale elettrico (tensione o corrente) ad essa proporzionale
Telescopio (fuori disegno): definisce l’ Ain
Nei sistemi moderni il singolo rivelatore èsostituito da una matrice di rivelatori, in modo da osservare simultaneamente molte regioni di cielo circostanti, e realizzare velocemente l’immagine del cielo.
Servono grandi telescopi … ma non solo.• Aumentando il diametro del collettore di flusso
(specchio o lente principale del telescopio) si ottengono due risultati:– Si aumenta la quantita’ di luce raccolta: W=FA . Una stella
illumina tutta la terra, ma noi raccogliamo solo una frazione minuscola dell’ energia ! Con grandi telescopi possiamo osservare sorgenti intrinsecamente piu’ deboli, o piu’lontane (e quindi piu’ indietro nel tempo)
– Si aumenta la risoluzione angolare: θ=λ/D. Quindi possiamo identificare sorgenti intrinsecamente piu’ piccole, o piu’lontane
• Questo spiega l’ impegno secolare speso per la realizzazione di telescopi sempre piu’ grandi e precisi.
The William Herschel Telescope (WHT) at La Palma
The William Herschel Telescope (WHT) at La Palma
Il William Herschel Telescope (4 m)
La Palma (Isole Canarie)
Il Telescopio W.M.Keck (2x10 m)Il più grande telescopio attualmente disponibile
Mauna Kea (Isole Hawaii)
Il Telescopio W.M.Keck (schema)
Il Telescopio W.M.Keck alle Hawaii
Poiché è difficile costruire uno specchio da 10 metri con un unico blocco di vetro, si è realizzato uno specchio a SEGMENTI esagonali di 1 metro di lato, accostati uno accanto all’altro.
Il Large Binocular Telescope (2x8.4 m)
Monte Graham (Arizona)
Un telescopio di 11.2m di diametro equivalente realizzato in collaborazione tra
USA (50%)
Italia (25%)
Germania (25%)
Specchio primario da 8.2m, struttura in honeycomb, spessore della lastra 28 mm.L’ area dei due specchi e’quella di uno specchio singolo da 11m
Specchio secondario da 0.9m, adattivo(672 attuatorine modificano la forma per ottenere immagini al limite di diffrazione)
LBT
Specchio terziario inseribile per combinare i fasci dei due telescopi, ottenendo cosi’immagini con la stessa risoluzione di un telescopio da circa 20m
LBT in costruzione all’Ansaldo a Milano
Prima luce (ottobre 2005): NGC891
Immagini ottiche sempre più nitide
I telescopi del futuro: OWL (100 m)
I telescopi del futuro: OWL (100 m)
• Il diametro del telescopio non e’ l’ unica limitazione alla risoluzione (nitidezza) delle immagini.
• L’ atmosfera terrestre e’ perturbata da disomogeneita’di temperatura e densita’ variabili nel tempo (turbolenza)
• Nelle localita’ migliori il seeing e’ dell’ ordine della frazione di secondo d’ arco.
• Due soluzioni:– Portare il telescopio al di sopra dell’ atmosfera (telescopi
spaziali)– Compensare la perturbazione del fronte d’ onda
inserendone una uguale e contraria (ottica attiva e adattiva)
Telescopi ottici nello spazio:
HUBBLE SPACE TELESCOPE (2.4 m)
Ottica Adattiva: il principio base
L’ottica attiva: il principio base
Specchi sottili che si deformano.
L’ottica attiva
Il retro della cella del telescopio NTT con ilsistema di ottica attiva.
L’ottica attiva è un sistema per controllarela forma dello specchioprimario e quindi la qualità dell’immagine.
L’ottica attiva
Gli attuatori elettromeccanici
Ottica Adattiva: i risultati
I primi risultati al TNG
L’Ottica Adattiva è una tecnica che permette di correggere in tempo reale glieffetti di degradazione dell’immagine causati dalla turbolenza dell’atmosferaterrestre, producendo immagini nitide quali quelle che potrebbero essereottenute da un telescopio di pari diametro posto nello spazio.
