exam57

วิชาสามญั คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 1

วิชาสามญั คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) วนัเสาร์ที� 4 มกราคม 2557 เวลา 11.00 - 12.30 น. ตอนที� 1 แบบระบายตวัเลขที�เป็นคําตอบ จํานวน 10 ข้อ ข้อละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน 1. กําหนดให้ � เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ�ง � = �� + �� + �� + � คา่ของ |��| เทา่กบัเทา่ใด 2. กําหนดให้ เป็นจํานวนนบัที�มากที�สดุที�หาร 166 และ 1101 แล้วได้เศษเหลอื 1 แล้ว มีคา่เทา่กบัเทา่ใด 3. ผลบวกของคาํตอบของสมการ 2 arcsin�� − 3� + 1� + � = 0 มีคา่เทา่กบัเทา่ใด 4. กําหนดให้ � เป็นจํานวนจริงบวกซึ�งทําให้ �� + � ตั 9งฉากกบั �� − � โดยที� |��| = 2 และ ! �! = 5 แล้ว � มีคา่เทา่กบัเทา่ใด

2 วิชาสามญั คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57)

5. กําหนดให้ �, , $ เป็นจํานวนจริงซึ�ง % 1 2 �3 1 −1 0 $& ~ % 1 2 −10 −5 7−1 0 2 & โดยการดําเนินการตามแถว )� − 3)* แล้วคา่ของ � + + $ มีคา่เทา่กบัเทา่ใด 6. คา่ของ log�.3/012 *34 เทา่กบัเทา่ใด 7. ชั 9นอนบุาลของโรงเรียนแหง่หนึ�งประกอบไปด้วยนกัเรียน 4 ห้องซึ�งมีจํานวนนกัเรียนและคา่เฉลี�ยของนํ 9าหนกัของ

นกัเรียนในแตล่ะห้องดงัตาราง แล้วคา่เฉลี�ยนํ 9าหนกัของนกัเรียนอนบุาลทั 9งระดบัชั 9นมีคา่เทา่กบัเทา่ใด 8.

6

0=∑r

�−1�6.36473�656 เทา่กบัเทา่ใด

จํานวนนกัเรียนแตล่ะห้อง นํ 9าหนกัเฉลี�ยของนกัเรียนแตล่ะห้อง 22 17 23 16 25 14 30 15


9. 0

lim→x

�*78��*738��*8 มีคา่เทา่กบัเทา่ใด

10. ถ้า � = *

√2 แล้วคา่ของ ∞

=

∑0n

�−1�:�: เทา่กบัเทา่ใด

ตอนที� 2 แบบปรนยั 5 ตวัเลอืก จํานวน 20 ข้อ ข้อละ 4 คะแนน รวม 80 คะแนน 11. กําหนดให้ �* , �� , � เป็นรากของสมการ 8� + 6�� − 5� − 3 = 0 โดยที� �* < �� < � แล้วคา่ของ �* + � มีคา่เทา่กบัเทา่ใด 12. กําหนดให้ = = [�?@] เป็นเป็นเมทริกซ์มิติ 3 × 3 โดยที� det�=� > 0 กําหนดให้ G?@�=� แทนไมเนอร์ของสมาชิกในตาแหนง่ �?@ โดยที� HG?@�=�I = %1 −1 23 2 −45 1 3 & ถ้า =�* = [ ?@] แล้ว ** + *� + * มีคา่เทา่กบัเทา่ใด


13. กําหนดให้ F เป็นโฟกสัในควอดรันต์ที� 1 ของไฮเพอร์โบลาที�มีสมการเป็น 8KL − �M��K

*3 = 1 แล้ววงกลมที�มีศนูย์กลางอยูที่�จดุ F และสมัผสักบัเส้นกํากบัทั 9งสองของโฮเพอร์โบลา มีรัศมียาวเทา่กบัเทา่ใด

14. คําตอบของสมการ 28 ∙ 287* ∙ 287� = 48 + 487* + 487� มีคา่เทา่กบัเทา่ใด 15. ผลบวกของคาํตอบของสมการ log� � + 6 log8 2 − 5 = 0 มีคา่เทา่กบัเทา่ใด 16. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี�ยมที�มีมมุ CR เป็นมมุฉาก และ AS < BS ถ้า �cos 2A + cos B�� + �sin 2A + sin B�� = 3 แล้ว tan 3A มีคา่เทา่กบัเทา่ใด


17. กําหนดให้ T� และ U̅ เป็นเวกเตอร์ใดๆใน 3 มิติที�ไมใ่ชเ่วกเตอร์ศนูย์และไมข่นานกนั พิจารณาข้อความตอ่ไปนี 9 (1) |T� × U̅| ≤ |T�||U̅| (2) T� × �T� + U̅� = T� × U̅ (3) |T� × U̅|� + |T� ∙ U̅|� = |T�|�|U̅|� (4) �5T� × U̅� ∙ 5U̅ = 25 มีข้อความที�ถกูต้องกี�ข้อความ 18. ให้ �*, ��, � เป็นรากที� 3 ของจํานวนเชิงซ้อนจํานวนหนึ�ง ถ้า �* = √2�cos 15° + � sin 15°� แล้ว �� มีคา่เทา่กบัเทา่ใด 19. กําหนดให้ = = {−13, −11, −7, −5, −3, −2, 2, 3, 5, 7, 11, 13} และ [ = { �| | + |�| | �, ∈ = } แล้วจํานวนสมาชิกของเซต [ เทา่กบัเทา่ใด


