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Euler e as Origens da Teoria dos Grafos
Yoshiko Wakabayashi
Universidade de São Paulo - USP
Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Ciência da Computação
5 de dezembro de 2007
Euler 2007 – p. 1
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Leonhard Euler
(1707 – 1783)
Euler 2007 – p. 2
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Leonhard Euler
Euler 2007 – p. 3
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Leonhard Euler
Euler 2007 – p. 4
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Conteúdo
O problema das 7 pontes de Königsberg
Euler 2007 – p. 5
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Conteúdo
O problema das 7 pontes de Königsberg
Solução apresentada por Euler
Euler 2007 – p. 5
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Conteúdo
O problema das 7 pontes de Königsberg
Solução apresentada por Euler
Um algoritmo
Euler 2007 – p. 5
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Conteúdo
O problema das 7 pontes de Königsberg
Solução apresentada por Euler
Um algoritmo
Outro problema correlato
Euler 2007 – p. 5
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Conteúdo
O problema das 7 pontes de Königsberg
Solução apresentada por Euler
Um algoritmo
Outro problema correlato
Complexidade computacional: a questão P × NP
Euler 2007 – p. 5
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As 7 Pontes de Königsberg em 1736
Green, Merchant, Blacksmith, High, Wooden, Connecting, Honey
Euler 2007 – p. 6
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Problema das 7 Pontes de Königsberg
É possível encontrar uma trilha (passeio) que passa em cada umadas 7 pontes de Königsberg exatamente uma vez ?
rio Pregel (atualmente, Pregolya)
Euler 2007 – p. 7
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O artigo de Euler
1736 - Euler apresentou um artigo à Academia deCiências de St. Petersburgo (hoje, Leningrado), ondetrabalhava desde 1727.
Euler 2007 – p. 8
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O artigo de Euler
1736 - Euler apresentou um artigo à Academia deCiências de St. Petersburgo (hoje, Leningrado), ondetrabalhava desde 1727.
L. Euler, Solutio problematis ad geometriam situspertinentis, Comment. Acad. Sci. Imp. Petropol. 8(1736), 128–140.
Euler 2007 – p. 8
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O artigo de Euler
1736 - Euler apresentou um artigo à Academia deCiências de St. Petersburgo (hoje, Leningrado), ondetrabalhava desde 1727.
L. Euler, Solutio problematis ad geometriam situspertinentis, Comment. Acad. Sci. Imp. Petropol. 8(1736), 128–140.
(Só publicado em 1741)
Euler 2007 – p. 8
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O artigo original
Euler 2007 – p. 9
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Carta de Ehler a Euler
Euler 2007 – p. 10
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Carta de Ehler a Euler
Euler 2007 – p. 11
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Carta de Euler a Ehler
Euler 2007 – p. 12
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Desenho no artigo de Euler
Euler 2007 – p. 13
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Solução proposta por Euler
É possível encontrar uma trilha que passa em cada uma das 7pontes de Königsberg exatamente uma vez ?
Regiões de terra: A, B, C, D
Solução: seqüência de letras A,B,C,D de comprimento 8 t.q.
Euler 2007 – p. 14
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Solução proposta por Euler
É possível encontrar uma trilha que passa em cada uma das 7pontes de Königsberg exatamente uma vez ?
Regiões de terra: A, B, C, D
Solução: seqüência de letras A,B,C,D de comprimento 8 t.q.
