ESTUDIO DE LA PROPAGACIÓN DE LUZ SUBLUMÍNICA Y

SUPERLUMÍNICA BASADA EN LAS OSCILACIONES

COHERENTES DE LA POBLACIÓN.

Memoria del trabajo de investigación.

Curso 2007/2008

Máster de F́ısica Fundamental UCM.

Francisco Arrieta Yáñez

Investigadores responsables:

Oscar Gómez Calderón Sonia Melle Hernández

10 de septiembre de 2008

1. Introducción

Este trabajo es un estudio sobre la propagación de la luz en medios materiales. Más concretamente, sobre laposibilidad de obtener una propagación sub y super lumı́nica de la luz utilizando técnicas de coherencia cuántica,es decir, la obtención de slow light/fast light-media.En los últimos años el fenómeno de propagación de luz lenta ha cobrado gran trascendencia dentro de la ópticacuántica y la óptica no lineal. Desde el punto de vista de la óptica cuántica, la propagación de luz lenta permite“escribir” las propiedades de un pulso en el medio material, pudiendo posteriormente ser recuperadas en formade luz. Desde el punto de vista de la óptica no lineal, la luz lenta permite aumentar altamente el tiempo deinteracción luz-materia, amplificando los procesos no lineales. Esto hace del fenómeno algo imprescindible en eldesarrollo de redes de comunicación totalmente ópticas. Nos centraremos en la técnica de oscilaciones coherentesde la población (CPO), comprendiendo qué mecanismos f́ısicos provocan este comportamiento, haciendo unestudio detallado tanto teórico como experimental, e incorporando aportaciones nuevas a su estudio. Pero antesveamos qué queremos decir con luz rápida y luz lenta.

1.1. Luz lenta, luz rápida y velocidad de grupo

Hablamos de luz lenta cuando se observa una propagación de pulsos o señales de luz a velocidades muchomenores que c. Como ejemplo, han aparecido noticias en los últimos años incluso en la prensa usual, como laobtención de una velocidad de propagación de 17 m/s por L. Hau et al. [1].Es sabido que la velocidad de propagación de una onda electromagnética armónica (luz monocromática) en unmedio es distinta a su velocidad de propagación en el vaćıo, y se relaciona con esta por el ı́ndice de refraccióndel medio n de la forma c′ = c/n. Esta velocidad c′, es el resultado de la absorción y emisión por parte de loselectrones del material de la luz incidente, y se llama velocidad de fase.La velocidad de grupo de un pulso de luz describe la velocidad a la que se mueven los puntos en los que todaslas componentes en frecuencia del pulso están en fase. En medios no dispersivos, esta velocidad es igual a lavelocidad de fase, ya que todas las componentes espectrales que forman el pulso viajan a la misma velocidad.Sin embargo, en los medios dispersivos, en los que el ı́ndice de refracción vaŕıa de forma significativa con lafrecuencia, cada componente en frecuencia del pulso tiene una velocidad de fase distinta. En estos medios lavelocidad de grupo tiene la siguiente expresión:

vg =∂ω

∂k=

1nc +

ωc

∂n∂ω

=c

n + ω ∂n∂ω. (1)

El denominador es el llamado ı́ndice de grupo; ng = n + ω ∂n∂ω . Este puede ser muy alto si la dispersión esgrande ( ∂n∂ω À 0), con lo que tendremos velocidades de grupo mucho menores que c (luz lenta o sublumı́nica).Esto explica medidas como la de una velocidad de grupo (de propagación de los pulsos) de 17 m/s. Aunqueel ı́ndice de refracción del material tenga valores t́ıpicos (n ∼ 1.5), la alta dispersión origina ı́ndices de grupoalt́ısimos, que en este caso llega a ser de ng ∼ 17×106. Si el ı́ndice decrece para frecuencias crecientes, tenemos elfenómeno llamado dispersión anómala, que provoca una disminución del ı́ndice de grupo, por lo que vg puede sermayor que c (luz rápida o superlumı́nica). Incluso el ı́ndice de grupo puede llegar a ser negativo, si la dispersiónanómala es lo suficientemente grande, con lo que tendŕıamos luz con vg < 0.Hay que tener en cuenta que cuando hablamos de velocidades de propagación de pulsos de luz superlumı́nicasno estamos diciendo que los fotones viajen a velocidades mayores que c sino que el lugar geométrico de lospuntos en los que todas las componentes en frecuencia del pulso están en fase se traslada a una velocidadsuperior a c. Por tanto podemos decir, en concordancia con las teoŕıas de propagación de pulsos, que el picodel pulso se propaga a la velocidad de grupo. Diversos trabajos (aparte de las consecuencias de la teoŕıade la relatividad) han demostrado la imposibilidad de transportar información a velocidades superlumı́nicas.Sommerfeld ya demostró teóricamente en 1914 [2] que la velocidad del frente de un pulso cuadrado propagándosepor cualquier medio es idénticamente igual a c. Brioullin sugirió [3] que la velocidad de grupo no teńıa sentido

1

f́ısico en la situación de dispersión anómala porque el pulso se distorsionaba mucho. Pero recientes trabajos enpropagación de pulsos muestran que esta conclusión no está justificada. Por ejemplo, se han observado casos develocidades de grupo negativas en los que el pico del pulso sale del medio antes de que el pico del pulso entrantehaya entrado, sin apenas distorsión. Stenner y Gauthier [4] demostraron que no hay relación causal entre el picoentrante y el pico saliente avanzado.Por tanto, hay que ver la propagación sub y superlumı́nica a través de la idea de la superposición de componentesde frecuencia diferentes. El pico de un pulso es el lugar donde todas las componentes están en fase. Al pasar através de un medio, las fases relativas de cada componente se ven modificadas, teniendo cada una una velocidadde fase de forma que una superposición coherente de estas componentes da lugar a un pico corrido en el pulsosaliente. Esto lleva a que el pulso en su conjunto viaje a través del medio a una velocidad muy distinta de c [5].La posibilidad de frenar paquetes de luz se revela como una herramienta muy util en el campo de las telecomu-nicaciones [6], o en la fabricación de sensores electroópticos [7].