Il Very Large Telescope (4x8 m) in Cile
Cerro Paranal (Cile) col VLT completato
Quattro telescopi da 8 metri capaci di osservare lo stesso punto del cielo sono equivalenti ad un unico telescopio di 16 metri.
Grandi lunghezze d’ onda …..…. Grandi telescopi
• La risoluzione dello strumento è limitata dal fenomeno della diffrazione :
• A lunghezze d’ onda visibili • Nelle microonde • Nel radio
• Quindi per ottenere la stessa risoluzione θ, nelle microonde servono telescopi un migliaio di volte piùgrandi (!) e nel radio un milione di volte più grandi (!!!!)
D/λθ ≈mμλ 1≈
mm1≈λm1≈λ
Il radiotelescopio di Parkes (64 m di diametro) …
Il Very Large Array (interferometro, New Mexico, 19 km) …
• In parallelo ai telescopi sono stati sviluppati :– rivelatori sempre piu’ grandi e sensibili (camere
CCD) – Sistemi di acquisizione e di memorizzazione dei
dati– Software ed algoritmi di elaborazione delle
immagini– Spettrometri sempre piu’ efficienti (spettrometri a
fibre ottiche)• Tutti questi ingredienti hanno permesso di
passare ad uno studio molto quantitativo della distribuzione delle galassie.
CFHT12K: a 12Kx8K CCD camera at CFHTPrincipio di Funzionamento di una CCD (spiegazione elementare)
Cristallo di silicio (schematizzato su un piano per facilita’ di visualizzazione)
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
e-
L’ energia necessaria a staccare un elettrone dagli atomi tra cui e’ condiviso e’ 1.16 eV
Atomo di Si
CFHT12K: a 12Kx8K CCD camera at CFHT
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
e-
L’ arrivo di un fotone di energia superiore a 1.16 eV (λ<1.06 μm) puo’staccare un elettrone, formando una coppia elettrone-lacuna.
γ
Ciascun fotone di energia sufficiente ha una buona probabilita’ di liberare un elettrone (elettroni fotoprodotti)
CFHT12K: a 12Kx8K CCD camera at CFHT
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
Si Si
e-
Gli elettroni sono praticamente liberi di muoversi nel cristallo. Se si applica un campo elettrico, si possono spostare tutti gli elettroni fotoprodotti verso il bordo del cristallo, vicino all’ elettrodo positivo, immagazzinandoli fino alla fine dell’ esposizione.
Elettrodo positivo (m
etallo)
Strato isolante (ossido di S
i)
E
E
Elettrodo negativo (m
etallo)
CFHT12K: a 12Kx8K CCD camera at CFHTNelle CCD la struttura elementare (pixel) formata da elettrodo, isolante, silicio e’replicata in una matrice bidimensionale che puo’ contenere milioni di pixel.Alla fine dell’ esposizione, sotto l’ elettrodo + di ciascun pixel si e’ accumulato un numero di elettroni proporzionale al numero di fotoni arrivati.Ci sono piu’ elettrodi per pixel. Spostando il potenziale positivo da un elettrodo al successivo si riesce a far migrare il pacchetto di elettroni fino alla fine della fila di pixel.
Qui il pacchetto viene trasferito sulle armature di un condensatore, dove forma una differenza di potenziale che viene misurata e acquisita.
In questa maniera si leggono sequenzialmente i pacchetti di carica di tutti i pixel della CCD.
Per evitare che agli elettroni fotoprodotti si sommino quelli prodotti per agitazione termica, si deve raffreddare il sensore a temperature criogeniche (77K).
Pixel NC
Pixel N-1
ΔV=Q/CA
pFC 1=
nVNNC
eNC
eNCQV e 160
10106.1
12
19
×=×
×====Δ −
−
γγγ ηη
η
C
Il refrigeratore a pulse-tube di Mega-Cam
(80 K)
• Large-format CCDs
Cos’è il rumore ?– Segnale : variazione periodica di una quantita’ misurabile (es.
tensione sinusoidale). Dal suo stato attuale (valore e sua derivata) si puo’ prevedere il suo stato ad un tempo successivo.
– Rumore : variazione casuale, stocastica, di una quantita’ misurabile: dal suo stato attuale non si puo’ prevedere il suo stato successivo.
