δ1

CROSS • Henry Cross αρχές 20ου αιώνα • Προσεγγιστικός αλγόριθµος • Βασική αρχή : (a) Συσσώρευση ροπών λόγω φορτίων από τις µονόπακτες/

αµφίπακτες ράβδους που συντρέχουν σε κάποιον κόµβο. Πλεονάζουσα ροπή Π.Μ.

(b) Αποκατάσταση ισορροπίας κόµβου µέσω της ανάληψης της Π.Μ. από τις συντρέχουσες ράβδους. Η κάθε µια συµµετέχει κατά ποσοστό ίσο µε το ποσοστό της συνεισφοράς της ράβδου στην ακαµψία του κόµβου.

Ακαµψίες ράβδων Κi j Ακαµψία = ροπή που αναπτύσσεται για µοναδιαία στροφή (φ=1). π.χ. –4ΕΙ/L, 3EI/L,… Παραλείποντας το Ε (αν το υλικό παραµένει σταθερό) Ακαµψία κόµβου Si = το άθροισµα των ακαµψιών των ράβδων που συντρέχουν

Si= ∑=

N

1jijK

Κij=nij

ij

LI

, n 4 αµφίπακτη 3 µονόπακτη 0 πρόβολος

δ2

KBA=3⋅2I/d=6I/d KBΓ=ΚΓΒ=4⋅3Ι/L=12I/L KBE=4⋅I/H KΓΒ= KΒΓ=12Ι/L KΓZ=ΚΒE=4Ι/H KΓ∆=0

Συντελεστές κατατοµής ράβδων µij Ταυτίζονται µε ποσοστά συµµετοχής στην ανάληψη Π.Μ.

Μij=i

ij

SK

=κόµβου ακαµψίαράβδου ακαµψία , Kij=Kji µij≠µji

Αρχικές ροπές : Θετικές = αντιωρολογιακές ⇒ Από αριστερά ⇒αλλαζεί Από δεξιά ⇒ δεν αλλάζει

M0BA =+qd2/8 , M0

ΓB =-qL2/12, M 0ΓΒ=+qL2/12, M 0

Γ∆ =2

qd- 2

Πλεονάζουσες ροπές Π.Μ.

Π.Μ.i= ∑=

h

jijM

1

0

Π.Μ. µόνο στους εσωτερικούς κόµβους

A2Ι

Ι Η

ΖΕ

∆Β Γ

q

Ld

3Ι

d

4I/H12I/L6I/dSB ++=⎪⎭

⎪⎬

⎫

4I/H2I/LSΓ +=⎪⎭

⎪⎬

⎫1

Π.ΜΒ=M0BA +M0

BE +M0ΒΓ

Π.ΜΓ=M0ΓΒ+M0

ΓΖ+M0Γ∆

δ3

∆ΙΑ∆ΙΚΑΣΙΑ (1) Επιλογή κόµβων που συµµετέχουν : εσωτερικοί

+εξωτερικές πακτώσεις (2) Εύρεση ακαµψιών ράβδων, κόµβων, συντελεστών

κατανοµής των ράβδων που συντρέχουν στους ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥΣ κόµβους

(3) Εύρεση αρχικών ροπών (προσήµανση κατά CROSS)

ΟΛΩΝ των συµµετεχόντων κόµβων. (4) Εύρεση πλεονάζουσας ροπής κάθε εσωτερικού κόµβου (5) Αρχίζοντας από τον κόµβο µε τη µεγαλύτερη κατ’

απόλυτο τιµή Π.Μ, κατανέµω την Π.Μ στις ράβδους που συντρέχουν στον υπόψη κόµβο πολλαπλασιάζοντας την µε –µij δηλαδή διορθωτική ροπή ∆Μij=-µij⋅Π.Μi

(6) Εάν ο κόµβος i συνδέεται µε τον κόµβο k µε ράβδο, τότε

για κάθε διορθωτική ροπή του i επιβαρύνεται κατά το ήµισυ και ο κ. Ροπή κατανοµής ΚΜκ=∆Μiκ/2

(7) Επαναλαµβάνω τα βήµατα (5),(6) για τους επόµενους

κόµβους (8) Επιστρέφω στον πρώτο κόµβο και ελέγχω µήπως, µετά

τη πρώτη διανοµή, έχουν σωρευτεί προσθετές Π.Μ. λόγω ροπών κατανοµής , προερχόµενος από τους γειτονικούς κόµβους.

δ4

KBA=3(I/L), ΚΒΓ=4(3I/2L)= 6(I/L) SB=KBA+KBΓ=9(I/L) ΜΒΑ=-qL2/8=-24/8=-3 KNm MΒΓ=MΓΒ=-q(2L)2/12=-96/12=-8 kNm

VAB=V0AB +

LM 0−ΒΑ =

=2Lq ⋅ -

L65,4 =

L4,65-24/2 =

L7,35

VBA=L

7,35 -L24 =-16,65/L

VBΓ = 2)L2(q ⋅ +

2L4,659,68- + =

=L5,03/2-24 =

L21,485

VΓB = L21,485 -q⋅2L=

L26,515-

A Ι

Β Γ

q

2LL 3Ι

q⋅L2=24 KNm

µΒΑ=ΚBA/SB=3/9=0,33 µΒΓ=ΚBΓ/SB=6/9=0,67

⎯⎯⎯ →⎯⎭⎬⎫ CROSS

M0BA =+3

M0ΒΓ=-8

M0BΓ =+8Κόµβοι Β Γ

Ράβδοι ΒΑ ΒΓ ΓΒ -µ -0,33 -0,67 - Μ0 3 -8 8 ∆Μ 1,65 3,35 1,68

Σύνολο 4,65 -4,65 9,68 συµβατικό -4,65 -4,65 -9,68

Π.ΜΒ=3-8=-5 q⋅L2=24 q=24/L2 q⋅L=24/L

1

125,1242357

2)/35(7 22

=⋅⋅

=⋅

qL

62,9242

485,21q2

)L/485,21( 22=

⋅=

A Β Γ

-26,515/L

7,35/L

-16,65/L

21,485/L

A Β Γ 1,125

-4,65-9,68

4,97 -4,65+9,62

+

- -+

- -+ +

[V]