1.2. Métodos de frenado de luz: EIT y Oscilaciones Coherentes de la Población(CPO)

Los métodos de obtención de luz lenta o rápida se basan en dos fenómenos: utilización de medios que entretenganla luz, como resonadores ópticos, o métodos basados en la utilización de las zonas de alta dispersión de losmateriales. Nos centraremos en estos últimos. De acuerdo con las relaciones de Kramers-Kroning, las zonas dealta dispersión están asociadas a picos o pozos de absorción, por lo que las técnicas se centran en obtener estascaracteŕısticas en el espectro de absorción.La primera técnica usada fué la “transparencia inducida electromagnéticamente”, o EIT, propuesta independi-entemente por Kocharovskaya y Khanin (Inst. of Applied Physics, Rusia) [8], y Stephen E. Harris (Stanford) [9]en 1989. Consiste en cancelar la absorción usando un fenómeno de coherencia óptica en átomos de tres niveles.

Wc Ws

3

21

Ds

g31

-20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Wc=2g

31

norm

aliz

ado

c

Ds/g

31

imaginariareal

Figura 1: Sistema de 3 niveles tipo Λ (izquierda) y partes real e imaginaria de la susceptibilidad (normalizadas aN |µ13|2/h̄²0γ31) que ve el campo prueba, donde se observa la ventana espectral en la absorción, con el correspondientecambio de ı́ndice (derecha).

Imaginemos un átomo de tres niveles (ver figura 1) sobre el que incide un haz resonante con una de las transiciones(campo prueba, Ωs), |1〉 → |3〉. Al tratarse de una frecuencia atómica, en el espectro tendremos un pico deabsorción centrado en esta frecuencia, y la zona de alta dispersión quedará justamente tapada por este pico deabsorción. Consideramos que inicialmente toda la población está en los niveles inferiores |1〉 y |2〉. Introducimosotro campo resonante con la transición |2〉 → |3〉 (campo control, Ωc), de modo que el estado inicial del sistematenga la forma:

|Ψ(t = 0)〉 = ΩcΩ|1〉 − Ωs

Ω|2〉 , (2)

donde Ω ≡√

Ω2c + Ω2s. Este es el llamado “estado oscuro desacoplado”. De esta manera logramos que lapoblación se encuentre atrapada permanentemente en los niveles inferiores para todo t. Esto es debido a que secancelan las probabilidades de transición |2〉 → |3〉 y |1〉 → |3〉, de forma que el estado oscuro queda desacoplado

2

del nivel superior (〈3|µ · E|Ψ〉 = 0). Nos encontramos con que el medio es transparente justo en la frecuenciadel campo prueba. Asociada con esta ventana de transparencia, tenemos una variación rápida del ı́ndice derefracción en las vecindades del pozo (ver figura 1).Algunos de los impresionantes resultados conseguidos con esta técnica son el ya citado trabajo de L. Hau et al.[1], que consiguió una velocidad de grupo de 17 m/s (en gas ultrafŕıo) o el trabajo pionero de Kasapi et al. [10],que obtuvieron una velocidad de grupo de vg = c/165 en Pb gaseoso.

Esta técnica presenta serios inconvenientes para la realización experimental y su aplicación. Al estar basadaen la coherencia cuántica (es necesario mantener la coherencia 1 ↔ 2 con la fase adecuada para todo t) esmuy sensible a los procesos de decoherencia como colisiones entre átomos, decaimientos entre |1〉 y |2〉 (noacoplados), etc que estropean el pozo de aborción. Por ello y porque la preparación adiabática del estado oscurorequiere empezar con todos los atomos en el estado fundamental, necesitamos temperaturas muy bajas y noha sido observada en sólidos a temperatura ambiente. Por otra parte, si queremos frenar un pulso con ciertaanchura espectral, esta debe caber en la ventana de transparencia, lo que limita mucho las regiones espectrales(frecuencias) que se pueden ver frenadas. Otra técnica con la que también obtenemos propagaciones sub y superlumı́nicas de pulsos, y a temperatura ambiente, son las Oscilaciones Coherentes de la Población o CPO,y es la que usaremos en este trabajo. Está basada en la creación de un hueco espectral, con el consiguientecambio de ı́ndice, debido a oscilaciones de la población. Si a un material (supongamos que formado por átomosde dos niveles) se le aplica un campo resonante con la diferencia de los niveles (frecuencia ωs), y un segundocampo con un pequeño corrimiento en frecuencias (ωs + δ), la población del nivel fundamental oscilará a lafrecuencia del batido. Esta modulación periódica de la población resulta en la creación de un hueco espectralcentrado en la frecuencia de resonancia. La anchura de este hueco es proporcional al inverso del tiempo derelajación del nivel excitado [11]. Este hueco espectral lleva asociado un cambio brusco de ı́ndice, por lo que ladispersión será grande y podremos obtener velocidades muy bajas. Por ser el objeto de estudio de este trabajo,en el siguiente apartado veremos en detalle el fenómeno.

