evaluation de la performance prédictive de modèles robustes · cas r représente la méthode des...
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JSdS 2013
Olivier Schöni
IntroductionRégression hédonique
Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Evaluation de la performance prédictive demodèles robustes
Olivier Schöni1
1Département d’InformatiqueUniversité de Fribourg (Suisse)
JSdS 2013
Olivier Schöni
IntroductionRégression hédonique
Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Table des matières
1 Introduction
2 Tests sur la performance prédictive
3 Analyse Empirique
4 Conclusions
5 Références
JSdS 2013
Olivier Schöni
IntroductionRégression hédonique
Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Régression hédonique
On note par P et X := (X1, ...,XK ) le prix et les Kcaractéristiques d’un bien. Pour un échantillon aléatoire de nobservations indépendantes (Pi ,Xi) := (Pi ,Xi1, ...,XiK ) onconsidère le modèle log-linéaire suivant :
log(Pi) = β0 + Xi1β1 + ... + XiKβK + εi , (1)
où εi représente un terme d’erreur stochastique avecE(εi |Xi) = 0 et V(εi |Xi) = σ2, ∀i.
L’expression (1) est un modèle de régression hédonique.
JSdS 2013
Olivier Schöni
IntroductionRégression hédonique
Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Régression hédonique
On note par P et X := (X1, ...,XK ) le prix et les Kcaractéristiques d’un bien. Pour un échantillon aléatoire de nobservations indépendantes (Pi ,Xi) := (Pi ,Xi1, ...,XiK ) onconsidère le modèle log-linéaire suivant :
log(Pi) = β0 + Xi1β1 + ... + XiKβK + εi , (1)
où εi représente un terme d’erreur stochastique avecE(εi |Xi) = 0 et V(εi |Xi) = σ2, ∀i.
L’expression (1) est un modèle de régression hédonique.
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IntroductionRégression hédonique
Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Régression hédonique
On note par P et X := (X1, ...,XK ) le prix et les Kcaractéristiques d’un bien. Pour un échantillon aléatoire de nobservations indépendantes (Pi ,Xi) := (Pi ,Xi1, ...,XiK ) onconsidère le modèle log-linéaire suivant :
log(Pi) = β0 + Xi1β1 + ... + XiKβK + εi , (1)
où εi représente un terme d’erreur stochastique avecE(εi |Xi) = 0 et V(εi |Xi) = σ2, ∀i.
L’expression (1) est un modèle de régression hédonique.
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IntroductionRégression hédonique
Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Prédiction et fonctions de perte
Soit P̂ r , r = 1, 2 le prix estimé dans l’échelle originaleobtenu grâce à une technique de régression r . Dans notrecas r représente la méthode des moindres carrés ordinairesou la technique de régression robuste proposée parMaronna et Yohai (2000).
Le but de l’analyse sera de comparer la distribution desvariables aléatoire L(P, P̂ r(X)), r = 1, 2, où L : R2 −→ R+
représente une fonction de perte liée à l’erreur de prédiction.
Les trois fonctions de perte suivantes ont été considérées :quadratique, valeur absolue, biquadratique.
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Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Prédiction et fonctions de perte
Soit P̂ r , r = 1, 2 le prix estimé dans l’échelle originaleobtenu grâce à une technique de régression r . Dans notrecas r représente la méthode des moindres carrés ordinairesou la technique de régression robuste proposée parMaronna et Yohai (2000).
Le but de l’analyse sera de comparer la distribution desvariables aléatoire L(P, P̂ r(X)), r = 1, 2, où L : R2 −→ R+
représente une fonction de perte liée à l’erreur de prédiction.
Les trois fonctions de perte suivantes ont été considérées :quadratique, valeur absolue, biquadratique.
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Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Prédiction et fonctions de perte
Soit P̂ r , r = 1, 2 le prix estimé dans l’échelle originaleobtenu grâce à une technique de régression r . Dans notrecas r représente la méthode des moindres carrés ordinairesou la technique de régression robuste proposée parMaronna et Yohai (2000).
Le but de l’analyse sera de comparer la distribution desvariables aléatoire L(P, P̂ r(X)), r = 1, 2, où L : R2 −→ R+
représente une fonction de perte liée à l’erreur de prédiction.
Les trois fonctions de perte suivantes ont été considérées :quadratique, valeur absolue, biquadratique.