[M]

δ5

Πρόβολος δεν συµµετέχει στην CROSS ΜΑ∆=-q(L/2)2/2=-24/8=-3,0 KNm ΜBΑ=-qL2/8+(-MA∆/2)=-3+1,5=-1,5 KNm ΜBΓ=MΓΒ=-q(2L)2/12=-8,0 KNm

VA∆= 2qL− =

LqL 2/2− =-12/L

VAB=2

qL +L

MMB Α∆Α − =

=L12 +

L0,365,3 +− =

L35,11

VBA=11,35/L-qL=-12,65/L

VBΓ = 2L2q +

L2MM ΒΓBΓ − =

L2/)65,318,10(24 +−+ =20,73/L

VΓB = L242-20,73 ⋅ =-27,27/L

⎭⎬⎫ M0

BA =+1,5 M0

ΒΓ=-8 M0

BΓ =+8

30,595,865,3

95,824273,20

2)/73,20( 22

=+−⇒

=×

=q

L

32,068,20,3

68,224235,11

2)35,11( 2

2

2

−=+−⇒

=⋅

=⋅Lq

Κόµβοι Β Γ Ράβδοι ΒΑ ΒΓ ΓΒ

-µ -0,33 -0,67 - Μ0 1,5 -8,0 +8,0

)1(Β∆Μ 2,15 4,35 2,18

CROSS 3,65 -3,65 10,18 Συµβατικά -3,65 -3,65 -10,18

A Ι

Β Γ

q

2LL

3Ι

q⋅L2=24 KNm

∆ Ι

L/2

2

1 Κ,µ όπως

A Β Γ

-27,27/L

11,35/L

-12,65/L

20,73/L

A Β Γ

-3,65 -10,18

5,30

-12/L

∆

-3,0 -0,32

δ6

KBA=3(I/L), ΚΒΓ=4(I/2L)= 2(I/L), ΚΓB=4(I/2L)= 2(I/L), ΚΓ∆=4(I/L) SB=KBA+KBΓ=5(I/L)⇒µΒΑ=ΚBA/SB=3/5=0,6

µΒΓ =ΚBΓ/SB=2/5=0,4 SΓ=KΓΒ+KΓ∆=6(I/L)⇒µΓΒ=ΚΓB/SΓ=2/6=0,33

µΓ∆=ΚΓ∆/SΓ=4/6=0,67 ΜΒΑ=-qL2/8=-24/8=-3 kNm, MΒΓ=MΓΒ=-q(2L)2/12-(2L)⋅(qL/2)/8=-96/12-24/8=-11 kNm ΜΓ∆=Μ∆Γ=-qL2/12=-24/12=-2 kNm M0

BA =+3 , M0ΒΓ=-11, M0

BΓ =+11 M0Γ∆=-2,M0

∆Γ=+2

Κόµβοι Β Γ ∆ ράβδοι ΒΑ ΒΓ ΓΒ Γ∆ ∆Γ

-µ -0,6 -0,4 -0,33 -0,67 - Μ0 3 -11 11 -2 2

∆Μ )1(Γ -1,5 -3 -6 -3

∆Μ )1(Β 5,7 3,8 1,9

∆Μ )2(Γ -0,32 -0,63 -1,27 -0,63

∆Μ )2(Β 0,19 0,13 0,06

∆Μ )3(Γ -0,02 -0,04 -0,02

CROSS 8,89 -8,89 9,31 -9,31 -1,65Συµβατικά -8,89 -8,89 -9,31 -9,31 1,65

Π.ΜΒ=3-11=-8 Π.ΜΓ=11-2=9 Π.ΜΒ=3-11-1,5=-9,5Π.ΜΓ=1,9

A Ι

Β Γ

q

2L L

Ι

q⋅L2=24 KNmP=qL/2 (kΝ) ∆

Ι

L

P

LL

δ7

[V]:VAB=2

qL +L89,8− =

L89,812 − =

L11,3

VBA=L

2411,3 − =L

89,20−

VBΓ = 2L2q ⋅ +

2P +

L289,831,9 +− =

L42,0624 −+ =

L58,29

VΓB = L12-242-29,58 ⋅ =

L42,30−

VΓ∆= 2qL +

L31,965,1 + =

L96,1012 + =

L96,22

V∆Γ=L

2496,22 − =L

04,1−

[M]: 2L

L58,558,29

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + =17,58 ,

q2)L/96,22( 2

=17,58

(3,11/L)2/2q=0,20

A Β Γ

∆ +0,2 +1,67

-8,89

+1,65

+8,69

-9,31 -8,89+17,58=8,69-9,31+10,98=1,67[M]

--+

+ +

A Β Γ

∆ 3,11/L

29,58/L

5,58/L

-20,89/L -6,42/L

-30,42/L

22,96/L

[V] ++

-- -1,04/L

δ8

10.4.1

Κοµβοι Β,Γ KBA=3I/2=1,5I ΚΒΓ=4⋅5I/2= 10I ΜΒΓ=ΜΓΒ=-23⋅22/12=-23/3⇒ M0

ΒΓ=-23/3 M0

BΓ =+23/3

VAB=0+2

01−− =-0,5

VBA=-0,5

VBΓ=2

1112

223 +−+

⋅ =18

VΓΒ=18-46=-28

µΒΑ=1,5/11,5=3/23 µΒΓ=10/11,5=20/23 ⎭

⎬⎫ SB=11,5I

⎩⎨⎧

Κόµβοι Β Γ Ράβδοι ΒΑ ΒΓ ΓΒ

-µ -3/23 -20/23 - Μ0 - -23/3 23/3

)1(Β∆Μ 1 20/3 10/3

CROSS 1 -1 +11 Συµβατικά -1 -1 -11

0,5

0,5

18

18

2

2

A

I

5IΓB

23 kN/m

A -28

18

Γ B

-0,5 A -18

ΓB

-0,5

A

-11

+6=-1+232

182

⋅

ΓB

-1 [V] [M] [N] +

+-

-

-

-

-

-

δ9

10.4.3

Κοµβοι Β,E KBE=4I/3=1,33I ΚΒΓ=3⋅2I/6= I ΜΒA =-20⋅12/2=-10, ΜΓ∆=-20⋅(1,5)2/2=-22,5 MΒΓ=-20⋅62/8-(-22,5)/2=-78,8, ΜΒΕ=ΜΕΒ=0 M0