20. กําหนดให้ [ = {1, 2, 3, … , 10} และ G = { ��, ^� | �, ^ ∈ [ } สุม่หยิบ ��, ^� มา 1 ตวั จากเซต G ความนา่จะเป็นที�จะได้คูอ่นัดบั ��, ^� ซึ�ง �� + ^� < 25 มีคา่เทา่กบัเทา่ใด

21. กําหนดให้ [ = {1, 2, 3, … , 10} และ G = _ `� ^� �a b �, ^, � ∈ [ c สุม่เลอืกเมทริกซ์ `� ^� �a มา 1 เมทริกซ์จากเซต G ความนา่จะเป็นที�จะได้เมทริกซ์ซึ�งมีสมบตัวิา่ � < ^ และ � < � มีคา่เทา่กบัเทา่ใด 22. ในการสอบครั 9งหนึ�ง ครูผู้สอนกําหนดวา่ นกัเรียนที�จะได้เกรด A ใน

วิชาคณิตศาสตร์ จะต้องเป็นนกัเรียนในกลุม่ 10% ของคะแนนสงูสดุของนกัเรียนทั 9งห้อง โดยนกัเรียนห้องนี 9มีทั 9งหมด 80 คน และมีผลคะแนนของนกัเรียนดงัตาราง ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที� 20 ของคะแนนสอบห้องนี 9เทา่กบั 50.5 คะแนน แล้วนกัเรียนที�ได้คะแนนตํ�าสดุของนกัเรียนที�ได้เกรด A วิชาคณิตศาสตร์ ได้คะแนนสอบกี�คะแนน

คะแนนสอบ จํานวนนกัเรียน 31 – 40 6 41 – 50 � 51 – 60 18 61 – 70 25 71 – 80 10 81 – 90 ^ 91 – 100 3


23. คะแนนสอบของนกัเรียนกลุม่หนึ�งมีการแจกแจงปกติ โดยที�มีนกัเรียน 10% ของนกัเรียนทั 9งหมดมคีะแนนมากกวา่ 80 คะแนน และมีนกัเรียน 10% ของนกัเรียนทั 9งหมดที�มีคะแนนน้อยกวา่ 40 คะแนน แล้วจํานวนนกัเรียนที�ได้คะแนนมากกวา่ 65 คะแนนคิดเป็นกี�เปอร์เซ็นต์ (ให้ตารางมาเยอะ แตใ่ช้จริงๆคือ � = 1.28 จะได้ = = 0.4 และ � = 0.32 จะได้ = = 0.1255)

24. กําหนดให้ � เป็นจํานวนจริงซึ�ง |�| < 1 และกําหนดให้ [: = �� + 1�� + �� + 1�� + �� + 1�� + … + ��: + 1�� แล้วคา่ของ

∞→nlim �[: − � มีคา่เทา่กบัเทา่ใด

25. กําหนดให้ �*, ��, �, … , �L เรียงกนัเป็นลาํดบัเลขคณิต ที�มมีธัยฐานเทา่กบั 15 แล้วผลบวกของ �*, ��, �, … , �L มีคา่เทา่กบัเทา่ใด


26. กําหนดให้ h�� เป็นฟังก์ชนัพหนุามที�ทําให้ฟังก์ชนั i ที�นิยามโดย i�� = j h�� ; � ≤ 1� + 2� ; � > 1 เป็น

ฟังก์ชนัตอ่เนื�องที� � = 1 ถ้า �i ∘ h�m�1� = 58 แล้ว hm�1� มีคา่เทา่กบัเทา่ใด 27. กําหนดให้ i�� = n� � �0 � − 3 �0 0 � + 3n โดยที� � และ G เป็นคา่ตํ�าสดุสมัพทัธ์และคา่สงูสดุสมัพทัธ์ของ i ตามลาํดบั ถ้า [ = _ � b � เป็นจํานวนเต็มที�ทําให้ � ≤ i�� ≤ G c แล้วจํานวนสมาชิกของเซต [ เทา่กบัเทา่ใด 28. กําหนดให้ i เป็นฟังก์ชนัซึ�งมีความชนั ณ จดุใดๆ เป็น 4� + 1 และกราฟของฟังก์ชนั i ผา่นจดุ �1, 0� ถ้า o�� เป็นปฏิยานพุนัธ์หนึ�งของฟังก์ชนั i�� แล้วคา่สงูสดุสมัพทัธ์ของฟังก์ชนั o อยูที่�ตําแหนง่ใด


29. เศษเหลอืจากการหาร 4LLL + 9 ด้วย 5 มีคา่เทา่กบัเทา่ใด 30. กําหนดให้ � และ เป็นจํานวนเตม็บวกซึ�ง � = + 2 และ ค.ร.น. ของ � และ เทา่กบั 180 แล้วผลคณู � มีคา่เทา่กบัเทา่ใด


เฉลย 1. 4 7. 15.42 13. 4 19. 43 25. 135 2. 55 8. 64 14. log� �*

p 20. **qq 26. 2

3. 3 9. 7 15. 12 21. �p*qqq 27. 7

4. 2.5 10. 0.75 16. *√ 22. 84.25 28. � = −

� 5. 5 11. −0.25 17. 3 23. 37.45% 29. 3 6. 4 12. 0.6 18. √3 + � 24. rK7�r

*�rK 30. 360 แนวคิด 1. 4 �: จะวนซํ 9าเดิมทกุๆ 4 ตวั คือ � , −1 , −� , 1 ดงันั 9น เอา 4 หาร แล้วหาเศษมาดวูา่ตกตวัไหน ก็จะหา �: ได้ �� + �� + �� + � = *

?s + *?t + *

?2 + � → ทําสว่นให้เลขชี 9กําลงั ÷ 4 ลงตวั = ?w?x + ?2

?x + ?w?y + �

= ?* + �?

