etude fonctions

7/24/2019 Etude Fonctions

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tudes de fonctions

tudes de fonctions

Paris Descartes 2012 2013 Mathmatiques et calcul 1
http://find/http://goback/


2/57

tudes de fonctions

1 tudes de fonctionsf

(x

) = (x

2 1

)ln1+x

1x

f(x) = exp(tanx).cosx



3/57

tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln

1+x1x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

1. Domaine de dfinition et domaine dtude :

1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0


1+
http://find/


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1+x1x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x


1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0 (1 +x)(1x) >0


1+x
http://find/


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1+x1x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x


1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0 (1 +x)(1x) >0 x] 1 ,1[


d d f i f l

1+x
http://find/


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1+x1x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x



1.2 f(x) = (x2 1) ln

1x1+x

= f(x)


t d d f ti f( ) ( 1) l

1+x
http://find/


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1+x1x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x



1.2 f(x) = (x2 1) ln

1x1+x

= f(x)

La fonction est impaire, ltude sur [0 ,1[suffit.


tudes de fonctions f(x) (x 1) ln

1+x
http://find/


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1+x1x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x



1.2 f(x) = (x2 1) ln

1x1+x

= f(x)


1.3 limites aux bornes, calcul de : limx1

f(x)



1+x
http://find/


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1+x1x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x



1.2 f(x) = (x2 1) ln

1x1+x

= f(x)



f(x)

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)



1+x
http://find/


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1+1x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x



1.2 f(x) = (x2 1) ln

1x1+x

= f(x)



f(x)

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)

limu0

u ln(u) = 0 limx1

(x 1) ln(1x)= 0



1+x1
http://find/


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1x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x



1.2 f(x) = (x2 1) ln

1x1+x

= f(x)



f(x)

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)

limu0

u ln(u) = 0 limx1

(x 1) ln(1x)= 0 lim

x1f(x) = 0



1+x1
http://find/


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1x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x



1.2 f(x) = (x2 1) ln

1x1+x

= f(x)



f(x)

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)

limu0

u ln(u) = 0 limx1

(x 1) ln(1x)= 0 lim

x1f(x) = 0

On tudiera f sur [0 ,1]en posant f(1) = 0 et on complterapar symtrie par rapport (0 ,0)(fonction impaire).



1+x1 x
http://find/


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( ) ( )

1x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

2. La drive :



1+x1x


14/57

( ) ( )

1x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)

2. La drive :

f(x) = 2xln(1 +x) +

x2 1

1 +x

2xln(1x) +x

2 1

1x(1)



1+x1x
http://find/


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1 x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)

2. La drive :

f(x) = 2xln(1 +x) +

x2 1

1 +x

2xln(1x) +x

2 1

1x(1)

= 2xln1 +x

1x

2



1+x1x
http://find/


16/57

1 x

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)

2. La drive :

f(x) = 2xln(1 +x) +

x2 1

1 +x

2xln(1x) +x

2 1

1x(1)

= 2xln1 +x

1x

2

= 2x

ln1 +x

1x

1

x



1+x1x
http://find/


17/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)

2. La drive :

f(x) = 2xln(1 +x) +

x2 1

1 +x

2xln(1x) +x

2 1

1x(1)

= 2xln1 +x

1x

2

= 2x

ln1 +x

1x

1

x

Sur ]0 ,1[, f(x)est donc du signe de g(x) = ln

1+x1x

1x



1+x1x
http://find/


18/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

tude du signe de :

g(x) = ln1 +x

1x

1

x



1+x1x
http://find/


19/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

tude du signe de :

g(x) = ln1 +x

1x

1

x= ln(1 +x) ln(1x)

1

x



1+x1x
http://find/


20/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

tude du signe de :

g(x) = ln1 +x

1x

1

x= ln(1 +x) ln(1x)

1

x

g(x) =

1

1 +x+

1

1x+

1

x2

=1 +x

2

x2

(1x2

)



1+x1x
http://find/


21/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

tude du signe de :

g(x) = ln1 +x

1x

1

x= ln(1 +x) ln(1x)

1

x

g(x) =

1

1 +x+

1

1x+

1

x2

=1 +x

2

x2

(1x2

)

gest donc strictement croissante sur ]0 ,1[.



1+x1x
http://find/


22/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

tude du signe de :

g(x) = ln1 +x

1x

1

x= ln(1 +x) ln(1x)

1

x

g(x) =

1

1 +x+

1

1x+

1

x2

=1 +x

2

x2

(1x2

)


limx0

+g(x) = et lim

x1g(x) = +



1+x1x
http://find/


23/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

tude du signe de :

g(x) = ln1 +x

1x

1

x= ln(1 +x) ln(1x)

1

x

g(x) =

1

1 +x+

1

1x+

1

x2

=1 +x

2

x2

(1x2

)


limx0

+g(x) = et lim

x1g(x) = + x0 ]0 ,1[ : g(x0) = 0



1+x1x

2 1
http://find/


24/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)

2. La drivef(x) = 2x

ln1 +x

1x

1

x

= 2xg(x)



1+x1x

2

1
http://find/


25/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)


ln1 +x

1x

1

x

= 2xg(x)

sannule donc une seule fois en x0 ]0 ,1[



1+x1x

2

1+
http://find/


26/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)


ln1 +x

1x

1

x

= 2xg(x)


si 0


27/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)


ln1 +x

1x

1

x

= 2xg(x)


si 0


28/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)


ln1 +x

1x

1

x

= 2xg(x)


si 0


29/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

3. Tableau des variations.

x 0 x0 1f(x)2 0 + +

f(x) 0 f(x0)