ΓB =-78,8 , M0ΑB =+10

B Γ

µΒE=1,33/2,33=0,57 µΒΓ=1/2,33=0,43 ⎭

⎬⎫ SB=2,33I

⎩⎨⎧

Κόµβοι Ε Β Ράβδοι ΕΒ ΒΕ ΒΓ ΒΑ

-µ - -0,57 -0,43 - Μ0 - - -78,8 10

)1(Β∆Μ 19,7 39,3 29,5

CROSS 19,7 39,3 -49,3 10 Συµβατικά 19,7 -39,3 -49,3 -10

3,0

6,0

A

I

2I ΓB

E

20

1,51,0

∆

δ10

VΒΑ=-20⋅1=-20 VΒΓ=20⋅6/2+[-22,5-(-49,3)]/6=64,5 VΓΒ=64,5-20⋅6=-55,5 , VΓ∆=20⋅1,5=30 VEB=VBE=(-39,3-19,7)/3=-19,7

+V

20 64,5

84,5

19,719,7

64,5

-20

-19,7

30

-55,5

++

-

- -

19,7

-39,3 -10

-49,3

54,7 =-49,3+64,52/2⋅20

-22,5

- - -

+

+

-84,5

-19,7-

-

δ11

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ • Αν φορέας + φόρτιση συµµετρική→φορέας πάγιος και εξετάζω µόνο τον µισό.

• Αν άξονας συµµετρίας περνά από κόµβο →ο κόµβος θεωρείται πάκτωση και το υποστύλωµα από κάτω (που παρουσιάζει µόνο θλίψη) παραλείπεται.

• Αν ο άξονας συµµετρίας περνά από το ζύγωµα αυτό, λαµβάνεται µε την µισή ακαµψία , Κ = 2I/L

Συµµετρία ⇒Μ,Ν Συµµετρικό V Αντιµετρικό

Κ’=2I/L

δ12

10.4.2 Κόµβοι:Α, Β, Ζ Ακαµψίες :

KΑE=3I/3=I ΚΑΒ=4⋅4I/4=4I KΒΖ=4⋅2I/5=1,6I ΚΒΓ=2⋅4I/6,0=1,33I ΚΒΑ= ΚΑΒ=4I

Αρχικές ροπές ΜΑΕ=ΜΕΑ=0 ΜΑΒ=ΜΒΑ=-30⋅42/12=-40 ΜΒΖ=ΜΖΒ=0 ΜΒΓ=-30⋅62/12=-90

µΑE=1/5=0,20 µΑΒ=4/5=0,80

⎭⎬⎫ SΑ=5I

⎩⎨⎧

SB=6,93Ι⇒⎭⎬⎫

⎭⎬⎫

904040

0

0

0

0

000

−Μ

+=Μ

−=

===Μ

ΒΓ

ΒΑ

Α

ΖΒ

B

BZAE

MMM

A 4ΙΒ Γ

30 kN/m

6,0 4,0

4Ι4Ι

4,0 Η

Ε

Ζ

Θ

∆

2Ι ΙΙ

2Ι

2,0

3,0

µΒΑ=4/6,93=0,58 µΒΓ=1,33/6,93=0,19µΒΖ=1,6/6,93=0,23

δ13

Λόγω συµµετρίας : ΜΑΕ=ΜΑΒ=Μ∆Γ=Μ∆Θ=-5,8 ΜΒΑ=ΜΓ∆=-73,8 ΜΒΖ=ΜΓΗ=-8,8 ΜΖΒ=ΜΗΓ=+4,4 ΜΒΓ=ΜΓΒ=-82,6

Κόµβοι Α Β Ζ Ράβδοι ΑΕ ΑΒ ΒΑ ΒΓ ΒΖ ΖΒ

-µ -0,2 -0,8 -0,58 -0,19 -0,23 - Μ0 - -40 40 -90 - -

∆Μ )1(B 14,5 29 9,5 11,5 5,7

∆Μ )1(A 5,1 20,4 10,2

∆Μ )2(B -3,0 -5,9 -1,9 -2,4 -1,2

∆Μ )2(A 0,6 2,4 1,2

∆Μ )3(B -0,3 -0,7 -0,2 -0,3 -0,1

∆Μ )3(A 0,1 0,2 0,1

0,058 0,019 0,023∆Μ )4(B -0,1

CROSS 5,8 -5,8 73,8 -82,6 8,8 4,4 συµβατικά -5,8 -5,8 -73,8 -82,6 -8,8 +4,4

∆ΜΒ= -10-90=-50∆ΜΑ=-40 +14,5=-24,5

73,8 82,6

8,8

(B)