* + ?* + � = 2�

ดงันั 9น |��| = |�|� = |2�|� = 2� = 4 2. 55 ข้อนี 9ต้องระวงัเรื�องวิธีอา่นการหาร : “ หาร 166” จะหมายถึง 166 ÷ ถ้าจะหมายถึง ÷ 166 ต้องอา่นวา่ “ หารด้วย 166” 166 ÷ และ 1101 ÷ เหลอืเศษ 1 แสดงวา่ ถ้าหกั 1 ออก เหลอื 165 และ 1100 จะหาร ลงตวั นั�นเอง จํานวนที�มากที�สดุที�หาร 165 และ 1100 ลงตวั คือ ห.ร.ม. นั�นเอง ดงันั 9น = ห.ร.ม. = 5 × 11 = 55 3. 3 ย้ายข้าง จะได้ arcsin�� − 3� + 1� = − {

� ใส ่sin ทั 9งสองฝั�ง ฝั�งซ้ายจะตดักบั arcsin ได้ เหลอื ข้อนี 9ไมต้่องตรวจคาํตอบก็ได้ เพราะเราแก้สมการ �� − 3� + 1 = −1 มา ซึ�ง arcsin �−1� จะหาคา่ได้แนน่อน ดงันั 9น ผลบวกคาํตอบ = 1 + 2 = 3 4. 2.5 ตั 9งฉากกนั แสดงวา่ ดอทกนัได้ 0 และเนื�องจากการดอท มีสมบตัสิลบัที�และกระจายในการบวกลบได้ ดงันั 9น .�� + �4 ∙ .�� − �4 = �� ∙ �� − �.�� ∙ �4 + �. � ∙ ��4 − . � ∙ �4 = �� |��|� − ! �!� = 4�� − 25

ดงันั 9น 4�� − 25 = 0 แก้จะได้ � = ± � = ±2.5 แต ่� เป็นบวก ดงันั 9น ตอบ 2.5

เศษ 1 เศษ 2 เศษ 3 ลงตวั � −1 −� 1

5 165 1100 11 33 220 3 20

�� − 3� + 1 = −1 �� − 3� + 2 = 0 �� − 1�� − 2� = 0 � = 1, 2


5. 5 3)* คือ 3 คณูแถวหนึ�ง 3[1 2 �] ได้เป็น [3 6 3�] )� − 3)* คือเอาแถวสอง [3 1 ] ตั 9งลบ [3 6 3�] ได้เป็น [0 −5 − 3�] ดงันั 9น % 1 2 �3 1 −1 0 $& )� − 3)*~ % 1 2 �0 −5 − 3�−1 0 $ & เทียบกบัที�โจทย์ให้จะได้ � = −1 , − 3� = 7 , $ = 2 จะได้ = 7 + 3� = 7 + 3�−1� = 4 ดงันั 9น � + + $ = −1 + 4 + 2 = 5 6. 4 จากกฎ �/01} ~ = � จะได้ log�.3/012 *34 = log��16� = log��2�� = 4 7. 15.42 คิดตรงๆจาก ��×*��7��×*3�7��×*��7�q×*�

��7�7�7q = *��*qq = 15.42 ก็ได้ แตก็่ต้องคิดเลขเยอะ

อีกวิธีคือ เราสามารถลดทอนข้อมลูได้ โดยเอาข้อมลู 17, 16, 14, 15 มาลบ 15 ก่อน ได้เป็น 2, 1, −1, 0 แล้วหาคา่เฉลี�ยได้เป็น ��×��7��×*�7��×�*�7�q×q�

��7�7�7q = ��7��7q*qq = 0.42

แล้วคอ่ย บวก 15 กลบัไปเป็นเลขในระบบเดมิ จะได้ คา่เฉลี�ย = 15 + 0.42 = 15.42 หมายเหต ุ: จะใช้เลขอื�นที�ไมใ่ช่ 15 ก็ได้ แตถ้่าใช้ 15 ซึ�งมาจากห้องที�นกัเรียนเยอะสดุ จะทําให้ห้องนกัเรียนเยอะสดุ มี

ผลรวมนํ 9าหนกั = 30×0 = 0 ทําให้คดิเลขน้อยกวา่ 8. 64 กระจายออกมา จะได้เป็น .3q473 − .3*475* + .3�47�5� − .3475� + ⋯ + .33453 ซึ�งจะเห็นวา่ เข้าสตูรทวินามได้เป็น �7 − 5�3 ได้พอดี ดงันั 9น ตอบ �7 − 5�3 = 23 = 64 9. 7 แทนแล้วเป็น qq ต้องจดัรูปให้ � ตดักนัก่อน �*78��*738��*

