estudiar matemática 9
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Orientaciones Didácticas para el uso del libroTRANSCRIPT
Santillana
EstudiarMatemática.–NAP9.º;ES3.º;CABA2.º–.es.una.obra.colectiva,
creada.y.diseñada.en.el.Departamento.Editorial.de.Ediciones.Santillana,
bajo.la.dirección.de.Herminia.Mérega,.por.el.siguiente.equipo:
Coordinación.de.la.serie:.Claudia.Broitman
Autoría:.María.Mónica.Becerril,.Verónica.Grimaldi.y.Mónica.Urquiza
Asesoramiento.didáctico:.Horacio.Itzcovich
Lectura.crítica:.Andrea.Novembre
Editoras:.Raquel.S..Kalizsky,.Laura.Spivak.y.Ana.V..Veltri
Jefa.de.edición:.María.Laura.Latorre
Gerencia.de.gestión.editorial:.Mónica.Pavicich
Estudiar Matemática
LIBRODELDOCENTE
1.257 : 589 = 2,134
83
+ 5 X =( 79 + X2) - X
3.805.047 km
37 + ∏=
( 85 Y - 3 X ) + 10 X
( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )
( 79 + X2) - 321X+ X2 586 + 89258 32
( 58 - 3 X ) + 10 X
9X
3.805.047 km9X
9X
1.257 : 589 = 2,1341.257 : 589 = 2,1341.257 : 589 = 2,134
+ 5 X =+ 5 X =) - X) - X
( 85 Y - 3 X ) + 10 X( 85 Y - 3 X ) + 10 X
( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X ) ( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X ) ( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )
89 89258 32258 32
( 58 - 3 X ) + 10 X( 58 - 3 X ) + 10 X
9X9X3.805.047 km( 85 Y - 3 X ) + 10 X
( 79 + X
3.805.047 km9X
1.257 : 589 = 2,1341.257 : 589 = 2,134
3.805.047 km
37 + ∏=( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )
) - 321X+ X2 586
9X258 329X258 32
1.257 : 589 = 2,1341.257 : 589 = 2,134
37 + ∏=( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )
) - 321X+ X2 586 + 89258 32
( 58 - 3 X ) + 10 X
9X258 329X258 32
883
+ 5 X =+ 5 X =) - X
3.805.047 km( 85 Y - 3 X ) + 10 X
3.805.047 km
+ 5 X =( 79 + X
3.805.047 km
37 + ∏=( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )
( 79 + X2) - 321X+ X
1.257 : 589 = 2,134
37 + ∏=( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )
) - 321X+ X
3.805.047 km
Preliminares docente (001-016).i1 1 12/2/08 5:34:52 PM
La realización artística y gráfica de este libro ha sido efectuada por el equipo de EDICIONES SANTILLANA S.A., integrado por:
Jefa de Arte: Claudia Fano.
Diagramación: Diego Ariel Estévez.
Tapa: 2martini•estudiodediseño.
Corrección: Juan Sosa.
Gráficos matemáticos Pablo J. Kaczor.
Documentación fotográfica: Ariadna Demattei, Leticia Gómez Castro y Nicolás Verdura.
Fotografía: Archivo Santillana.
Preimpresión: Miriam Barrios, Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez y Maximiliano Rodríguez.
Gerencia de producción: Gregorio Branca.
Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea re-prográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.
© 2008, EDICIONES SANTILLANA S.A.Av. L. N. Alem 720 (C100 1AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.
ISBN-978-950-46-2078-5
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.Impreso en Argentina. Printed in Argentina.Primera edición: diciembre de 2008.
Este libro se terminó de imprimir en el mes de diciembre de 2008, en Encuadernación Aráoz S.R.L., Av. San Martín 1265, (1704) Ramos Mejía, República Argentina.
Estudiar matemática. Libro para el docente : NAP 9.º, ES 3.º, CABA 2.º / María Mónica Becerril ... [et.al.] ; coordinado por Claudia Broitman. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2008. 192 p. ; 28x22 cm.
ISBN 978-950-46-2078-5
1. Matemática. 2. Educación Secundaria. 3. Libro para el Docente. I. Becerril, María Mónica II. Broitman, Claudia, coord. CDD 371.1
Preliminares docente (001-016).indd 2 12/12/08 3:48:10 PM
�
1. AlgunasideassobrelaenseñanzadelaMatemáticaquesubyacenalaspropuestasdeEstudiar Matemática ..............................................5
1.1 El.rol.de.los.problemas.................................................................................................5 •. Secuenciación.de.los.problemas...................................................................................7 •. Diversidad.de.procedimientos.......................................................................................81.2 La.exploración.como.parte.del.trabajo.matemático.......................................................91.3 Los.modos.de.representación.......................................................................................91.4 La.validación.como.parte.de.la.responsabilidad.del.alumno........................................101.5 El.uso.de.las.letras..................................................................................................... .11. •. Las.letras.y.la.generalización.......................................................................................11. •. Las.letras.para.estudiar.procesos.................................................................................121.6 Diferentes.organizaciones.del.trabajo.en.la.clase....................................................... .13
2. LaorganizacióndecontenidosenEstudiar Matemática ...........................13
2.1EJE:Losnúmerosysusoperaciones......................................................................13Cap.I: Números.naturalesCap.II: Números.enterosCap.III: Números.racionales.y.reales
2.2EJE:Geometríaymedida.......................................................................................14Cap.IV: Geometría.y.medida.I.Cap.V: Geometría.y.medida.II.