– os pares A,B e A,C sejam adjacentes 2 vezes
– os pares A,D e B,D e C,D sejam adjacentes 1 vez
Euler 2007 – p. 14
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Solução proposta por Euler
Contagem:
Euler 2007 – p. 15
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Solução proposta por Euler
Contagem:A é atingível por 5 pontes =⇒ A deve ocorrer 3 vezes
Euler 2007 – p. 15
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Solução proposta por Euler
Contagem:A é atingível por 5 pontes =⇒ A deve ocorrer 3 vezesB é atingível por 3 pontes =⇒ B deve ocorrer 2 vezes
Euler 2007 – p. 15
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Solução proposta por Euler
Contagem:A é atingível por 5 pontes =⇒ A deve ocorrer 3 vezesB é atingível por 3 pontes =⇒ B deve ocorrer 2 vezesC é atingível por 3 pontes =⇒ C deve ocorrer 2 vezesD é atingível por 3 pontes =⇒ D deve ocorrer 2 vezes
Euler 2007 – p. 15
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Solução proposta por Euler
Contagem:A é atingível por 5 pontes =⇒ A deve ocorrer 3 vezesB é atingível por 3 pontes =⇒ B deve ocorrer 2 vezesC é atingível por 3 pontes =⇒ C deve ocorrer 2 vezesD é atingível por 3 pontes =⇒ D deve ocorrer 2 vezes
A seqüência procurada deve ter 9 letras
Euler 2007 – p. 15
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Solução proposta por Euler
Contagem:A é atingível por 5 pontes =⇒ A deve ocorrer 3 vezesB é atingível por 3 pontes =⇒ B deve ocorrer 2 vezesC é atingível por 3 pontes =⇒ C deve ocorrer 2 vezesD é atingível por 3 pontes =⇒ D deve ocorrer 2 vezes
A seqüência procurada deve ter 9 letrasMas, para atravessar 7 pontes precisamos 8 letras !
Euler 2007 – p. 15
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Solução proposta por Euler
Contagem:A é atingível por 5 pontes =⇒ A deve ocorrer 3 vezesB é atingível por 3 pontes =⇒ B deve ocorrer 2 vezesC é atingível por 3 pontes =⇒ C deve ocorrer 2 vezesD é atingível por 3 pontes =⇒ D deve ocorrer 2 vezes
A seqüência procurada deve ter 9 letrasMas, para atravessar 7 pontes precisamos 8 letras !
Conclusão: Não existe a trilha desejada!
Euler 2007 – p. 15
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Solução proposta por Euler
r: região de terrap(r) = # pontes que ligam r (às demais regiões)
Euler 2007 – p. 16
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Solução proposta por Euler
r: região de terrap(r) = # pontes que ligam r (às demais regiões)
r é par se p(r) é parr é impar se p(r) é impar
Euler 2007 – p. 16
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Solução proposta por Euler
r: região de terrap(r) = # pontes que ligam r (às demais regiões)
r é par se p(r) é parr é impar se p(r) é impar
Rp = cjto das regiões paresRi = cjto das regiões ímpares
No caso das 7 pontes: |Ri| = 4 e Rp = ∅
Euler 2007 – p. 16
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Solução proposta por Euler
r: região de terrap(r) = # pontes que ligam r (às demais regiões)
r é par se p(r) é parr é impar se p(r) é impar
Rp = cjto das regiões paresRi = cjto das regiões ímpares
No caso das 7 pontes: |Ri| = 4 e Rp = ∅
∑
r∈Ri
#ocorr(r) =∑
r∈Ri
p(r) + 1
2=
∑
r∈Ri
p(r)
2+
1
2|Ri|
= #total de pontes +1
2|Ri| = 9
Euler 2007 – p. 16
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Solução proposta por Euler
Caso mais geral:
∑
r∈Rp
#ocorr(r)+∑
r∈Ri
#ocorr(r) =∗
∑
r∈Rp
p(r)
2+
∑
r∈Ri
p(r) + 1
2
=∑
r∈Rp∪Ri
p(r)
2+
1
2|Ri|
= #total de pontes +1
2|Ri|
Euler 2007 – p. 17
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Solução proposta por Euler
Caso mais geral:
∑
r∈Rp
#ocorr(r)+∑
r∈Ri
#ocorr(r) =∗
∑
r∈Rp
p(r)
2+
∑
r∈Ri
p(r) + 1
2
=∑
r∈Rp∪Ri
p(r)
2+
1
2|Ri|
= #total de pontes +1
2|Ri|
• |Ri| = 2 =⇒ existe a trilha desejada• |Ri| = 0 =⇒ existe a trilha desejada• |Ri| > 2 =⇒ não existe a trilha desejada
Euler 2007 – p. 17
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Solução proposta por Euler
Parágrafo 21(do artigo):Após concluir que existe uma tal trilha, como encontrá-la?
REGRA:
À medida que as pontes forem percorridas, considere-as
mentally removed, thereby considerably reducing thenumber of bridges; it is then an easy task to construct therequired route across the remaining bridges; ...