– Esempio: fluttuazioni spontanee di tensione misurate ai capi di un resistore (fortemente amplificata nella banda di frequenze 0-100 Hz):
Non possiamo dare una descrizione deterministica del rumore.
Possiamo pero’- se e’ stazionario - darne una descrizione statistica, usando strumenti come la media, la varianza, lo spettro di potenza.
Quando misuriamo una quantita’ fisica usando un rivelatore reale, la misura e’sempre contaminata dal rumore del rivelatore. Es. :
Il rumore deriva da molti fattori. Alcuni sono eliminabili migliorando il rivelatore. Altri sono ineliminabili, perche’ dipendono dall’ agitazione termica presente nella materia che costituisce il rivelatore.
Per migliorare il rapporto segnale/rumore della misura, e’ necessario massimizzare la quantita’ misurata W e diminuire il rumore del rivelatore :
)(tnWS +ℜ=
)()( 22 tn
BA
tn
WSSNR
S
Ωℜ=
ℜ==
σ
Il rumore, di origine termica, provoca fluttuazioni di energia nel sensore dell’ordine di kT.
L’ energia del singolo fotone da misurare e’ dell’ ordine di hν. Rivelatori sensibili devono quindi essere raffreddati a temperature T< hν /k in modo che il rumore di origine termica produchi disturbi inferiori all’ energia dei fotoni da rivelare.
Problema del moto browniano:
Piccolo oggetto immerso in un fluido.
Il modo dell’ oggetto e’ ostacolato dalla viscosita’.
Questa e’ una manifestazione macroscopica dell’ effetto degli urti delle particelle del fluido.
Ma se il corpo e’ molto piccolo, il suo moto risente in modo evidente dei singoli urti con le particelle del fluido.
Siccome le particelle del fludo si trovano in uno stato di moto casuale dovuto all’ agitazione termica, il moto del corpo di prova e’ anch’esso casuale.
Studiando il caso di moto unidimensionale si imparano alcuni concetti base della fisica del rumore di origine termica.
)(vv)(vv tAdtdtF
BdtdM
r
=+⇒+−=τ
Problema del moto browniano:
Studiando il caso di moto unidimensionale si imparano alcuni concetti base della fisica del rumore di origine termica.
)(vv)(vv tAdtdtF
Bdtdm
r
=+⇒+−=τ
La cui soluzione e’Tempo di rilassamento
duuAeee(t)t
utt rrr )(v0
/// ∫−− += τττ
Ipotesi ragionevoli sulle accelerazioni:
212221 sia non che menoa 0
0)()()(0)(
ttAtAtAtA
tA
o
≅=⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=
=
Con queste ipotesi si puo’ trovare una soluzione per e anche per
)(v 2 t)(x 2 t
Problema del moto browniano:Si ottiene:
Termine transiente dipendente dalla velocita’ iniziale
( )rr tt eKe(t) ττ τ /21
/22o
2 1vv −− −+=
Sappiamo che, a regime, per un moto unidimensionale
mkTKkTm =→= 1
2
21v
21 τ
E quindi
Costante da determinareVarianza a regime (dopo un tempo >> del tempo di rilassamento del sistema
( )rr tt eMkTe(t) ττ /2/22
o2 1vv −− −+=
Integrando l’ equazione differenziale e svolgendo calcoli analoghi si ottiene
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−= − rtet
MkT(t) τ
ττ /
1
21
2 12x
Problema del moto browniano:
Quindi all’ inizio
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−= − rtet
MkT(t) τ
ττ /
1
21
2 12x
→>> 1τt
t(t)t 2o
21 vx =→<< τ
mentre a regime
Quindi la particella si allontana dalla sua posizione iniziale molto piu’ lentamente che per un moto deterministicocon la stessa energia cinetica
Simulazione di Moto Browniano
kTBt(t) 2x2 =
Problema del moto browniano:
Per vedere come le componenti piu’ lente e piu’ veloci contribuiscono alla varianza si puo’ calcolare la funzione di autocorrelazione della velocita’. Si ottiene:
( ) rrr eeMkTe)(t(t) tt τττττττψ //2/)2(2
ov 1vvv)( −−+− −+=+=
Tramite trasformata di Fourier (Teorema di Wiener-Khintchine) si ottiene lo spettro di potenza della velocita’:
( )rr tt eMkTe(t) ττσ /2/22
o22
v 1vv −− −+==
∫∫∞
−∞
==0
/
0v )2cos(4)2cos()(4)(w ττπττπτψ ττ dfe
MkTdff r
Che a regime valere
MkT τττψ /
v )( −=
kTBf 4)(wv =
Generalizzazione di Einstein:
Quindi abbiamo ottenuto che per un moto browniano la posizione x della particella ha le seguenti proprieta’ statistiche:
Ma a noi interessano perche’ Einstein nel 1905 generalizzo’ questi risultati a qualunque osservabile θ caratteristica di un sistema all’equilibrio termodinamico e soggetto a fluttuare liberamente:
Questi risultati hanno un interesse storico-filosofico, perche’conclusero la diatriba sull’ origine del moto browniano.
