evaluaciÓn de variables de interÉs para procesos …
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EVALUACIÓN DE VARIABLES DE INTERÉS PARA PROCESOS
SÍSMICOS ESTOCASTICOS Y ESTACIONARIOS
Mauricio Gallego-Silva*
RESUMEN
Desde siempre la condición aleatoria de los procesos sísmicos ha establecido una necesidad del uso de lateoría de procesos aleatorios en el análisis de las variables internas. Es presentado un análisis del uso dela teoría de procesos estocásticos y estacionarios a la ingeniería sísmica; de forma ordenada y con todoslos detalles del caso, se presenta sucintamente la posibilidad de usar en Colombia la teoría de procesosestocásticos estacionarios a la base de datos de sismos colombianos para poder estimar los valoresextremos esperados de sismos registrados en el territorio nacional.
PALABRAS CLAVE
Procesos estocásticos; variables aleatorias, procesos estacionarios, Sismología,
INTRODUCCIÓN
La intensidad total de un movimiento de suelodefinido por la aceleración, de duración Ta enel dominio del tiempo esta dada mediante laintegral de la historia de la aceleración en eltiempo, a(t) al cuadrado de la forma:
lo = f a(t)2 dt
o
el teorema de Parseval establece una analogíaentre el dominio de la frecuencia y el dominiodel tiempo de tal suerte que la intensidad totalpuede ser calculada en el dominio de la fre-cuencia como:
I =
2^ J A( .f )- d.Í
n o
Donde A(f) representa el espectro de la am-plitud de la transformada de Fourier de la his-
toria en el tiempo a(t) que se puede calcular apartir de la teoría de Fourier como:
Amplitud de laTransformada transformadacompleja
a„ + ib„ = ja(t)e'a" dt —, A(f).= Jan + i2b„
Un proceso es estacionario si se define pormedio de un solo espectro de amplitud espec-tral en toda la historia del movimiento. Un pro-ceso es estocástico si presenta una naturalezaaleatoria en el tiempo, de tal suerte que un va-lor en un instante esta incorrelacionado con elinmediatamente anterior o posterior.
Los procesos sísmicos en el dominio del tiem-po han sido tratados como procesos estocásticosy estacionarios ya que pueden cumplir con estepar de condiciones.
La intensidad promedio, m 0 o momento esta-dístico de orden O del espectro de amplitudes
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Ingeniero Consultor; Binaria Ltda.; [email protected], A.A: 7810; Bogotá D.C.
90 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
(7)(3)SZ = Imz
v m0
^m
o =
2ir J A(f) Z df o bien
1cTd o
de Fourier puede ser obtenida dividiendo porla duración del evento de tal suerte que se ex-presa mediante:
La frecuencia central es una medida de la fre-cuencia donde la función de densidad de po-tencia espectral esta concentrada y su formaes:
w„
= J G(w)da)o
ayudados por esta expresión podemos definirla función de densidad espectral, G(w) como:
esta puede ser usada junto con la intensidadpromedio para calcular de forma teórica aproxi-mada la aceleración máxima siguiendo(Vanmarcke, 1979):
(4)
G(w) = ,cT A(f )2
d
(5) Ama. =,I2rrro In 2.8 S^Td
11^^ ( J(8)
La función de densidad espectral es común-mente usada para caracterizar los sismos comoun proceso aleatorio y por si misma define unproceso estacionario, es decir con propiedadesestadísticas que no varían con el tiempo, lo quefacilita los análisis. Sin embargo existen oca-siones en que los procesos son no estacionariosy las funciones de densidad espectral sonevolutivas.La función de autocorrelación espec-tral es la transformada inversa de Fourier de lafunción de densidad espectral y muestra en eldominio del tiempo la forma como se relacio-nan las variables de amplitud entre tiempos, esdecir, permite la evaluación de las variables deamplitud en un instante siempre y cuando seconozcan las variables en un instante inmedia-tamente anterior; la evaluación se logra de for-ma sencilla a partir de:
IR(t,t +z) = [ G(w)e'»'dw
2,rr'
Existen ocasiones en que se hace necesarioevaluar los momentos estadísticos de ordensuperior del espectro de amplitudes por leque resulta útil definirlos mediante:
m,„ = ( Q)"G((w)dwa
donde n representa la potencia de interés.
El factor de forma, indica la dispersión de lafunción de densidad espectral de potencia so-bre la frecuencia central y se puede estimarmediante:
el factor de forma toma siempre valores entreO y 1; altos valores corresponden a espectrosde amplitudes de ancho de banda grandes ybajos valores muestran una tendencia estrecha.
Una variable que toma en cuenta los efectosde amplitud y contenido de frecuencia de mo-vimientos fuertes es la aceleración cuadráticamedia, A la cual puede ser evaluada en losdominios del tiempo y de la frecuencia segúnel teorema de Parseval de la forma:
Td.. 2^ = T ^ z8 (r) d ` V = AG„ (10)
f_
d o Frecuencia
Ampo
Debido a que la ecuación anterior depende solode la alta frecuencia esta medida resulta útilpara propósitos de ingeniería; su estimación essensible a la estimación de la duración de loseventos. Un parámetro que se encuentra fuer-temente relacionado con la aceleración cuadrá-
(6)
8 =2
m^
mom2(9)
F acultad de IngenieríaE_
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tica media es la Intensidad de Arias definidamediante (Arias, 1970):
Td
Ia =—
7z.
xR (t) 2 dt2g o
la Intensidad de Arias tiene unidades de veloci-dad y usualmente es expresada en m/s; existenversiones modificadas de esta tales como la In-tensidad Característica la cual fue relacionadapor Ang (1990) al índice de daño de estructu-
ras; y se describe mediante: I,, = .
1. SISMOLOGÍA APLICADA PARA EL CÁLCULO
DE DENSIDADES ESPECTRALES DE SISMOS
REALES COMO PROCESOS ESTOCASTICOS
ESTACIONARIOS.