8 = *7�8738K�*8 = �8738K

8 = 8��738�8 = 7 + 6�

ดงันั 9น 0

lim→x

�*78��*738��*8 =

0lim→x

7 + 6� = 7 + 6�0� = 7 10. 0.75 กระจาย ∑ ได้เป็น 1 − � + �3 − �L + … จะเห็นวา่เป็นอนกุรมเรขาคณิตอนนัต์ ที�มี � = −� = − � *

√2 � = − *

เนื�องจาก |�| = * < 1 ดงันั 9น อนกุรมอนนัต์นี 9จะหาคา่ได้ด้วยสตูร [� = rw*�6 = **��w2� = 1 ×

� = 0.75 11. −0.25 ต้องแยกตวัประกอบด้วยทฤษฎีเศษ โดยแทน � = ±ตวัประกอบของ

ตวัประกอบของ p ซึ�งได้แก่ ±1 , ±3 , ±*� , ±

� , ±*� , ±

� , ±*p , ±

p แล้วดวูา่ตวัไหนได้ 0 : � = 1 : 8�1� + 6�1�� − 5�1� − 3 = 6 ใช้ไมไ่ด้ � = −1 : 8�−1� + 6�−1�� − 5�−1� − 3 = 0 ใช้ได้


เอา −1 ไปหารสงัเคราะห์ ดงันั 9น จะได้คําตอบคือ −1 , � , − *

� ดงันั 9น �* + � = ตวัน้อยสดุ + ตวัมากสดุ = −1 + � = − *� = −0.25

12. 0.6 เอาไมเนอร์มาเปลี�ยนเครื�องหมายตรงที� � + � เป็นคี� จะได้โคแฟกเตอร์ คือ %−1 1 23 2 45 −1 3& เอาโคแฟกเตอร์ มาทรานสโพส จะได้ adj�=� = %1 −3 51 2 −12 4 3 & ซึ�งจาก adj�=� เราจะหา det�=� ได้จากสตูร det.adj�=�4 = �det�=��:�* det.adj�=�4 = �6 + 6 + 20� − �20 − 4 − 9� = 25 ดงันั 9น �det�=��* = 25 จะได้ det�=� = ±5 แตโ่จทย์บอก det�=� > 0 ดงันั 9น det�=� = 5 จะได้ =�* = *

�� ∙ adj�=� = * %1 −3 51 2 −12 4 3 & กระจาย * เข้าไป จะได้ * + � +

= 0.6

13. 4 จากรูปแบบสมการ จะเป็นไฮเพอร์โบลาแนวนอน จดุศนูย์กลาง �0, 2� โดย � = 3 , = 4 ดงันั 9น $ = √3� + 4� = 5 ดงันั 9น โฟกสัอยูที่� �5, 2� และ �−5, 2� แต ่F อยู ่Q* ดงันั 9น F�5, 2� และจากสตูรเส้นกํากบั 8��

r = ± M�� จะได้เส้นกํากบั คือ 8 = ± M��

� วงกลม สมัผสัเส้นกํากบั แสดงวา่ ระยะจากศนูย์กลางวงกลม ไปยงัเส้นกํากบั = รัศมี ศนูย์กลางวงกลม คือ F�5, 2� และเลอืกเส้นกํากบัมาหนึ�งเส้น → เอา 8 = M��

� ซึ�งจดัรูปได้เป็น 4� − 3^ + 6 = 0 ดงันั 9น รัศมี = ระยะจาก �5, 2� ไป 4� − 3^ + 6 = 0 = |��73|

√�K7K = �q = 4

14. log� �*

p แก้สมการ ดงันี 9 15. 12 จากสมบตัิของ log จะได้ log� � และ log8 2 เป็นสว่นกลบัของกนัและกนั ดงันั 9น ถ้าให้ log� � = = จะได้ log8 2 = *� ดงันั 9น สมการคือ = + 3

� − 5 = 0

−1 8 6 −5 −3 −8 2 3 8 −2 −3 0 8� + 6�� − 5� − 3 = .� − �−1�4�8�� − 2� − 3� = �� + 1��4� − 3��2� + 1�

�0,2� �5,2�

28 ∙ 287* ∙ 287� = 48 + 487* + 487� 28 7 87* 7 87� = 48�1 + 4* + 4�� 287 = 2�8�21� �2�∙�2

�K� = 21 28 = �*

p � = log� �*

p


คณู = ตลอด ได้ แทนคา่ = กลบั จะได้ log� � = 2, 3 ดงันั 9น � = 2�, 2 และจะได้ผลบวกคําตอบ = 2� + 2 = 12 16. *

√ กระจาย ได้ เนื�องจาก CR เป็นมมุฉาก ดงันั 9น A + B เหลอื 90° และเนื�องจาก A < B ดงันั 9น 0 < A < 45° และ 45° < B < 90° ดงันั 9น 2A – B มากสดุ เมื�อ A มากสดุ และ B น้อยสดุ = 2�45°� – 45° = 45° 2A – B น้อยสดุ เมื�อ A น้อยสดุ และ B มากสดุ = 2�0� – 90° = −90° ดงันั 9น −90° < 2A – B < 45° แต ่ cos�2A − B� = *� พิจารณาจากช่วงคา่ที�เป็นไปได้ของ 2A − B จะได้ 2A − B = −60° …�1� แต ่ A + B = 90° …�2� บวกสองสมการ จะได้ 3A = 30° ดงันั 9น tan 3A = tan 30° = *