kTBf 4)(wx =&
Varianza :
Spettro di potenza della sua derivata :
kTBt22x =σ
BkTf ~4)(w =θ&
tBkT~22 =θσ
Qui e’ la mobilita’ generalizzata del sistema rispetto al parametro θ .B~
Rumore Johnson
Esempio: fluttuazioni spontanee della carica in un conduttore, dovute all’ agitazione termica dei portatori di carica
Qui:
•La posizione della carica e’ analoga alla posizione della particella •La conducibilita’ e’ analoga alla mobilita’•La corrente e’ analoga alla velocita’ nel moto browniano
Quindi:
RkTkTGff iQ
44)(w)(w ===&
RkTtkTGtQ
222 ==σ
Si hanno quindi fluttuazioni spontanee di corrente, che producono fluttuazioni spontanee di tensione ai capi del conduttore:
kTRfRf iV 4)(w)(w 2 == Rumore Johnson
Dimensioni dello spettro di potenza
E’ utile analizzare le dimensioni dello spettro di potenza di una quantita’ di dimensioni note.
Lo spettro di potenza e’ legato alla varianza:
Quindi ha le dimensioni della quantita’, al quadrato, diviso Hz
Di solito si riportano i valori della radice dello spettro di potenza:
Quindi
∫∞
=0
2 )(w dffxxσ
HzfW
HznV
HzA
Hzm ,,, μ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
HznVfV )(w
Spettro di potenza
[ ]nVtV )(
Valori istantanei della tensione
Contributi delle diverse bande di frequenze alla deviazione standard dei valori istantanei della tensione
Le tensioni di rumore sono estremamente piccole (nV, fA)
• Il rumore dovuto all’ agitazione termica degli elettroni nel primo stadio di amplificazione in una catena elettronica viene amplificato dagli stadi successivi, e limita la possibilita’ di amplificare fedelmente segnali di basso livello risultanti da trasduttori o rivelatori.
• Esempi: – “soffio” degli amplificatori audio– “nebbia ” delle immagini TV– “granulosita’ “ delle immagini CCD– etc…
• Come si misurano, e quanto contaminano le misure di osservabili astrofisiche come il fondo a microonde ?
[ ][ ])()()(
)()()(tntntWA
tntSAtS
A
Ain
++ℜ=+=
Radiation Noise• The fundamental limit of any measurement.• Photon noise reflects the particle-wave duality of
photons.• It is the sum of Poisson noise (particles) PLUS
interference noise (waves)• Poisson noise:
( ) ( ) ( ) WthhWhNhNhE νν
ννν ===Δ=Δ 22222
This is a typical random-walk process (variance prop.to time).Using Einstein’s generalizationwe get the power spectrum and the varianceof radiative power fluctuations:
kBTdfdfkBTt f 42 22 =⇒=Δ θθ &
WdfhdfW f ν22 =Δ
Radiation Noise• Orders of magnitude example: A He-Ne 1 mW
laser beam has a perfect Poisson statistics, so
• Notice the power spectrum units (rememberthat the integral of the PS over frequency isthe variance).
• In this case the intrinsic fluctuations per unitbandwidth are >7 orders of magnitude smallerthan the signal.
