ett godkänt mätvärde!?

2005-09-13 Fysikexperiment, 5p 1

Resultatet av en mätning skrivs normalt(bestämning av tyngdaccelerationen g):

Är det ett bra eller dåligt värde? Låt oss jämföra med det”sanna värdet” gnorm genom att introducera variabeln t:

Variabeln t anger antalet standardavvikelser från det nominella värdet.Med hjälp av tabellen i Appendix A i läroboken kan vi bestämma:

Konsultera även figur 5.13 i läroboken på sidan 136.

Exempel: gnorm=9,818 m/s2

Om gmätt = 9,7480,15 blir t = |9,748-9,818|/0,15 = 0,47 och SU = 63,8% Godtagbart!Om gmätt = 9,7480,03 blir t = |9,748-9,818|/0,03 = 2,3 och SU = 2,1% Endast 2% sannolikt att det mätta värdet härrör från en fördelning med medelvärdet gnorm. Denna mätning innehåller sannolikt ett systematiskt fel eller så är felen underskattade. Vi skall återkomma till detta problem i nästa lektion.

Ett godkänt mätvärde!?

g

normggt

||

gg

)innanför mätningen för ten (annolikheS%100)utanför mätningen för ten (annolikheS IU gg tt


Historiska data - bestämning av G(viktade medelvärden)

NO. EXPERIMENTER DATE METHOD

VALUE OF G x

108 dyne-

cm2/gm2

Error REF

1. Cavendish 1798 static torsion 6.754 0,041 3522. Reich #1838 static torsion 6.64 0,06 3533. Baily #1843 static torsion 6.63 0,07 3534. Cornu/Baille 1872 static torsion 6.618 0,017 3545. Jolly #1873 Jolly balance 6.447 0,11 3536. Eotvos 1886 static torsion 6.657 0,013 3537. Richarz/K-Menzel 1888 Jolly balance 6.683 0,011 3538. Wilsing #1889 Jolly balance 6.594 0,15 3539. Poynting 1891 Jolly balance 6.6984 0,004 35510. Boys 1895 static torsion 6.658 0,007 35311. Braun 1895 dynamic torsion 6.658 0,002 35512. Richarz/K-Menzel 1896 Jolly balance 6.685 0,011 35613. Braun 1897 dynamic torsion 6.649 0,002 35324. Burgess #1901 dynamic torsion 6.64 35315. Heyl 1930 dynamic torsion 6.6721 0,0073 35716. Zahradnicek 1933 dynamic torsion 6.659 0,004 35517. Heyl/Chrzanowski 1942 dynamic torsion 6.6720 0,0049 35718. Rose et. al. 1969 rotating table 6.674 0,003 35719. Pontikis 1972 resonance torsion 6.6714 0,0006 35720. Renner 1973 dynamic torsion 6.670 0,008 35321. Karagioz 1976 dynamic torsion 6.668 0,002 35322. Rose et. al. 1976 rotating table 6.6699 0,0014 35523. Sagitov 1977 dynamic torsion 6.6745 0,003 35324. Stacey et. al. 1978 geophysical 6.712 0,037 35825. Luther/Towler 1981 dynamic torsion 6.6726 0,0005 359

Tabellen till högervisar resultaten frånolika bestämningarav gravitationskons-tanten G. Bestäm-ningen har skett medflera olika metoderoch under lång tid.

Källa: http://www.ldolphin.org/setterfield/report.html


Viktad anpassning till G

G ur föregående tabell (utom desom är markerade med #) plottadepå en tidsaxel. Vi noterar mätvärdenmed stora fel och flera med mycketsmå fel.

Det beräknade felet i det viktademedelvärdet är för litet med hänsyntill hur data sprids kring medelvärdet.

Oviktat medelvärde med medel-värdesfel kan beräknas till6,658 0,011 med ett mer rimligtfel (vi tar då på sätt och vis då ävenhänsyn till (eventuella) systematiskafel i mätningarna).


Med reducerad statistik I

Här har vi tagit bort mätningar medstora fel.

Det beräknade felet i det viktademedelvärdet är även här för litet medHänsyn till hur data sprids kringmedelvärdet.

Oviktat medelvärde med medel-värdesfel kan beräknas till6,6701 0,0029


Med reducerad statistik II

Här har vi tagit bort mätningar medmycket små fel som låg långt frånmedelvärdet (systematiska fel?).En generell metod för detta angeslite längre fram.