√ 17. 3 (1) |T� × U̅| = |T�||U̅| sin � แต ่sin � ≤ 1 ดงันั 9น |T� × U̅| ≤ |T�||U̅| → ถกู (2) T� × �T� + U̅� = T� × T� + T� × U̅ = 0� + T� × U̅ = T� × U̅ → ถกู (3) |T� × U̅|� + |T� ∙ U̅|� = �|T�||U̅| sin �� + �|T�||U̅| cos �� = |T�|�|U̅|��sin� � + cos� �� = |T�|�|U̅|��1� = |T�|�|U̅|� → ถกู (4) 5T� × U̅ จะได้ผลลพัธ์เป็นเวกเตอร์ในทิศตั 9งฉากกบัระนาบที� T� และ U̅ วางอยู ่ ดงันั 9น 5T� × U̅ จะตั 9งฉากกบั U̅ ดงันั 9น 5T� × U̅ จะตั 9งฉากกบั 5U̅ ด้วย จึง dot กนัเป็น 0 เสมอ ดงันั 9น �5T� × U̅� ∙ 5U̅ = 0 → ผิด 18. √3 + � รากอีก 2 คา่ที�เหลอื จะได้จากการนํารากตวัแรกมาบวกมมุเพิ�มไปทีละ 3q°

= 120° รากตวัแรก คือ √2 ∠ 15° ดงันั 9น รากอีกสองตวัที�เหลอืคือ √2 ∠ 135° และ √2 ∠ 255° ดงันั 9น �� = .√2 ∠ 135°4.√2 ∠ 255°4 = .√2 × √24 ∠ �135° + 255°� = 2 ∠ 390° = 2 ∠ 30° = 2�cos 30° + � sin 30°� = 2 �√

� + *� �� = √3 + �

19. 43 จะเห็นวา่ = มีจํานวนบวกอยู ่6 จํานวน จํานวนลบอยู ่6 จํานวน และตวัเลขของทกุตวัเป็นจํานวนเฉพาะ กรณี �, เป็นบวกทั 9งคู ่: จะได้ �| | + |�| = � + � = 2� กรณี � ≠ : เนื�องจากลาํดบัก่อนหลงัของ �, ไมม่ีผลกบัคา่ 2� จึงต้องนบัจํานวนแบบของ �, แบบไมส่น

ลาํดบั ซึ�งจะมจํีานวนแบบ = .3�4 = 3×� = 15 แบบ เนื�องจาก จํานวนบวกทั 9ง 6 จํานวนเป็นจํานวนเฉพาะ

ดงันั 9น ใน 15 แบบนี 9 จะไมม่ีแบบไหนที� 2� เทา่กนัได้ กรณี � = : มีจํานวนบวก 6 จํานวน จะเลอืก � ได้ 6 แบบ แต ่ ต้องตาม � ได้แบบเดียว

ดงันั 9น จํานวนแบบ = 6 แบบ

=� + 6 − 5= = 0 �= − 2��= − 3� = 0 = = 2 , 3

cos� 2A + 2 cos 2A cos B + cos� B + sin� 2A + 2 sin 2A cos B + sin� B = 3 �cos� 2A + sin� 2A� + �cos� B + sin� B� + 2 cos 2A cos B + 2 sin 2A cos B = 3 1 + 1 + 2�cos 2A cos B + sin 2A cos B� = 3 cos�2A − B� = *�


รวมสองกรณี จะได้กรณีที� �, เป็นบวกทั 9งคู ่ มีคา่ �| | + |�| ทั 9งหมด 15 + 6 = 21 แบบ กรณี �, เป็นลบทั 9งคู ่: จะได้ �| | และ |�| เป็นลบทั 9งสองจํานวน ดงันั 9น �| | + |�| จะเหมือน กรณีแรก

เพียงแตจ่ะได้คา่ �| | + |�| ติดลบ ดงันั 9น จะได้จํานวนแบบเพิ�มอีก 21 แบบ กรณี �, เป็นบวกหนึ�งตวั ลบหนึ�งตวั : จะได้ �| | และ |�| เป็นบวกหนึ�งตวั ลบหนึ�งตวั ดงันั 9น �| | + |�| จะ

หกักนักลายเป็น 0 เสมอ ดงันั 9น กรณีนี 9 จะได้ �| | + |�| แบบเดียว คือ ศนูย์ รวมทกุกรณี จะได้จํานวนแบบ = 21 + 21 + 1 = 43 แบบ 20. *

*qq จํานวนแบบทั 9งหมด : เลอืก � และ ^ ได้อยา่งละ 10 ตวั ดงันั 9น จํานวนแบบทั 9งหมด = 10 × 10 = 100 จํานวนแบบที� �� + ^� < 25 ต้องใช้แรงลยุนบั จะมีทั 9งหมด 13 แบบ ดงันั 9น ความนา่จะเป็น = *