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Conclusions
Références
Prédiction et fonctions de perte
Soit P̂ r , r = 1, 2 le prix estimé dans l’échelle originaleobtenu grâce à une technique de régression r . Dans notrecas r représente la méthode des moindres carrés ordinairesou la technique de régression robuste proposée parMaronna et Yohai (2000).
Le but de l’analyse sera de comparer la distribution desvariables aléatoire L(P, P̂ r(X)), r = 1, 2, où L : R2 −→ R+
représente une fonction de perte liée à l’erreur de prédiction.
Les trois fonctions de perte suivantes ont été considérées :quadratique, valeur absolue, biquadratique.
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Conclusions
Références
Fonctions de perte
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Relative Residuals
Loss functions
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Square
Absolute
Bisquare
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Tests d’hypothèsesT-test permuté
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Performance prédictive
Afin de mesurer la performance prédictive, on considère lesvaleurs attendues µr := E(L(P, P̂ r(X))), r = 1, 2.
La performance prédictive dans et hors échantillon est doncestimée par :
µ̂inr =
1n
n∑i=1
L(Pi , P̂ r(Xi)), r = 1, 2
et
µ̂outr =
1n
n∑i=1
L(Pi , P̂ r ,−s(i)(Xi)), r = 1, 2.
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Remarques
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Performance prédictive
Afin de mesurer la performance prédictive, on considère lesvaleurs attendues µr := E(L(P, P̂ r(X))), r = 1, 2.
La performance prédictive dans et hors échantillon est doncestimée par :
µ̂inr =
1n
n∑i=1
L(Pi , P̂ r(Xi)), r = 1, 2
et
µ̂outr =
1n
n∑i=1
L(Pi , P̂ r ,−s(i)(Xi)), r = 1, 2.
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Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Performance prédictive
Afin de mesurer la performance prédictive, on considère lesvaleurs attendues µr := E(L(P, P̂ r(X))), r = 1, 2.
La performance prédictive dans et hors échantillon est doncestimée par :
µ̂inr =
1n
n∑i=1
L(Pi , P̂ r(Xi)), r = 1, 2
et
µ̂outr =
1n
n∑i=1
L(Pi , P̂ r ,−s(i)(Xi)), r = 1, 2.
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Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Remarques
Hennig et Kutlukaya (2007) soulignent le fait que lechoix de l’indicateur de tendance centrale est arbitrairemais pourrait être lié à la fonction de perte utilisée (etvice-versa).
Le fait que l’estimation de µ1 soit plus petite que lavaleur estimée de µ2 n’implique pas forcément la mêmerelation pour les paramètres théoriques. La littératurehédonique, cependant, contient de nombreux exemplesoù la performance prédictive est évaluée sur la basedes estimations ponctuelles de µ1 et µ2 (voir parexemple Laurice et Bhattacharya (2005) et Hannonen(2008)).
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Remarques
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Remarques
Hennig et Kutlukaya (2007) soulignent le fait que lechoix de l’indicateur de tendance centrale est arbitrairemais pourrait être lié à la fonction de perte utilisée (etvice-versa).
Le fait que l’estimation de µ1 soit plus petite que lavaleur estimée de µ2 n’implique pas forcément la mêmerelation pour les paramètres théoriques. La littératurehédonique, cependant, contient de nombreux exemplesoù la performance prédictive est évaluée sur la basedes estimations ponctuelles de µ1 et µ2 (voir parexemple Laurice et Bhattacharya (2005) et Hannonen(2008)).
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Remarques
Hennig et Kutlukaya (2007) soulignent le fait que lechoix de l’indicateur de tendance centrale est arbitrairemais pourrait être lié à la fonction de perte utilisée (etvice-versa).
Le fait que l’estimation de µ1 soit plus petite que lavaleur estimée de µ2 n’implique pas forcément la mêmerelation pour les paramètres théoriques. La littératurehédonique, cependant, contient de nombreux exemplesoù la performance prédictive est évaluée sur la basedes estimations ponctuelles de µ1 et µ2 (voir parexemple Laurice et Bhattacharya (2005) et Hannonen(2008)).
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Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Tests sur la performance prédictive
Pour voir si la performance prédictive des deux modèles eststatistiquement différente pour une fonction de pertedonnée, on considère les deux tests suivants :
H0 : µin1 = µin
2 contre H1 : µin1 , µ
in2
etH0 : µout
1 = µout2 contre H1 : µout
1 , µout2 .