Los espectros de amplitudes de Fourier de des-plazamiento de sismos reales cerca al origenmuestran una tendencia decreciente con la fre-cuencia, por lo que algunos autores sugirieronla idea de que el decrecimiento fuera propor-cional a w-2; de esta manera, y teniendo la his-toria de los desplazamientos en el borde de lafalla de la forma:
U(t) = ^'r^3z (1— e-=
donde sa es el esfuerzo aparente en la falla, Ges la rigidez al corte del medio (en este caso lacorteza litosférica), b es la velocidad de trans-misión de las ondas S, t es el tiempo de la rup-tura igual a L/v, donde L es la longitud de rup-tura y y la velocidad de ruptura. La transfor-mada de Fourier de la ecuación anterior per-mitirá observar que el espectro de amplitudesdel desplazamiento es:
U(w)= J G ^3z (1—e r)e`w`dt =
6a ^3 1
G I 2 1
(13)CO CO +
V z
Z
9 2
que muestra la forma de decrecimiento espec-tral propuesta por las tendencias de los sismosreales. Si se usa la definición estática del mo-mento sísmico, M0, se observa que este puededeterminarse con buena aproximación a partirde espectros de amplitudes de Fourier de cam-po lejano en bajas frecuencias, siempre que laslongitudes de onda y la distancia a la fuentesean grandes. De lo anterior resulta que los es-pectros de amplitudes de Fourier de las ondasP en el campo lejano, cuando a cada uno de lospares se les asigna una variación en el tiempodada por una función de Heaviside multiplica-da por Mo, están dados por:
1 M D
^p
(0))4icR pa 3 RevP
y el espectro de ondas S por:
=l MD
US (co) — ^ Revs,4^R p^3
donde R evp es el valor cuadrático medio del pa-trón de radiación de ondas P y Revs el de lasondas S.
En 1923, Nakano mediante la teoría de la elas-ticidad y suponiendo una tierra elástica, infini-ta e isotrópica, dedujo los patrones de radia-ción para los modelos de par sencillo y par do-ble, lo que llevó a la derivación de las primerasecuaciones de desplazamiento para el modelode par doble. Este modelo fue corroboradomediante estudios de mecanismos basados enlas componentes de las ondas S, el ángulo depolarización, y en las ondas superficiales, quepermitieron establecer que el modelo de do-ble par de fuerzas es el que mejor describe elmecanismo focal de un terremoto. Teniendoen cuenta todo lo anterior, Haskell (1966) de-finió una función de dislocación de la formaD(0), que representa el desplazamiento dela discontinuidad a lo largo del plano de fallaen el punto C y en el tiempo t. El plano de fallase extiende a lo largo del eje C (fig. 1 arriba) yla función de dislocación es considerada como
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la dislocación promedio sobre el ancho w de lafalla; se supone que la falla se acaba cuandoC=L, donde L es la longitud de la falla tal ycomo se muestra en la fig. 1 abajo. De manerageneral, la dislocación que sufre una falla segenera en un segmento de la misma y no entoda su extensión; mecánicamente es imposi-ble que se genere un sismo de gran magnituden un punto o segmento de falla corto, enton-ces, cuanto mayor sea la longitud de fallamien-to, mayor será la magnitud.
Figura 1. arriba: Diagrama de falla rectangularde Haskell. abajo: Sistemas de referencia locales parauna falla rectangular.
No obstante, la ruptura que se observa en lasuperficie no necesariamente representa laextensión del plano fallado, debido a que mu-chas rupturas solo se extienden parcialmentehasta la superficie y la mayoría no se puedenobservar del todo, pues ocurren a grandes pro-fundidades o bajo el fondo oceánico, por lo quees necesario tener en cuenta este tipo de con-sideraciones. Además, los tipos de fallas esta-blecen diferentes formas de comportamientoen la longitudes de la ruptura por lo que sonnecesarias relaciones para cada tipo de fuente.
Facultad de Ingeniería
Para describir la fenomenología de la radiaciónde alta frecuencia provocada por temblores, Aid(1967) estudió el modelo de dislocación deHaskell (1964), en el que una ruptura bajo es-fuerzo cortante se propaga a través de una fallarectangular, la cual está dentro de un espacioelástico, isótropo e infinito. Aki, basado en lostrabajos de Stokes, Lamb y Haskell dedujo quelos desplazamientos en campo lejano debido alas ondas P y S, se escriben, en un sistema decoordenadas esféricas tal como el mostrado enla fig. 1 derecha, como:
Patron de
(13)
3 Radiacron
U — ^
Sen(29)Sen(0) *R 4433Ra
*w j D( ^,t R-4"Cos(6)l4,
0 l a ))
UB — 470'
—Cos(29)Cos(0)} *
.wt 15'0 R—CCos(6)l d;
0 n /
U = Cos(2B)Sen(0) *47473---3` r —
Patron deRadicion
* w J 15( 4,
4 R—ÇCos(19)l4.
o l fi J
donde U Ue y U0 son los desplazamientos enR
dirección radial, angular y longitudinal respec-tivamente, w es el ancho de la falla, R la dis-tancia al hipocentro, /3 la velocidad de onda S,a la velocidad de onda P, L la longitud y D(x, t)es la función de velocidad de dislocación. To-mando el punto inicial de la falla como el ori-gen de un sistema de coordenadas cartesianasse tiene: x=Rcos(q), y=Rsen(q) yz=Rsen(q)Cos(f).
Las expresiones 16, 17 y 18 se pueden escribirde manera generalizada como:
(16)
(17)
(18)
U (w) _ 4tcppR
wDOL
Cos(0) co )2 ^ ^ w )2
(23)1l+ 1 +Í l3 ' '
i (kL
j \^ ^kT)
Espectro de Brune = S(n
Ma (24).r) _ Reo
U( R^4gp¡^'' 1
+ f 12C^! )
` ^ R—; cose lU=P(R,B4 O,tx,i8)w ^D i ç,t-
(a,6) í
Aplicando la transformada de Fourier para lle-var la expresión anterior al dominio de la fre-cuencia se obtiene:
d; (19)
U(ro) = u(t)e'dt =
L¡' f r– cos8 i
=wfe' dt 1 ^ ^ C,t
(a, fi) ,.)1c1s`
o
donde w es la frecuencia circular igual a 24.Siguiendo el planteamiento inicial de Haskell(1966) fue necesario estimar la función de dis-locación en cualquier momento t+ 1r. y en cual-quier punto 5+xi; para lo cual se necesitó in-troducir una función de autocorrelación p(x., t)de DR,t) de la forma:
p(x;,t,)= J 1 D(4",t)D( +x,.,t+r;)d4'dt (20)
Según Haskell (1966), es posible establecer quela función temporal, es decir, la función deautocorrelación del tiempo, decreceexponencialmente con el loger) y tiene la for-
ma:
p( t,) = 1 1 D(;, t) Da,- * x .t+r , =
p _k, ^; (21)=
y la función espacial, es decir, la función deautocorrelación del espacio, tiene la forma:
p( )_f
^^y—k,
– Yíl^
donde y es la velocidad de dislocación y v=k/k, Usando las funciones espaciales y tempo-rales de autocorrelación descritas, Aki(1967)dedujo que el espectro de amplitudes deFourier del desplazamiento provocado por lasondas S en el campo cercano puede expresarsecomo:
donde Do es el desplazamiento promedio de lafalla. Aki estudió igualmente el caso particularcuando 0=0 y además considerando la defini-ción estática de momento sísmico
como ni o = GWLD0 , y pudo definir el espectro de
amplitudes de desplazamiento como:
donde Mo es el momento sísmico (dinas-cm,ergios), f es la frecuencia natural (Hz), R oo esel valor cuadrático medio del patrón de radia-ción resultante de los productos de senOcos20,sen20sen0 y cos20ros¢; r es la densidad de masadel material (la corteza litosférica= 2.8 gr%cm3),/3 es la velocidad de ondas de corte (= 3.5 km/s) y f, es la llamada frecuencia de esquina. Sitioa partir del cual el espectro decrece de maneracontinua.