*qq 21. �p

*qqq หาจํานวนแบบทั 9งหมดก่อน เนื�องจาก �, ^, � เลอืกเป็น 1, 2, 3, … , 10 ได้ตวัละ 10 แบบ ดงันั 9น จํานวนแบบทั 9งหมด = 10 × 10 × 10 = 1000 จํานวนแบบที� � < ^ และ � < � จะแบง่กรณีนบั ตามคา่ � กรณี � = 1 : จะได้ ^, � เป็นได้แค ่2, 3, 4, … , 10 ได้ตวัละ 9 แบบ จะได้จํานวนแบบ = 9� แบบ กรณี � = 2 : จะได้ ^, � เป็นได้แค ่3, 4, 5, … , 10 ได้ตวัละ 8 แบบ จะได้จํานวนแบบ = 8� แบบ ⋮ กรณี � = 9 : จะได้ ^, � เป็นได้แค ่10 เทา่นั 9น ได้ตวัละ 1 แบบ จะได้จํานวนแบบ = 1� แบบ กรณี � = 10 : จะไมม่ี ^, � ที�สอดคล้องกบัเงื�อนไข ดงันั 9น จํานวนแบบตามเงื�อนไข = 9� + 8� + 7� + … + 1� = L�L7*��L�7*�

3 = 285 แบบ ดงันั 9น ความนา่จะเป็น = �p

*qqq 22. 84.25 P�q = 50.5 = ขอบบนของชั 9นที� 2 พอดี เนื�องจากขอบบนของชั 9น จะเทา่กบัตวัสดุท้ายของชั 9น ดงันั 9น P�q = ตวัสดุท้ายของชั 9นที� 2 = ตวัที� 6 + � แตม่ีคน 80 คน ดงันั 9น P�q = ตวัที� �q

*qq × 80 = 16 ดงันั 9น 6 + � = 16 จะได้ � = 10 มี 80 คน ดงันั 9น 6 + � + 18 + 25 + 10 + ^ + 3 = 80 แทน � = 10 จะแก้สมการได้ ^ = 8 จะสร้างช่องความถี�สะสมได้ดงัรูป เกรด A มี 10% ดงันั 9น ตํ�าสดุของเกรด A คือ PLq ซึ�ง PLq จะอยูต่วัที� Lq

*qq × 80 = 72 ซึ�งจะอยูใ่นชั 9นรองสดุท้าย (เพราะความถี�สะสมถึง 72 ในชั 9นนี 9) ดงันั 9น PLq = � + ��x��w�� – ��

�� × � = 80.5 + �� – 3Lp � × 10 = 80.5 + 3.75 = 84.25

�1,1� , �1,2� , �1,3� , �1,4� �2,1� , �2,2� , �2,3� , �2,4� �3,1� , �3,2� , �3,3� �4,1� , �4,2�

คะแนนสอบ ความถี� ความถี�สะสม 31 – 40 6 6 41 – 50 10 16 51 – 60 18 34 61 – 70 25 59 71 – 80 10 69 81 – 90 8 77 91 – 100 3 80


23. 37.45% 10% ได้มากกวา่ 80 จะวาดได้ดงัรูป พื 9นที�ที�ใช้เปิดตาราง จะเป็นพื 9นที�ที�วดัจากแกนกลางไปทางขวา เนื�องจากพื 9นที�ใต้โค้งแบง่เป็นฝั�งซ้ายขวาฝั�งละ 0.5 ดงันั 9น = = 0.5 − 0.1 = 0.4 เปิดตาราง จะได้ � = 1.28 ดงันั 9น pq�8̅

= 1.28 → 80 – �̅ = 1.28¡ …�1� ถดัมา 10% ได้น้อยกวา่ 40 จะวาดได้ดงัรูป ทําแบบเดมิ แตฝั่�งซ้ายจะใช้ � ติดลบ จะได้ � = −1.28 ดงันั 9น �q�8̅

= −1.28 → 40 – �̅ = −1.28¡ …�2� แก้ �1� และ �2� จะหา �̅ และ ¡ ได้ : �1� + �2� จะได้ 120 − 2�̅ = 0 ดงันั 9น �̅ = 60 แทน �̅ = 60 ใน �1� จะได้ ¡ = �q

*.�p ดงันั 9น 65 คะแนน คิดเป็น � = 3�3qK�w.Kx

= 5 × *.�p�q = 0.1255

ซึ�งจากตารางที�โจทย์ให้ จะได้ = = 0.1255 และจะวาดได้ดงัรูป ดงันั 9น พื 9นที�ทางขวาของ 65 จะเทา่กบั 0.5 − 0.1255 = 0.3745 = 37.45% 24. rK7�r

*�rK กระจาย [: ดงันั 9น [: − จะตดั ได้ เหลอื �� + �� + �3 + … + ��:� + 2�� + �� + � + … + �:� จะเห็นวา่

∞→nlim �[: − � จะกลายเป็นอนกุรมอนนัต์ 2 อนั ที�มีอตัราสว่นร่วมคือ �� และ �

ซึ�งโจทย์บอกวา่ |�| < 1 ดงันั 9น |��| < 1 จะได้อนกุรมลูเ่ข้า และ ใช้สตูร rw*�6 ได้ จะได้คําตอบ = rK