δ14

VEΑ= 0,378,5− = -1,9 kN=VAE

VAB=2

430 ⋅ +4

8,57,73 +− = 43 kN

VBA=43-30⋅4=-77 kN

VBΓ=2

630 ⋅ +6

7,737,73 +− =90 kN

VΖB=5

4,49,8 −− =-2,6 kN=VBΖ

Αντιµετρία → VΘ∆= V∆Θ=1,9

V∆Γ =-43 VΓ∆=77 VΓΒ =-90 VΗΓ= VΓΗ=2,6

maxΜΑ-Β=-5,8+432/2⋅30=25 kNm maxΜB-Γ=-82,6+902/2⋅30=52,4 kNm

43

43

A1,9

1,9

A

77 90

167

B 4,5

2,6

B1,9

δ15

90

-43

77

-90+1,9

43

+2,6-2,6

-1,9

-77

[V] αντιµετρικό

-1,9 -4,5

-43

-167

-43

-1,9

-167 [Ν] συµµετρικό

-82,6

25

-73,7

-8,9-5,8

25

4,44,4

-5,8

-82,6-73,77

-8,9

52,4

[Μ] συµµετρικό

δ16

CROSS-ΜΗ ΠΑΓΙΟΙ ΦΟΡΕΙΣ • Η µεθοδολογία ισχύει για πάγιους φορείς. Σε αντίθετη περίπτωση ο φορέας πρέπει να παγιωθεί

• Συνεπώς ακολουθούµε την εξής διαδικασία (a) Παγιώνουµε τον φορέα, προσθέτοντας τον µικρότερο

αριθµό δεσµεύσεων. (b) Επιλύουµε τον παγιωµένο φορέα υπό τη δράση

εξωτερικών φορτίων, κατά τα γνωστά (c) Επιβάλουµε µια αυθαίρετη µετατόπιση δ και Επιλύουµε

για αρχικές ροπές Μ0δ λόγω δ

(d) Επαναλαµβάνουµε το (C) για άλλες πιθανές µετακινήσεις (e) Επαλληλία των επιµέρους λύσεων κατά τρόπο ώστε οι

αντιδράσεις των πρόσθετων δεσµεύσεων να αλληλοαναιρούνται.

(f) Σύνθεση τελικών Μ,Ν,V π.χ (e) d: )δ(

π)P(

π FF + =0⇒δ=… (f) Μ =ΜP+ Mδ=… V=VP+Vδ=… Ν = NP+Nδ=…

Αναπτύσσεται δύναµη παγίωσης )P(

πF

(a),(b) (c),(d)

)P(πF

δ

δ17

Άσκηση 10.4.4 (Α)ΠΑΓΙΩΣΗ ΦΟΡΕΑ Κόµβοι Α, Γ, ∆ ∆είκτες ακαµψίας-συντελεστές κατανοµής

KΓΑ=4I/3=1,33I ΚΓ∆=4⋅3I/4=3I K∆Γ= ΚΓ∆ =3I Κ∆Β=3I/3 =I Κ∆Ε= 3⋅3Ι/5=1,8I

αρχικές ροπές CROSS

0Γ∆Μ =- 12/420 2⋅ =-26,7 kΝm, 0

∆ΓΜ =+26,7 kΝm, 0ΕΖΜ =-20⋅12/2=-10 kΝm, 0

∆ΕΜ =-20⋅52/8-(-10/2)=-57,5 kΝm.

3

5,04,0

Γ 20ΚΝm

Ζ

Ι Ι

3Ι 3ΙΕ

Α Β

∆

1,0

Γ 20kΝm

Ζ

Ι Ι

3Ι 3ΙΕ

Α Β

∆ )P(πF

SΓ=4,33I⎭⎬⎫

⎩⎨⎧µΓΑ=1,33/4,33=0,31

µΓ∆=3,0/4,33=0,69 ⎭⎬⎫ 0,1=∑µΓ

S∆=5,8Ιµ∆Γ=3/5,8=0,52 µ∆Β=1/5,8=0,17 µ∆Ε=1,8/5,8=0,31 ⎭

⎬⎫

∑ ∆µ =1,0

δ18

∆ύναµη παγίωσης : )P(πF

Κόµβοι Α Γ ∆ Ράβδοι ΑΓ ΓΑ Γ∆ ∆Γ ∆Β ∆Ε

-µ - -0,31 -0,69 -0,52 -0,17 -0,31 Μ0 - - -26,7 +26,7 - -57,5

∆Μ )1(∆ 8,0 16,1 5,2 9,5

∆Μ )1(Γ 2,9 5,8 12,9 6,5

∆Μ )2(∆ -1,7 -3,4 -1,1 -2,0

∆Μ )2(Γ 0,2 0,5 1,2 0,6

∆Μ )3(∆ -0,1 -0,3 -0,1 -0,2

∆Μ )3(Γ - +0,1

CROSS 3,1 6,3 -6,3 46,2 4,0 -50,2 συµβατικά + - -

ΠΜ∆=-30,8ΠΜΓ=-18,7

)P(πF =4,5

)(PFπ =4,5 kN ⎭⎬⎫VΓΑ=VΑΓ=

33,1-6,3- =-3,13

V∆Β= VΒ∆=-4,0/3=-1,33

VΓΑ

3,13

V∆Β

1,33

δ19

(Β) Οριζόντια µετατόπιση

0ΑΓM =-6ΕIδ/32=-0,667∆= 0

ΓΑM 0

∆ΒM =-3ΕΙδ/32=-0,333∆

∆ύναµη παγίωσης )P(πF

VΓΑ=VΑΓ= )∆(3(-0,568)-0,469 × = 0,346∆

V∆Β= VΒ∆=0,314/3(×∆) = 0,104∆

Κόµβοι Α Γ ∆ Ράβδοι ΑΓ ΓΑ Γ∆ ∆Γ ∆Β ∆Ε

-µ - -0,31 -0,69 -0,52 -0,17 -0,31 Μ0 -0,667 -0,667 - - -0,333 -

∆Μ )1(Γ 0,103 0,207 0,46 0,23

∆Μ )1(∆ 0,027 0,053 0,018 0,032

∆Μ )2(Γ -0,004 -0,008 -0,019 -0,009

∆Μ )2(∆ 0,002 0,005 0,001 0,003

∆Μ )3(Γ -0,001 -0,001

CROSS -0,568 -0,469 0,469 0,279 -0,314 0,035 συµβατικά - + - + +

ΠΜ∆=-0,667ΠΜΓ=-0,103

(×∆)