El término 1/R modela la atenuacióngeométrica de las ondas de cuerpo en el cam-po lejano; después se verá cómo este varia amedida que se aleja de la fuente para refejarmejor la atenuación de las ondas a grandes dis-tancias.
El espectro propuesto contiene una parte pla-na en la zona de bajas frecuencias cuya ampli-tud es proporcional a Mo. Para altas frecuen-cias, el espectro decae como función de F (por lo que se denominó modelo «omega cua-drada», en ingles, «omega square») }; las doszonas del espectro se cortan aproximadamen-te en la frecuencia de esquina. El espectro dela ec. 24, al ser multiplicado por u? dará comoresultado el espectro de amplitudes de Fourier
(19)
4UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
9
3A6
Mo
de aceleraciones, que puede ser evaluado me- cuencia aproximadamente en la forma Q=Qof t,diante la siguiente expresión: donde Qo y e son constantes para una zona de la
corteza en análisis. En Colombia se necesita es-tudiar con detalle el factor de calidad de la corte-za.
1A( Í) = CRe0 >S(.f) (25)
donde C es un término constante que depen-de de las propiedades del material, dado por:
El termino S(f), llamado espectro de fuente deBrune (1970), se expresa mediante la siguien-te relación:
Brune (1970), con base en un modelo de fallacircular encontró relaciones entre la frecuen-cia de esquina, el momento sísmico y la dimen-sión de la falla, de tal forma que la frecuenciade esquina para el modelo se escribe:
Íc =4.9* 106/3
donde A6 es la caída de esfuerzos medida enbares, /3 está dada en km/seg y Mo en dinas-cm. El termino A(f) de la ec. 25 representa elespectro de aceleraciones en un medio ideal;las condiciones bajo las cuales se va modifican-do este espectro a medida que el movimientoavanza se describen a continuación:
Atenuación Regional. Este parámetro toma encuenta la energía disipada por procesos visco-sos, comportamiento no lineal de la roca o di-sipación por calor. Se ha visto que una formaapropiada de representar este tipo de atenua-ción es mediante la multiplicación de A(f) porun término exponencial decreciente de la for-ma e p 'Q, donde Q es el factor de calidad dela corteza litosférica en la región de estudio(Knopoff, 1964) y suele depender de la fre-
Decaimiento de la alta frecuencia. Como seaprecia en la ec. 25, el espectro de Brune pre-dice amplitud constante para f> >fc, lo queresulta absurdo. En primer lugar por conside-raciones energéticas, y además porque, comose observa en los espectros reales, a medida quese avanza en distancia, las altas frecuencias sevan filtrando y las amplitudes de la aceleraciónvan decayendo de una forma más rápida que lopredicho por la atenuación regional. Dicho de-caimiento se ha atribuido tanto a efectos defuente como a efectos de las capas superficia-les. Boore (1983) utiliza la frecuencia de cor-te introducida por Hanks (1982), fmux, paramodelar el abrupto decaimiento de la energíade alta frecuencia mediante un filtroButterworth pasabajas. Singh et al. (1982) en-contraron que este decaimiento podía ser re-presentado mediante una expresión exponen-cial de la forma e- mk , donde k es un factor quedepende del sitio y que será motivo de calibra-ción en la zona en estudio. Además, se ha vistoque el parámetro k tiene variación con la dis-tancia de la forma k=k,+R/Q. Partición de la, energía en dos componentes. Como la energíadel espectro de fuente es total, se asume unapartición en dos componentes ortogonales ho-rizontales, por lo que se involucra el factor
1112 , suponiendo que las componentes son
iguales en ambas direcciones. Corrección porsuperficie libre. Se aplica un factor de 2 parapredecir las amplificaciones de onda al llegar ala superficie.
Patrón de radiación. Se usarán los recomenda-dos en la literatura internacional (Boore 1983;Boatwright, 1984) que oscilan entre 0.55 y0.63. Atenuación geométrica. El término 1/Rimplica el predominio de ondas de cuerpo paradistancias cercanas al epicentro; sin embargo,a mayores distancias el predominio es de on-das superficiales. Este efecto puede tomarse
(26)
S (f) _
(27)
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en cuenta transformando el término 1/R en(R*R) luz , donde RX es la distancia epicentral apartir de la cual predominan las ondas superfi-ciales.
Introduciendo estos efectos se puede describirel viaje de las ondas S a través del medio y asíestablecer el espectro de amplitudes de acele-ración en cualquier sitio particular. En estascondiciones, la ecuación original se transformaen la siguiente:
tuado justo arriba del foco, a una distancia Rosobre el hipocentro. Además, se supone que laruptura de cada elemento ocurre aleatoriamen-te en el tiempo. Bajo estas hipótesis, el EAFpuede ser descrito en el punto de observacióncomo:
^
2(A(.f))2 =
40c2(Mofc2
{_2rr ` ir + R
l,f)
1, (29)
(ro )2
rr*LE1(a1 Ro ) -E1Cat
^(r02+ R02)]lJ
*
Superficie Espectro de Brunelibre
2 M0f2A(f) = RAC 2
Particion 1 + Energies
fCFiltro alta frecuencia
Factor de calidad
[ _Jrfl?JC–(KI+f
e
e
el modelo de Singh el radio al epicentro, R o, nodivide la ecuación para no generar la indeter-
(28) minación cuando el límite tiende a cero. Elmodelo de fuente finita parte de la suposiciónde que el observador se encuentra a una dis-tancia cercana.
donde E 1 () es la integral exponencial (Gautschiy Cahill, 1965) y a1 =21r/$Q . Nótese que en
O
RAtenuación Geométrica
Este modelo es llamado de fuente puntual yrepresenta el EAF en un sitio después del viajede las ondas afectado por las variables mencio-nadas. Este modelo ha sido aplicado en mu-chas zonas del mundo para distancias de hasta100 km.