*�rK + 2 � r*�r� = rK

*�rK + �r�*7r��*�r��*7r� = rK7�r

*�rK 25. 135 มธัยฐาน จะอยูต่วัตรงกลาง คือตวัที� L7*

� = 5 ดงันั 9น � = 15 จากสตูรลาํดบัเลขคณิต จะได้ � = �* + 4¢ ดงันั 9น �* + 4¢ = 15 จากสตูรอนกุรมเลขคณิต จะได้ผลบวกที�โจทย์ถาม = [L = L� �2�* + 8¢� = L� ∙ 2��* + 4¢� = L� ∙ 2�15� = 135 26. 2 ตอ่เนื�องที� � = 1 แสดงวา่ ถ้าแทน � = 1 ลงไปตรงรอยตอ่ของสตูร คือ h�� กบั � + 2� ต้องได้คา่เทา่กนั ดงันั 9น จะได้ h�1� = 1 + 2�1� = 3 เนื�องจาก �i ∘ h�� = i.h��4 ดงันั 9น �i ∘ h�m�� = £

£8 i.h��4 = £

£ ¤�8� i.h��4 ∙ ££8 h��

= ££ ¤�8� i.h��4 ∙ hm��

แตโ่จทย์ให้ �i ∘ h�m�1� = 58 ดงันั 9น ££ ¤�8� i.h��4 ∙ hm�� ขณะที� � = 1 จะต้องได้ 58 …�∗�

80

0.10 0.40

40

0.10 0.40

65

0.1255

= �� + 2� + 1 + �� + 2�� + 1 + �3 + 2� + 1 + … + ��: + 2�: + 1 = �� + �� + �3 + … + ��:� + �2� + 2�� + 2� + … + 2�:� + �1 + 1 + 1 + … + 1� = �� + �� + �3 + … + ��:� + 2�� + �� + � + … + �:� +

กฏลกูโซ ่


เนื�องจาก h�1� = 3 ดงันั 9น ถ้าจะหา i.h��4 เมื�อ � เข้าใกล้ 1 จะต้องใช้สตูรที�สองของ i จะได้ i.h��4 = .h��4 + 2h�� ดงันั 9น £

£ ¤�8� i.h��4 = 3.h��4� + 2 แทนใน �∗� และคิดขณะที� � = 1 จะได้ �3.h�1�4� + 2� ∙ hm�1� = 58 �3� 3 �� + 2� ∙ hm�1� = 58 แก้สมการ จะได้ hm�1� = 2 27. 7 จะเห็นวา่สมาชิกใต้แนวเส้นแทยงมมุหลกัเป็น 0 หมด → จะได้ det เทา่กบัผลคณูตวัเลขที�อยูใ่นแนวเส้นแทยงมมุหลกั ดงันั 9น i�� = �� − 3�� + 3� = � − 9� หาคา่สงูสดุตํ�าสดุสมัพทัธ์ ต้องดฟิ แล้วจบั = 0 จะได้ แทน � = ±√3 เพื�อหาคา่สงูสดุตํ�าสดุสมัพทัธ์ จะได้ i.√34 = .√34 − 9.√34 = −6√3 → � และ i.−√34 = .−√34 − 9.−√34 = 6√3 → G ดงันั 9น ต้องหาจํานวนเต็ม � ที�ทําให้ เนื�องจาก คา่สงูสดุตํ�าสดุสมัพทัธ์ เกิดที� ±√3 ดงันั 9น จํานวนเต็ม � ที�อยูใ่นชว่ง [−√3 , √3] ซึ�งได้แก่ −1, 0, 1 จะสอดคล้องกบั � ≤ i�� ≤ G อยา่งแนน่อน ที�เหลอืต้องแทนคา่ด ู ถ้าเลยจาก −4 กบั 4 ไป จะไมม่ีจดุสมัพทัธ์ให้ i�� วกกลบัแล้ว ดงันั 9น จะมแีค ่ −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ทั 9งหมด 7 จํานวนเทา่นั 9น ที�สอดคล้องกบัเงื�อนไขของ [ 28. � = −

� จาก ความชนั = im�� แตโ่จทย์บอกวา่ความชนัคือ 4� + 1 ดงันั 9น im�� = 4� + 1 อินทิเกรต จะได้ i�� = 2�� + � + ¦ …�∗� แต ่i ผา่นจดุ �1, 0� แสดงวา่ถ้าแทน � = 1 ใน �∗� จะได้ 2�1�� + 1 + ¦ = 0 แก้สมการได้ ¦ = −3 ดงันั 9น i�� = 2�� + � − 3 คา่สงูสดุสมัพทัธ์ของฟังก์ชนั o จะหาได้จากการดิฟ o แล้วจบัเทา่กบั 0 เนื�องจาก o เป็นปฏิยานพุนัธ์ของ i ดงันั 9น ดิฟ o จะย้อนกลบัไปเป็น i จบั i เทา่กบั 0 ได้ ถดัมา ต้องตดัสนิวา่ −

� กบั 1 อนัไหนเป็นสงูสดุสมัพทัธ์ อนัไหนเป็นตํ�าสดุสมัพทัธ์ วิธีการคือ ดิฟตอ่ไปอีกเที�ยว แล้วแทน −

� กบั 1 ลงไป ถ้าได้คา่บวกเป็นตํ�าสดุสมัพทัธ์ ถ้าได้คา่ลบเป็นสงูสดุสมัพทัธ์ ดิฟ 2�� + � − 3 ได้เป็น 4� + 1 จะเห็นวา่ 4 �−

