estudo da mecânica de uma esfera que rola com deslizamento · 0 e sem rotação – por exemplo,...
TRANSCRIPT
Mecânica e Ondas 2015 · Eng. Aeroespacial · Instituto Superior Técnico 1
Estudo da mecânica de uma esfera que rola com
deslizamento
Considere uma esfera que é lançada com velocidade inicial v0 e sem rotação – por exemplo,
uma bola de bowling lançada na pista. A pista tem um coeficiente de atrito cinético µ, de
modo que existe uma força de atrito transversal 𝐹! = 𝜇𝑃, em que 𝑃 = 𝑚𝑔 é o peso da esfera.
A esfera desliza durante uma certa distância Δx, ao fim da qual o movimento se torna de
rotação sem deslizar. O objectivo é calcular o valor de Δx.
Vamos considerar a situação inicial (movimento de translação sem rotação) e a situação final
(movimento de rotação sem deslizar). A figura em baixo ilustra as forças relevantes e
velocidades em cada situação (esquerda e direita, respectivamente). Repare que na situação
em que a esfera desliza a força de atrito tem sentido contrário à velocidade.
Considerações:
• A esfera está sujeita a uma aceleração constante de módulo 𝑎 = 𝜇𝑔
• Está também sujeita a uma aceleração angular constante de módulo (positivo) α, que
pode ser calculada a partir de (no eixo definido pelo centro de massa)
𝑁 = 𝑟×𝐹! = 𝐼𝛼 → 𝑅𝜇𝑚𝑔 −𝑒! ⇒ 𝐼𝛼 −𝑒!
• Quando a esfera roda sem deslizar, tem-se a situação caracterizada por 𝑣! = 𝜔𝑅
Considere-se o eixo situado no ponto O, que é o ponto em que a esfera toca no solo e o
movimento se inicia (ver figura seguinte). Uma vez que a força de atrito Fa é central em
relação a esse ponto (ou está situada nele, ou aponta para ele), existe conservação de
momento angular. Vamos pois calcular o módulo do momento angular nas duas situações
(representadas pelos pontos O e O’ na figura, tal que Δ𝑥 = 𝑂𝑂′) em relação a O:
Situação inicial (só translação): 𝐿 = 𝑚 𝑟×𝑣 = 𝑚𝑅𝑣!
Situação final (translação e rotação): 𝐿 = 𝑚 𝑟×𝑣 + 𝐼𝜔 = 𝑚𝑟′𝑣!𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝐼𝜔 = 𝑚𝑅𝑣! + 𝐼!!!
v0
FaR
O
vf
!
R
O’
v0
r"
r’
O
vf
!
O’
Mecânica e Ondas 2015 · Eng. Aeroespacial · Instituto Superior Técnico 2
Igualando as duas obtém-se a relação entre as velocidades: 𝑣! = 𝑏𝑣!
em que por conveniência se define o parâmetro 𝑏 = 1 + !!!!
!!.
Sabendo a relação entre velocidades, podemos calcular o espaço percorrido de duas formas:
1. Equações da cinemática
Escrevemos para a posição / instante em que se atinge a rotação sem deslizar
Δ𝑥 = 𝑣!𝑡 − !!𝑎𝑡
! 𝑣! = 𝑣! − 𝑎𝑡
Calculando o tempo: 𝑡 = !!!!!!
= !!!1 − 𝑏
Calculando a distância: Δ𝑥 = !!!
!!1 − 𝑏! = !!!
!!"1 − 𝑏!
Para o caso da esfera vem 𝑏 = 1 + !!
!!= !
!
Assim Δ𝑥 = !"!"
!!!
!"
2. Trabalho da força de atrito
Escrevemos a equação para o trabalho realizado por Fa e igualamos à variação de energia
cinética de translação:
𝑊! = 𝐹!𝑑𝑥 =!!𝑚 𝑣!! − 𝑣!!
Como a força é constante, e usando a relação anterior para as velocidades:
𝜇𝑚𝑔Δ𝑥 = !!𝑚𝑣!! 𝑏! − 1 → Δ𝑥 =
𝑣!!
2𝜇𝑔1 − 𝑏!
que é a relação anterior.
v0
FaR
O
vf
!
R
O’
v0
r"
r’
O
vf
!
O’