Soient Di := L(Pi , P̂1(Xi)) − L(Pi , P̂2(Xi)) et D̄n := 1n∑n
i=1 Di
la i-ème différence de perte de prédiction et sa moyenne.Comme on travaille avec des observations indépendantes,on suppose que les Di sont aussi indépendants.
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Tests sur la performance prédictive
Pour voir si la performance prédictive des deux modèles eststatistiquement différente pour une fonction de pertedonnée, on considère les deux tests suivants :
H0 : µin1 = µin
2 contre H1 : µin1 , µ
in2
etH0 : µout
1 = µout2 contre H1 : µout
1 , µout2 .
Soient Di := L(Pi , P̂1(Xi)) − L(Pi , P̂2(Xi)) et D̄n := 1n∑n
i=1 Di
la i-ème différence de perte de prédiction et sa moyenne.Comme on travaille avec des observations indépendantes,on suppose que les Di sont aussi indépendants.
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Tests sur la performance prédictive
Pour voir si la performance prédictive des deux modèles eststatistiquement différente pour une fonction de pertedonnée, on considère les deux tests suivants :
H0 : µin1 = µin
2 contre H1 : µin1 , µ
in2
etH0 : µout
1 = µout2 contre H1 : µout
1 , µout2 .
Soient Di := L(Pi , P̂1(Xi)) − L(Pi , P̂2(Xi)) et D̄n := 1n∑n
i=1 Di
la i-ème différence de perte de prédiction et sa moyenne.Comme on travaille avec des observations indépendantes,on suppose que les Di sont aussi indépendants.
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Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
T-test permuté
Soit L := (L11 , L
12 , ..., L
2n−1, L
2n ) le vecteur contenant les pertes
des deux méthodes de régression, où L ri := L(Pi , P̂ r(Xi)).
On définit L∗ = ((L1,∗1 , L2,∗
1 ), ..., (L1,∗n , L2,∗
n )) comme unepermutation aléatoire de L . Récemment Konietschke etPauly (2012) ont démontré à l’aide d’une simulation que lastatistique
tKP :=√
nD̄∗nV∗n−→ N(0, 1),
améliore la puissance du t-test et que le niveau du test estplus proche à celui nominal (D∗i représente les différencesdes pertes permutées, V∗2n la variance empirique).
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
T-test permuté
Soit L := (L11 , L
12 , ..., L
2n−1, L
2n ) le vecteur contenant les pertes
des deux méthodes de régression, où L ri := L(Pi , P̂ r(Xi)).
On définit L∗ = ((L1,∗1 , L2,∗
1 ), ..., (L1,∗n , L2,∗
n )) comme unepermutation aléatoire de L . Récemment Konietschke etPauly (2012) ont démontré à l’aide d’une simulation que lastatistique
tKP :=√
nD̄∗nV∗n−→ N(0, 1),
améliore la puissance du t-test et que le niveau du test estplus proche à celui nominal (D∗i représente les différencesdes pertes permutées, V∗2n la variance empirique).
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
T-test permuté
Soit L := (L11 , L
12 , ..., L
2n−1, L
2n ) le vecteur contenant les pertes
des deux méthodes de régression, où L ri := L(Pi , P̂ r(Xi)).
On définit L∗ = ((L1,∗1 , L2,∗
1 ), ..., (L1,∗n , L2,∗
n )) comme unepermutation aléatoire de L . Récemment Konietschke etPauly (2012) ont démontré à l’aide d’une simulation que lastatistique
tKP :=√
nD̄∗nV∗n−→ N(0, 1),
améliore la puissance du t-test et que le niveau du test estplus proche à celui nominal (D∗i représente les différencesdes pertes permutées, V∗2n la variance empirique).
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Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Test de Diebold-Mariano
Le test suivant est une version modifiée du test proposé parDiebold et Mariano (1995). Dans ce cas, on ne suppose pasque les variables Di possèdent la même variance.L’hypothèse nulle d’une performance prédictive égale esttestée à l’aide de la statistique
tDM :=D̄n√
V̂( 1n∑n
i=1 Di)−→ N(0, 1).