(×∆)

)δ(πF =0,45∆

∆45,0F )δ(π =

⎭⎬⎫

0,346∆ 0,104∆

Γ

Ι Ι

3Ι 3ΙΕ

Α Β

∆ )P(

πFδδδ

Ειδ=∆

+ +

- +

δ20

Άρα δ: )δ(π

)P(π FF + =0⇒4,5-0,45∆=0⇒∆≈10

ΜΑΓ=3,1-10⋅0,568=-2,57 ΜΓΑ=ΜΓ∆=-6,3+10⋅0,469=-1,61 Μ∆Γ=-46,2-10⋅0,279=-48,98 Μ∆Ε=-50,2+10⋅0,035=-50,55 Μ∆Β=-4+10⋅0,314=-0,86 ΜΕ∆=ΜΕΖ=-10

δ21

Κόµβοι Α,B,Γ ∆είκτες ακαµψίας-συντελεστές κατανοµής

KΒΑ=4⋅0,8I/4=0,8I ΚΒΓ=4⋅6I/8=3I ΚΓ∆ =3I/3=I ΚΓΒ=6I/3,0=3I

[P]

ΜΒΓ=ΜΓΒ=-15⋅82/12=-80, ΜΓ∆= )32(32

212

+⋅

⋅⋅24- =-13,33⇒ 0ΓBΜ =-80, 0

ΓΒΜ =+80, 0Γ∆Μ =-13,33

[δ]

ΜΑΒ= I8,0E6 ⋅− /42⋅δ=-0,3∆ ΜΒΑ=+0,3∆ ΜΓ∆=-3ΕΙ⋅δ/32=-0,33∆ ⇒ 0

ABΜ =-0,3∆, 0BAΜ =-0,3∆, 0

Γ∆Μ =-0,33∆

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

SB=3,8I

SΓ=4Ι

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧µBΑ=0,8/3,8=0,21

µΒΓ=3,0/3,8=0,79

µΓ∆=1/4=0,25 µΓΒ=3/4=0,75

Γ15 ΚΝm

0,8Ι Ι6Ι

∆Α

Β

4 m

8 m

24 ΚΝ 1,0 2,0

δ +

- -

-

Α

Β Γ

∆

⎭⎬⎫⇒

δ22

ΕΠΙΛΥΣΗ ΛΟΓΩ ΦΟΡΤΙΟΥ-∆ΥΝΑΜΗ ΠΑΓΙΩΣΗΣ

VΒΑ=VΑΒ=0+4

M-M ABBA =4

12,94-25,88- =-9,71

VΓ∆=24⋅2/3+3

(-42,17)-0 =+30,06 )P(

πF =30,06-9,71=20,35(→)

Κόµβοι Α Β Γ Ράβδοι ΑΒ ΒΑ ΒΓ ΓΒ Γ∆

-µ - -0,21 -0,79 -0,75 -0,25 Μ0 - - -80 +80 -13,33

∆Μ )1(B 8,4 16,8 63,2 31,6

∆Μ )1(Γ -36,85 -73,70 -24,57

∆Μ )2(B 3,87 7,74 29,11 14,56

∆Μ )2(Γ -5,46 -10,92 -3,64

∆Μ )3(B 0,57 1,15 4,31 2,16

∆Μ )3(Γ -0,81 -1,62 -0,54

∆Μ )4(B 0,09 0,17 0,64 0,32

∆Μ )4(Γ -0,12 -0,24 -0,08

∆Μ )5(B 0,01 0,02 0,10 0,05

∆Μ )5(Γ -0,02 -0,04 -0,01

∆Μ )6(B 0,02

CROSS 12,94 25,88 -25,88 42,17 -42,17 συµβατικά + - -

ΠΜΓ=80-13,33+31,6=98,27

VΒΑ=9,71 VΓ∆=30,06

20,35

δ23

ΕΠΙΛΥΣΗ ΛΟΓΩ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ΕΙδ=∆

VΑΒ=VΒΑ=4(-0,278)-0,257 =0,1338

VΓ∆= 3(-0,27)- =0,09

)P(πF + )δ(

πF =0⇒20,35+0,224∆=0⇒∆=-90,9 ΤΕΛΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ

ΜΑΒ=12,94+90,8⋅0,278=38,21 ΜΒΑ=-25,88-90,8⋅0,257=-49,24 ΜΒΓ=-25,88-90,8⋅0,257=-49,24 ΜΓΒ=-42,17+90,8⋅0,27=-17,63 ΜΓ∆=-42,17+90,8⋅0,27=-17,63

Κόµβοι Α Β Γ Ράβδοι ΑΒ ΒΑ ΒΓ ΓΒ Γ∆

-µ - -0,21 -0,79 -0,75 -0,25 Μ0 -0,3 -0,3 - - -0,33

∆Μ )1(Γ 0,125 0,25 0,08

∆Μ )1(B 0,019 0,037 0,138 0,069

∆Μ )2(Γ -0,026 -0,052 -0,017

∆Μ )2(B 0,003 0,005 0,021 0,011

∆Μ )3(Γ -0,004 -0,008 -0,003

∆Μ )3(B 0,001 0,003 0,001

∆Μ )4(Γ -0,001

CROSS -0,278 -0,257 0,257 0,270 -0,270 συµβατικά - + -

ΠΜΒ=-0,175

⎭⎬⎫⇒ )P(

πF =0,224(→)