Después de esa distancia el movimiento dejade estar controlado por las ondas S. De esa dis-tancia en adelante se utiliza la corrección en laatenuación por las ondas superficiales descritaen párrafos anteriores.
Se ha observado también que a distanciasfocales muy pequeñas, comparables con el ta-maño de la ruptura, el modelo de fuente pun-tual falla. Por ello, se desarrolló un modelosismológico que tiene en cuenta el tamaño fi-nito de la zona de ruptura (Singh et. al., 1989) .
El modelo contempla una falla circular de ra-dio ro que rompe con intensidad uniforme a lolargo del área. El punto de observación está si-
Como ya se mencionó, el radio de la falla equi-valente crecerá a medida que aumente la mag-nitud; si esto sucede, y teniendo en cuentaque las ondas sufren todos los fenómenos deatenuación descritos anteriormente, la contri-bución de ondas que vienen del cada vez máslejano perímetro sufrirá los procesos exponen-ciales de atenuación, haciendo que la acelera-ción no crezca de forma indefinida. Este com-portamiento es el que provoca la saturaciónde la aceleración para magnitudes muy gran-des.
El análisis de los datos disponibles en Colom-bia ha permitido evaluar los parámetros rele-vantes de un modelo sismológico y no los pará-metros de leyes de atenuación mediante regre-siones clásicas y aproximaciones estadísticasque para el caso de bases de datos pobres comoes nuestro caso no funcionan bien.
Se observa que, en general, las leyes usadas enestudios anteriores para el país tienen desvia-ciones estándar mayores que las determinadasen este estudio y, además, sobrestiman
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9 7
s ste 7 aticamente las aceleraciones observadas.Al comprobar con sismos pasados de los cualesse conoce su magnitud y distancia epicentral,es posible corroborar el favorable comporta-miento de las leyes de EAF encontradas a par-tir del análisis con sismos colombianos.
H contar con buenas aproximaciones para los
espectros de EAF garantiza que los valores picogenerados a partir de teoría de vibracionesaleatorias de los mismos sean correctos para laestimación de los parámetros útiles en el dise-ño. En otras palabras, evaluar bien los EAF ga-rantiza correcta evaluación de los espectros derespuesta,
oMelos de fuente puntual yfuen-ma combinación de magnitud y dis-
tancia,: abajo: Leyes de atenuación de PAF para di-ferentes distancias en uno misma magnitud dei me-ca-u-ismo focal de fuentes Nacional.
En la f. es posible ver la buena aproximaciónde los EAF calculados contra lo registrado enalgunos sismos intermedios en Colombia. Al re-
a proceso para todas las distancias y mag-nitudes es posible generar leyes de atenuaciónde EAF. En este primer caso los EAF reflejan la
Facultad de !ngeMuria
variable de aceleración máxima del suelo; noobstante, a partir de la teoría sismológica clásicadescrita con anterioridad el proceso puede ex-tenderse a cualquier otra variable,
F iguu ra 3, Comparación de EAF registrados por laRSV`C (Amplitud) contra los calculados por mediode la teoría sismológica descrita en este art culo,
2. PROCESOS ESTOCASTICOS Y TEORÍA DE
VIBRACIONES ALEATORIAS
Los sismos y sus registros, los sismogramas,acelerogramas, velocigramas, etc. son tratadoscomo procesos estocásticos que tienen contri-buciones en un amplio rango de frecuencia con-tenido; sin embargo interesa conocer variablesinternas de estos registros tales como, por ejem-plo, el numero de veces que es sobrepasado uncierto valor o el numero de cruces por cero o,más importante aún los valores máximos quese pueden presentar. Esto es útil para análisisde fatiga de elementos o para el diseño de lasestructuras civiles que le competen a la inge-niería sísmica moderna. El desarrollo de la teo-ría para manejar los problemas expuestos an-teriormente inicia con los trabajos de S.O. Rice(1954), Cartwright y Longuet-Higgins (1956),A.Powell (1958), S.H Crandall (1963), A.G.Davenport (1964) y muchos otros autores, quepara el momento han desarrollado una cienciaal respecto consolidada. El siguiente tratamien-to de variables sigue el planteamiento originalde los autores mencionados.
útil para estimar el numero de cruces que exis-te de una cantidad umbral denotada por a enuna duración de evento descrita por Td.
Ahora si nombramos Na + (T) como la variablealeatoria que denota el numero de veces quese supera el valor positivo umbral de a en laduración Td del proceso estocástico; entoncesel valor medio de dicha variable puede ser de-notado por na + (T); de esta forma siguiendo teo-ría de procesos aleatorios llegamos a que:
na + (Td ) = E (Na + (Td )) (30)
denotando una tasa de ocurrencia por unidadde tiempo de los cruces por el umbral positivoa como a+ entonces la ecuación 30 se rescribecomo:
na+ (Td ) = va+Td (31)
Proponiendo la derivada de x(t) con respectoal tiempo como:
2.1 Tasas de ocurrencia de un valor umbralax(t) = x(t)
dt(32)
Considérese una función x(t) con espectro deamplitudes x(w) y densidad espectral G(co) quesigue un proceso estacionario tal y como semuestra en la figura 4. El comportamiento dela función cerca de sus valores extremos pue-de ser descrito de forma simple como medida
Figura 4: cruces de un nivel de intensidad umbrapara un proceso estocástico.