La statistique tDM peut facilement être calculée enrégressant les différences Di sur une constante et encalculant la déviation standard du coefficient à l’aide d’unestimateur HC (Heteroskedastic-Consistent).
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Conclusions
Références
Test de Diebold-Mariano
Le test suivant est une version modifiée du test proposé parDiebold et Mariano (1995). Dans ce cas, on ne suppose pasque les variables Di possèdent la même variance.L’hypothèse nulle d’une performance prédictive égale esttestée à l’aide de la statistique
tDM :=D̄n√
V̂( 1n∑n
i=1 Di)−→ N(0, 1).
La statistique tDM peut facilement être calculée enrégressant les différences Di sur une constante et encalculant la déviation standard du coefficient à l’aide d’unestimateur HC (Heteroskedastic-Consistent).
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Conclusions
Références
Test de Diebold-Mariano
Le test suivant est une version modifiée du test proposé parDiebold et Mariano (1995). Dans ce cas, on ne suppose pasque les variables Di possèdent la même variance.L’hypothèse nulle d’une performance prédictive égale esttestée à l’aide de la statistique
tDM :=D̄n√
V̂( 1n∑n
i=1 Di)−→ N(0, 1).
La statistique tDM peut facilement être calculée enrégressant les différences Di sur une constante et encalculant la déviation standard du coefficient à l’aide d’unestimateur HC (Heteroskedastic-Consistent).
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Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Données
Les données utilisées on été fournies par Wüest & Partner,une entreprise internationale d’expertise immobilière. Lesprix de transaction de maisons individuelles, ainsi que leurscaractéristiques, ont été collectés pour le canton de Zurich.
On a considéré, en particulier, 411 transactions qui ont eulieu le quatrième trimestre 2010 (pour ce trimestrel’hypothèse d’homoscédasticité n’a pas pu être rejetée auniveau de 5%).
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Remarques
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Données
Les données utilisées on été fournies par Wüest & Partner,une entreprise internationale d’expertise immobilière. Lesprix de transaction de maisons individuelles, ainsi que leurscaractéristiques, ont été collectés pour le canton de Zurich.
On a considéré, en particulier, 411 transactions qui ont eulieu le quatrième trimestre 2010 (pour ce trimestrel’hypothèse d’homoscédasticité n’a pas pu être rejetée auniveau de 5%).
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Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Données
Les données utilisées on été fournies par Wüest & Partner,une entreprise internationale d’expertise immobilière. Lesprix de transaction de maisons individuelles, ainsi que leurscaractéristiques, ont été collectés pour le canton de Zurich.
On a considéré, en particulier, 411 transactions qui ont eulieu le quatrième trimestre 2010 (pour ce trimestrel’hypothèse d’homoscédasticité n’a pas pu être rejetée auniveau de 5%).
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Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Variables
kaufpr : prix de transaction
age : âge
vol : volume
land : surface du terrain
stand : standing
zust : condition
mikro : emplacement dans la commune
frei : maison individuelle
zimmer : nombre de chambres
ms : emplacement dans le canton
garage : nombre de places de parking
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Performance prédictive
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Conclusions
Références
Variables
kaufpr : prix de transaction
age : âge
vol : volume
land : surface du terrain
stand : standing
zust : condition
mikro : emplacement dans la commune
frei : maison individuelle
zimmer : nombre de chambres
ms : emplacement dans le canton
garage : nombre de places de parking
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Performance prédictive
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Tests d’hypothèsesT-test permuté
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Performance prédictive dans l’échantillon
Quadratique Absolue Biquadratique
OLS 0.233 0.279 0.882Robust 0.273 0.283 0.866
Table : Pertes moyennes.
Quadratique Absolue Biquadratique
D-M 0.201 0.446 0.042K-P 0.392 0.469 0.038
Table : Valeurs p d’égalité des moyennes.
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Performance prédictive
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Conclusions
Références
Performance prédictive dans l’échantillon
Quadratique Absolue Biquadratique
OLS 0.233 0.279 0.882Robust 0.273 0.283 0.866
Table : Pertes moyennes.
Quadratique Absolue Biquadratique
D-M 0.201 0.446 0.042K-P 0.392 0.469 0.038
Table : Valeurs p d’égalité des moyennes.
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Performance prédictive dans l’échantillon
Quadratique Absolue Biquadratique
OLS 0.233 0.279 0.882Robust 0.273 0.283 0.866
Table : Pertes moyennes.
