Sistemas Dinmicos de un grado de libertad

Sistemas Dinmicos deun grado de libertad

Vibracin libre no amortiguada

En la Figura se muestra un sistema elstico de un grado de libertad compuesto por una masa m, la cual puede deslizar sin friccin sobre una superficie horizontal y cuya posicin se describe por medio de la coordenada x, y por un resorte-que conecta la masa con un apoyo inmvil,

Bajo el supuesto de que la fuerza ejercida para deformar el resorte, ya sea en tensin o en compresin, es proporcional a la deformacin y siendo k la constante de proporcionalidad, o rigidez, podemos determinar la fuerza que ejerce el resorte por medio de:

Fr = fuerza ejercida por el resorte (N)

K =rigidez del resorte (N/m)

X = desplazamiento relativo entre los dos extremos del resorte (m)

La fuerza inercial que se tiene en la masa m debido a la aceleracin a, est dada, segn la segunda ley de Newton, por:

F =-mx.

Donde:

Fi= fuerza inercial que obra sobre la masa (N)

m= masa (kg)

x = aceleracin de la masa (m/s)2

Esta fuerza inercial obra en la direccin contraria a la direccin de la aceleracin. Aplicando el procedimiento de "cuerpo Libre" en la masa, Figura 2-l(b), se obtienen las dos fuerzas que obran sobre la masa, correspondientes a la fuerza ejercida por el resorte y la fuerza inercial. Por lo tanto, aplicando el principio de D'Alemnbert:

As se obtiene la siguiente ecuacin de equilibrio, correspondiente a una ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden:

Por lo tanto la solucin de la ecuacin se convierte en:

Vibracin Libre Amortiguada

Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer.

Esto se debe al amortiguamiento que se presenta, el cual hace que parte de la energa se disipe.

Las causas de este amortiguamiento estn asociadas con diferentes fenmenos dentro de los cuales se puede contar la friccin de la masa sobre la superficie de apoyo, el efecto del aire que rodea la masa, el cual tiende a impedir que ocurra el movimiento, la no linealidad del material del resorte, entre otros.

Existen numerosas maneras de describir matemticamente el efecto de friccin. Dentro de estos modelos, uno de los ms utilizados es el que se conoce como amortiguamiento viscoso.

En el amortiguamiento viscoso la fuerza de amortiguamiento es directamente proporcional a la velocidad relativa entre los extremos del amortiguamiento , lo cual s puede describir por medio de la siguiente ecuacin:

En la Figura 2-6 se muestra un sistema lineal amortiguado de un grado de libertad. El grado de libertad est descrito por la ordenada x, la cual indica la posicin de la masa m.

A esta masa, colocada sobre una superficie sin friccin, estn conectados un resorte con constante de rigidez k y un amortiguador cuya constante es c.

De la aplicacin del procedimiento de cuerpo libre sobre la masa, se obtienen las tres fuerzas que obran sobre ella, correspondientes a la fuerza del resorte F"; la fuerza inercial producida por la aceleracin de la masa, y por la fuerza ejercida por el amortiguador.