2.3EJE:Relacionesentrevariables..............................................................................15Cap.VI: Función.lineal.Cap.VII: Introducción.al.estudio.de.la.función.cuadrática.Cap.VIII:Probabilidad.y.estadística
3. Bibliografía............................................................................................................16
Aportes.para.la.enseñanzaÍndice
Preliminares docente (001-016).i3 3 12/2/08 5:34:53 PM
Preliminares docente (001-016).i4 4 12/2/08 5:34:53 PM
�
1.AlgunasideassobrelaenseñanzadelaMatemáticaquesubyacenalaspro-puestasdeEstudiar Matemática.
La.intención.de.este.apartado.es.hacer.explícitas.algunas.ideas.sobre.la.enseñanza.de.la.Mate-mática.que.fundamentan.las.decisiones.adoptadas.para.la.elaboración.de.este.libro..Intentaremos.comunicar,.por.una.parte,.algunas.características.del.tipo.de.trabajo.que.se.pro-picia.desplegar.con.los.alumnos.y,.por.otra,.los.criterios.que.han.sustentado.la.selección,.or-ganización.y.secuenciación.de. los.contenidos..Ambos.aspectos.se. identificarán.con.algunos.ejemplos.de.cómo.se.esbozan.estas.cuestiones.en.las.páginas.del.libro.
1.1Elroldelosproblemas
Se.parte.de. la. idea.de.que.es.necesario.que. los.alumnos.se.enfrenten.a.nuevos.problemas.que. favorezcan.procesos. constructivos.a.partir.de.poner.en. juego.conocimientos. iniciales. y.se.evidencie.la.necesidad.de.producir.nuevos..Para.que.los.alumnos.puedan.ir.construyendo.una.idea.acerca.del.trabajo.matemático.precisan.enfrentarse.a.situaciones.que.les.presenten.cierto.grado.de.dificultad,.que.sean.verdaderos.desafíos..La.dificultad.de.la.situación.propicia.el.despliegue.de.formas.de.resolución.a.partir.de.usar.ciertos.conocimientos.y.posibilita.elabo-rar.nuevos..Las.estrategias.usadas.inicialmente.no.serán.“expertas”.ni.muy.económicas,.pero.constituirán.el.punto.de.partida.Estos.desafíos.se.presentan.de.diferentes.maneras..Veamos.algunos.ejemplos.
Discutir.la.validez.de.ciertas.afirmaciones;.por.ejemplo:
Aportes.para.la.enseñanza
Estudiar Matemática
�.a.A.un.número.natural.a.se.lo.divide.por.6.y.el.resto.que.se.obtiene.es.2..A.otro.número.natural.b.también.se.lo.divide.por.6.y.se.obtiene.resto.1..¿Cuál.será.el.resto.de.dividir.por.6.el.producto.de.a.×.b?
b.A.un.número.natural.a.se.lo.divide.por.6.y.el.resto.que.se.obtiene.es.3..A.otro.número.natural.b.también.se.lo.divide.por.6.y.se.obtiene.resto.2..¿Será.cierto.que.el.resto.de.dividir.por.6.el.producto.de.a.×.b.es.0?.Si.creés.que.sí,.explicá.por.qué..Si.creés.que.no,.proponé.algún.contraejemplo.
Preliminares docente (001-016).i5 5 12/2/08 5:34:53 PM
�
Transformar.figuras.para.comparar.áreas.o.perímetros;.por.ejemplo:
Anticipar.la.cantidad.de.soluciones.de.un.problema;.por.ejemplo:.
2.a.Si.en.un.rectángulo.se.duplican.su.base.y.su.altura,.¿su.área.se.duplica?.¿Por.qué? b.Y.si.se.triplican.su.base.y.su.altura,.¿su.área.se.triplica?.¿Por.qué?
8.a.Encontrá.al.menos.3.números.naturales.que.cumplan.la.siguiente.condición:.al.dividirlos.por.5,.el.cociente.y.el.resto.son.iguales.
b.¿Se.podrán.encontrar.más.números.que.cumplan.la.misma.condición?.¿Cuántos?
Interpretar.o.producir.demostraciones.de.ciertas.propiedades;.por.ejemplo:
ParatenerencuentaEn.el.dibujo.siguiente.se.cumple.que.AC.=.AD.+.DC.y.BC.=.BE.+.EC,.y.DE.es.paralela.a.AB.
Como.se.verifica.que.AC
DC
BC
EC= ,.reemplazando.la
relación.anterior.en.esta.igualdad,.resulta.que:
AC
DC
AD DC
DC=
+ ,.que.es.lo.mismo.que.
AD
DC
DC
DC
AD
DC+ = + 1.
De.manera.similar:.BC
EC
BE EC
EC=
+ .que.es.lo.mismo.que.
BE
EC
EC
EC
BE
EC+ = + 1..
Por.lo.que:.AD
DC
BE
EC+ = +1 1,.entonces.
AD
DC
BE
EC= .
Esta.relación.que.se.acaba.de.demostrar.podría.escribirse.así:.Si en un triángulo se traza una paralela a uno de sus lados, los otros lados quedan partidos en segmentos proporcionales.O.bien.enunciarse.de.la.siguiente.manera:.Si.dos.paralelas.(AB.y.DE).son.cortadas.por.dos.transversales.(AC.y.BC),.los.segmentos.determinados.sobre.una.de.ellas.(AD.y.DC).son.proporcionales.a.los.segmentos.correspondientes.determinados.sobre.la.otra.(BE.y.EC).Estas.enunciaciones.son.diferentes.formas.de.expresar.un.teorema.conocido.con.el.nombrede.TeoremadeTales.que.también.se.lo.puede.expresar.de.lasiguiente.manera:.Si tres o más paralelas son cortadas portransversales, los segmentos determinados sobre una deellas son proporcionales a los segmentos correspondientesdeterminados sobre la otra.En.el.dibujo.las.rectas.a,.b.y.c.son.paralelas,.y.las.rectas
t.y.p.son.transversales,.AB
BC
A B
B C=
´ ´
´ ´.
