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Prof. Juliano J. Scremin
Teoria das Estruturas II - Aula 07
Estruturas Hiperestáticas:
Método dos Deslocamentos (2)
• Exemplo de Estrutura com 3 Graus de Hipergeometria;
• Simplificações do Método;
1
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Aula 07 - Seção 1:
Exemplo de Estrutura com 3 Graus de
Hipergeometria
2
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Exemplo com 3 Deslocabilidades
3
• Na estrutura hiperestática abaixo onde todas as barras têm módulo de
elasticidade E = 1,2⋅107 kN/m2 , área de seção transversal A = 1,2⋅10-2 m2
e momento de inércia I = 1,2⋅10-3 m4 é aplicado o método dos
deslocamentos para determinação dos esforços internos.
Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
A
B C
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Sistema Hipergeométrico
4Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
• Deslocabilidades restringidas:
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Caso 0 de carregamento:
5Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
• Coeficientes do Vetor de Carga {F} obtidos pela somatória das reações
de apoio das barras analisadas individualmente:
F30
F10
F20
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Caso 1 de carregamento:
6Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
• Coeficientes de Rigidez “Kx1” obtidos pela aplicação de um
deslocamento unitário relativo a deslocabilidade “1”:
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Caso 2 de carregamento:
7Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
• Coeficientes de Rigidez “Kx2” obtidos pela aplicação de um
deslocamento unitário relativo a deslocabilidade “2”:
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Caso 3 de carregamento:
8Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
• Coeficientes de Rigidez “Kx3” obtidos pela aplicação de um
deslocamento unitário relativo a deslocabilidade “3”:
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Solução do Sistema Linear (1):
9Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
• Aplicação da Condição de Equilíbrio:
F30
F20
F10
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Solução do Sistema Linear (2):
10Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
• Aplicação da Condição de Equilíbrio:
𝐾11 𝐾12 𝐾13𝐾21 𝐾22 𝐾23𝐾31 𝐾32 𝐾33
𝐷1𝐷2𝐷3
+
𝐹10𝐹20𝐹30
=000
𝐾11 𝐾12 𝐾13𝐾21 𝐾22 𝐾23𝐾31 𝐾32 𝐾33
𝐷1𝐷2𝐷3
=
−𝐹10−𝐹20−𝐹30
𝐾 𝐷 + 𝐹 = {0} 𝐾 𝐷 = −𝐹
35252,7 13160,4 2764,813160,4 19729,7 326,42764,8 326,4 21120
𝐷1𝐷2𝐷3
=0
−15−15
𝐷1𝐷2𝐷3
=4,5038 . 10−4𝑚
−1,0482 . 10−3𝑚
−7,5299 . 10−4𝑟𝑎𝑑
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Sobreposição dos Efeitos (1):
11Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
• Cálculo dos efeitos elásticos (reações de apoio, momentos fletores,
esforços cortante, esforços normais e etc.):
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Sobreposição dos Efeitos (2):
12Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
• Cálculo dos efeitos elásticos (reações de apoio, momentos fletores,
esforços cortante, esforços normais e etc.):
𝑀𝑐 = 𝑀𝑐0 +𝑀𝑐1. 𝐷1 +𝑀𝑐2. 𝐷2 +𝑀𝑐3. 𝐷3
𝑀𝑐 = 15 + 24000. 4,5038 . 10−4 + 4800. (−1,0482 . 10−3) + 2400. (−7,5299 . 10−4)
𝑀𝑐 = 18,970 𝑘𝑁𝑚
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Aula 07 - Seção 2:
Simplificações do Método
13
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Simplificações Possíveis
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• Pode-se classificar as simplificações adotadas para diminuir o
número de deslocabilidades na solução de uma estrutura
reticulada em quatro tipos:
a. “Eliminação” de trechos em balanço;
b. Consideração de barras inextensíveis ;
c. Eliminação de deslocabilidades do tipo rotação de nós
quando todas as barras adjacentes são articuladas no nó;
(já comentado)
d. Consideração de barras infinitamente rígidas.
Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
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Eliminação de Balanço
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• Transferência dos esforços internos relativos ao balanço como cargas no
restante da estrutura;
Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
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Consideração de barras inextensíveis
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• Hipótese de barras inextensíveis (com pequenos deslocamentos):
os dois nós extremos de uma barra só podem se deslocar relativamente
na direção transversal ao eixo da barra.
Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
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Barras de Rigidez Infinita sem Giro de Corpo Rígido
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• Hipótese de barras com rigidez infinita (com rotação como corpo
rígido restringida):
* Caso os pilares abaixo sejam inextensíveis, e a viga seja infinitamente
rígida, o sistema terá somente u1 grau de liberdade
Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
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Barras de Rigidez Infinita com Giro de Corpo Rígido
18
* A rotação como corpo rígido do pilar da esquerda (θ1) precisa ser
considerada no processo de cálculo.
Extraído de : Métodos Básicos de Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
* Esta hipótese não será utilizada em nossa disciplina
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FIM
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Exercício TE2-7.1
20
• Traçar o diagrama de momentos fletores para a estrutura hiperestática
abaixo.
- Considerar barras inextensíveis;
E = 20 GPa
I = 1,538x10-2 m4
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Exercício TE2-7.2
21
• Traçar o diagrama de momentos fletores para a estrutura hiperestática
abaixo.
- Considerar barras inextensíveis;
- Todas as barras possuem EI iguais;
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Exercício TE2-7.3
22
• Traçar o diagrama de momentos fletores para a estrutura hiperestática
abaixo.
- Considerar barras inextensíveis com EI igual para todas exceto a barra
FG que é infinitamente rígida;
A
B
C
D E F G