2. Oscilaciones Coherentes de la Población

El hueco espectral provocado por oscilaciones de la población fué predicho en 1967 por Schwartz y Tan [12], apartir de la solución de las ecuaciones de movimiento de la matriz densidad, y ha sido descrito posteriormentecon gran detalle [13, 14, 15].El primer experimento de luz lenta utilizando CPO fué llevado a cabo por Bigelow et al. [16], que en 2003consiguieron velocidades de grupo de 57.5 m/s en un cristal de Rub́ı, a temperatura ambiente, produciendoun hueco en el espectro de absorción de 36 Hz. En el mismo año, Bigelow et al. [17] observaron propagaciónsub y superlumı́nica en cristales de Alejandrita. A ciertas longitudes de onda, la Alejandrita actúa como unabsorbente saturable inverso, lo que llevó a la observación de propagación superlumı́nica. Midieron velocidadesde grupo de 91 m/s o negativas como -800 m/s. Luz lenta a temperatura ambiente via CPO ha sido medidatambién en estructuras de semiconductores, como VCSELs [18] y puntos cuánticos [19], donde el ancho de bandapuede llegar a ser de 2-3 GHz. Diversos trabajos se han ocupado de estudiar la luz lenta / rápida con CPOen fibras dopadas con iones de Erbio (Er3+), conocidas como Amplificador de fibra dopada con erbio (EDFA).Pionero fué el trabajo de Schweinsberg et al. [20]. Otros trabajos han estudiado el retraso (delay) o adelanto(advancement) obtenido en fibras según el nivel de dopaje [21], o cambios en el régimen de propagación (de suba super lumı́nico) con la frecuencia de modulación [22].Veamos como se crea el hueco espectral en la absorción que permite el acceso a zonas de alta dispersión. Paraello haremos el estudio de interacción de un campo resonante con un átomo en el marco de la teoŕıa semiclásica.Consideramos que nuestro sistema es un átomo de dos niveles (ver figura 2). Los niveles |1〉 y |2〉 están acopladospor el campo Es. La población del nivel |2〉 decae con un tiempo τ al nivel |1〉.Utilizaremos un tratamiento basado en las ecuaciones de movimiento de la matriz densidad del sistema. Laprincipal razón es que necesitamos información estad́ıstica (poblaciones y coherencia), por lo que este tratamiento

3

Ws1

2

1

d

tW

s0

Figura 2: Esquema de un sistema de dos niveles para CPO.

es más general. Además, la fenomenoloǵıa de decaimientos espontáneos se introduce muy bien en este formalismo[23]. El hamiltoniano podemos escribirlo como H = H0+H1, donde H0 y H1 representan las partes no perturbaday de interacción radiación-materia, respectivamente. En aproximación dipolar eléctrica: H = H0−−→µ · −→E . En labase de los estados atómicos, conocemos las enerǵıas de los estados atómicos: H0|j >= h̄ωj |j >. La interacción,en función de los distintos momentos dipolares atómicos que intervienen viene dada por: (µ21|2〉〈1|+µ12|1〉〈2|)Es.La evolución del sistema viene dada por la ecuación de Liouville/Von Neumann ∂ρ∂t = − ih̄ [H, ρ]. Introducimosγ12 como una medida del decaimiento de la coherencia atómica (elementos no diagonales de la matriz densidad).De esta forma tenemos las ecuaciones:

∂ρ11∂t

=1τ

ρ22 +iEsh̄

(µ12ρ21 − µ21ρ12) , (3)∂ρ22∂t

= −1τ

ρ22 +iEsh̄

(µ21ρ12 − µ12ρ21) , (4)∂ρ12∂t

= −γ12ρ12 − iω12ρ12 + iEsh̄

µ12(ρ22 − ρ11) , (5)

donde ω12 ≡ ω2 − ω1. Por simplicidad, vamos a suponer que el campo que acopla la transición entre los niveles|1〉 y |2〉 es monocromático:

Es =12Es0e

−iωst + c.c. , (6)

lo que nos lleva a escribir la coherencia como el producto de una parte lentamente variable y otra que vaŕıa conla frecuencia del campo:

ρ12 = σ12eiωst . (7)

Definimos aqúı la llamada “frecuencia de Rabi”, como:

Ωs ≡ µ21Es02h̄ , (8)

aśı como el “detuning” o desintońıa: ∆s ≡ ω21 − ωs. Trabajamos a partir de ahora en la aproximación deonda rotante (RWA), consistente en despreciar los términos rápidamente oscilantes (términos que oscilan a lafrecuencia del campo). Esta es una buena aproximación suponiendo que estamos muy cerca de la resonancia,donde ∆s ¿ ωs. De esta forma, nuestras ecuaciones de movimiento son:

∂ρ11∂t

=1τ

ρ22 + i(Ω∗sσ21 − Ωsσ12) , (9)∂ρ22∂t

= −1τ

ρ22 + i(Ωsσ12 − Ω∗sσ21) , (10)∂σ21∂t

= −[γ21 + i∆s]σ21 + iΩs(ρ11 − ρ22) . (11)

4

Vamos a suponer también que nos encontramos en una situación de resonancia (∆s = 0). Definimos entoncesla “inversión de población”:

W ≡ ρ22 − ρ11 ' 1− 2ρ11 , (12)

esta última igualdad en virtud de la propiedad de traza unidad de la matriz densidad. Aśı reducimos nuestrosistema a dos ecuaciones:

∂W

∂t= −1 + W

τ+ 2i(Ωsσ12 − Ω∗sσ21) , (13)

∂σ21∂t

= −γ21σ21 − iΩsW . (14)

En principio estas ecuaciones nos sirven para tratar el sistema. Para que sea todav́ıa más intuitivo, vamos asuponer que γ21 À 1/τ , por lo que σ21 puede ser tratada adiabáticamente. Es la llamada “rate approximation”,pues de esta manera nuestro sistema se reduce a una única ecuación que describe la tasa de cambio de lapoblación en los niveles atómicos por la acción del campo. Aśı, introduciendo una cantidad adimensional que

represente la intensidad del campo Is ≡ 4τ |Ωs|2

γ21, obtenemos la ecuación:

∂W

∂t= − (1 + W )

τ− Is .W

τ(15)