Preliminares docente (001-016).i6 6 12/2/08 5:34:58 PM
�
Usar.o.construir.modelos.para.estudiar.procesos;.por.ejemplo:
1.Una.sustancia.se.encuentra.a.15.°C,.pero.a.partir.del.comienzo.de.un.experimento.su.temperatura.disminuye.de.manera.uniforme.a.razón.de.2.°C.por.minuto.
a.¿Qué.temperatura.alcanzó. la.sustancia.15.minutos.después.del.comienzo.del.experimento?
b.¿Cuánto.tiempo.deberá.pasar.para.que.alcance.los.0.°C? c. ¿Cuál.de.estas.fórmulas.representa.mejor.la.situación?.(T.representa.la.tempera-
tura.y.M,.los.minutos.transcurridos.desde.el.comienzo.del.experimento).. T.=.–2.M.+.15............T.=.–2.M.+.17............T.=.–2.M.+.15............T.=.2.M.+.17
Establecer.relaciones.entre.expresiones.algebraicas.que.aparentan.ser.diferentes;.por.ejemplo:
•. Intenten.verificar.si.es.cierto.que..................................
Paradebatir
mn
mn
mn
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟=
−−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠
11
1⎟⎟⎟⎟⎟
•SecuenciacióndelosproblemasEn. este. libro. las. diferentes. propuestas. se. organizan. en. pequeñas. secuencias. en. las. que. se.visitan.los.mismos.tipos.de.problemas.una.y.otra.vez.para.favorecer.avances..Pero.a.su.vez.se.incorporan.nuevas.situaciones.que.agregan.nuevos.desafíos..Por.ejemplo,.en.la.página.20.se.propone.una.colección.de.problemas.que.apunta.a.un.mismo.conocimiento,.pero.de.comple-jidad.creciente:
1.Sin.hacer.la.cuenta,.establecé.si.la.siguiente.división.tiene.resto.0.o.no. . . . . . 35.×.24.....5
2.Mirá.esta.cuenta:.35.×.12.=.420;.sin.hacer.ninguna.otra,.decidí.si.son.verdaderas.o.falsas.cada.una.de.las.siguientes.afirmaciones.
a.420.:.35.=.12...........b.421.:.35.tiene.resto.1...........c.421.:.12.tiene.resto.1.
�.Sin.hacer.la.cuenta,.averiguá.si.el.resultado.de.35.×.48.×.27.+.1.es.múltiplo.de.5.
4.Sin.hacer.la.cuenta,.encontrá.el.resto.de.24.×.16.×.31.+.3,.dividido.por.6.
Pararevisarlorealizado
•. El.siguiente.razonamiento.puede.ser.útil.para.pensar.algunos.de.los.proble-mas.anteriores:.“Como.35.es.múltiplo.de.5,.entonces.35.multiplicado.por.cualquier.número.natural.también.va.a.ser.un.múltiplo.de.5”.
. ¿Para.cuál.de.los.problemas.podría.servir?
Preliminares docente (001-016).i7 7 12/2/08 5:34:59 PM
8
•DiversidaddeprocedimientosLa.variedad.de.formas.de.resolución.es.un.buen.indicador.de.que.los.problemas.inicialmente.propuestos.no.son.tan.simples.como.para.que.todos. los.resuelvan.del.mismo.modo,.ni. tan.complejos.como.para.que.no.los.puedan.resolver..Pero.por.supuesto.se.espera.que.luego.de.un.tiempo.los.mismos.problemas.puedan.resolverse.con.estrategias.más.homogéneas.e.incluso.más.convencionales..Por.ejemplo:
1.Un.profesor.de.Educación.física.registró.la.altura.de.todos los.alumnos.que.participaron.de.un.torneo.intercolegial. Este.es.el.gráfico.que.confeccionó.con.los.datos.que obtuvo. a..Completá.la.tabla.referida.al.conjunto.anterior.de datos.
b..¿Cuál.es.la.altura.promedio.de.este.grupo.de.alumnos?
Pararevisarlorealizado
•. Para.responder.el.problema.2..ítem.b.,.algunos.alumnos.pensaron.así:
Estatura(m) 1,48a1,50 1,50a1,52 1,52a1,54 1,54a1,56 1,56a1,58
Frecuenciaabsoluta
60
Frecuenciarelativa
0,10 0,20
. ¿Les.parecen.correctos.esos.razonamientos?.¿Por.qué?
Alumno1Es.la.estatura.in-termedia.entre.1,48.m.y.1,58.m:
Alumno2Considero.que. los.60.alumnos.que.miden.entre.1,48.m.y.1,50.m.miden,.en.promedio,.1,49.m.y.hago.el.cálculo.con.esos.valores.intermedios..La.cuenta.queda.así:
Alumno3Como.hay.60.alumnos.entre.1,48.m.y.1,50.m,.puedo.suponer.que.30.miden.1,48.m,.y.otros.30.miden.1,49.m..Si.pienso.de.esa.forma.para.todas.las.categorías,.la.cuenta.me.queda.así:
30 148 30 149 60 150 60 151 36 152 36⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅, , , , , 1153 51 154 51 155 123 156 123 157
600
, , , , ,+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= 115368,
•. Si.en.el.procedimiento.del.tercer.alumno.se.consideraran.3.grupos.de.10.alumnos.cada.uno.para.el.primer.intervalo;.3.grupos.de.20.alumnos.cada.uno.para.el.segundo.interva-lo,.etc.,.¿se.podría.obtener.así.el.promedio.de.alturas.de.todos.los.alumnos?.Expliquen.por.qué.