0,134∆ 0,09∆

0,224∆

δ24

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

ΜΑΒ=0+4

I8,0E2 ⋅ φΒ - 24I8,0E6 ⋅ δ=0,4Β - 0,3∆

ΜΒΑ=0-4

I8,0E2 ⋅ (2φΒ)+ 24I8,0E6 ⋅ δ= - 0,8Β + 0,3∆

ΜΒΓ= -12

815 2⋅ +8

I6E2 ⋅ (2φΒ-φΓ)+0= -80 + 3Β -1,5Γ

ΜΓΒ= -12

815 2⋅ +8

I6E2 ⋅ (2φΓ-φΒ)+0= -80 + 3Γ-1,5Β

ΜΓ∆= - 2322124

⋅⋅⋅− (3+2) -

33EIφΓ - 23

3EIδ= -13,33 -Γ- 0,33∆

Εξισώσεις ισορροπίας (1)ΜΒΑ=ΜΒΓ⇒0,3∆-0,8Β=-80+3Β-1,5Γ (2)ΜΓΒ=ΜΓ∆⇒-80+3Γ-1,5Β=-13,33-Γ-0,33∆ (3)VAB+VΓ∆=0⇒ 0

LΜ0V

LMM

Γ∆

Γ∆0Γ∆

AB

ABBA =−

++− ⇒

4∆3,0Β4,0Β8,0∆3,0 +−− + 3

224 ⋅ + 3∆33,0Γ33,13 ++ =0 ⇒

⇒0,26∆ - 0,3Β + 0,335 + 20,44 = 0 (1),(2),(3)⇒…⇒Β=27,5 , Γ=34,47 , ∆=-90,6 ΜΑΒ=0,4⋅27,5+0,3⋅90,6=38,09 ΜΒΑ=-0,3⋅90,6-0,8⋅27,5= -49,18 ΜΒΓ=-80+3⋅27,5-1,5⋅34,47= -49,20 ΜΓΒ=-80+3⋅34,47-1,5⋅27,5= -17,84 ΜΓ∆=-13,33-34,47+0,32⋅90,6= -17,90

19,49−⎭⎬⎫

87,17−⎭⎬⎫

Α

Γ

∆

Β

Α

Γ

∆

Β

+

+ +- ΕΙφΒ=ΒΕΙφΓ=ΓΕΙφδ=∆

-

--

-

-

+

δ25

VAB=4

21,3824,49 −− =-21,86

VΒΓ=8

24,4963,172

815 +−+

⋅ =63,95

VΓΒ=63,95-120=-56,05

VΓ∆= 363,17

3224+

⋅ =21,88 maxΜΒΓ=-49,24+

15295,63 2

⋅=87,08

maxΜΓ∆=-17,63+21,88=4,25

-

-56,05

-21,86

-63,95

-

-

[N]

+63,95

21,88

-56,4-21,86 -2,12

+

+

-- -

[V]

-49,24

+87,08+38,21

4,25

-17,63

+

+

-

-

- -[Μ]

+

δ26

CROSS

(a) Παγίωση→άρθρωση C (b) Κόµβοι :Α,Β (c) ΚΒΑ=4⋅Ι/4=Ι

ΚΒC=3⋅3Ι/8=1,125Ι (A) ΕΠΙΛΥΣΗ ΛΟΓΩ ΦΟΡΤΙΩΝ/ ∆ΥΝΑΜΗ ΠΑΓΙΩΣΗΣ MAB=MBA=-25⋅4/8=-12,5, MBD=-5⋅22/2=-10, MCE=-12,5⋅2=-25 MBC=-2,5⋅82/8+25/2=-7,5 ⇒ 0

ABM =-12,5 , 0BAM =+12,5 , 0

BCM =-7,5, 0BDM =+10

855,925145,15V

145,154

16,03)(5,452

25V

BA

AB

−=−=

=−−−

+=

I125,2SB =⎭⎬⎫ µΒΑ=1/2,125=0,47

µΒC=1,125/2,125=0,53

10 15,45

5,45

κόµβοι Α Β ράβδοι ΑΒ ΒΑ ΒC ΒD

-µ - -0,47 -0,53 - Μ0 -12,5 12,5 -7,5 10 ∆ΜΒ -3,53 -7,05 -7,95 - ΣΜ -16,03 5,45 -15,45 10

Προσήµ. - - - -

Π.ΜΒ=15

9,855 C(P)x =9,855

EB

C

D

Α

5 kΝ/m 2,5 kΝ/m

8,0

2,0

2,0

2,0 2,0

3ΙΙ25 kΝ

3Ι 3Ι

12,5

δ27

(Β)ΕΠΙΛΥΣΗ ΛΟΓΩ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ∆=ΕΙδ

ΜΑΒ= ∆375,04

δEI62 −=

− , ΜΒΑ=+0,375∆

∆=∆⋅== ΒΑΑΒ 122,04(-0,287)-0,199VV

C(P)x - C ) (δ

x =0⇒9,885=0,122 ∆⇒∆=80,78 ΤΕΛΙΚΑ: ΜΑΒ=-16,03-0,287⋅80,78=-39,21 ΜΒΑ=-5,45+0,199⋅80,78=+10,63 MBC=-15,45+0,199⋅80,78=+0,63 MBD=-10, MCE=-25

0,122∆ C ( )δx =0,122∆

κόµβοι Α Β ράβδοι ΑΒ ΒΑ ΒC ΒD

-µ - -0,47 -0,53 - Μ0 -0,375 -0,375 - - ∆ΜΒ 0,088 0,176 0,199 - ΣΜ -0,287 -0,199 0,199 -

Προσήµ. - + + -

×(∆)×(∆)×(∆)×(∆)

δ δ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫ 10 0,63

10,63

δ28

ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ

ΜΑΒ=-12,5+4EI2 (0-(-φΒ))- 24

EI6 δ=-12,5+Β/2-0,375∆

ΜΒΑ=-12,5 +4EI2 (2(-φΒ)-0)+ 24

EI6 δ=-12,5-Β+0,375∆

ΜΒC=-7,5+8

I3E3 ⋅ φΒ=-7,5+1,125Β , ΜCE=-25 , MBD=-10

Ισορροπία

MBA+MBD=MBC (1) ∑ xF =0⇒VBA=0⇒VAB-25=0⇒VAB=25

⇒42

25 ABBA MM −+ =25 ⇒MBA-MAB=50 (2)

(1)⇒-12,5-Β+0,375∆-10=-7,5+1,125Β⇒0,375∆-2,125Β=15 (3) (1)⇒-12,5-Β+0,375∆+12,5-Β/2+0,375∆=50⇒0,75∆-1,5Β=50 (4) (3)⇒0,75∆=30+4,25Β Β=7,27 (4)⇒0,75∆=50+1,5Β ∆=81,21 τελικά ΜΑΒ= -12,5+7,27/2-0,375⋅81,21=-39,32 ΜΒΑ= -12,5-7,27+0,375⋅81,21=+10,68 MBC= -7,5+1,125⋅7,27=+0,68 MBD= -10, MCE=-25