Trabajaremos a partir de ahora con esta ecuación (que llamaremos “rate equation”).Hasta ahora hemos descrito la ecuación de evolución del sistema con diversas aproximaciones. Pero ¿qué provocaen un sistema de dos niveles un hueco en el espectro de absorción, induciendo zonas de alta dispersión? Paraproducir dicho hueco es necesario introducir un campo de control que acople la misma transición que el campoprueba pero ligeramente desintonizado (con desintońıa δ). Aśı, el campo Es estará compuesto por dos camposdiferenciados en un pequeño corrimiento en frecuencias: Ωs = Ωs0 +Ωs1e−iδt. El campo Ωs1 es el campo pruebay Ωs0 es el campo de control. Al introducir estos dos campos parte de la población va a oscilar siguiendo lafrecuencia del batido δ, siendo esta oscilación la que va a generar un hueco en el espectro de absorción queverá el campo prueba. Veremos que la anchura del hueco de absorción creado depende directamente del tiempode vida del nivel superior, por tanto, para que se produzca el fenómeno esta desintońıa tiene que ser menor queel inverso del tiempo de vida del nivel superior.Vamos a considerar que |Ωs0|2 À |Ωs1|2 de donde:

|Ωs|2 ' |Ωs0|2 + Ωs0Ω∗s1eiδt + Ω∗s0Ωs1e−iδt . (16)

Aśı la intensidad del campo tendrá la forma:

Is ' Is0 + 2√

Is0Is1 cos(δt) (17)

Esta modulación inducirá una oscilación en la inversión de población de la forma:

W = W0 + W+e−iδt + W−eiδt (18)

Sustituyendo e igualando términos, obtenemos que la parte estacionaria y la oscilante vienen dadas por:

W0 =−1ωc

, (19)

W+ = − 4τγ21

Ω∗s0Ωs1W0ωc − iδτ , (20)

5

donde hemos definido una nueva cantidad, ωc ≡ 1+Is0. Se puede ver [20] que ωc es la frecuencia (adimensional)óptima, correspondiente a la semianchura a media altura del hueco espectral inducido por CPO. Mide aproxi-madamente el ancho de banda disponible.Con el fin de estudiar la respuesta del sistema al campo prueba (Ωs1), calculamos la polarización macroscópica(Ps = N [µ12ρ21+µ21ρ12]), donde N es el número de átomos por unidad de volumen. Sustituyendo las solucionesobtenidas, tenemos:

P = Ps0e−iωst + c.c. + Ps1e−i(ωs+δ)t + c.c. , (21)

de donde la parte que oscila a la frecuencia del campo prueba (ωs + δ) es:

Ps1 = −2Niµ12γ21

(Ωs1W0 + Ωs0W+) . (22)

Aqúı vemos la contribución de las oscilaciones coherentes de la población en la polarización. Tenemos el términousual proporcional al producto del campo prueba y la inversión de población, mas un nuevo término productodel campo de control y las oscilaciones de la población. Conocida la polarización:

Ps1 = ²0χEs1 =2h̄²0µ21

χΩs1 , (23)

calculamos la susceptibilidad χ:

χ =iN |µ12|2h̄²0γ21ωc

(1− Is0

ωc − iδτ)

. (24)

-16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Is0=0.3

norm

aliz

ado

imaginaria real

Figura 3: Partes real e imaginaria de χ (normalizadas a N |µ12|2/h̄²0γ21).

En la figura 3 podemos ver la parte real (∝ n) y la parte imaginaria (∝ absorción) de χ. Comprobamos la exis-tencia de un pozo en la absorción, con una anchura determinada por el tiempo de vida del nivel superior τ conla consiguiente dispersión en el ı́ndice. Es importante notar que este tiempo de relajación limita la capacidadde frenado de pulsos. Para Rub́ı, Alejandrita o Erbio, este tiempo de vida es de unos 10 ms, lo que lleva aanchos de banda muy restringidos, del orden de los kHz. Esto implica que no podemos frenar pulsos mas cortosque 1 ms. Para comparar resultados se define una magnitud llamada “Producto retardo - ancho de banda”,como el máximo retardo obtenido para el pulso mas corto que se puede frenar. En semiconductores, los tiemposde relajación son mas cortos, y se pueden conseguir anchos de banda de 2.8 GHz [18], para frenar pulsos de 125 ps.

A partir de la parte real de χ podemos obtener el ı́ndice que verá el campo prueba como n ' 1 + Re(χ)/2:

Re(χ) =N |µ12|2²0γ21h̄ωc

Is0∆ω2c + ∆2

, (25)

6

donde hemos definido ∆ como el detuning δ adimensionalizado con el tiempo de vida τ . Aśı el calculo del desfaseque experimentará el campo prueba al pasar por una longitud L de este medio respecto de un haz de referenciaserá:

φ =ωs + δ

c(1− n)L ' ωs

c(1− n)L = −ωs

2cRe(χ)L . (26)

Agrupando constantes para definir el “coeficiente de absorción no saturada” α0 = Nωs|µ12|2/(h̄c²0γ21),

φ = −α0L2

Is0∆ωc(ω2c + ∆2)

. (27)

0 2 4 6 8 10 12 14-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

c

Is0=0.3

norm

aliz

ado

Figura 4: Desfase φ normalizado a α0L/2 en función de ∆.

En la figura 4 representamos el desfase φ normalizado en función del detuning ∆. Podemos ver que dentro delhueco espectral tenemos propagación sublumı́nica (desfase negativo). Además vemos que hay una frecuencia debatido óptima igual a ωc, la “frecuencia central de CPO”, que nos da la semianchura a media altura del huecoespectral inducido por CPO y para la cual el desfase acumulado por el campo prueba es máximo. Para ωc nosencontramos en la zona de máxima dispersión y la velocidad de grupo es la más baja posible.Con el fin de comparar magnitudes absolutas suele estimarse el valor conocido como “fractional delay”1 F =φ/2π que, en el caso de señales moduladas, representa el tiempo de retardo normalizado con la frecuencia demodulación de la señal.