98
entonces es posible proponer la densidad deprobabilidades entre la amplitud x(t) y el cam-bio de la amplitud con respecto al tiempo ¡o)como pII = (x,±) en el intervalo t+At, tal ycomo se muestra en la figura 5 arriba. Esta con-dición hace que usando la región favorable paralos cruces de x =a mostrada en la figura 5 aba-jo sobre la cual la densidad conjunta de proba-bilidades pueda ser integrada es posible encon-trar la probabilidad de cruce de un valor deter-minado en el intervalo del tiempo. Todos lospuntos que se encuentran dentro de la cuñadel espacio x(t) i(t) de la figura 5 abajo cum-plen con la condición que x(t) <a; por consi-guiente la probabilidad de que se alcance elvalor prescrito umbral en el tiempo t esta dadamediante:
.0 a
PQ,At = va+ot = J J px,(x,z)dxd.z (33)
O a-i&
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
si At se vuelve infinetisimal y además teniendoen cuenta de que la probabilidad toma el valormedio esperado de la tasa de cruces, la ante-rior ecuación puede ser simplificada con las si-guientes consideraciones:
a
^ p_6 (x, z)dxdx = pxi (x = a, .z).zAt (34)
a-.TAY
y la doble integral se evalúa mediante:
At = jp„, (a, x).zdzo
Figura 5. Arriba cruces de un nivel de intensidadumbral para un proceso estocástico. Abajo: regiónfávorable para los cruces de x=a.
La tasa de ocurrencias por unidad de tiempode valores que sobrepasan el valor umbral po-sitivo prescrito esta dada por:
va+ = fp ri (a, z) zd.zo
si la ley de probabilidad usada se aplica a unproceso estacionario estocástico Gaussiano o
Normal y, las desviaciones estándar de la am-plitud y la velocidad de cambio de amplitudson descritas mediante los valores esperados delos momentos estadísticos a una potencia cua-drática de la densidad espectral del proceso, laecuación anterior toma la forma:
t s2 S21 ^z ^z
p(x,.z) = e 111
2^rmam2
donde mo y m2 son los momentos estadísticosde la densidad espectral G(a)); de esta formareemplazando la ecuación 37 en la 36 obtene-mos que:
a2
+ e 2m°22
v° 2Timo 2 7rmZ m2
la cual después de varias simplificaciones llegaa una más sencilla expresión como:
2v += 1 m2e 2rrb
(39)2rr rn0
de esta forma teniendo la densidad espectralde un acelerograma o la extraida de la teoríasismológica descrita es posible, reemplazandoen la ecuación 39 encontrar el numero de ve-ces por unidad de tiempo que se sobrepasa uncierto valor de intensidad a; mediante la ecua-ción 31 y con la duración es posible estimar elnumero esperado de ocasiones que se sobrepa-sa el mismo parámetro. Por ejemplo si se de-seara conocer el número de cruces por cero deun proceso estocástico con densidad espectralconocida, el valor umbral en la ecuación 39 se-ría cero y el resultado sería simplemente:
_ 1 m2
no 27r mo Td
(40)
En Ingeniería sísmica Td es la duración de lafase intensa del evento, que de acuerdo conHerrman y para el modelo omega cuadradaestudiado (1985) para terrenos firmes estaríadada por:
(35)
(36)
(37)
(38)
Facultad de IngenieríaL 99
1Td =— +O.OSR
f^.
(ro en el caso de fuente finita, km) (70)
de las respuestas no-lineales de edificaciones(41) como una vía para la identificación del daño por
sismos y del desarrollo de mecanismos de co-lapsos para el correcto cumplimiento de esta-dos límites.
Aproximaciones de Herrman y de Atkinson yBoore, (1995) permitieron estimar la duraciónde la fase intensa correspondiente al 90% delcontenido de energía como:
log T, = 0.207M +0.264 log R- 0.65± 0 .19
donde MS es la magnitud de ondas de superficiey R es la distancia en kilómetros. El cálculo dela duración de los sismos resulta ser de extremautilidad para diferentes consideraciones en eldiseño de las edificaciones contra sismos, noobstante, hasta el momento este parámetro noes usado como variable del diseño sismorresis-tente, esto a pesar de que se ha identificado quela energía inducida aun sistema depende muchode la duración y numero de ciclos de un sismo.Por lo cual la degradación de las estructuras pormedio de la cual las edificaciones van perdiendorigidez por el agrietamiento progresivo de lassecciones de concreto o por los efectos de fatigasobre los elementos de acero no son tomadas encuenta aún lo cual no quiere decir que no sea demucha utilidad práctica.
Desde el punto de vista practico y del teóricotambién, una estructura no colapsa instantánea-mente bajo las consideraciones de un máximode aceleración o de desplazamiento, sino quepara desarrollar mecanismos de colapsos nece-sita de un numero mínimo de excursiones deexceso de sobrecarga para incurrir en una de-gradación de sus elementos que la haga iniciarun colapso; de hecho, muchas de las edificacio-nes que sobreviven dañadas pero no colapsadasson muestras de un número insuficientes de ci-clos de amplitudes que rebasan la resistencia ydegradan la rigidez de las edificaciones. Las an-teriores razones muestran la necesidad de cono-cer además de valores extremos de intensida-des, la duración de la fase intensa de los movi-mientos, porque de aquí se desprenden una se-rie de variables y factores útiles en la estimación
El número de ciclos y la duración es un factormuy importante en el desarrollo de la pérdidade capacidad portante de suelos, del desarrollode la inestabilidad de talud y de la licuación delos suelos, a pesar de ello en estos casos tampo-co ha sido tenido en cuenta estos parámetrospara su estimación. Por ejemplo, la extraordina-ria duración y numero de ciclos del sismo deMichoacán que se dejó sentir fuertemente Méxi-co D.F., provocó la pérdida de la capacidadportante de los suelos de la ciudad generando elhundimiento apreciable de edificaciones con ci-mentaciones superficiales; también el fenóme-no aceleró fuertemente la subsidencia del sueloque en algunos sitios llegó a ser de más de 15cm, edificios piloteados hasta estratos resisten-tes virtualmente emergieron ante dichasubsidencia aguda.
Las definiciones de la duración de la fase in-tensa de los movimientos tienen diferentesplanteamientos genéricos. Una primera aproxi-mación de la duración de la fase intensa con-siste en el lapso de tiempo que transcurre enun registro a partir de un valor umbral que setoma como inicio hasta el momento en que estevalor umbral es rebasado por ultima vez, estosumbrales normalmente varían en aceleracionesque no superan los 0.03 y 0.05g; en este casose tiene la desventaja de que se desconocentodas las excursiones de valores superiores den-tro del intervalo escogido y en algunos sismoscon epicentro en largas distancias pueden so-breestimar la duración de manera apreciable.