60 149 120 151 72 153 102 155 246 157
6
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅, , , , ,
00015418= ,
148 158
2153
, ,,
+=
Preliminares docente (001-016).i8 8 12/2/08 5:35:01 PM
�
1.2Laexploracióncomopartedeltrabajomatemático
Frecuentemente,.en.la.resolución.de.un.problema,.un.primer.intento.no.siempre.conduce.a.“buen.puerto”..Es.necesario.realizar.varios.ensayos,. identificar.en.qué.consisten.los.errores.que.impiden.arribar.a.la.solución,.buscar.cierta.información.previa.que.puede.estar.involucra-da.en.el.trabajo.que.se.propone..Se.trata.de.un.juego.entre.la.anticipación.de.la.resolución.y.los.efectos.de.las.decisiones.que.se.han.ido.tomando,.de.manera.de.sistematizar.la.búsqueda..Hay.un. interjuego.entre.explorar,.probar,.ensayar,.por.una.parte,.y. reordenar. la.búsqueda,.sistematizar,.por.la.otra..Por.ejemplo:
4.a.. Encontrá.dos.números.primos.entre.los.cuales.haya.cinco.números.compuestos. b.. Encontrá.dos.números.primos.entre.los.cuales.haya.trece.números.compuestos.
1.3Losmodosderepresentación
Durante. la.exploración.de.un.problema.nuevo. los.alumnos.suelen.recurrir.a.dibujos,. repre-sentaciones.gráficas.simbólicas,.cálculos.y.diagramas..Las.diferentes.formar.de.representación.abonan.al.proceso.exploratorio..Y.el.mismo.proceso.demanda,.en.ciertas.circunstancias,.variar.los.modos.de.representación.pues.informan.–o.permiten.identificar–.diferentes.aspectos.de.las.relaciones.que.proponen.las.situaciones..Por.ejemplo:
Estas.representaciones.pueden.dar.pistas.acerca.de.qué.ocurre,.pero.avanzar.hacia.otro.tipo.de.representaciones.podrá.permitir.comprender.y.explicar.por.qué.ocurre.lo.que.ocurre..Las.primeras. formas.de. representación.que.usan. los. alumnos.podrán. ser. un.punto.de.partida.interesante.para.iniciar.el.trabajo.y.se.espera.poder.avanzar.sobre.ellas,.así.como.propiciar.la.interpretación.de.representaciones.más.convencionales..Por.ejemplo,.en.la.misma.página.se.propone.una.cuestión.en.esta.dirección.
2.Los.mismos.cinco.amigos.se.sientan.en.una.mesa.redonda.para.comer.y.otra.vez.tienen.problemas.con.las.ubicaciones..¿De.cuántas.formas.diferentes.se.podrán.sentar,.de.ma-nera.que.no.todos.tengan.los.mismos.vecinos.a.la.izquierda.y.a.la.derecha?
1.Cinco.amigos.quieren.fotografiarse.parados.uno.al.lado.del.otro..Como.no.se.ponen.de.acuer-do.en.cómo.ubicarse,.deciden.sacarse.varias.fotos.en.las.que.aparecen.en.distinto.orden.
¿Cuántas.fotos.necesitan.para.todas.las.ubicaciones.posibles?
ErnestoLisandroJoaquínJuanCamilo LisandroCamiloJuanJoaquínErnesto
Preliminares docente (001-016).i9 9 12/2/08 5:35:02 PM
10
1.4Lavalidacióncomopartedelaresponsabilidaddelalumno
Parte.del.quehacer.matemático.involucra.determinar.la.validez.de.lo.producido..En.este.sentido.se.apunta.a.un.trabajo.matemático.en.la.clase.en.el.que.los.alumnos.puedan,.progresivamente,.“hacerse.cargo”.por.sus.propios.medios.de.la.validez.de.los.resultados.que.encuentran.y.de.las.relaciones.que.establecen...Este.aspecto.es.quizá.el.más.complejo.de.tratar.en.el.desarrollo.de.las.clases..Se.espera.que.algunas.explicaciones.provengan.de.una.experiencia.más.intuitiva,.en.tanto.se.trate.de.avanzar.hacia.explicaciones.más.argumentativas..Por.ejemplo:
Pararevisarlorealizado
El.esquema.siguiente. representa.una.situación. relacionada.con.el.problema.2.;.en.él. se.identifica.a.Camilo.con.la.letra.C,.a.Lisandro.con.la.L,.a.Joaquín.con.Jo,.a.Juan.con.Ju.y.a.Ernesto.con.E.
•. El.procedimiento.siguiente.fue.desarrollado.por.un.alumno.para.resolver.uno.de.los.proble-mas.anteriores:.5.×.4.×.3.×.2.=.120..¿Cuál.de.los.cuatro.problemas.trataba.de.resolver?
•. ¿Ambos. esquemas. representan.una.misma.forma.de.sentarse?
•. ¿Será. cierto. que. las. respuestas. a.los.problemas.1..y.2..son.diferen-tes?.¿Por.qué?
E
Ju C
Jo L
C
E L
Ju Jo
Los.modos.de.comparar.las.áreas.podrán.ser,.en.un.principio,.“a.ojo”,.mediante.expresiones.del. tipo:.“este rectángulo es más grande que este”..Progresivamente.se.apuntará.a.que. los.alumnos.encuentren.en.el.conocimiento.matemático.herramientas.que.permitan.estar.seguros.de.que.lo.que.se.hizo.o.se.afirma.es.correcto.
1.Comparen.cada.par.de.figuras.y.determinen.si.una.tiene.mayor,.menor.o.igual.área.que.la.otra..Expliquen.los.motivos.de.su.decisión.
Parahacerenparejas
a. c.
b. d.