�� + 1 = −5 เป็นลบ → สงูสดุสมัพทัธ์ 4� 1 � + 1 = 5 เป็นบวก → ตํ�าสดุสมัพทัธ์ ดงันั 9น � = −

� จะเป็นตาํแหนง่ที�ทําให้ o มีคา่สงูสดุสมัพทัธ์

im�� = 3�� − 9 = 0 �� = 3 � = ±√3

−6√3 ≤ i�� ≤ 6√3 −6�1.73� ≤ i�� ≤ 6�1.73� −10.38 ≤ i�� ≤ 10.38

i�−2� = �−2� − 9�−2� = 10 i�−3� = �−3� − 9�−3� = 0 i�−4� = �−4� − 9�−4� = −28 i�2� = �2� − 9�2� = −10 i�3� = �3� − 9�3� = 0 i�4� = �4� − 9�4� = 28

2�� + � − 3 = 0 �2� + 3�� − 1� = 0 � = − � , 1


29. 3 วิธีที� 1 : เนื�องจากเลขยกกําลงั จะมีหลกัหนว่ยที�วนรอบซํ 9าเป็นจงัหวะสั 9นๆ เราจะหาหลกัหนว่ยของ 4LLL + 9 ก่อน คิดเฉพาะหลกัหนว่ย จะเห็นวา่ 4~ และ 9: มีจงัหวะการวนของหลกัหนว่ยทกุ 2 ตวั : 999 เป็นเลขคี� ดงันั 9น 4LLL ลงท้ายด้วย 4 555 เป็นเลขคี� ดงันั 9น 9 ลงท้ายด้วย 9 ดงันั 9น 4LLL + 9 ลงท้ายด้วย 4 + 9 = 13 ลงท้ายด้วย 3 ซึ�งจํานวนที�ลงท้ายด้วย 3 จะหารด้วย 5 เหลอืเศษ 3 เสมอ วิธีที� 2 : 4LLL + 9 = �5 − 1�LLL + �10 − 1� จากทฤษฏีบททวินาม : �5 − 1�LLL = 5LLL + .LLL* 45LLp�−1�* + … + .LLLLLp45*�−1�LLp + �−1�LLL �10 − 1� = 10 + .* 410��−1�* + … + .�410*�−1�� + �−1� จะเห็นวา่ทกุตวัที�กระจายออกมา หารด้วย 5 ลงตวัหมด ยกเว้นตวัสดุท้าย �−1�LLL กบั �−1� ซึ�งรวมกนัได้ −2 ดงันั 9น 4LLL + 9 = จํานวนที�หารด้วย 5 ลงตวั − 2 นั�นคือ ถ้าบวก 4LLL + 9 เพิ�มไปอีก 2 มนัจะหารด้วย 5 ลงตวั ดงันั 9น 4LLL + 9 หารด้วย 5 เหลอืเสษ 3 30. 360 จาก � = + 2 ดงันั 9น ห.ร.ม. ชอง � และ = ห.ร.ม. ชอง + 2 และ ถ้าเอา + 2 กบั ไปหา ห.ร.ม. ด้วยวิธีตั 9งสองแถว จะเห็นวา่รอบแรกก็เหลอื 2 แล้ว ดงันั 9น ห.ร.ม. ของ � และ จะไมม่ีทางเกิน 2 ไปได้ …�1� และเนื�องจาก ค.ร.น. = 180 เป็นเลขคู ่ ดงันั 9น � และ ต้องมีเลขคูอ่ยูอ่ยา่งน้อย 1 ตวั จาก � = + 2 จะเห็นวา่ ถ้า เป็นคี� จะได้ � เป็นคี� ซึ�งเป็นไปไมไ่ด้ (เพราะเลขคี�สองตวั จะมี ค.ร.น. เป็นคูไ่มไ่ด้) ดงันั 9น ต้องเป็นคู ่และจะได้ � เป็นคูด้่วย ทําให้ ห.ร.ม. จะมี 2 เป็นอยา่งน้อย …�2� จาก �1� และ �2� สรุปได้วา่ ห.ร.ม. = 2 ได้สถานเดียว จากสมบตัิของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. จะได้ � = ห.ร.ม. × ค.ร.น. = 2 × 180 = 360 เครดิต ขอบคณุ ข้อสอบ และเฉลย จาก อาจารย์ศิลา สขุรัศมี (Facebook : Sila Sookrasamee� จากกลุม่คณิตมธัยมปลาย http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ ที�จําข้อสอบออกมาได้เป๊ะทกุข้อนะครับ 555 ขอบคณุ เฉลยของคณุ ติวเตอร์อุย๋ http://www.tutoroui.com/ และ http://www.tutoroui-plus.com/ ด้วยครับ ผมใช้เป็นแนวทางในการทําเฉลยและช่วยผมได้เยอะเลย ขอบคณุ คณุ Tarm Chaidirek ที�ช่วยบอกจดุผิดในข้อ 9 ให้ด้วยครับ

4* = 4 ลงท้ายด้วย 4 4� = 4 × 4 ลงท้ายด้วย 6 4 = 6 × 4 ลงท้ายด้วย 4 ซํ 9าแล้ว

9* = 9 ลงท้ายด้วย 9 9� = 9 × 9 ลงท้ายด้วย 1 9 = 1 × 9 ลงท้ายด้วย 9 ซํ 9าแล้ว

1 + 2 2

exam57

Lifestyle