I do not therefore think it worthwhile to give any furtherdetails concerning the finding of the routes.”
Euler 2007 – p. 18
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Grafos
Euler 2007 – p. 19
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Grafos
Grafo G = (V ,A)V = cjto de vértices = {A,B,C,D}A = cjto de arestas = {a, b, c, d, e, f, g}
Euler 2007 – p. 20
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Grafos
Uma instância com 15 pontes e regiões pares
Euler 2007 – p. 21
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Solução para a instância com 15 pontes
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Conceitos e resultados na linguagem de grafos
Trilha como desejada —> Trilha eulerianaTrilha fechada: quando o seu início e o término coincidemGrafo euleriano: grafo que tem trilha euleriana fechada
Teorema 1.G grafo conexoG tem uma trilha euleriana ⇐⇒ G se tem no máximo 2vértices de grau ímpar.
Euler 2007 – p. 23
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Conceitos e resultados na linguagem de grafos
Trilha como desejada —> Trilha eulerianaTrilha fechada: quando o seu início e o término coincidemGrafo euleriano: grafo que tem trilha euleriana fechada
Teorema 1.G grafo conexoG tem uma trilha euleriana ⇐⇒ G se tem no máximo 2vértices de grau ímpar.
Teorema 2.É fácil decidir se um grafo tem uma trilha euleriana.É fácil encontrar uma tal trilha quando ela existe.
Euler 2007 – p. 23
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Resultados na linguagem de grafos
ALGORITMO
Entrada: Grafo G com no máximo 2 vértices de grau ímpar.
(P1) Seja vo um vértice de grau ímpar (se existir); senão,seja vo um vértice qualquer.Faça To := (vo).
(P2) Tendo escolhido a trilha Tk = (vo, a1, v1, . . . , ak, vk),faça Gk := G − {a1, a2, . . . , ak}.Escolha em Gk uma aresta ak+1 incidente a vk,dando preferência a uma que não seja istmo.Seja ak+1 = {vk, vk+1} e Tk+1 := Tk(vk, ak+1, vk+1).Repita o passo P2 enquanto isto for possível.
(P3) Devolva a trilha construída.
Euler 2007 – p. 24
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Referências ao artigo de Euler
1751 Jean d’ Alembert
1804 Simon-Antoine-Jean Lhuilier
1810 Louis Poinsot [grafo completo com 7 vértices]
1851 É. Coupy [tradução francesa do artigo de Euler]
1949 O. Terquem [anel de dominós]
1884 Édouard Lucas – “Recréations Mathématiques”(outra tradução francesa e ...)
1901 W. Ahrens “Math. Unterhaltungen und Spiele”
1894 W. W. Rouse Ball – “Mathematical Recreationsand Problems”O diagrama de um grafo apareceu pela 1a. vez.
Euler 2007 – p. 25
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Prova da necessidade e suficiência da condição
1871 Carl Hierholzer (Privatdozent Univ. Karlsruhe)
“ Em qualquer sistema de ’branches and nodes’ (isto é, umgrafo), a presença de exatamente zero ou dois nós ímparesé condição necessária e suficiente para que um tal sistemapossa ser percorrido por um ’path’,...”
[Hierholzer morreu repentinamente aos 30 anos – o artigo foi
escrito por Christian Wiener com a ajuda do geômetra J. Löroth.]
Euler 2007 – p. 26
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Outras referências
1876 L. Saalschütz – nova ponte ligando regiões B e C.Listou todas as 48 possíveis trilhas abertas.
Contribuições de Listing, Cayley, Pólya,Vandermonde,...
1936 Dénes König“Theorie der endlichen und unendlichen Graphen”primeiro livro sobre teoria dos grafos.
Euler 2007 – p. 27
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Um problema correlato
Jogo recreativo criado por William Rowan Hamilton, 1856
Volta ao redor do mundo
Euler 2007 – p. 28
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Um problema correlato
William Rowan Hamilton (1805-1865)
Euler 2007 – p. 29
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Um problema correlato
Dodecaedro – 12 faces pentagonais, 20 vértices
Euler 2007 – p. 30
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Um problema correlato – versão planar
Euler 2007 – p. 31
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Um problema correlato
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Um problema correlato
Objetivo: Encontrar no grafo abaixo um circuito que passaexatamente uma vez em cada um dos vértices.
