PROPOSICION X. TEOREMA.Si dos rectas, que se tocan, son paralelas a otras dos, que se tocan no estando en el mismo plano; contendrn ngulos iguales.

DEMOSTRACIN:Sean las dos rectas, que se tocan, AB, BC paralelas a las dos rectas, que se tocan DE, EF, no estando en un mismo plano. Digo, que el ngulo ABC ser igual al DEF.Tmense BA, BC, ED, EF iguales entre s, y trense AD, CF, BE, AC,DF: siendo, pues, BA igual, y paralelas a ED, tambin AD ser igual, y paralela a BE: por la misma razn CF ser igual, paralelas a BE: luego las dos AD, CF sern iguales, y paralelas a BE: es as que las rectas paralelas a otra, aun no estando todas en un mismo plano, son paralelas entre s: luego AD ser paralela a CF: pero es igual a ella; y AC, DF las juntan: luego AC ser igual, y paralela a DF. Siendo, pues, las dos rectas AB, BC iguales a las dos DE, EF, y la base AC a la DF, ser el ngulo ABC igual al DEF.

PROPOSICIN XXIV. TEOREMA. Si un slido est contenido por seis planos paralelos; sus planos opuestos sern paralelogramos semejantes iguales.

DEMOSTRACIN:

Supngase el slido CDGH contenido por los planos paralelos AC, FG, BG, CE; FB, AE. Digo, que sus planos opuestos sern paralelogramos semejantes, e iguales.Porque cortando el plano AC a los dos planos paralelos BG, CE, sus comunes secciones sern paralelas a: luego AB ser paralela a CD: adems cortando el mismo plano AC a los dos planos BF, AE, resultarn sus comunes secciones paralelas.

Luego AD ser paralela a BC: pero ya se demostr ser AB paralela a CD: luego AC ser un paralelogramo: semejantemente se demuestra, que cada una de las figuras CE, FG, GB, BF, AE es un paralelogramo .Trense AH, DF: por ser AB paralela a DC, y BH a CF, resultarn las dos rectas AB, BH, que se tocan, paralelas, y en diferentes planos de las dos DC, CF, que se tocan; consiguientemente contendrn ngulos iguales: luego el ngulo ABH ser igual al DCF: y siendo las dos AB, BH iguales a las dos DC, CF, y el ngulo ABH igual al DCF, ser la base HA igual a la DF, y el tringulo ABH igual al DCF: es as que le paralelogramo BG es duplo del tringulo ABH, y el paralelogramo CE duplo del tringulo DCF: luego el paralelogramo BG ser igual, y semejante al paralelogramo CE: semejantemente se demuestra ser el paralelogramo AC igual, y semejante al GF; el AE al AF. PROPOSICIN XI. PROBLEMA.De un punto dado elevado bajar una recta perpendicular al plano.

DEMOSTRACIN:Sea A el punto dado elevado, y BH el plano, y hyase de bajar de A a BH una recta perpendicular. Trese en el plano cualquiera recta BC, y del punto A a la lnea BC bjese la perpendicular AD. Si esta es perpendicular al plano, se tendr lo que se peda; pero si no lo fuese, trese del punto D, la DE perpendicular a BC, y del punto A bjese AF perpendicular a DE, y lo ser al plano. Por F trese GH paralela a BC: siendo BC perpendicular a las dos ED, DA, lo ser tambin al plano que pasa por ellas: es as que GH es paralela a BC; y si de dos rectas paralelas la una es perpendicular a un plano, que pasa por ED, DA; y consiguientemente a todas las rectas, que la tocan, y estn en el mismo: pero la toca la recta AF, que est en el mismo plano, que pasa por ED, DA: luego GH ser perpendicular a AF, y por tanto AF perpendicular a GH: pero AF es perpendicular a DE luego AF ser perpendicular a las dos GH, DE: es as que si una recta es perpendicular en la seccin comn a otra dos, que se dividen mutuamente, lo es tambin al plano tirado por ellas luego AF ser perpendicular al plano tirado por ED, GH: es as que este es el plano dado: luego AF ser perpendicular al plano dado.PROPOSICIN XVIII. TEOREMA.Si una recta es perpendicular a un plano; todos los planos, que pasen por ella, sern perpendiculares al mismo plano.

DEMOSTRACIN:Sea la recta AB perpendiculares al mismo plano todos los planos, que pasen por AB.Pase por AB el plano DE, y sea CE la comn seccin de dichos planos, y tmese en CE cualquier punto F, en el cual trese en el plano DE la FG perpendicular a CE: siendo, pues, AB perpendicular al plano CK, lo ser tambin a todas las rectas, que la tocan, y estn en el mismo plano, por consiguiente a CE: luego el ngulo ABF ser recto: pero tambin lo es GFB: luego AB ser paralela a FG: pero AB es perpendicular al plano CK: luego FG ser perpendicular al mismo: es as que un plano es perpendicular a otro, cuando las rectas tiradas en uno de ellos perpendiculares a la seccin comn son perpendiculares al otro plano: y ya se demostr, que FG tirada en el plano DE perpendicular a la seccin comn CE es perpendicular al plano CK: luego al mismo ser perpendicular el plano DE: del mismo modo se puede demostrar, que todos los planos que pasan por AB, son perpendiculares al plano CK.PROPOSICIN III. TEOREMA.Si dos planos se cortan mutuamente; su seccin comn ser una lnea recta.

DEMOSTRACIN:Crtense mutuamente los dos planos AB, BC, y sea DB su comn seccin. Digo, que la lnea DB ser recta. Porque si no lo fuese, trese del punto D al B en el plano AB la recta DEB; y en el plano EC la recta DFB: luego estas encerraran espacio, lo cual es absurdo: luego la comn seccin BD de los planos AB, BC no puede dejar de ser una recta.