Quadratique Absolue Biquadratique
D-M 0.201 0.446 0.042K-P 0.392 0.469 0.038
Table : Valeurs p d’égalité des moyennes.
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Conclusions
Références
Performance prédictive hors échantillon
Fold Quadratique Absolue Biquadratique
1 0.486 0.174 0.7872 0.369 0.375 0.8663 0.101 0.393 0.8684 0.960 0.359 0.8145 0.774 0.689 0.225
Tous 0.501 0.455 0.441
Table : Valeurs p d’égalité des moyennes du K-P test.
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Conclusions
Références
Performance prédictive hors échantillon
Fold Quadratique Absolue Biquadratique
1 0.486 0.174 0.7872 0.369 0.375 0.8663 0.101 0.393 0.8684 0.960 0.359 0.8145 0.774 0.689 0.225
Tous 0.501 0.455 0.441
Table : Valeurs p d’égalité des moyennes du K-P test.
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Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Conclusions
En se basant que sur des estimations ponctuelles de laperformance prédictive on peut tirer de faussesconclusions.
La variance des pertes de prédiction doit aussi êtreconsidérée.
La fonction de perte joue un rôle important dans lechoix de la technique de régression.
Les tests de la performance prédictive peuvent donnerdes résultats différents dans et hors échantillon.
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Conclusions
En se basant que sur des estimations ponctuelles de laperformance prédictive on peut tirer de faussesconclusions.
La variance des pertes de prédiction doit aussi êtreconsidérée.
La fonction de perte joue un rôle important dans lechoix de la technique de régression.
Les tests de la performance prédictive peuvent donnerdes résultats différents dans et hors échantillon.
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Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Conclusions
En se basant que sur des estimations ponctuelles de laperformance prédictive on peut tirer de faussesconclusions.
La variance des pertes de prédiction doit aussi êtreconsidérée.
La fonction de perte joue un rôle important dans lechoix de la technique de régression.
Les tests de la performance prédictive peuvent donnerdes résultats différents dans et hors échantillon.
JSdS 2013
Olivier Schöni
IntroductionRégression hédonique
Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Conclusions
En se basant que sur des estimations ponctuelles de laperformance prédictive on peut tirer de faussesconclusions.
La variance des pertes de prédiction doit aussi êtreconsidérée.
La fonction de perte joue un rôle important dans lechoix de la technique de régression.
Les tests de la performance prédictive peuvent donnerdes résultats différents dans et hors échantillon.
JSdS 2013
Olivier Schöni
IntroductionRégression hédonique
Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Conclusions
En se basant que sur des estimations ponctuelles de laperformance prédictive on peut tirer de faussesconclusions.
La variance des pertes de prédiction doit aussi êtreconsidérée.
La fonction de perte joue un rôle important dans lechoix de la technique de régression.
Les tests de la performance prédictive peuvent donnerdes résultats différents dans et hors échantillon.
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Olivier Schöni
IntroductionRégression hédonique
Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Merci pour votre attention !
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Olivier Schöni
IntroductionRégression hédonique
Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Références I
Francis X. Diebold et Roberto S. Mariano : Comparingpredictive accuracy. Journal of Business & EconomicStatistics, 13(3):253–263, 1995.
Marko Hannonen : Predicting urban land prices : Acomparison of four approaches. International Journal ofStrategic Property Management, 12(4):217–236, 2008.
Christian Hennig et Mahmut Kutlukaya : Some thoughts aboutthe design of loss functions. REVSTAT-Statistical Journal,5(1):pp. 19–39, 2007.
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Olivier Schöni
IntroductionRégression hédonique
Fonctions de perte
Performance prédictive
Remarques
Tests d’hypothèsesT-test permuté
Test de Diebold-Mariano
Analyse EmpiriqueRésultats
Conclusions
Références
Références II
Frank Konietschke et Markus Pauly : Bootstrapping andpermuting paired t-test type statistics. Statistics andComputing, pages 1–14, 2012.
Jennifer Laurice et Radha Bhattacharya : Predictionperformance of a hedonic pricing model for housing. TheAppraisal Journal, 73(2):198–209, 2005.
Ricardo A. Maronna et Víctor J. Yohai : Robust regressionwith both continuous and categorical predictors. Journalof Statistical Planning and Inference, 89(1-2):197–214,2000.