Det beräknade felet i det viktademedelvärdet är även här litet ochsynes ge ett för litet fel.

Det oviktade medelvärde medmedelvärdesfel kan beräknas till6,6743 0,0076 eller avrundat6,674 0,008 ett värde som liggermycket nära det nominella.


Volymen är:

Felfortplantning igen

För att beräkna volymen av en cylinder utförs följande mätningar av höjden h och diametern d:

h (cm) d (cm) 4,65 12,25 4,61 12,26 4,68 12,32 4,65 12,30 4,67 12,22 4,69 12,21 4,64 12,35 4,66 12,31 4,67 12,29

047,0vikelsen standardav med cm 28,12

024,0vikelsen standardav med cm 658,4

d

h

d

h

3

22

3 cm 508,5658,4

024,0

28,12

047,02cm 6,551

VV V

hd

V4

2

Genom felfortplantning erhållsvolymens standardavvikelse:

222

hdV hd

V

Medelvärdets standardavvikelse blir:

3cm 7,169,19

08,5

NV

V


1. Hur beräknades V?

Jo så här: (observera att medelvärdena används här).

2. Vi skulle lika gärna kunna gå direkt på formeln:

eftersom faktorn (N-1) är gemensam för termerna i vänstra och högra ledet.

Två viktiga kommentarer:

cm 02,028,12

cm 008,0658,4

d

h3

22

3 cm 7,169,1658,4

008,0

28,12

02,02cm 6,551

VV V

hd

VV4

2

222

hdV hd

V

)y,x(punkten i evalueras rnaderivatore alladär )()(),(

),(Låt

yyy

fxx

x

fyxf

yxfz

ii

iii

),()()(),(1

1 :tmedelvärde Beräkna

1

1

yxzyyy

fxx

x

fyxz

N

zN

z

ii

N

i

N

i i


Alternativ metod

”Nackdelen” med metoden på föregående sida är att vi måste beräkna två medel-värden och två varianser och felen för att sedan applicera felfortplantningsformeln. Ett liknande resultat erhålles genom att först beräkna volymen för de nio mätnin-garna och sedan bestämma felet utifrån spridningen. Se tabellen till höger

Vi ser att felet blir något mindre,vi får V=(551,6 ± 1,5)·10-6 m3.

Vad är då rätt?Denna metod ger rätt feluppskattning! Felfortplantningsformeln på föregående sida måste ibland*) kompletteras med en extra term för att ge rätt svar!

h d V V-<V> (V-<V>)^2

4,65 12,25 548,04 -3,51 12,334,61 12,26 544,22 -7,34 53,854,68 12,32 557,90 6,35 40,274,65 12,30 552,53 0,97 0,944,67 12,22 547,71 -3,85 14,804,69 12,21 549,15 -2,40 5,774,64 12,35 555,83 4,27 18,274,66 12,31 554,62 3,06 9,374,67 12,29 554,00 2,45 5,98

Sum 4964,00 Sum 161,59Mean 551,56 STD 4,49

Error 1,50


Grundläggande felanalys

Följande begrepp skall nu vara bekanta: Medelvärde Standardavvikelse Medelvärdets standardavvikelse Relativa fel Avvikelse (för ett mätvärde) Relativ avvikelse (för ett mätvärde) Diskrepans (avvikelsen mellan två värden av samma

storhet) Felpropagering (leder ofta till en relation mellan relativa fel) Viktat medelvärde Felet i det viktade medelvärdet


Funktionsanpassning

s s0 v0t 1

2gt2Många gånger finns det ett funktions-

samband mellan två mätta variabler.Ett exempel är sambandet mellan fall-höjden och falltiden för fallandekroppar i gravitationsfältet.