Uma solução: o circuito azulEm homenagem a Hamilton: circuitos hamiltonianos
Grafo hamiltoniano: se contém um circuito hamiltoniano
Euler 2007 – p. 33
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Problema dos circuitos hamiltonianos
Problema: Decidir se um dado grafo é hamiltoniano.Problema difícil !!!
Fato: Não se conhece uma condição necessária esuficiente para um grafo ser hamiltoniano (que seja fácil deser testada).
Fato: Não existe um certificado curto para provar que umgrafo não é hamiltoniano (que seja fácil de ser testado).
certificado curto para resposta SIM:existe =⇒ pertinência à classe NP
certificado curto para resposta NÃO:não se conhece !
Euler 2007 – p. 34
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Complexidade Computacional: a questão P× NP
Precursoresgrupo de Yablonsky, 1950Gödel, 1956 (carta a von Neumann)
Yablonski Gödel
Euler 2007 – p. 35
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Histórico: P e NP
Noções formais de P e NPCobham, 1964Edmonds, 1965-1969Rabin e Scott, 1965
Euler 2007 – p. 36
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Histórico: P e NP
P = NP? NP-completude
Cook 1971
Levin 1971
Euler 2007 – p. 37
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Histórico: P e NP
P = NP? NP-completude
Cook 1971
Levin 1971
Lista de problemas
Karp 1972 (grafos hamiltonianos, ...)
Garey, Johnson 1979
Euler 2007 – p. 37
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SAT - problema da satisfatibilidade
Dada uma fórmula booleana:
(x1 ∨ x2 ∨ x3) ∧ (x1 ∨ x3) ∧ (x1 ∨ x3 ∨ x4) ∧ (x4 ∨ x2)
Pergunta:
Existe uma atribuição de valores Verdadeiro/Falso àsvariáveis que tornam a fórmula verdadeira?
Euler 2007 – p. 38
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SAT - problema da satisfatibilidade
Dada uma fórmula booleana:
(x1 ∨ x2 ∨ x3) ∧ (x1 ∨ x3) ∧ (x1 ∨ x3 ∨ x4) ∧ (x4 ∨ x2)
Pergunta:
Existe uma atribuição de valores Verdadeiro/Falso àsvariáveis que tornam a fórmula verdadeira?
SAT ∈ NP
Euler 2007 – p. 38
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SAT - problema da satisfatibilidade
Dada uma fórmula booleana:
(x1 ∨ x2 ∨ x3) ∧ (x1 ∨ x3) ∧ (x1 ∨ x3 ∨ x4) ∧ (x4 ∨ x2)
Pergunta:
Existe uma atribuição de valores Verdadeiro/Falso àsvariáveis que tornam a fórmula verdadeira?
SAT ∈ NP
Não se conhece algoritmo eficiente para resolver o SAT
Não se sabe se SAT ∈ P
Euler 2007 – p. 38
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SAT - problema da satisfatibilidade
Dada uma fórmula booleana:
(x1 ∨ x2 ∨ x3) ∧ (x1 ∨ x3) ∧ (x1 ∨ x3 ∨ x4) ∧ (x4 ∨ x2)
Pergunta:
Existe uma atribuição de valores Verdadeiro/Falso àsvariáveis que tornam a fórmula verdadeira?
SAT ∈ NP
Não se conhece algoritmo eficiente para resolver o SAT
Não se sabe se SAT ∈ P
Decidir se um grafo é hamiltonianos é tão difícil quanto o SAT
Euler 2007 – p. 38
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E se Euler tivesse nascido no século XX?
Euler 2007 – p. 39
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E se Euler tivesse nascido no século XX?
[...] mentally removed, thereby considerably reducing thenumber of bridges; it is then an easy task to construct therequired route across the remaining bridges; ...
I do not therefore think it worthwhile to give any furtherdetails concerning the finding of the routes.”
Euler 2007 – p. 39
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Muito obrigada!
Euler 2007 – p. 40