euler y moivre
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Formulas de Euler y de De Moivre
ALUMNO: OSCAR VILLARRUEL PALACIOS Grupo 1ev6 Turno vespertino.
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA. UNIDAD CULHUACAN.
ASIGNATURA: FUNDAMENTOS DE ALGEBRA. PROFESOR: Dr. ALFARO CALDERON PEDRO.
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Objetivo.
Conoceremos las operaciones matemáticas de los números de complejos en la que destaca el
número de Euler la cual es una constante muy utilizada en las matemáticas cuyo valor es 2.71
aproximado a 3 cifras la cual aparece en una relación con los números complejos cuya expresión es
𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
Esta expresión se le conoce como fórmula de Euler en honor al matemático Leonhard Euler quien
la descubrió tentativamente en 1740. Estos temas nos ayudaran a realizar raíces enésimas que
utilizaremos dentro de la carrera.
Justificación
Dentro de las matemáticas aparecen los números complejos los cuales se utilizaran continuamente
en la carrera de ing. En comunicaciones y electrónica especial mente en la materia de fundamentos
de algebra los cuales nos ayudara a resolver problemas trigonométricos, algebraicos, mediciones de
ondas, cables eléctricos etc. En donde la fórmula de Euler y Moivre nos da una solución dentro del
cálculo de series formales de potencia. Donde conoceremos la expresión 𝑒𝑖𝜃 y nos ayudara a
resolver raíces enésimas
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Desarrollo.
En primer punto se considera que la función exponencial f(x)=𝑒𝑥 donde x es un número real, la
propiedad que lo demuestra es una función f(x) tal que
𝑑𝑓
𝑑𝑥= f
f(0)=1
Lo que cualquier constante es
𝑒𝑘𝑥
La función g(x) satisface
𝑑𝑔
𝑑𝑥= 𝑘𝑔
g(0)=1.
Donde se supondrá que 𝑒𝑥 se puede desarrollar en una serie de potencias
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛
A estas series se les llama series formales de potencia, la cual indica que es una relación entre
símbolos y puede ser o no un número real para algunos valores de x
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥= 𝑒𝑥 = 𝑎0 + 2𝑎1𝑥 + 3𝑎3𝑥2 + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1
Si se igualan ambas expresiones y comparando los coeficientes del mismo grado nos da
𝑎0 = 1
𝑎2 = 2𝑎2
𝑎3 = 3𝑎3
.
.
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 𝑎𝑛 = (𝑛 + 1)𝑎2 + 1
En donde si f(x)=1 por lo tanto 𝑎0 = 1 se tendrán los valores de los siguientes términos restantes
definidos.
𝑎0 = 1
𝑎1 = 1
𝑎2 =1
2
𝑎3 =1
1 ∙ 2 ∙ 3
Luego de la serie de potencias
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2!+
𝑥3
3!+∙∙∙∙ +
𝑥𝑛
𝑛!
Haremos un cálculo un cálculo en una primera etapa para descubrir relaciones entre las funciones
de manera heurística como se hacía en el pasado. Las series de potencia de sen𝜃 y cos𝜃 se obtiene
por teorema de Teylor del cálculo diferencial, se podrá calcular estas series trabajando de manera
formal donde las funciones del sen y cos apenas conocemos los valores para 𝜃 = 0
sen(0)=0
cos(0)=1
Y luego las series de potencia serán
sen𝜃 = 𝑎1𝜃 + 𝑎2𝜃2 +∙∙∙∙∙∙∙
cos𝜃 = 1 + 𝑏1𝜃 + 𝑏2𝜃2 +∙∙∙∙∙∙∙
la función seno es impar es decir sen(−𝜃)=-sen 𝜃 y se igualan sus series
𝑎1 = 𝑎1
𝑎2 = −𝑎2
𝑎3 = 𝑎3
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 𝑎4 = −𝑎4
Las aplicaciones en trigonometría.
A partir de la fórmula de Euler podremos definir identidades trigonométricas, se definirán el seno
y el coseno a partir de la función exponencial.
𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + i sen 𝜃
𝑒−𝑖𝜃 = cos(-𝜃) + i sen(-𝜃) = cos 𝜃 - i sen 𝜃
De las cuales derivan las siguientes
cos 𝜃=𝑒𝑖 𝜃 +𝑒−𝑖 𝜃
2
sen 𝜃 =𝑒𝑖 𝜃 +𝑒−𝑖 𝜃
2𝑖
=cos(𝜃 + 𝛼) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 𝛼) = 𝑒𝑖(𝜃+𝛼) = 𝑒𝑖𝜃𝑒𝑖𝛼
= (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼)
= (𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝛼) + 𝑖(𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝛼)
La fórmula de Moivre nombrada así por Abraham de Moivre.
.
La fórmula puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un número Complejo. Supongamos que Z= lZl(cos𝜃+i sen𝜃) , y no es un entero positivo, entonces se obtiene 𝑧𝑛= lZl(cos(n 𝜃) + i sen(n𝜃)) Esta relación, que se conoce con el nombre de Formula de Moivre, nos da un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier numero complejo
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En forma polar.
Z = 2(cos30 + i sen30).
En raíces se expresa
En potencias se expresa
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Conclusiones
Las fórmulas de Euler y Moivre se utilizan para calcular problemas trigonométricos partiendo de la
fórmula de Euler se pueden derivar gran cantidad de identidades trigonométricas en donde
podremos redescubrir muchas demostraciones de manera sencilla en donde los números
complejos son muy potentes para cálculos de ángulos y longitudes de plano .De las cuales se
pueden ocupar en la ley de los senos y cosenos
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Bibliografía.
Números Complejos FRANCISCO RIVERO MENDOZA Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad de los Andes Mérida - Venezuela Marzo de 2001.
Páginas web
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler
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