Una segunda forma de estimar la duración deuna manera más racional consiste en sumar to-dos los intervalos de tiempo en que se rebasenlos umbrales, concepto definido como «Dura-ción uniforme», este método resulta menossensible al valor del umbral pero por otro ladono tiene en cuenta el registro como un conti-nuo sino que, en ocasiones, presenta saltos.
(42)
U NIVERSIDAD DE LOS A NDES •100
101
Otra forma de medir los registros esta basadaen las llamadas duraciones significativas, la cuales basada en la acumulación de energía de losregistros sísmicos representada por la integraldel cuadrado de la velocidad del suelo, la cualesta directamente relacionada con la Intensi-dad de Arias. La duración significativa esta de-finida en el intervalo desde que es sobrepasadoun nivel de energía, comúnmente definidocomo el 5% de la intensidad de Arias, hastadonde se considera relevante la contribuciónde ondas directas del sismo en la energía totaldefinida como el 95% de la misma intensidadde Arias, gráficamente se puede deducir a par-tir del dibujo de la intensidad de Arias con res-pecto al tiempo que se denomina dibujo deHusid. Este concepto tiene la ventaja de consi-derar la duración de un evento de manera con-tinua.
La última forma de cuantificar la duración delos sismos tiene origen en la sismología, y sebasa en la estimación primaria de la duraciónde la ruptura del sismo en su origen, la cualpuede estimarse a partir de la longitud de laruptura, parámetro asociado a la magnitud y almomento sísmico, y a la velocidad de ruptura,que esta asociada a propiedades mecánicas delas rocas y caídas de esfuerzos. Naturalmenteen este esquema es necesario tener en cuentala distancia recorrida desde el epicentro ya quelos continuos procesos de reflexión y refrac-ción en el interior de la tierra y la llegada deestas a la superficie hacen que se incrementela duración inicial del sismo con la aparición deondas superficiales, ondas reflejadas, ondas decoda, etc. En este esquema de definición deduración no es necesario el uso de acelerogra-mas pero por el contrario si es necesario la so-lución del mecanismo focal del sismo con to-dos los parámetros útiles en la definición de ladensidad espectral de potencia.
La duración de la fase intensa de los movimien-tos tiene fuerte influencia en los daños, debidoa que muchos procesos físicos como la degra-dación de rigidez y resistencia necesitan variosciclos para poder generar mecanismos de daño
Facultad de Ingeniería
en las estructuras o incrementar la presión deporos hasta un punto tal que genere licuación,en ocasiones sismos cortos con altas acelera-ciones no han generado daños considerables,mientras que sismos largos con aceleracionesmoderadas si lo han hecho.
La duración esta asociada al tiempo necesariopara liberar la energía en una fuente, por lo quesu relación con la magnitud es directa; másexactamente con la raíz cúbica del momentosísmico; si la longitud, el área o el volumen deruptura crece, la duración también lo hará; encambio, si la velocidad de propagación de laruptura aumenta, la duración disminuirá ycuando la ruptura es bilateral, es decir que lafalla rompe en 2 sitios diferentes y viaja en di-recciones opuestas como fue el caso del sismode Loma Prieta en 1989 la duración tambiénse reduce.
Como resumen para propósitos de ingenieríasolo la porción de la fase intensa es útil y estaha sido motivo de debate desde Bolt,(1969)que propuso la duración de la fase intensa comoel tiempo transcurrido entre la primera y últi-ma excedencia de un valor mínimo umbral,normalmente de 0.05g; otra definición de du-ración esta basada (Trifunac y Brady, 1975) esbasada en el intervalo de tiempo necesario parallevar la energía del sismo de 5 al 95%; otramedida común es mediante la suma de los tiem-pos t s en que cierta aceleración umbral es su-perada; sin embargo, en los últimos años se havenido aceptando de forma generalizada la es-timación de duración de la fase intensa median-te el intervalo de tiempo necesario para llevarla intensidad de Arias del 5 al 95%. Una reco-pilación de las diferentes formas de estimar estavariable esta detallada en Bommer y Martínez-Pereira (1999).
2.2 Distribución de probabilidad de los máxi-mos
Una vez más considerando una muestra de lafunción x(t) que puede tener muchos picostanto positivo como negativos como si mues-
Máximo positivo
,o IVoMinan,"
r Mittirno negativoMáximo negativo
^ p^x,C,x)xdx ^dx (45)
102
tra en la figura 6 para un proceso estacionarioy estocástico. Para fines de ingeniería dichospicos pueden ser de interés en el diseño de lasestructuras.
Figura 6. valores máximos y mínimos para un pro-ceso estacionario.
Para la estimación de un máximo o un mínimocomo vemos en la figura 6 abajo la velocidadde cambio de la amplitud se vuelve cero y existeun cambio de pendiente; por ello conviene,además, buscar la aceleración de cambio deamplitud y siguiendo la metodología del nu-meral anterior la densidad de probabilidadesconjunta de la amplitud x(t), la velocidad decambio, x(t) de la amplitud y la aceleración decambio de la amplitud, z(t) esta dada median-te pes;:(x,i,.z).
La probabilidad acumulada conjunta se obtie-ne de la integral triple de la densidad de pro-babilidad conjunta con los límites de integra-ción que se observan en la figura 7 que mues-tra el espacio de las variables de interés, de estaforma:para intervalos de tiempo infinitesimales 4ttiende a ser cero por lo que la primera integral
x +Gx O xGt
p(x, 1, x)didzdxx
se puede simplificar; además para que existaun máximo de la amplitud es necesario un cam-bio de pendiente por lo que debe existir unpunto de velocidad de cambio de la amplitudcero; de esta manera la expresión anterior setransforma en:
P„,= rm p(x, X = O, X) IXl Oktio
(x +Ax— x)
(44)-
Pm = — 0 p(x, O, x)x OxAt
donde Pa/At puede ser interpretado como lafrecuencia de los valores máximos en el inter-valo (x, x+4x). La frecuencia de los valoresextremos en todo el dominio puede ser eva-luada a partir de:
Figura 7. Volumen favorable para un máximo po•:-tivo en el intervalo de tiempo t+4t
finalmente la densidad de probabilidades devalores extremos se obtiene a partir de la rela-ción entre los máximos en el segmento x+Dx
y la frecuencia de máximos en todo el dominiode la forma:
- j p(x, Q, x)xúx ¡
Pm (x) _ L a
^(46)
I L—Ip(x, Q,z)zdx dx
J
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
(43)
x2 2m2 xx 12
m4xdxdx
(51)—+ +I mo mo m,
2 (mo m4 –m2
mom4 —m; m4
m4(52)
Los procesos estacionarios estocásticos sonGaussianos, esto es, que el proceso es gober-nado por distribuciones normales. Por ello parala ecuación anterior es necesario encontrar fun-ción de densidad de probabilidad conjunta querelacione la amplitud, el cambio de la ampli-tud con el tiempo y su aceleración de cambio,esta además también seguirá un proceso Gaus-siano, por lo que la función conjunta normalpropuesta toma la forma:
P (xzx) _ 1
exp — ^ (x—v)TD'(x—v)
27c 2 det D2
donder
(x–v)= (x,.z,z) con media cero y
p(x,0,x) - 3
1
2/r 2 det D2
x2 + 2m2x1 + 3e2
1 mo mom, m4
2 rn2(mom4—m2)
Proponiéndose hipótesis simplificatorias en tér-minos del denominador mom4-m2 2 como un va-lor siempre positivo e insertando en la ecua-ción 45 de la tasa por unidad de tiempo de valo-res máximos esperados:
—1
V - roa.