Preliminares docente (001-016).i10 10 12/2/08 5:35:03 PM
11
Si.bien.los.alumnos.podrán.iniciar.su.resolución.a.partir.de.casos.particulares,.asignándole.algu-nos.valores.a.n,.para.representar.en.la.recta.deberán.establecer.cierta.generalidad..Y.para.ello.las.letras.desempeñan.un.papel.preponderante..En.otros.problemas.se.busca.que.los.alumnos.se.inicien.en.el.tratamiento.de.las.letras.como.variables..Un.caso.es.el.de.algunos.problemas.en.los.que.se.trata.de.producir.fórmulas,.por.ejemplo:
Los.conocimientos.matemáticos.permitirán.dar.razones,.argumentar,.justificar,.sin.necesidad.de.constatar.empíricamente.
Parahacerenparejas
�.En.la.recta.numérica.se.ubicó.la.fracción.1n
.(n.es.un.número.natural).0 1
n
1.5Elusodelasletras
Muy.probablemente,. la.principal.marca.del. trabajo.en.este.nivel.de.escolaridad.viene.dada.por.el.inicio.de.los.alumnos.en.el.trabajo.con.las.letras..Es.decir,.se.trata.de.acompañar.a.los.alumnos.en.el.pasaje.desde. los.problemas.que. involucran.una.actividad.aritmética.hacia. los.que.demandan.un.trabajo.algebraico..El.uso.de.las.letras.comienza.a.dotar.a.la.Matemática.de.nuevas.particularidades..En.este.libro.las.letras.funcionan.desde.dos.perspectivas:.para.tratar.cuestiones.generales.y.para.estudiar.procesos.que.varían.
•LasletrasylageneralizaciónEl.trabajo.con.las. letras.habilita.a.volver.a.pensar.algunas.propiedades.de. los.objetos.mate-máticos,.ya.no.en.términos.de.sus.casos.particulares..Se.trata.de.promover.el.inicio.en.su.uso.para.pensar.cuestiones.más.generales.y.poder.encontrar.modos.de.representar.relaciones.que.valen.en.colecciones.infinitas.de.objetos..De.esta.manera,.los.alumnos.contarán.con.nuevas.herramientas.para.profundizar.el.estudio,.incluso,.de.conceptos.que.ya.fueron.tratados.en.años.anteriores.de.la.escolaridad..Por.ejemplo:
1.a..Para.preparar.mezcla,.un.albañil.uti-liza.6.baldes.de.arena.cada.2.baldes.de.cemento..Si.quiere.hacer.la.mezcla.usan-do. 4. baldes. de. cemento,. ¿cuántos. de.arena.necesita?.¿Y.si.usara.3.de.arena?
. b..Completá.la.tabla
c.. ¿Cuáles.de.estas.fórmulas.permiten.determinar.la.cantidad.de.baldes.de.are-na.(A),.conociendo.la.cantidad.de.bal-des.de.cemento.(C).que.se.usan,.para.obtener.siempre.la.misma.mezcla?
. 6.C.=.2.A.......2.C.=.6.A.......C A=26
. ...........C.=.3.A...........C A=13
Baldesdecemento 2 8 5 13
Baldesdearena 6 60 7
¿Dónde.ubicarían.el.número.12n
?.¿Y.1
4n?
Preliminares docente (001-016).i11 11 12/2/08 5:35:05 PM
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Este.tipo.de.situación.tiene.diferentes.finalidades..Por.un.lado,.usar.las.letras.para.dar.cuenta.de.una.relación.entre.magnitudes..Por.otro,.identificar.que.hay.expresiones.que.parecen.ser.di-ferentes.pero.son.equivalentes..Por.último,.involucra.considerar.la.letra.como.representante.de.una.cantidad.susceptible.de.sufrir.variaciones.que.impactan.sobre.los.resultados.obtenidos.
•LasletrasparaestudiarprocesosUno.de.los.modos.principales.de.estudiar.problemas.en.los.que.se.producen.variaciones.incluye.las.funciones..La.elaboración.de.modelos.funcionales.demanda,.casi.indefectiblemente,.apelar.a.las.letras.para.representar.los.procesos.que.se.pretende.estudiar.Si. bien.es. esperable.que. los. alumnos.puedan. tratar. los.problemas,. en.un. inicio.desde.una.perspectiva.aritmética,.apelando.a.cálculos,.hay.expectativa.de.que.puedan.pasar.a.identificar.relaciones.más.generales,.que.puedan.tratarse.mediante.representaciones.algebraicas.y.permi-tan.hacerse.cargo.de.la.variación..Por.ejemplo:
Hay.un.juego.permanente.entre.los.cálculos.que.podrían.hacer.los.alumnos.y.las.fórmulas.que.colaboran.en.la.modelización.de.la.situación..Estas.relaciones,.a.su.vez,.como.ya.se.ha.mencio-nado,.invitarán.a.otros.modos.de.representación.(tablas,.gráficos,.etc.).para.poder.avanzar.en.la.escritura.e.interpretación.de.la.información.proveniente.de.expresiones.algebraicas.que.dan.cuenta.de.los.procesos.que.se.están.estudiando..Una.decisión.que.se.ha.tomado.es.que.las.ecuaciones.se.propongan.asociadas.al.trabajo.con.funciones.a.partir.de.la.búsqueda.de.valores,.en.los.contextos.de.los.problemas..Por.ejemplo:.
Se.trata.de.considerar.la.ecuación.lineal.como.parte.del.estudio.de.la.función.lineal.y.la.ecua-ción.de.la.recta...Por.otro.lado,.sin.perder.de.vista.la.perspectiva.adoptada,.las.letras.también.se.proponen.para.estudiar.otros.procesos..Es.el.caso.del.siguiente.ejemplo:
1.La.fórmula.que.permite.calcular.la.temperatura.T.de.una.sustancia.(en.°C).a.medida.que.pasa.el.tiempo.t.(en.minutos).desde.que.comienza.un.experimento.es.T=15+2·t.
a.. ¿Cuál.es.la.temperatura.de.esa.sustancia.al.iniciarse.el.experimento? b.. ¿Aumenta.o.disminuye.la.temperatura.de.la.sustancia.a.lo.largo.del.experimento?.