2.1. Propagación sub y superlumı́nica: introducción de bombeo.

Si queremos producir dispersión anómala es necesario añadir un tercer nivel en el sistema, e introducir un campode bombeo. El estudio sobre la dependencia del retardo con la intensidad de bombeo fué realizado por primeravez por Schweinsberg et al. en fibras dopadas con erbio [20].Consideramos un sistema de tres niveles (ver figura 5). Los niveles |1〉 y |3〉 están acoplados por un campode bombeo (Ep) de forma que la población del nivel |3〉 decae rápidamente al nivel |2〉 (con un tiempo dedecaimiento τ32).Siguiendo el mismo tratamiento que en el caso de dos niveles y teniendo en cuenta que en este caso la interacciónde la radiación con la materia viene dada por: (µ21|2〉〈1|+ µ12|1〉〈2|)Es + (µ31|3〉〈1|+ µ13|1〉〈3|)Ep llegamos alas siguientes ecuaciones de evolución:

∂ρ11∂t

=1τ

ρ22 +iEsh̄

(µ12ρ21 − µ21ρ12) + iEph̄

(µ13ρ31 − µ31ρ13) , (28)1Se va a utilizar el término “fractional delay” para referirnos al retardo normalizado porque es el que se utiliza en la literatura.

7

WpWs1

3

2

1

d

tWs0

Figura 5: Sistema atómico para CPO con bombeo.

∂ρ22∂t

=1

τ32ρ33 − 1

τρ22 +

iEsh̄

(µ21ρ12 − µ12ρ21) , (29)∂ρ33∂t

= − 1τ32

ρ33 +iEph̄

(µ31ρ13 − µ13ρ31) , (30)∂ρ12∂t

= −γ12ρ12 − iω12ρ12 + iEsh̄

µ12(ρ22 − ρ11) + iEph̄

µ13ρ32 , (31)

∂ρ13∂t

= −γ13ρ13 − iω13ρ13 + iEsh̄

µ12ρ23 +iEph̄

µ13(ρ33 − ρ11) , (32)∂ρ23∂t

= −γ23ρ23 − iω23ρ23 + iEsh̄

µ21ρ13 − iEph̄

µ13ρ21 . (33)

Teniendo en cuenta que el campo de bombeo también es monocromático: Ep = 12Ep0e−iωpt +c.c. y considerando

que las coherencias son el producto de una parte lentamente variable y otra que vaŕıa con la frecuencia delcampo:

ρ13 = σ13eiωpt , (34)ρ23 = σ23ei(ωp−ωs)t . (35)

Definimos la “frecuencia de Rabi” para el campo de bombeo como:

Ωp ≡ µ31Ep02h̄ , (36)

y el “detuning” para el campo de bombeo: ∆p ≡ ω31 − ωp. En aproxmación de onda rotante y ∆p ¿ ωp, laecuaciones de movimiento son:

∂ρ11∂t

=1τ

ρ22 + i(Ω∗sσ21 − Ωsσ12) + i(Ω∗pσ31 − Ωpσ13) , (37)∂ρ22∂t

=1

τ32ρ33 − 1

τρ22 + i(Ωsσ12 − Ω∗sσ21) , (38)

∂ρ33∂t

= − 1τ32

ρ33 + i(Ωpσ13 − Ω∗pσ31) , (39)∂σ21∂t

= −[γ21 + i∆s]σ21 + iΩs(ρ11 − ρ22)− iΩpσ23 , (40)∂σ31∂t

= −[γ31 + i∆p]σ31 + iΩp(ρ11 − ρ33)− iΩsσ32 , (41)∂σ23∂t

= −[γ32 + i(∆p −∆s)]σ32 − iΩ∗sσ31 + iΩpσ12 . (42)

Otras aproximaciones que vamos a hacer son las siguientes: Primero, suponer al campo de bombeo en resonancia(∆p = 0). Debido al rápido decaimiento del nivel |3〉, podemos despreciar la coherencia σ32, aśı como la población

8

en este nivel: σ32 ∼ 0 ; ρ33 ∼ 0. Además, podemos aplicar la aproximación adiabática a la ecuación (41), puespromediamos sobre tiempos mas largos que en los que se produce su variación (∂σ31/∂t ∼ 0). Aśı, esta ecuaciónnos da:

σ31 =iΩpρ11

γ31. (43)

Sustituyendo en la ecuación para la inversión, reducimos nuestro sistema a dos ecuaciones:

∂W

∂t= −1 + W

τ+

(1−W )Ipτ

+ 2i(Ωsσ12 − Ω∗sσ21) , (44)∂σ21∂t

= −γ21σ21 − iΩsW , (45)

donde hemos definido la cantidad Ip ≡ 2τ |Ωp|2

γ31como la intensidad (adimensional) del campo de bombeo. En

principio estas ecuaciones nos sirven para tratar el sistema. Aśı la “rate equation” viene dada por:

∂W

∂t= − (1 + W )

τ+ Ip

(1−W )τ

− Is Wτ

. (46)

Siguiendo el mismo formalismo que en el caso de dos niveles, obtenemos que la parte estacionaria y la oscilantede la inversión de población son:

W0 =Ip0 − 1

ωc, (47)

W+ = − 4τγ21

Ω∗s0Ωs1W0ωc − iδτ , (48)

donde ahora ωc ≡ 1 + Ip + Is0. Calculamos en este caso la susceptibilidad y a partir de ella el desfase queexperimentará el campo prueba Ωs1 al pasar por una longitud L de este medio respecto de un haz de referencia:

φ =α0L

2Is0∆

ωc(ω2c + ∆2)(Ip − 1); (49)

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

=1Is0=0.3

norm

aliz

ado

Ip

Figura 6: Desfase φ normalizado a α0L/2 en función de la intensidad de bombeo.

Inspecionando esta ecuación podemos ver el importante papel que juega el bombeo en el fenómeno de slow/fastlight. El nuevo término dependiente de Ip puede inducir desfases positivos (dando lugar a fast light). Además,al aumentar ωc, el rango espectral disponible es mucho mas amplio. Representamos en la figura 6 el desfase φ

9

normalizado en función de la intensidad de bombeo. A partir de esta figura podemos deducir dos importantesresultados caracteŕısticos de CPO con bombeo:- Existe una intensidad de bombeo umbral a partir de la cual se logra advancement (φ positivo). Este bombeoumbral representa f́ısicamente el bombeo a partir del cual el medio empieza a amplificar (es decir, tiene ganancia).La parte imaginaria de χ se hace negativa, y lo que antes era un pozo en la absorción ahora es un pico en laganancia, lo que lleva a tener dispersión negativa.- Existe una intensidad de bombeo máxima (de saturación) a partir de la cual el advancement logrado noaumenta con la intensidad.Como en el caso sin bombeo, mediremos señales moduladas en amplitud y nos interesa el Fractional DelayF = φ/2π.