( z ll(2,r)2 m 2 (mo m, — m1 /
*exp
r m^
O –m2 -1
[7 = j O mz O
O m4
o
(47) * J fexp
para este caso la matriz invertida esta dadamediante:
1
r mzm4
0
—mz
0
m,
O
—mz
0
m4
(48)=m (mom4
L
donde m son los momentos estadísticos denorden n de la densidad espectral G(co) defini-dos anteriormente. De esta manera la densi-dad conjunta de probabilidades queda descritamediante:
p(x z,z)- 1 *
3
2n 2 detD1
2
i m2 m4 x2 +mom4 .z2 +1712/103e2 +2n4
*eXp 2 m2(mom4m2)
y para el caso de velocidad de cambio de am-plitud la expresión anterior se vuelve tan solo:
MO M4`
realizando las integrales llegamos a que la tasaqueda descrita en términos de:
(2702Ilm,(Irbm4—m;)
y finalmente simplificando obtenemos que:
=
1 ^Vmax
2n ^ mz
De esta manera para obtener el numero de va-lores extremos en un lapso de tiempo es nece-sario multiplicar la tasa de extremos por uni-dad de tiempo por la duración del evento de laforma:
(49)
(53)
(54)54)nmax – V max Td
F a c u l t a d de I n g e n i e r í a---- --- -- - - - - - 103
La densidad de probabilidad de los máximosse obtiene reemplazando las expresiones 50 y47 en la expresión original 46 y toma la forma(siguiendo la notación de Cartwright yLonguett-Higgins-1956) :
?„(11J= J2n'e" 1 —E" exp (55)
xen la cual RX =
m(56)
0
Y
z
£ 2 = momo —m2
0
momo
2.3 Distribución De Probabilidad De Los Va-lores Picos
En muchas aplicaciones de la ingeniería sísmicaes necesario encontrar los valores pico depen-dientes de los máximos que se pueden esperarde un proceso y como se podría esperar estosvalores picos están relacionados a la cantidadde máximos anteriormente evaluados. Siguien-do a Powell es fácil hacer uso de la teoría paraencontrar el numero de máximos proponiendouna vez más una función x(t) observada en untiempo Td . La distribución de probabilidad delos picos escogida como aleatoria para un valorx=a que es excedido tiene la forma:
(57) P [ pico > a] = J
P/) (x)dx (60)
104
que es el parámetro introducido por Cartwrighty Longett-Higgins llamado parámetro de an-cho de banda y que toma valores entre cero yuno. El parámetro de ancho de banda esta di-rectamente relacionado con el ancho de bandade frecuencias y para valores de cero entoncesdefine que el numero medio máximos es igualal numero de cruces por cero; es decir existeun máximo por cada cruce por cero. Esto co-rresponde a un proceso de banda estrecha quepuede ser simplificado a una densidad de pro-babilidades de Rayleigh de la forma:
Pn,^1^ x ) = I7a exp —t1^.2z
por el contrario si el parámetro de ancho debanda es uno, entonces el sistema toma densi-dad de probabilidad normal o Gaussiana de laforma:
1 p e
Pm (Í7x )_
27cexp
2
donde P, (x) es la densidad de probabilidad;teniendo en cuenta que en la duración del even-to el proceso puede tener noTd numero de cru-ces por cero y naTd cruces sobre una intensidadx=a en promedio. La fracción favorable devolumen en el espacio para picos mayores delos valores extremos de x=a es propuesta sim-plemente por:
v" d
=u – f P(x)dx ( )+ + 6111 11 Tdvo Q
derivando la ecuación anterior con respecto alvalor umbral a para buscar los máximos obte-nemos que:
1 dvu–P^
(x)_ v + da0
la cual es la expresión general para la densidadde probabilidades de picos de un proceso debanda estrecha . Para procesos Gaussianos lafrecuencia de cruces por un valor umbral a estadescrita como definimos según la ecuación 39,por lo que al reemplazar en la ecuación 62 esposible obtener que:
a2
a–P (a)=–
^ e z
MO
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
(58)
(59)
(62)
(63)
2\
apico(64)
E( apicn
k^
kf api,^o Pm( apic„ apico
)d (67)ac.
a ,n --- CL ,,n a,777 max acn, max
PE. / apuo = exp —vTd exp
donde V =V1—E 2
V max
^ vimax
1apiro
acm max apiC0
acm max
Pm
a pir0d a
C171
(65)
nmax —I D
max L M LM
acm y
m
el desarrollo de esta expresión llega a que:
/ 2 \
apicoE
acm
= V21n(v max Td ) +/a pico
(69)1
+2y 21n(vmaxTd)
2
21n (v max Td )
(66)
i a pr,_ \!,
r ^
1 a, a0 ^ +,12nk0( pito
E E
i
Pm( m )-"„7
siguiendo los planteamientos de Davenport la donde:anterior expresión de la distribución de los va-lores picos con respecto a los valores cuadráticosmedios queda como una función de los valores 1
O( y ) _extremos n como: -V2max
Y k` = 1 —E2
PEa pico
a,^In i
PM( a pi,
\ acm )
A partir de esta ecuación es posible calcular losmomentos estadísticos de la relación entre pi-cos y medios de forma simple mediante:
para obtener los máximos de la distribuciónanterior es necesario derivarla con respecto ala relación entre valores medios y picos como:
que toma la forma aproximada
De esta última expresión puede demostrarse(Cartwright y Longuett-Higgins, 1956;Davenport, 1964) que si el logaritmo naturalde nmax no es demasiado pequeño, son válidaslas siguientes aproximaciones asintóticas:
/ apico
ln(V T +) (68)a,.m maxmax gl n(V max Td )
donde yes la constante de Euler (= 0.5772..)y por consiguiente el valor al cuadrado del va-lor esperado de la relación entre picos ycuadráticos medios es
por lo que su varianza es:
—1 1
^an k1
7
,nx / a
71'2
1pi co
21n—
,17.1k0(k0( a )0 acEvar
acm / 6 (v T) (70)
max d
J
/ apr < 7
ap "7 3. APLICACIONES EN INGENIERÍA SÍSMICA
k ka p^^ a,n k a,,m
° 0 E E 0 E Ya que los procesos sísmicos están descritosmediante su espectro de amplitudes de Fouriercomo se describieron en las secciones anterio-
Facultad de Ingeniería
105
— registrado
— calculado
Sismo de Armenia, Filadelfia 100 kin
1.0
periodo (seg)
o.0.0 3.02.0
os
C
a
á
50.