¿Cómo.te.das.cuenta? c.. ¿Cuánto.cambia.la.temperatura.por.minuto?
1.En.el.detalle.de.la.factura.de.luz.se.puede.leer.que.el.gasto.total.está.integrado.por.un.gasto.fijo.de.$.16,30.al.que.se.le.suma.un.costo.de.$.0,04.por.cada.kwh.que.se.consu-me..A.este.monto.se.le.suman.diferentes.impuestos,.que.no.serán.considerados.en.esta.oportunidad..
a.. Si. una. familia. consumió.1.153.kwh,.¿qué.monto.aparecerá.en.el.detalle.de. la.......factura?
b.. Si.una.familia.nota.que.en.el.detalle.de.su.factura.figuran.$.20,30,.¿cuántos.kwh.habrá.consumido?
Preliminares docente (001-016).i12 12 12/2/08 5:35:06 PM
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En.este.ejemplo.se.trata.de.apelar.al.estudio.de.la.variación.de.una.fórmula.para.anticipar.la.variación.de.un.área.
1.6Diferentesorganizacionesdeltrabajoenlaclase
En.función.de.las.formas.que.puede.adquirir.el.trabajo.matemático,.del.nivel.de.conocimientos.que.involucra.el.problema.y.del.tipo.de.interacciones.que.se.pretenda.promover,.serán.necesa-rias.diversas.modalidades.de.organización.de.la.clase..Para.muchos.problemas.es.necesario.un.momento.de.exploración.desde.el.trabajoindividual,.como.punto.de.partida.para.un.análisis.colectivo.posterior..También.hay.propuestas.de.trabajo.individual.en.las.páginas.de.Paraestudiarlosprimerosproblemasdel capítulo. y. en. las.páginas.de.Paraestudiar losproblemasdel capítulo..Se.trata.de.un.tiempo.individual.de.estudio,.de.sistematización,.de.enfrentarse.a.las.propias.dificultades.que.aún.presenta.el.tema.tratado..En.el.caso.del.título.Estudiar.los.problemas.del.capítulo,.se.propone.que.sean.hojas.recortables,.inclusive.con.la.intención.de.que.puedan.en-tregarse.al.docente.para.su.corrección,.como.“tarea.para.el.hogar”,.como.preparación.para.la.evaluación.escrita,.etcétera..Cuando.la.actividad.requiere.un.trabajo.exploratorio.y.no.se.espera.que.la.puedan.resolver.en.forma.autónoma,..se.sugiere.abordar.el.problema.enparejas,.de.manera.que.las.interacciones.entre.los.alumnos.posibiliten.su.resolución..Se.prevén.instancias.de.trabajocolectivo,.bajo.los.títulos.Paradebatir.o.Pararevisarlorea-lizado,.que.tienen.la.finalidad.de.poner.en.discusión.algún.aspecto.central.de.lo.que.se.viene.tratando.o.reflexionar.sobre.resoluciones.elaboradas.por.los.alumnos.Bajo.el.título.Paratenerencuenta.se.presentan.vocabulario,.propiedades.y.demostraciones..Esta.información.está.pensada.para.su.lectura.colectiva.y.como.fuente.de.consulta.en.diferen-tes.oportunidades.
2.LaorganizacióndecontenidosenEstudiar Matemática.
Este.libro.está.organizado.en.ejes.y.el.interior.de.cada.eje,.en.capítulos..EJE:NúmerosyoperacionesEJE:GeometríaymedidaEJE:Relacionesentrevariables
2.1EJE:Losnúmerosysusoperaciones
Este.eje.está.conformado.por.tres.capítulos.
1.Cuatro.triángulos.tienen.una.altura.de.15.cm.y.sus.correspondientes.bases.son:.. a,.a.+1,.a.+.2.y.a.+.3..Analicen.cómo.varían.las.áreas.de.estos.triángulos.
Parahacerenparejas
Preliminares docente (001-016).i13 13 12/2/08 5:35:06 PM
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El.capítulo1.se.ocupa.de.losnúmerosnaturales..Se.presentan.diferentes.problemas.cuyo.desafío.principal.es.determinar.una.cantidad.de.elementos.de.una.colección...Pero.no.solo.se.trata.de.contarlos,.sino.también.de.organizarlos.de.alguna.manera.para.asegurarse.de.no.con-tar.más.de.una.vez.el.mismo.elemento.ni.omitir.ninguno..A.la.luz.de.este.tipo.de.situaciones,.las.fórmulas.aparecen.como.un.recurso.de.conteo..Un.apartado.especial.lo.constituye.el.trabajo.con. los. juegos.de.azar.más.reconocidos.socialmente,.en.el.marco.de.establecer. la.cantidad.de.jugadas.que.se.requieren.para.ganar,.aspecto.que.se.recupera.en.el.capítulo.8.al.tratar.la.probabilidad.El.capítulo2.aborda.losnúmerosenteros..En.este.capítulo.se.estudian.diferentes.problemas.que.involucran.la.multiplicación.y.la.división,.así.como.las.ideas.de.múltiplos.y.divisores..El.de-safío.principal.es.encontrar.el.resultado.de.ciertos.cálculos,.pero.sin.hacer.las.cuentas..Se.trata.de.aprender.a.leer.“qué.informa”.un.cálculo.y.usarlo.en.la.búsqueda.de.resultados.de.otros.cálculos..A.la.luz.de.este.estudio,.las.expresiones.algebraicas.aparecen.para.dar.cuenta.de.la.posibilidad.de.generalización.y.a.su.vez.se.proponen.como.herramientas.útiles.para.acompañar.el.establecimiento.de.algunas.propiedades.En.el.capítulo3.se.aborda.el.estudio.de.losnúmerosracionales.y.una.primera.noción.de.los.númerosreales..Se.inicia.con.la.resolución.de.diferentes.problemas,.asociados.principalmente.a. la. idea.de.proporción,.y.se.continúa.con.un.trabajo.en.torno.del.orden,. lo.que.habilita. la.exploración.de.ciertas.condiciones.para.que.se.verifiquen.algunas.igualdades.o.desigualdades..Se.proponen.situaciones.de.aproximación.de.fracciones.por.decimales,.el.uso.de. la. recta,.y.también.aparecen.las.potencias.y.las.raíces..Este.andamiaje.habilita.la.discusión.sobre.un.nuevo.campo.numérico:.los.númerosirracionales.