0



1+x1x

f ( ) (2 1) l

1+x
http://find/


30/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

y

x0 1x0

f(x0)



1+x1x

f ( ) (2 1) l

1+x
http://find/


31/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

y

x0 1x0

f(x0)



1+x1x

f ( ) (2 1) l

1+x
http://find/


32/57

f(x) = (x2 1) ln

1+x1x

y

x0 1

1

x0

f(x0)

x0

f(x0)


tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx

f ( ) exp(tan ) cos
http://find/


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f(x) = exp(tanx).cosx1. Domaine de dfinition et domaine dtude :

1.1 la fonction tangente nest dfinie que pour x= 2 + k, k R ; donc

fest dfinie pourx= 2 + k, k R.



f (x) exp(tanx) cosx
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34/57




1.2 f(x+ 2) = exp

tan(x+ 2).cos(x+ 2) = f(x)puisque la

tangente est -priodique et le cosinus 2-priodique.



http://find/


35/57




1.2 f(x+ 2) = exp



On fera ltude sur : ] 2 ,3

2 [





36/57




1.2 f(x+ 2) = exp




2 [

De plus : f(x+ ) = f(x): on fera ltude sur ] 2 , 2 [et oncompltera par une symtrie par rapport au point : (2 ,0)



f (x) = exp(tanx) cosx
http://find/


37/57




1.2 f(x+ 2) = exp




2 [


1.3 limites aux bornes :





38/57




1.2 f(x+ 2) = exp




2 [


1.3 limites aux bornes : lim

x

2+

tanx= limx

2+f(x) = 0



http://find/


39/57




1.2 f(x+ 2) = exp




2 [



x

2+

tanx= limx

2+f(x) = 0

limx

2 tanx= + lim

x

2 f(x) = +





40/57




1.2 f(x+ 2) = exp




2 [



x

2+

tanx= limx

2+f(x) = 0

limx

2 tanx= + lim

x

2 f(x) = +

On prolongera fpar continuit en 2 en posant : f(

2 ) = 0.



http://find/


41/57


2. La drive :



f (x) = exp(tanx).cosx
http://find/


42/57

f(x) exp(tanx).cosx

2. La drive :

f(x) =

exp(tanx)

cos2x

cosx+ exp(tanx).( sinx)



http://find/


43/57

f(x) exp(tanx).cosx

2. La drive :

f(x) =

exp(tanx)

cos2x


= exp(tanx)

1 cosx.

sinxcosx



http://find/


44/57

f(x) exp(tanx).cosx

2. La drive :

f(x) =

exp(tanx)

cos2x


= exp(tanx)

1 cosx.

sinxcosx

= exp(tanx)2 sin2x

2cosx



http://find/


45/57

( ) p( )

2. La drive :

f(x) =

exp(tanx)

cos2x


= exp(tanx)

1 cosx.

sinxcosx

= exp(tanx)2 sin2x

2cosx

f(x)est donc du signe de cosx



http://find/


46/57

( ) p( )

2. La drive :

f(x) =

exp(tanx)

cos2x


= exp(tanx)

1

cosx.

sinxcosx

= exp(tanx)2 sin2x

2cosx

f(x)est donc du signe de cosx: sur ] 2 , 2 [, f

(x) >0 ;



http://find/


47/57

( ) p( )

2. La drive :

f(x) =

exp(tanx)

cos2x


= exp(tanx)

1

cosx.

sinxcosx

= exp(tanx)2 sin2x

2cosx

f(x)est donc du signe de cosx: sur ] 2 , 2 [, f(x) >0 ;

fest donc strictement croissante.



http://find/


48/57

( ) p( )

2. La drive



http://find/


49/57

( ) ( )

2. La drive On a prolong par continuit fen 2; tude de la

drivabilit en 2 :



http://find/


50/57


drivabilit en 2 :

f

(

2 ) = limx 2+

f(x) f(

2 )

x (2 ) = limx

2+ exp(tanx)

cosx

x+ 2



http://find/


51/57


drivabilit en 2 :

f

(

2 ) = limx 2+

f(x) f(

2 )

x (2 ) = limx

2+ exp(tanx)

cosx

x+ 2

limx

2+

exp(tanx) = 0 limx

2+

cosx

x+ 2= sin

2

= 1


tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).

cosx

http://find/


52/57


drivabilit en 2 :

f

(

2 ) = limx 2+

f(x) f(

2 )

x (2 ) = limx

2+ exp(tanx)

cosx

x+ 2

limx

2+

exp(tanx) = 0 limx

2+

cosx

x+ 2= sin

2

= 1

La tangente en (2 ,0)est donc horizontale.



cosx

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3. Tableau des variations.

x

2

2

f(x) 0 +

f(x) 0 +



cosx

http://find/


54/57

y

x

1

2

2


tudes de fonctions f

(x

) = exp(tanx

).

cosx

http://find/


55/57

y

x

1

2

2


tudes de fonctions f(x

) =exp

(tanx

).cosx

http://find/


56/57

y

x

1

2

2

3

2


tudes de fonctions f(x

) =exp

(tanx

).cosx

http://find/


57/57

y

x

1

2

2

3

2

5

2

5

2

3

2

7

2

http://find/

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