40.
30.
20.
lo.
res y además son considerados procesosestocásticos y estacionarios, entonces toda lateoría de valores extremos anteriormente ex-puesta puede ser usada con las adaptacionesrespectivas. A la relación entre el valor pico yel valor cuadrático medio se le suele denomi-nar «factor pico»:
FP amar=
acm
De esta forma una vez se cuenta con el factorpico es posible encontrar la intensidad picocorrespondiente que interese en términos desu valor cuadrático medio como:
amar = FP acm
reemplazando en las expresiones derivadas yusando el espectro de amplitudes de la inten-sidad que interese ser evaluada. En este capí-tulo fueron derivados con anterioridad las ex-presiones para espectros de amplitudes deFourier de aceleraciones, A(f) (ecuaciones 28y 29) por lo que si aplicamos la teoría de vibra-ciones aleatorias para este caso y reemplaza-mos en las ecuaciones 53, 68 y 72 llegamos aobtener que la aceleración esperada máxima delos espectros derivados de teoría sismológicaes:
E [ Ar,x]° 21n m4(A(.Í))^
k
2ia' ^nk (A( f ))^
V
Y + mo(n( f ))
donde siguiendo la definición de momento es-tadístico para los A(f) de aceleración
m4 (A( .f )) = 3T
4
f (.f )4A( .f )d.f
z ^
m2.f(A( )) .f .f.f=
87r
( )2A( )dTd
Y
mo (A(.f )) = ^ f A(.f )d.f = A mTd
En vista de las ecuaciones 10, 28, 29, 41, 54,73, 74, 75 y 76, es posible estimar Amax si seconocen el EAF y la duración de fase intensade un sismo. Amax resulta ser entonces una fun-ción del momento sísmico, de la distancia focal,y de los parámetros libres Ds, Q0, E, k 1 ,Q 1 , p, /3y Roo. Por otra parte, entre el momento sísmicoy la magnitud existe la siguiente relación pro-puesta por Hanks y Kanamori (1979):
Log 10 (Mo) = 1.5M w + 16.1
donde M. es la magnitud de momento. En es-tas condiciones, puede estimarse A comomaxfunción de magnitud y distancia si se conocenlos parámetros libres As, Q0, E, k 1, Q 1, p, 13 yR..
Contando con el EAF de cualquier tipo de va-riable complementaria como velocidad, despla-zamiento o energía y la duración de la fase in-tensa del evento, el proceso es igualmente posi-ble de realizar usando funciones de transferen-cia de osciladores de un grado de libertad; com-paraciones con la realidad durante el sismo deArmenia de 1999 se observan a continuación.
(71)
(72)
Td Vmo( n(f)) + (73)
21i ) m4(A(f))T
2n ^m2 ( A(f )) d
/
(74)
(75)
(76)
(77)
O 6UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
I
— registrado
— calculado
0.0.
F^ Lo.
É^ 1.5.o
— registrado
— calculado
Sismo de Armenia, Filadelfia 100 km2.0.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
periodo (seg)
Sismo de Armenia, Prado 117 km30.
0.0 1.0 2.0
periodo (seg)
Sismo de Armenia, Prado 117 km
3.0
1.0.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
periodo (seg)
— registrado— calculado
^0.5.
^
0.0.
107
Figura 9. Espectros de respuesta de seudoaceleracióny desplazamiento estimados y registrados en dos es-taciones en terreno firme durante el sismo de Armeniade 1999.
4. CONCLUSIONES
El procedimiento propuesto y explorado en estetrabajo para estimación de variables sísmicasen el caso colombiano, basado en modelos sis-mológicos aceptados, es definitivamente máseficiente en el manejo de la información regis-trada, cuando se utiliza ésta sólo para estimarlos parámetros de un modelo físico que señalalas variables involucradas y, además, compor-tamientos muy claros. El modelo igualmentepermite un manejo transparente de los efectoslocales a través de la inclusión de funciones de
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transferencia que multiplican el EAF en el ba-samento rocoso, convirtiéndose en otra funcióncorrectora del modelo de ruptura propuesto.
Al ser el EAF del movimiento el objetivo delprocedimiento, posibilita, a través de la Teoríade Vibraciones Aleatorias, la estimación decualquier respuesta, particularmente máximas,del suelo o de las edificaciones: desplazamien-tos y velocidades máximas del terreno, espec-tros de respuesta, EAF de la respuesta de unaestructura particular descrita a través de sufunción de transferencia, etc. Esta generalidadevita la estimación de leyes de atenuación paracada respuesta máxima que quiera ser estima-da, y hace coherentes todas las respuesta entresi por venir de un mismo modelo basado en losmismos parámetros físicos y teóricos.
Ya que la tendencia mundial de la ingenieríasísmica ha ido adoptando los modelos sismoló-gicos mediante procesos estocásticos, resultaapenas necesario el hecho de empezar a aplicarel modelo a la realidad colombiana.
5. AGRADECIMIENTOS
Mis agradecimientos para el Dr. Luis EstevaMaraboto, Mario Ordaz Schroeder y ErnestoHeredia Zavoni que me involucraron en esaelite de ingenieros que entendieron desde unprincipio la naturaleza aleatoria, estocástica yprobabilística de la ingeniería real, algo muylejano del determinismo que se maneja en losregímenes y códigos actuales de la ingenieríacivil.
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