Falltid (t)

Fallsträcka (S)

Sannolikheten för just dessa mätdatakan (analogt med det tidigare)allmänt skrivas som:

22

112

1

2

221

22 11

2

))((

2

1)...(

eexfy

eyyyPNy

N

i i

N

i i

N

iii

i

N

Om alla i = y = konstant


Anpassning av rät linje

Vår funktion i detta fall är:

Sannolikheten för enmätserie då alla mätningarhar samma fel:

Vi maximerar sannolikheten genom att sätta derivatorna = 0:

iii bxaxfy )(

2

2

2

)(exp

1

y

iiNy

bxayP

iiy

ii xbyN

abxay

a

P 102

2

2

2

102 iii

iy

iii xbyx

xa

bxayx

b

P


Linjär anpassning (forts)

Det bästa estimaten av parametrarna a och b ges av (minstakvadratmetoden):

yxxyN

b

xyxyx

a2

22där xxN

Felen i de enskilda mätningarna:

Felen i parametrarna:

N

iiiy bxay

N1

2)(2

1

Nx

ybya 2


Viktad linjär anpassning även kallad viktad minsta kvadratmetoden

a wx 2 wy wx wxy

a

wx2

b w wxy wx wy

b

w

där w wx2 wx 22

1w

ii

Weigthed Least-Square Fits (olika y)


Exempel - Resistansmätning

Spänning Osäkerhet Ström Osäkerhet ResistansU (V) dU (V) I (A) dI (A) R=U/I dR0,0911 0,0003 0,0002 0,000002 455,5 4,800,1846 0,0004 0,0004 0,000004 461,5 4,720,4600 0,0015 0,0010 0,000006 460,0 3,140,5580 0,0015 0,0012 0,000005 465,0 2,240,3744 0,0006 0,0008 0,000006 468,0 3,821,5780 0,0020 0,0034 0,000010 464,1 1,511,8630 0,0020 0,0040 0,000012 465,8 1,482,1380 0,0021 0,0046 0,000014 464,8 1,470,1873 0,0004 0,0004 0,000004 468,3 4,330,2777 0,0048 0,0006 0,000004 462,8 8,470,3710 0,0006 0,0008 0,000004 463,8 2,440,3710 0,0006 0,0008 0,000004 463,8 2,440,4690 0,0014 0,0010 0,000005 469,0 2,730,5550 0,0016 0,0012 0,000005 462,5 2,281,5900 0,0110 0,0034 0,000010 467,6 3,531,7620 0,0028 0,0038 0,000011 463,7 1,571,9560 0,0030 0,0042 0,000013 465,7 1,570,2788 0,0005 0,0006 0,000005 464,7 4,26

Resistansmätning

0,0000

0,5000

1,0000

1,5000

2,0000

2,5000

0,0000 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 0,0050

Ström (A)

Spän

ning

(V)

Data

Resistansen R definieras genomdet linjära sambandet U=RI mellan spänningen U och strömmen I.


Resistansmätning - analys

Vi kan beräkna resistansen på flera olika sätt.a) Vi beräknar ett medelvärde av R och tar variansen som ett mått på felet. Vi får: 464,25+-0,76b) Vi beräknar ett viktat medelvärde av alla beräknade resistansen. Detta ger: 464,63+-0,54c) Vi kan beräkna en trendlinje (utan fel) ala excel och får R = 465,42d) Vi gör en viktad minsta kvadratanpassning till data med felen i U (obs att felen i I inte kommer med här). Vi får: 465,44+-0,26e) Vi tar även hänsyn till felen i I och beräknar ekvivalenta fel (se nedan). Detta ger: 465,34+-0,72


Vi har fuskat lite! Närvi beräknade medelvärdet av Ranvände vi:

medan metoden med anpassningtill en rät linje bara tog hänsyn tillosäkerheten i U vilket rimligen geren underskattning av osäkerheten.

Ekvivalenta fel!

R

R

U

U

2

I

I

2


Ekvivalenta fel (forts.)

Osäkerheten x svarar mot en ”ekvivalent” osäkerhet i y som ges av yekv b• x

x

b• x Detta förutsätter kunskap om b, så vi får först göra en preliminär anpassning som ger oss ett preliminärt värde på b. Detta sätter vi sedan in för att beräkna yekv

2222

)(

1ger vilket)(sätter Vi

xyixytotalty b

wb


Bestämning av g mha pendel

Mätdata (enkel pendel):Pendelvikt 22+-0.5 gram, L = 78.5+-0.2 cm, 20 pendlingar, tid i s.

Vinkel Mätn. 1 Mätn. 2 Mätn. 3 Mätn. 4 Mätn. 510 35,50 35,60 35,50 35,50 35,7015 35,40 35,50 36,00 35,70 35,3020 35,70 35,60 35,50 35,50 35,60

Låt oss se på data tagna av Jari och Stefan (2003):

Hur skall vi analysera dessa data på bästa sätt?