2.2EJE:Geometríaymedida
La.actividad.geométrica.no.se.concibe.como.principalmente.perceptiva..Es,.por.el.contrario,.una.actividad.intelectual..Para.que.este.tipo.de.trabajo.se.pueda.desarrollar,.es.necesario.que.los.problemas.vayan.incorporando.características.diferentes..En.algunas.oportunidades.es.ne-cesario.–dada. la.complejidad.de. la.entrada.de. los.alumnos.en.este.tipo.de.trabajo–.realizar.una.actividad.más.exploratoria,.más.intuitiva,.apelando.a.mediciones,.dibujos,.en.los.cuales.la.validez.de.los.resultados.obtenidos.tendrán.un.“tinte”.más.empírico,.ya.que.la.dificultad.de.ciertas.demostraciones.así.lo.requiere..En.otros.casos.deberá.ser.el.docente.quien.exponga.las.razones.por.las.cuales.un.resultado.es.el.que.se.obtuvo,.ya.que.los.alumnos.por.sus.propios.medios.quizá.no.puedan.elaborarlas.por.completo..Los.problemas.presentados.abordan.diferentes.tipos.de.prácticas..En.algunos.se.busca.que.los.alumnos.tomen.conciencia.de.propiedades.sobre.las.que.no.suelen.prestar.particular.atención,.propiedades.provisoriamente.“no.tan.visibles”..En.otros.casos.la.intención.es.que.los.alumnos.puedan.“poner.en.palabras”.esas.propiedades,.es.decir,.pasar.de.su.reconocimiento.implícito.a.su.explicitación..En.otras.situaciones.la.tarea.de.los.alumnos.,.consiste.en.tomar.decisiones.por.anticipado.–apoyándose.en.ciertas.descripciones.o.características–.para.luego.verificar.su.validez.a.partir.de.la.elaboración.de.argumentos.racionales..El.capítulo4.se.centra.en.el.estudio.del.áreadefiguras.asociado.a.sus.propiedades..Pero.a.su.vez.se.analiza.cómo.cambia.el.área.en.la.medida.que.lo.hacen.algunos.de.sus.elementos..Aparece.entonces.una.práctica.tal.vez.poco.conocida.por.los.alumnos:.la.transformación.de.
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una.figura.en.otra.para.poder.comparar.las.áreas..Se.trata.de.identificar.relaciones.entre.dos.figuras.que.permitan.comparar. sus.áreas.sin.medirlas,.analizando.cuáles.han.sido. las.varia-ciones.de.una.en.relación.con.la.otra..En.este.tipo.de.problemas.se.produce.un.juego.entre.composición.y.descomposición.de.figuras,.para.dar.cuenta.de.la.existencia.o.inexistencia.de.posibles.superposiciones..Es.decir,.cómo.desarmar.una.figura.para.que.pueda.superponerse.a.otra.y.así.comparar.las.áreas..Esta.“manipulación”.de.la.figura.favorece.la.aparición.de.algunos.de.los.elementos.que.de-terminan.su.área:. lados,.alturas,.etc..Por.último.se.proponen. las. fórmulas.para.profundizar.el.estudio.de.comparación.entre.áreas,.a.partir.de. lo.que.se.puede.percibir.en.términos.de.variaciones..En.el.capítulo5..se.proponen.algunos.problemas.que.tienen.por.finalidad.identificar.ciertas.relaciones.geométricas.que.se.pueden.establecer.entre.figuras,.cuando.se.trata.de.ampliarlas.o.reducirlas.preservando.la.forma..Se.estudia.a.su.vez.qué.ocurre.con.sus.lados,..ángulos,.períme-tros.y.áreas..Este.recorrido.se.inicia.con.los.triángulos,.en.el.marco.de.lasemejanza,.pasando.por.el.teorema.de.Tales.y.finalizando.en.la.elaboración.de.algunas.condiciones.que.permitan.dar.cuenta.de.la.semejanza.entre.cuadriláteros..Una.vez.más,.los.dibujos,.las.construcciones,.la.elaboración.de.conjeturas.y.la.búsqueda.de.argumentos.que.las.expliquen.o.las.“destierren”.son.el.motor.del.trabajo..Se.proponen.algunas.demostraciones.más.formales.para.que.sean.interpretadas.por.los.alumnos,.como.aporte.a.la.construcción.de.una.noción.más.próxima.a.la.demostración
2.3EJE:Relacionesentrevariables