3. Resultados

El objetivo de mi estudio sobre las oscilaciones coherentes de la población ha sido por una parte el de encontrarnuevos mecanismos para el control del régimen de propagación y por otra el de obtener mayores delays oadvancements, aśı como la observación experimental del fenómeno.Aunque la intensidad del campo de bombeo es constante, es de esperar que las oscilaciones de la poblaciónmodulen ligeramente dicha intensidad a lo largo del medio. Basándonos en esto, la idea de este trabajo es forzaresta modulación, introduciendo dos campos de bombeo, uno fuerte y otro débil. El débil está desintonizado enuna diferencia de frecuencias δ, igual al detuning del campo prueba Ωs1 (ver figura 7):

Wp1Wp0

decaimientorapido

Ws1Ws0

t

3

2

1

d

d

Figura 7: CPO con oscilaciones forzadas.

Escribimos ahora la frecuencia de Rabi del campo bombeo como:

Ωp = Ωp0 + Ωp1e−i(δt−ϕ) . (50)

Hemos introducido una fase relativa entre los dos batidos que resultan. Por tanto la intensidad del bombeoqueda:

Ip ' Ip0 + 2√

Ip0Ip1 cos(δt− ϕ) . (51)Con esta intensidad modulada del bombeo tendremos las oscilaciones coherente de la población forzadas:

W0 =Ip0 − 1

ωc, (52)

W+ =2τγ31

Ωp0Ωp1e−iϕ(1−W0)− 4τγ21 Ωs0Ωs1W0ωc − iδτ . (53)

Calculando como antes la polarización y el ı́ndice que “ve” el campo prueba, obtenemos una expresión para eldesfase:

φ =α0L

2Is0

ωc(ω2c + ∆2)

(∆(Ip0 − 1) +

√Ip0Ip1

IIs0IIs1(Is0 + 2)(ωc sen(ϕ)−∆cos(ϕ))

), (54)

10

de donde podemos calcular el fractional delay F = φ/2π.Como vemos en la expresión (54), el delay que experimenta la señal depende, según la función ωc sen(ϕ) −∆cos(ϕ) de la fase entre las dos modulaciones. Inspecionando esta ecuación podemos como la parte débil delbombeo (o lo que es lo mismo, su modulación) juega un importante papel en el fenómeno de slow/fast light.Tenemos un nuevo término proporcional a

√Ip1 que puede llevarnos a delays negativos (fast light) o positivos

(slow light), dependiendo del valor de la fase ϕ. Además, esta contribución puede ser mucho más grande que elefecto de la parte no oscilante de la intensidad del bombeo (Ip0) si aumentamos la modulación del bombeo odisminuimos la intensidad del campo prueba.

3.1. Observación experimental

Una parte importante de este trabajo de investigación se ha dedicado al estudio experimental del fenómenode slow and fast light basado en las oscilaciones coherentes de la población CPO. La puesta en marcha delos experimentos que describo a continuación ha supuesto un gran esfuerzo, ya que mi participación ha idodesde el montaje del dispositivo experimental, la programación en entorno LabView para controlar los distintosdispositivos, como el manejo de los diversos dispositivos (láseres, fibras, generadores de funciones, detectores,etc) que forman el experimento. La observación experimental de la CPO con bombeo modulado se hizo en fibrasópticas dopadas con Erbio (EDF). El Erbio es interesante para experimentos de luz lenta por varias razones:- Por sus caracteŕısticas f́ısicas: Su nivel metaestable tiene un tiempo de vida relativamente largo, de τ = 10.5ms, lo que lo hace idóneo para la obtención de luz lenta por CPO.- Debido a su configuración electrónica, es usado como amplificador para ĺıneas de telecomunicaciones por fibraóptica. Diversos dispositivos de electroóptica como routers o switches ópticos pueden valerse del frenado de luzpara manejar los pulsos de información que les llegan.En estos experimentos, las oscilaciones coherentes de población en EDF son inducidas por una señal de 1550 nmmodulada sinusoidalmente en amplitud con frecuencia fm, que acopla la transición entre el nivel fundamentaldel Erbio 4I15/2 y el estado metastable 4I13/2. Como bombeo, introducimos otro haz laser de 980 nm, moduladoa la misma frecuencia que el anterior, que acople el nivel fundamental del erbio con el nivel superior, que decaerápidamente (4I11/2).El efecto de la modulación en amplitud es el mismo al de meter el campo de control y el campo prueba: Sitomamos el espectro de frecuencias de la señal modulada, nos encontramos con el side-band equivalente al quetendŕıamos si hubieramos metido dos campos. Esta frecuencia fm será equivalente a la frecuencia del batido δque apareceŕıa en el modelo semiclásico. Aśı, la potencia de la señal a 1550 nm y del bombeo a 980 nm vienendadas por:

Ps = Ps0 + Psm cos(δt) , (55)Pp = Pp0 + Ppm cos(δt− ϕ) . (56)

El montaje experimental es el mostrado en la figura 8. El delay experimentado por la señal al pasar por lafibra se mide de la siguiente manera: La señal de 1550 nm se divide en dos, un 1% (señal referencia) se mandadirectamente a un fotodetector de InGaAs, mientras que el restante 99 % (señal EDF) pasa a través de la fibradopada con Erbio, conectada a un fotodetector idéntico. Igualmente, el bombeo se divide en dos, una partepara bombear la EDF y otra se env́ıa a un fotodetector idéntico para controlar parámetros como la fase entrelas modulaciones de la señal y el bombeo. La señal EDF, la señal de referencia y el bombeo de referencia sonregistradas con una tarjeta rápida de adquisición de datos, conectada a un ordenador. El tiempo de retardoo adelanto td es calculado a partir de la correlación de la señal de referencia con la señal EDF (ver figura 8(derecha)). El fractional delay se define como F = tdfm. En los experimentos modulamos en amplitud unaseñal de potencia Ps0 = 0.65 mW con una modulación del 50 % (Ps1 =0.5Ps0). Usamos una fibra monomodo deAl2SiO5 dopada con iones de Er3+, con una densidad de iones de N = 6.3 ×1025 m−3, longitud 0.1 m, y conun coeficiente de absorción lineal de α0 = 0.3 cm−1 (medido a partir de las curvas entrada/salida de la fibra).