Bestämning av g - Metod A

22 /4 genom beräknaserationen Tyngdaccel TLg Felet i g inkluderar endast spridningen i tiden (L=fixed) Medelv. Mvf

Vinkel Mätn. 1 Mätn. 2 Mätn. 3 Mätn. 4 Mätn. 5 g dg10 9,84 9,78 9,84 9,84 9,73 9,803 0,02215 9,89 9,84 9,56 9,73 9,95 9,794 0,06820 9,73 9,78 9,84 9,84 9,78 9,792 0,021

För varje vinkelutslag har medelvärdet av g och medelvärdesfelet av gräknats ut. Vi noterar att g ökar med minskat g och tar detta som

utgångspunkt för en linjär anpassning av g som funktion avutslagsvinkeln (formeln gäller idealt endast för vinkeln 0).


Bestämning av g - Metod A

Resultatet av en viktad minstakvadratanpassningg = 9,814 ± 0,063 m/s2

Men …vi har inte tagit hänsyntill osäkerheten i L ännu!

Relativa felet i L är 2/785vilket skulle kunna skjutakurvan uppåt eller nedåtmed beloppet 0,025 m/s2.

Vi anger således detslutliga värdet som:

g = 9,814 ± 0,063 (stat.) ± 0,025 (syst.) m/s2

ellerg = 9,814 ± 0,068 m/s2


Bestämning av g - Metod B

Mätn. 1 Mätn. 2 Mätn. 3 Mätn. 4 Mätn. 59,84 9,78 9,84 9,84 9,739,89 9,84 9,56 9,73 9,959,73 9,78 9,84 9,84 9,78

Låt oss betrakta de 15 g-värdena igen …

... och beräkna med hjälp av felfortplantningsformeln felen i varje värdeMen! Nu uppstår ett nytt problem - vad skall vi välja som fel i tiderna?Låt oss välja den uträknade standardavvikelsen (0,00812 s). Felen i g:

Mätn. 1 Mätn. 2 Mätn. 3 Mätn. 4 Mätn. 50,0934 0,0927 0,0934 0,0934 0,09190,0942 0,0934 0,0897 0,0919 0,09500,0919 0,0927 0,0934 0,0934 0,0927


Bestämning av g - Metod B

2

1

iiw

ii

jjj

w

gw

g

i

gw

1

Vi skall nu använda formlerna för viktat medelvärde:

där

Insättning av siffrorna från de två föregående tabellerna ger oss

g = 9,796 ± 0,024 m/s²

Obs! Denna metod förutsätter att felet i L är statistisktvilket naturligtvis inte är fallet här.

Felet i g är alltså här underskattat!

Lägger vi till felet från L får vi totalt 0,035 m/s²


Bestämning av g - Metod C

Här beräknar vi helt enkelt medelvärdet av g i föregående tabellmed standardavvikelsen och medelvärdesfelet:

g = 9,798 ± 0,023 m/s²

Liksom i metod A adderar vi nu kvadratiskt det systematiskafelet från osäkerheten i L och får

g = 9,798 ± 0,034 m/s²

Samanfattning:Metod A: g = 9,814 ± 0,068 m/s2

Metod B: g = 9,796 ± 0,035 m/s²Metod C: g = 9,798 ± 0,034 m/s²


Bestämning av g - Mer data

Metod A är tveksam då mycket lite tyder på att data kan extrapolerasmed någon vidare säkerhet med så stora fel på de individuella mät-ningarna. Jari och Stefans data innefattar en andra omgång med datasom är erhållna med L = 80,2 ± 0,2 m. Nedan visar vi alla g-värden.

g = 9,781 ± 0,019 m/s²

Och om vi inkl.syst. fel i L:

g = 9,781 ± 0,031 m/s²ett resultat som ligger

nära Metod C.


Viktad anpassning - EXCEL

data x g dg w wx wxx wy wxy1 0,174 9,803 0,022 2066 359 62 20254 35172 0,259 9,794 0,068 216 56 14 2118 5483 0,342 9,792 0,021 2268 776 265 22204 7594

Summa 0,774 29,389 0,111 4550 1190 342 44576 11660

D= 139454A= 9,81 sA= 0,05B= -0,07 sB= 0,18

Med denna uppställning kan man även räkna för hand om antaletpunkter inte är för stort.

ett godkänt mätvärde!?

Documents