• It is useless to build a complex detector with a noise of for this measurement: the precision of the measurement will belimited at a level of
HzWWhW f
112 105.22 −×==Δ ν
HzW /10 15−
HzW /105.2 11−×
Radiation Noise• Thermal radiation (like the CMB) has
also wave interference noise: the correctstatistics is Bose-Einstein.
gN
NN
dNd
TNe
gNVT
kTE
22
,
2/)( ;
1
+=Δ⇒
=Δ−
= − μμ
Poisson noiseWave interference noise
Radiation Noise• For a blackbody
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+=Δ⇒
−=
=−
= −
111
118
42;1
/2
/3
2
3
2
/)(
kTh
kTh
kTE
eNN
Vdec
N
Vdc
ge
gN
ν
ν
μ
νπν
νπν
Poisson noise, important at shortwavelengths
Wave interference noise,Important at low frequencies
Radiation Noise
( )
( )
52
1832
5
2
45
32
52
/2
//22
/2
1077.24
14
1112
111
111
111
2
1
KHzsrcmW
hck
dfdxe
exTAhckdfW
dfe
WhdfW
eWth
eNhE
eNN
x
xx
x
kTh
kThkTh
kTh
−×=
−Ω=Δ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+=Δ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
−+=Δ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+=Δ
∫
ν
νν
ν
ν
νν
CMB observables• The spectrum
• The angulardistribution
• The polarizationstate
• The noise
kThx
echTB x
ννν =−
=1
2),(3
2
TTTB
exeTB x
x Δ−
=Δ ),(1
),( νν
TTTB
exeTB Px
x
PΔ
−=Δ ),(
1),( νν
1010 1011 1012
10-24
10-23
10-22
10-21
10-20
10-19
10-18
10-17
W m-2 sr-1 Hz-1
W (m2 sr Hz)-1/2 Hz-1/2
W m-2 sr-1 Hz-1
W m-2 sr-1 Hz-1
T=2.725 K
average brightness anisotropy (rms) polarization (E rms) photon noise (rms) polarization (B rms)
CM
B (M
KS
uni
ts)
Frequency (Hz)( ) dxe
exhcTkdxTW
x
x
2
4
32
552
14),(
−=Δ ν
Noise and integration time• Any detector has a response time τ which limits its
sensitivity at high post-detection frequencies. Data taken at intervals shorter than τ will not beindependent.
• The error on the estimate of , the averagepower in the observation time t, is
•
• where N is the number of independentmeasurements. In the integration time t, it will beN=t/τ.
N
dfW
N
f
fWW t
∫ Δ
==
max
min
2
σσ
tW
Noise and integration time•
• The noise decreases as the square root of the integration time.
• Notice that this applies equally to detector noise and to intrinsic radiation noise.
tW
tt
W
t
dfW
t
dfW
N
dfW
N
T
f
f
f
fWW T
22
/1
/1
2
22
/
11
/
/
max
min
max
min
Δ≅
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Δ
=
Δ
≅
=
Δ
=
Δ
==
∫
∫∫
ττ
τ
τ
σσ
τ
Noise and integration time• Numerical example: CMB anisotropy (or
polarization) measurement limited onlyby radiation noise:
( )
( )t
dxe
exAhcTk
dxe
exAhcTk
TT
dxTxBe
xeB
TT
dxTxBe
xeTTTB
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
1
)1(2
14
),(1
),(1
),(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
32
44
2
4
32
55
∫
∫
∫
∫
−Ω
−Ω
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
−
Δ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
−Δ
=Δ
σ
σσ
ν
1 10 100 1000 100000.01
0.1
1
10
150 GHz,10% BW, λ2
150 GHz, 10% BW, 1 cm2sr
30 GHz, 10% BW, λ2
erro
r per
pix
el (μ
K)
integration time (s)
The ultimate sensitivity plot !!
