Estrutura de dados II

Carlos Oberdan Rolim

Ciência da ComputaçãoSistemas de Informação

Recursividade

Conceito de Recursividade

• Um programa recursivo é um programa que chama a si mesmo, direta ou indiretamente

• Conceito poderoso– Define conjuntos infinitos com comandos finitos

• Vantagens– Redução do tamanho do código fonte– Permite descrever algoritmos de forma mais clara e concisa

• Desvantagens– Redução do desempenho de execução devido ao tempo para

gerenciamento de chamadas– Dificuldades na depuração de programas recursivos,

especialmente se a recursão for muito profunda

Implementação da Recursividade

• Usa-se uma pilha para armazenar os dados usados em cada chamada de um procedimento / função que não terminou

• Todos os dados não globais são armazenados na pilha, informando o resultado corrente

• Quando uma ativação anterior prossegue, os dados da pilha são recuperados

Exemplo – Função Fatorial

• Definição de uma Função Fatorial

a) Não Recursiva: – N! = 1, para N=0;– N! = 1 x 2 x 3 x ... x N, para N>=1;

b) Recursiva:– N! = 1, para N=0;– N! = N x (N – 1), para N>=1;

Fatorial de N – Definição Iterativa

Se n = 0Então Fat(n) = 1

Se n > 0 Então Fat(n) = 1 x 2 x 3 x …N

int fat(int fatorial){

int i;

int resposta = 1;

if (fatorial == 0)

resposta = 1;

else if (fatorial > 0)

for(i=1;i <= fatorial; i++)

resposta = resposta * i;

return resposta;

}

Fatorial de N – Definição Recursiva

Se n = 0Então Fat(n) = 1

Se n > 0 Então Fat(n) = n x Fat(n – 1)

Fatorial de N – Definição Recursiva

Ex: 4!

4! = 4 x 3! =

3! = 3 x 2! =

2! = 2 x 1! =

1! = 1 x 0! =

0! = 1

1

2

6

24

int fat_recursivo(int fatorial){

int i;

int resposta = 1;

if (fatorial == 0)

resposta = 1;

else if (fatorial > 0)

for(i=1;i <= fatorial; i++)

resposta = fatorial * fat_recursivo(fatorial-1);

return resposta;

}

Sequência de Fibonacci – Definição Iterativa0 1 1 2 3 5 8 13 …

Simulação:

Anterior = 0 atual = 1 seguinte = 1Anterior = 1 atual = 1 seguinte = 2Anterior = 1 atual = 2 seguinte = 3Anterior = 2 atual = 3 seguinte = 5Anterior = 3 atual = 5 seguinte = 8….

int fib(int fibonacci){

int i;

int anterior, atual, seguinte;

if (fibonacci == 1)

return 0;

else if (fibonacci == 2)

return 1;

else {

anterior = 0;

atual = 1;

for(i=3;i <= fibonacci; i++) {

seguinte = atual + anterior;

anterior = atual;

atual = seguinte;

}

return atual;

} }

Sequência de Fibonacci – Definição Recursivafib(1) = 0 fib(2) = 1

fib(3) = fib(2) + fib(1)

fib(4) = fib(3) + fib(2)

Fib(n) = fib(n-1) + fib(n - 2)

Sequência de Fibonacci – Definição Recursiva

fib(5)

fib(4) fib(3)

Fib(2) fib(3) fib(1) fib(2)

Fib(2) fib(1)

1 0

+

+ +

+

0 111

12

3

int fib_recursivo(int fibonacci){

int i;

int anterior, atual, seguinte;

if (fibonacci == 1)

return 0;

else if (fibonacci == 2)

return 1;

else return fib_recursivo(fibonacci - 1) + fib_recursivo(fibonacci - 2);

}

MDC(a,b): Iterativo

int mdc(int a, int b){

int resto;

while (b != 0) {

resto = (a % b);

a = b;

b = resto;

}

return a;

}

MDC(a,b): Recursivo

int mdc_recursivo(int a, int b){

if (b == 0)

return a;

else return mdc_recursivo(b, a % b);

}

Potência: Definição Recursiva

24 = 23 * 2 =

23 = 22 * 2 =

22 = 21 * 2 =

21 = 20 * 2 =

20 = 1

2

4

8

16

int pot_recursivo(int a, int b){

if (b == 0)

return 1;

else return (pot_recursivo(a, b-1) * a);

}

Potência: Definição Recursiva

Torres de Hannoi

O objetivo deste jogo é mover todas as peças da coluna esquerda para a coluna da direita Você só pode mover uma haste de cada vezAs peças devem ser empilhadas obedecendo o tamanho das mesmas, ficando as menores sobre as maiores.

Torres de Hannoi em Java

Dicas

• Não se aprende recursividade sem praticar• Para montar um algoritmo recursivo

– Defina pelo menos um caso básico (condição de terminação);

– Quebre o problema em problemas menores, definindo o(s) caso(s) com recursão(ões)

– Fazer o teste de finitude, isto é, certificar-se de que as sucessivas chamadas recursivas levam obrigatoriamente, e numa quantidade finita de vezes, ao(s) caso(s) básico(s)

Finalizando

• Recursividade é um tópico fundamental• Algoritmos recursivos aparecem bastante na

prática• Dividir e conquistar é uma técnica naturalmente

recursiva para solução de problemas

• Mais recursividade no nosso futuro, principalmente na implementação de árvores...