11

WDM

EDF

FG

DFB LD

1550nmLD TEC

PC

PD

DAQ

DFB LD

980nmLD TEC

WDMPD

VOA

FG

PD

1/99

1/99

j

tiempo

td

Referencia

EDF

Figura 8: (Izquierda) Montaje experimental usado para medir luz lenta y rápida en EDFA. LD TEC, fuente de ali-mentación del láser con control de corriente y temperatura; FG, generador de funciones; DFB LD, láser de diodo; WDM,divisor de frecuencias; EDF, fibra dopada con Erbio; VOA, atenuador óptico variable; PD, fotodetector; DAQ, tarjetade adquisición de datos; PC, ordenador personal. (Derecha) Medida experimental del delay en señales sinusoidales.

Figura 9: Fotograf́ıa del dispositivo experimental.

Utilizamos una frecuencia de modulación de fm = 20 Hz, un valor por debajo de la frecuencia óptima, de formaque el fractional delay obtenido sin bombeo es del orden del 1 %. Bombeando la EDF por encima del valorumbral, se obtiene propagación superlumı́nica. El valor de la potencia de bombeo, en lo que sigue, es de Pp0 =2 mW, por encima del valor umbral. Usando este valor de bombeo sin modular se obtiene un advancement muypequeño, menor que el 0.1%.Para la observación experimental de la dependencia de la velocidad de grupo con la fase, modulamos en amplitudel haz de bombeo con la misma frecuencia fm = 20 Hz que el haz de 1550 nm. En la figura 10 se muestra ladependencia del fractional delay con ϕ. Las diferentes curvas corresponden a diferentes valores de la razónPpm/Pp0 del bombeo.El primer resultado reseñable es la observación de propagación sublumı́nica y superlumı́nica dependiendo de lafase relativa ϕ. Este resultado demuestra la viabilidad para controlar el régimen de propagación por medio dela fase relativa entre las modulaciones de la señal de 1550 nm y el bombeo.Comprobamos además que el máximo delay y el máximo advancement aumentan linealmente con el cocientePpm/Pp0. Esta dependencia es predicha por el modelo teórico. En particular, de la ecuación (54), se compruebaque el fractional delay es proporcional a

√Ip1. Comparando las ecuaciones (51) y (56), vemos que:

12

0 50 100 150 200 250 300 350-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

F max

Ppm/Pp0F

(grados)

Ppm

/ Pp0

(%) 70 50 30

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Figura 10: Fractional delay en función de la fase para diferentes modulaciones de bombeo. En pequeño, máximo fractionaldelay para cada cociente Ppm/Pp0 del bombeo.

PpmPp0

= 2

√Ip1√Ip0

. (57)

Hemos incluido además las curvas teóricas que corresponden a predicciones anaĺıticas (sin tener en cuenta efectosde propagación como la absorción, y suponiendo que la dependencia del delay con la propagación es lineal).Como se ve en la figura presentan una buena concordancia con los resultados experimentales. Las pequeñasdiferencias entre los resultados anaĺıticos y los experimentos se pueden subsanar resolviendo numéricamentelas ecuaciones de propagación para las intensidades de bombeo y señal y el desfase, pero por simplicidad sóloincluimos los resultados anaĺıticos en este trabajo.De la figura 10 también se extrae que para el máximo valor de la modulación, obtuvimos un valor del fractionaldelay cercano al 10%, es decir, un orden de magnitud mayor que el delay obtenido para el mismo valor de lapotencia del haz señal pero sin bombeo, y más de dos órdenes de magnitud mayor que el obtenido para el mismovalor de la potencia del haz señal y del haz de bombeo, pero sin modular el bombeo. Esto da una idea del granpotencial del mecanismo de CPO con bombeo modulado, pues incluso aumentando la potencia del bombeo sinmodular hasta el valor óptimo (30 mW) el mayor advancement obtenido es de 0.25%, lejos del 10% obtenidousando un bombeo modulado de 2 mW.En definitiva, forzando las oscilaciones coherentes de población con un bombeo modulado obtenemos una sig-nificativa mejora en los delays y advancements obtenidos. Además, la fase relativa entre las dos modulacionesnos permite cambiar el régimen de propagación desde velocidades de grupo muy bajas de 20 m/s a velocidadesde grupo negativas de −20 m/s.Hemos analizado además el comportamiento del fractional delay con la frecuencia de modulación fm. La figura11 muestra el fractional delay en función de la fase para diferentes frecuencias de modulación (manteniendosiempre Psm/Ps0 = 0.5 y Ppm/Pp0 = 0.5). Podemos ver como el valor de ϕ para el que se obtiene el máximoadvancement (ϕmax, fase óptima), se desplaza con la frecuencia. Para frecuencias bajas el máximo advancementtiene lugar alrededor de 3π/2. Este valor decrece cuando la frecuencia de modulación crece, y para altas fm laposición del máximo advancement se ha desplazado a π. Este comportamiento se ha representado en la figura 11y puede ser deducido fácilmente de la ecuación (54). Analizando esta ecuación, vemos que el máximo fractionaladvancement se encuentra en tan(ϕmax) = ωc/∆. Luego para frecuencias bajas, ∆ ¿ ωc, ϕmax ' 3π/2. Por elcontrario, para frecuencias altas, ∆ À ωc, ϕmax ' π.