CMB BLIP
Radiation Noise
∫ −+−
Ω=Δ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+=Δ
=
2
11
)1(4
11''
'
45
32
52
/2
x
xx
x
kTh
dfdxeexTA
hckdfW
eNN
NN
εε
εε
ε
ν
• For a grey-body with emissivity• relevant cases:
– Radiation emitted by a mirror)– Radiation emitted by the atmosphere in the
atmospheric windows
1<ε
Radiation Noise
∫ −+−
Ω=Δ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+=Δ
=
2
11
)1(4
11''
'
45
32
52
/2
x
xx
x
kTh
dfdxeexTA
hckdfW
eNN
NN
εε
εε
ε
ν
• For a grey-body with emissivity• relevant cases:
– Radiation emitted by a mirror)– Radiation emitted by the atmosphere in the
atmospheric windows
1<ε
Criogenia ….L’ energia del singolo fotone da misurare e’ dell’ ordine di hν. Rivelatori sensibili devono quindi essere raffreddati a temperature T< hν /k in modo che il rumore di origine termica produchi disturbi inferiori all’ energia dei fotoni da rivelare. Raffreddando lo strumento, oltre al rivelatore, si diminuisce il numero di fotoni emessi dallo strumento stesso (fondo radiativo) che si sovrappongono a quelli provenienti dalla sorgente di interesse.
… e SpazioPer evitare il fondo radiativo proveniente dall’ atmosfera terrestre, (specialmente a lunghezze d’ onda X e infrarosse, dove l’ atmosfera èparticolarmente opaca) si deve spedire l’ osservatorio nello spazio.
Far Infrared - mm• In questa banda l’ atmosfera è semplicemente opaca.• Tranne qualche “finestra” a certe lunghezze d’ onda,
aperta solo in località estremamente fredde e secche ..
Far Infrared - mm• Qui l’ energia dei fotoni e’ molto bassa (centesimi di eV !)• C’e’ quindi l’ ulteriore necessita’ di raffreddare lo strumento
(rivelatori e telescopio) a temperature criogeniche.• Per questo motivo l’ astrofisica FIR si e’ sviluppata addirittura dopo
quella X, con osservazioni da pallone prima, e poi con i satelliti a partire dal 1983 (IRAS).
• Satelliti IR-FIR-MM:• IRAS, COBE, ISO,
MSX, SPITZER, WMAP…
Far Infrared - mm
tem
po
Spitzer
The Spitzer Space Telescope was launched into space by a Delta rocket fromCape Canaveral, Florida on 25 August 2003. During its 2.5-year mission, Spitzerwill obtain images and spectra radiated by objects in space between wavelengthsof 3 and 180 microns. Consisting of a 0.85-meter telescope and threecryogenically-cooled science instruments, Spitzer is the largest infrared telescopeever launched into space
Because infrared is primarily heat radiation, the telescope must be cooled to nearabsolute zero so that it can observe infraredsignals from space without interferencefrom the telescope's own heat.
Also, the telescope must be protected fromthe heat of the Sun and the infrared radiationput out by the Earth. To do this, Spitzercarries a solar shield and will be launchedinto an Earth-trailing solar orbit. Thisunique orbit places Spitzer far enough awayfrom the Earth to allow the telescope to coolrapidy without having to carry largeamounts of cryogen (coolant).
This innovative approach, and the radiativecooling of the telescope, have significantlyreduced the cost of the mission.
COBE-FIRAS• COBE-FIRAS was a
cryogenic Martin-Puplett Fourier-TransformSpectrometer withcomposite bolometers. It wasplaced in a 400 km orbit.
• A zero instrumentcomparing the specificsky brightness to the brightness of a cryogenic Blackbody
Elementary theory of the FTS
( )( ) )42cos()(
)2cos()()(xctRTE
ctRTEtE
o
o
πσπσσσπσσσ
+++=
• Imagine one of the twoarms is longer than the other by x: the opticalpath difference is 2x.