ΕΙφΒ=Β ΕΙδ=∆ Μ=ΜΡ=Μδ+ΜΓ

10 0,68

10,68

- + + +

A

BC

ED δ+

-

δ

AB C

ED

ΜBD ΜBC

ΜBA VBA

δ29

VAB=4

)32,39(68,102

25 −−+ =25

VBA=0

VΒC=8

68,0252

85,2 −−+

⋅ =6,79

VCΒ=6,79-2,5⋅8,0=-13,21 VBD=-5⋅2=-10, VCE=+12,5

MaxΜAB=-39,32+25⋅2=10,68

maxΜΒC=0,68+5,22

79,6 2

⋅=9,9

10 6,79

16,79

+6,79 +12,5

-13,21 -10

+25

E

A

B C

D

[V]

-16,79

E

A

B C

D [N]

+9,9

-10

-39,32

-25 [M]

+10,68

E

A

B C

D +0,68

δ30

E=1GPa=106kN/m2

LAB= 22 493,6 + =8,0 m EIAB=1,6⋅103kNm2

EIBΓ=5,4⋅103kNm2 Φορέας =πάγιος. Κόµβος Β µπορεί να στραφεί αλλά δεν βυθίζεται

Μέθοδος παραµορφώσεων

BBA

AB

ABABBA

M

LEIPLM

φ−−=⇒φ⋅⋅

−⋅⋅−

=

φ−−=

Β

Β

6001508

1600316

81003

316

3

ΜΒΓ=- )(2φ1254002

1212200)(2φ

LΙ2Ε

12qL

B

2

ΒBC

BC2ΒΓ ⋅

⋅+

⋅−=−

⋅+

=-240+1800φΒ ΜΓΒ=-240-900φΒ

Ισορροπία ΜΒΑ=ΜΒΓ⇒-150-600φΒ=-240+1800φΒ⇒φΒ=3,75⋅10-2 ΜΒΑ=ΜΒΕ=-172,5 , ΜΕΒ=-274 kNm

VBΓ=V 0ΓB +

Γ

ΓΓ −

B

BB

LMM =

125,172274

21220 +−

+⋅ =111,5kN

VΓΒ=111,5-20⋅12=-128,5

VAB=V0AB +

BA

BA

LM 0− =50+

85,172− =28,44 kN

VBA=28,44-100=-71,56

30×60

20 kN/m

300 30×40

B

A

Γ100 kN

6,93 12

4

A

B Γ

δ31

Μέθοδος CROSS: κόµβοι Β, Γ

ΙΑΒ= 433

m106,112

4,03,0 −⋅=⋅ , ΙΒΓ= 43

3m104,5

126,03,0 −⋅=

⋅

ΚΒΑ=3ΙΒΑ/LBA=3⋅1,6⋅10-3/8=0,6⋅10-3 ΚΒΓ=4ΙΒΓ/LBΓ=4⋅5,4⋅10-3/12=1,8⋅10-3 µΒΑ=0,6/2,4=0,25 µΒΓ=1,8/2,4=0,75 Αρχικές ροπές Μ0

ΒΑ=+3PLBA/16=3⋅100⋅8/16=+150 Μ 0

BΓ=-qL2BΓ/12=-20⋅122/12=-240 , Μ0

ΓΒ=+qL2ΓΒ/12=+240 ,

κόµβοι Β Γ ράβδοι ΒΑ ΒΓ ΓΒ

-µ -0,25 -0,75 - Μ0 150 -240 240 ∆ΜΒ 22,5 67,5 33,75 ΣΜ 172,5 -172,5 273,75

Προσήµ. - - -

3104,2 −⋅=⎭⎬⎫

BS

-128,5

ΣFy=0⇒-111,5-71,56⋅cos30o-NBA⋅sin30o=0⇒NBA=-347 ΣFx=0⇒ΝΒΓ+71,56⋅sin30o-NBA⋅cos30o =0⇒NBΓ=-336

ΠΜΒ=150-240=-90

+28,44 -71,56

+111,5

-172,5

+138,5+114

-336-347

A

A

A

B

B

B

Γ

Γ

Γ

-274

NBΓ

NBA 71,56

111,5B

δ32

Λόγω συµµετρίας φορέα /φόρτισης →πάγιος φορέας

Ισόπλευρα τρίγωνα :lAB=lΑΓ=l , lφEI Β =B , l

φEI Γ =Γ

ΜΒΑ=L

EI Βφ−3 =-3Β , ΜΒΓ= 2Γ4B

12qLφ2φ

L2EI

12qL 2

ΓΒ

2

−+−

=−+− )(

ΜΓΑ=L

3EI Γφ− =-3Γ , ΜΓΒ= 2Β4Γ12qL2

−+−

ΜΓΓ’= 2Γ12qLφ2φ

L2EI

12qL 2

ΓΓ

2

−−

=−−− )(

ΜΒΑ=ΜΒΓ⇒-3Β= 2Γ4Β12qL2

−+− (1)

ΜΓΒ=ΜΓΑ+ΜΓΓ’⇒ 2Γ12qL3Γ2Β4Γ

12qL 22

−−−=−+− ⇒Β=4,5Γ (2)

(1),(2)⇒Γ=354qL2

Άρα :φΓ=354EI

qL3

, φΒ=354EI4,5qL3

l/2 l/2 l/2 l/2 l A’ A

B Γ Γ’ B’

A’ A

B Γ Γ’ B’ -

-

++600

q

--

- -

δ33

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΑΝΤΙΜΕΤΡΙΑ

α)Άξονας συµµετρίας τέµνει ράβδο

Συµµετρία Μισός φορέας Ακαµψία ράβδου k’=k/2=2I/L αντιµετρια Μισός φορέας Ακαµψία ράβδου k’=3k/2=6I/L

β)Άξονας συµµετρίας τέµνει κόµβο

Συµµετρία Μισός φορέας Κόµβος γίνεται πάκτωση αντιµετρια Εξετάζεται

κάθε µισό ξεχωριστά

Μεσαίος στύλος µε µισή ακαµψία διπλασιασµός στο τέλος

π.χ.