13

0 50 100 150 200 250 300 350-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

max

fm (Hz)

F

grados

fm=5Hz

fm=100Hz

fm=500Hz

0 200 400 600 800 1000150

200

250

Figura 11: Fractional delay en función de la fase para diferentes frecuencias de modulación.

Estos resultados fueron obtenidos a lo largo del segundo cuatrimestre del pasado curso (2007/2008) y se enviarona publicar al Physical Review Letters estando en la actualidad en proceso de revisión.Además, dentro del estudio de CPO en fibras dopadas con Erbio, realicé trabajos sobre los efectos de propagaciónde los haces en las fibras y su influencia en el delay. Estos resultados fueron enviados al Physical Review A yestán en fase de revisión. No se detalla este estudio por falta de espacio.

4. Conclusiones

El estudio teórico de los métodos de frenado de luz, como EIT y CPO me ha servido para comprender losprocesos de coherencia cuántica, a resolver problemas de interacción luz-materia en la aproximación semiclásica,y a interpretar los resultados de acuerdo con los procesos f́ısicos que los originan. Además dispońıa de unlaboratorio en el que estudiar CPO en fibras dopadas con Erbio. Durante la realización de los experimentos, lostuve que diseñar desde el principio, programar en Labview para automatizar el control del dispositivo, manejarmaterial como láseres, fibras, fotodetectores etc, tomar datos, representarlos e interpretarlos, aśı como ajustarlos parámetros de las ecuaciones teóricas con los resultados experimentales.La aportación hecha al fenómeno de la CPO (modular el bombeo) se ha revelado como un método interesantepara controlar el régimen de propagación por medio de la fase entre las modulaciones del bombeo y de la señal(un “switch” apropiado), aśı como para incrementar de forma muy significativa las oscilaciones de la población.El estudio y comprensión de la luz lenta y rápida, y de las técnicas de coherencia cuántica en general se presentacomo una materia de gran interés, debido a las potenciales aplicaciones, el interés cient́ıfico, tecnológico e inclusosocial de los fenómenos (como lo demuestran diversas noticias aparecidas en medios de gran difusión, blogs deinternet, etc). Es por ello que después de este trabajo mi interés siga centrado en estos temas y vaya a continuarinvestigando en el laboratorio de coherencia cuántica. Entre los próximos objetivos del grupo están el frenadode pulsos, la observación de CPO en materiales semiconductores de menor tiempo de relajación, y el estudioteórico de estos fenómenos en pozos y otros sistemas cuánticos.

14

Referencias

[1] L.V. Hau, S.E. Harris, Z. Dutton, C.H. Behroozi, Light speed reduction to 17 meters per second in anultracold atomic gas Nature 397, 594 (1999).

[2] A. Sommerfeld, Über die fortpflanzung des lichtes in dispergieren medien, Ann. Phis. 44, 177-202 (1914).

[3] L. Brioullin, Über die fortpflanzung des lichtes in dispergieren medien, Ann. Phis. 44, 203-240 (1914).

[4] M.D. Stenner, D.J. Gauthier, M.A. Nelfeld The speed of information in a “fast light” optical medium, Lett.to Nature 425, 695-697 (2003).

[5] Wei Guo, Understanding subluminal and superluminal propagation through superposition of frequency com-ponents, Phys. Rev. E 73, 016605 (2006).

[6] R.W. Boyd, D.J. Gauthier, and A.L. Gaeta, Applications of Slow Light in telecomunications, Opt. Photon.News 17, 18 (2006).

[7] C. Peng, Z. Li, and A. Xu, Rotation sensing based on a slow-light resonating structure with high groupdispersion, Appl. Opt. bf 46, 4125-4131 (2007).

[8] O.Kocharovskaya, Ya.I.Khanin, Sov. Phys. 63, 945 (1986).

[9] K.J. Boller, A. Imamoglu, and S.E. Harris, Phys. Rev. Lett. 66, 2593 (1991).

[10] A. Kasapi, M. Jain, G.Y. Yin, and S.E. Harris, Phys. Rev. Lett. 74, 2447 (1995).

[11] L.W. Hillman, R.W. Boyd, J. Kransinski, and C.R. Stroud Jr., Opt. Commun. 45, 416 (1983).

[12] S.E. Schwartz and T.Y. Tan, Appl. Phys. Lett. 10, 4 (1967).

[13] M. Sargent III, Phis. Rep. 43, 223 (1978).

[14] R.W. Boyd et al, Phys. Rev. A, 24, 411 (1981).

[15] A.D. Wilson-Gordon, Phys. Rev. A 48, 4639 (1993).

[16] M.S. Bigelow, N.N. Lepeshkin, and R.W. Boyd, Observation of ultraslow light propagation in a ruby crystalat room temperature Phys. Rev. Lett. 90, 113903 (2003)

[17] M.S. Bigelow, N.N. Lepeshkin, R.W. Boyd, Science 301, 200 (2003).

[18] X. Zhao, P. Palinguinis, B. Pesala, C.J. Chang-Hasnain, and P. Hemmer, Opt. Express 13, 7899 (2005).

[19] H. Su and S.L. Chuang, Opt. Lett. 31, 271 (2006).

[20] A. Schweinsberg, N.N. Lepeshkin, M.S. Bigelow, R.W. Boyd, S. Jarabo, Observation of superluminal andslow light propagation in erbium-doped optical fiber Europhys. Lett. 73(2), 218-224 (2006).

[21] S. Melle, O.G. Calderón, F. Carreño, E. Cabrera, M.A. Antón, S. Jarabo, Effect of ion concentration onslow light propagation in highly doped erbium fibers, Opt. Commun. 279, 53-63 (2007)

[22] S. Melle, O.G. Calderón, C.E. Caro, E. Cabrera, M.A. Antón, F. Carreño, Modulation-frequency-controlledchange from sub- to superluminal regime in highly doped erbium fibers, Opt. Lett. 33, 827-829 (2008)

[23] M.O. Scully and M.S. Zubairy, Quantum Optics, Cambridge University Press (1997).

15