• The two electrical fields E on the detector are
• Here σ is the wavenumber (1/λ), RT(σ) is the efficiency of the beamsplitter (reflectivitytimes transmission)
ZPD
OPD
( ) ( ) )42cos()()2cos()()( xctRTEctRTEtE oo πσπσσσπσσσ ++=
( ) [ ][ ]( ) [ ] ( ) )4cos1(2)(11)(
)(
)()()()(
2442
4224222
*2
xrtEeertE
eeeeeertE
tEtEtExI
oxixi
o
xictictixictictio
πσσσσσ
σσπσπσ
πσπσπσπσπσπσ
+=+++
=++
===
−
−−−
)4cos()()( xrtIxI πσσ∝−
( ) σπσσσ dxrtSIxI )4cos()()(0∫∞
∝−
• The detected power is proportional to the square of the total Electrical field:
• So we have an interferogram• For the non monochromatic case we sum
all the components, each with amplitudeS(σ) (spectrum):
Spectrum and interferogramare a Fourierpair.
Elementary theory of the FTS
( ) [ ]{ }
( ) [ ]( )[ ]( ) [ ]{ } σπσ
σθπσθπσ
σπσσσ
dxRndR
ndRRS
dxrtSIxI
4cos1'cos4cos21
'cos4cos1)1(8
4cos1)()(
022
2
0
++−
−−=
=+∝−
∫
∫∞
∞
Performing the inverse Fourier transform of the interferogram one gets the product of the spectrum of the radiation times the efficiency of the beamsplitter.
For a dielectric beamsplitter interferenceoccurs reducing the useful signal at selected frequencies, depending on the refraction index and on the thickness of the beamsplitter.
Low frequencies have an efficiencyproblem. CMB is important at wavenumbers lower than 20 cm-1 (!)
Martin PuplettInterferometer
• Wire-grid polarizersare perfectamplitude divider at long wavelengths, where dielectricbeamsplitters do notwork.
• Moreover, they are useful to make a differentialspectrometer, the MPI.
Martin Puplett Interferometer• The instrument
has two input ports (sources tobe analyzed) and two output ports(detectors)
• Each detector receives the difference of the interferogramsfrom the twoinput ports.
• This is an imaginginstrument, detector arrayscan be used.
COBE-FIRAS• COBE-FIRAS was a
cryogenic Martin-Puplett Fourier-TransformSpectrometer withcomposite bolometers. It wasplaced in a 400 km orbit.
• A zero instrumentcomparing the specificsky brightness to the brightness of a cryogenic Blackbody
( ) ( )[ ] [ ]{ } σπσσσσ dxrtSSCxI REFSKYSKY 4cos1)()(0
+−= ∫∞
( ) ( )[ ] [ ]{ } σπσσσσ dxrtSSCxI REFCALCAL 4cos1)()(0
+−= ∫∞
FIRAS• The FIRAS guys were able to change the temperature of
the internal blackbody until the interferograms were null.• This is a null measurement, which is much more
sensitive than an absolute one: (one can boost the gain of the instrument without saturating it !).
• This means that the difference between the spectrum of the sky and the spectrum of a blackbody is zero, i.e. the spectrum of the sky is a blackbody with that temperature.
• This also means that the internal blackbody is a realblackbody: it is unlikely that the sky can have the samedeviation from the Planck law characteristic of the source built in the lab.
σ (cm-1) wavenumber
From data to parameters – Bayesian approachd = datap = parameters of the model
P(d|p) = probability of the data given the parameters and the theory/model. Can be explicitly computed.
P(p) = a priory parameters probability (from any other information/experiment about the parameters)
P(p|d) = posterior probability, inferred from the new dataset
Bayes theorem :P(p|d) Q P(d|p) P(p)
Correct/general approach to all the analysis steps.
Montecarlo simulations help computational performances in error bars estimation.
Data cleaning de-spiking
Data cleaning data slice
Data cleaning naive combination
Data cleaning optimal map-making
Interdisciplinary applications:
Here a component separation technique has been applied to recover some of the hidden writing in the Archimedes palimpsest, an ancient manuscript in which faint remnants of several treatises by the great philosopher and mathematician are partially hidden under a more recent text.(Istituto di Scienza e Tecnologiadell'Informazione, ISTI-CNR)
Experiment of major interest for cosmology
CMB: Planck - BOOMERANG – OLIMPO – SPOrt – BaR SPOrt - ...
FIR: Herschel - Spitzer - ...
Ottico - NIR: Hubble – JWST – GAIA - ...
X / γ - ray: Chandra – XMM Newton – SWIFT – Glast – AGILE - ...