P/2 K'=K/2 P/2

K'=1,5Κ+=

Ρ/2 Ρ/2

Ρ/2 K/2

+=

P/2

P/2

Ρ/2 Ρ/2

+

Ρ

=

=

P/2 P/2 P/2

P/2+

Ρ

δ34

Α)ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚDΑ=4⋅0,8/5=0,64 ΚDE=4⋅1/7=0,57

0DΑM =-5⋅52/12=-10,42 kNm , 0

DAM =+10,42 kNm

⎩⎨⎧

+= 0,570,64SD

µDΑ=0,64/1,21=0,528µDE=0,37/1,21=0,472

+2,46 -4,92 -4,92

-13,17 -13,17

0,8Ι 0,7Ι

F D Ι ΙE 10 kN/m

5,0

7,0 7,0 Α Β Γ

0,8Ι +

5 kN/m 5 kN/m 5 kN/m 5 kN/m

Ι0,8Ι

Ι D

Α

E5 kN/m

0,8Ι

0,35Ι

0,8Ι 0,8ΙΙ Ι

κόµβοι Α D E ράβδοι ΑD DΑ DE ED

-µ - -0,528 -0,472 - Μ0 -10,42 10,42 - - ∆ΜΒ -2,75 -5,50 -4,92 -2,46

CROSS -13,17 4,92 -4,92 -2,46 ΣΥΜΒ. -13,17 -4,92 -4,92 +2,46

δ35

B) ΑΝΤΙΜΕΤΡΙΑ

⎩⎨⎧

=

==

⎭⎬⎫

0,472µ0,528µ

1,21S0,57=Κ0,64=Κ

DE

DAD

DE

DΑ

⎩⎨⎧

,=

==

⎭⎬⎫

=⋅

=

2690µ0,731µ

0,78S0,210,35/53=Κ

0,574/7=Κ

EB

EDE

EB

ED

0DΑM =-5⋅52/12=-10,42 kNm , 0

ΑDM =+10,42 kNm

κόµβοι Α D E ράβδοι ΑD DΑ DE ED EB

-µ - -0,528 -0,472 -0,731 -0,269 Μ0 -10,42 10,42 - - - ∆ΜD -2,75 -5,50 -4,92 -2,46 ∆ΜE 0,90 1,80 0,66 ∆ΜD -0,24 -0,48 -0,42 -0,21 ∆ΜE 0,15 0,06

CROSS -13,41 4,44 -4,44 -0,72 0,72 ΣΥΜΒ. -13,41 -4,44 -4,44 0,72 0,72

VAD= 29,14541,1344,4552

1 =+−+⋅⋅ , VDA=14,29-5⋅5=-10,70

VEB=0+ 572,00 − =-0,14

10,7 0,14

Re=10,84 ∆ύναµη παγίωσης

A

E

B 0,8Ι

D Ι

0,35Ι

παγίωση φορέα

δ36

Μ0AD= δ

5I8,0E6

2 ⋅⋅− =-0,192ΕΙδ

Μ0DA=…=-0,192ΕΙδ

Μ0EB = 25

δI35,0E3 ⋅− =-0,042ΕΙδ

Έστω ∆=ΕΙδ=100/0,192 Μ0AD= -100 , Μ0

DA= -100 ,Μ0EB =-21,88

κόµβοι Α D E ράβδοι ΑD DΑ DE ED EB

-µ - -0,528 -0,472 -0,731 -0,269 Μ0 -100 -100 - - -21,88 ∆ΜD 26,40 52,80 47,20 23,60 ∆ΜE -0,63 -1,26 -0,46 ∆ΜD 0,17 0,33 0,30

CROSS -73,43 -46,87 46,87 22,34 -22,34 ΣΥΜΒ. -73,43 46,87 46,87 -22,34 -22,34

VDA= VAD=(46,87+73,43)/5=24,06 VEB=(0+22,34)/5=4,47

0R =∑ ⇒10,84=28,53x⇒x=0,38⇒ MAD= -13,41+0,38(-73,43)= -41,31, MCF = 41,31 MDA= -4,44+0,38⋅46,87 = 13,37 , MFC= -13,37 MED=0,72+0,38(-22,34)= -7,77 , MEF= +7,77 ΜΕΒ=2⋅[+0,72+0,38(-22,34)]=-15,54

24,06 4,47

Re=28,53

∆Μ=23,60-21,88=1,72

Ι δ +

- -

Β

δ

Α

Ε D

0,8Ι 0,35Ι

δ37

ΣΥΝΟΛΙΚΑ MAD=-13,17-41,31=-54,48 kNm

MDA=MDE=-4,92+13,37=8,45 kNm

MED=2,46-7,77=-5,31 kNm

MEB=0+15,54=+15,54 kNm

MEF=2,46+7,77=10,23 kNm

MFE=-4,92-13,37=-18,29 kNm

MCF=-13,17+41,31=+28,14 kNm

Συµµετρία →1 βήµα Αντιµετρία→ 2 βήµατα (Ρ, δ)

13,37

-41,31

-7,77-13,37

15,54

41,31

- --

-

++

+

Σύνολο