Este.eje.contempla.fundamentalmente.el.tratamiento.de.las.funciones..El.capítulo6.se.ocupa.del.estudio.de. lafunciónlineal.como.modelo.para. la.resolución.y.estudio.de.procesos.que. crecen.de.manera.uniforme.. Las.diferentes. representaciones. y,. en.particular,.la.fórmula.y.el.gráfico.de.la.recta.abonan.la.idea.de.modelo.lineal..Se. propone. un. juego. constante. entre. problemas,. representaciones. gráficas. y. fórmulas. que.aspira. a. colaborar. en. la. conceptualización. sobre. este. modelo.. La. ecuación. de. la. recta. y. la.resolución.de.ecuaciones.se.encuadran.dentro.del.mismo.tipo.de.tratamiento,.apelando.a.los.gráficos.y.las.fórmulas.como.soporte.para.la.identificación.de.las.variables.que.se.relacionan,.la.determinación.de.la.cantidad.de.soluciones.y.el.modo.en.que.se.reflejan.estas.cuestiones.en.las.fórmulas.y.los.gráficos...En.el.capítulo7.se.presentan.problemas.cuyo.objetivo.es.el.inicio.al.estudio.de.lasfuncionescuadráticas..Se.trata.de.poner.en.evidencia.las.diferencias.entre.procesos.lineales.y.cuadráticos,.no.solo.en.los.gráficos.sino.también.en.las.razones.por.las.cuales.su.crecimiento.es.de.naturaleza.distinta..Los.variados.problemas.visitan.diferentes.marcos.(geométrico,.algebraico,.etc.).de.ma-nera.de.generar.mejores.condiciones.para.la.comprensión.de.este.tipo.de.procesos..Por.último,.en.este.eje.se.incluye.el.trabajo.con.laestadística,.en.el.capítulo8,.considerada.también.una.herramienta.para.representar.u.organizar.información.con.la.finalidad.de.anticipar.o.estudiar.el.desarrollo.de.algunos.procesos..Aquí.nuevamente.los.gráficos.son.un.objeto.de.trabajo.primordial,.así.como.la.posibilidad.de.manipular.la.información.para.poner.en.evidencia.algunos.aspectos.y.ocultar.otros.
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3.Bibliografía
• Broitman,.C.;.Itzcovich,.H..y.Quaranta,.M..E..“La.enseñanza.de.los.números.decimales:.el.análisis.del.valor.posicional.y.una.aproximación.a. la.densidad.”.RELIME. Revista Latinoa-mericana de Investigación en Matemática Educativa. Publicación.oficial.del.Comité.Latino-americano.de.Matemática.Educativa,.Vol..6.N.°1,.Marzo.de.2003,.pp..5-26..Disponible.en.www.clame.org.mx/relime.htm
• Centeno.Pérez,.Julia. Números decimales. ¿Por qué? ¿Para qué? Buenos.Aires, Ed..Síntesis,.1988.
• Chevallard,.Y.;.Bosch,.M.;.Gascón,.J..Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre en-señanza y aprendizaje.. Instituto. de. Ciencias. de. la. Educación,. Universidad. de. Barcelona,.Horsori.Editorial,.1997.
• Gobierno.de.la.Ciudad.de.Buenos.Aires..Secretaría.de.Educación..Dirección.de.Currícula..Documento de actualización curricular N.° 5..“La.enseñanza.de.la.Geometría.en.el.segundo.ciclo”..1998..Disponible.en.www.buenosaires.gov.ar
• Gobierno. de. la. Ciudad. de. Buenos. Aires.. Secretaría. de. Educación.. Dirección. de. Cu-rrícula. “Documento de actualización curricular para 7.º grado”,. 2000.. Disponible. en.www.buenosaires.gov.ar
• Dirección.provincial.de.Educación.Primaria..D.G.C..y.E..Prov..de.Bs..As..División en 5.º y 6.º año de la escuela primaria. Una propuesta para el estudio de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto,.2007..Disponible.en.www.abc.gov.ar
• Dirección.Provincial.de.Educación.Primaria..D.G.C..y.E..Prov..de.Bs..As..“Orientaciones didác-ticas para la enseñanza de la multiplicación en los tres ciclos de la EGB”,.2001..Disponible.en.www.abc.gov.ar
• Dirección.Provincial.de.Educación.Primaria..D.G.C..y.E..Prov..de.Bs..As..“Orientaciones di-dácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la EGB”,.2001..Disponible.en.www.abc.gov.ar
• Dirección.Provincial.de.Educación.Primaria..D.G.C..y.E..Prov..de.Bs..As..“Aportes didácti-cos para el trabajo con la calculadora en los tres ciclos de la EGB”,.2001..Disponible.en.www.abc.gov.ar
• Itzcovich,.H. Iniciación al estudio didáctico de la Geometría..Buenos.Aires,.Libros.del.Zorzal,.2005.
• Panizza,.M.;.Sadovsky,.P..y.Sessa,.C..Los primeros aprendizajes algebraicos. Cuando las letras entran en la clase de Matemática..Informe.de.CBC.y.FCEyN-UBA.Reunión.UMA,.1995.
• Panizza,.M.;.Sadovsky,.P..y.Sessa,.C..(1999):.“La.ecuación.lineal.con.dos.variables:.entre.la.unicidad.y.el.infinito”..Revista Enseñanza de las Ciencias. 17.(3),.1995,.pp..453-461.
• Panizza,.M.;.Sadovsky,.P..y.Sessa,.C..Los primeros aprendizajes algebraicos. El fracaso del éxito..CBC-.FCEyN-UBA,.1996.
• Sadovsky,.P.;.Alagia,.H..y.Bressan,.A..Reflexiones teóricas para la Educación Matemática..Buenos.Aires,.Libros.del.Zorzal,.2005.
• Sadovsky,.P..Enseñar Matemática hoy..Buenos.Aires,.Libros.del.Zorzal,.2005.
Preliminares docente (001-016).i16 16 12/2/08 5:35:08 PM