7/22/2019 Exame 2006 - I

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Exames Nacionais

Grupo I

1. Na figura esto representadas, em referencial o. n. xOy, partes dos grficos de duas funes,

f e g, contnuas em R .

Tal como a figura sugere:

nenhum dos grficos intersecta o eixo Ox;

os grficos de g e de f intersectam o eixo Oy nos pontos de ordenadas 0,5 e 2 , respec-

tivamente.

Apenas uma das equaes seguintes impossvel. Qual delas?

(A) f(x) + g(x) = 0

(B) f(x) - g(x) = 0

(C) f(x) * g(x) = 1

(D) f(x)g(x)

= 1

As sete questes deste grupo so de escolha mltipla.

Para cada uma delas, so indicadas quatro alternativas, das quais s uma est correcta.

Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente alternativa que seleccionar

para responder a cada questo.

Se apresentar mais do que uma resposta, a questo ser anulada, o mesmo acontecendo se

a letra transcrita for ilegvel.

No apresente clculos, nem justificaes.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDRIO

12. Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n. 286/89, de 29 de Agosto)Cursos Gerais e Cursos Tecnolgicos

Durao da prova: 120 minutos 1. FASE

2006 VERSO 1PROVA ESCRITA DE MATEMTICA

Cotaes

9

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2. Seja g a funo definida em R por g(x) = .

Considere a sucesso de termo geral un= .

Indique o valor de g(un) .

(A) 4 (B) 3

(C) 2 (D) 1

3. Seja h a funo, de domnio R , definida por:

h (x) = (ln designa logaritmo de base e)

Qual das seguintes expresses pode tambm definir h ?

(A) (B)

(C) (D)

4. Na figura est representada parte do grfico de uma funo polinomial f.

Tal como a figura sugere, o grfico de f tem a concavidade voltada para cima em ]- ? , 0]e voltada para baixo em [0 , + ? [ .

A recta r, tangente ao grfico de f no ponto de abcissa 0 , paralela bissectriz dos qua-

drantes mpares e intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa - 2 .

Sabendo que f' e f'' designam, respectivamente, a primeira e a segunda derivadas de f,

indique o valor de f(0) + f'(0) + f''(0) .

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

5. Seja W o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria.

Sejam A e B dois acontecimentos (A W e B W) .

Sabe-se que P(A) = 0,3 .

Apenas um dos acontecimentos seguintes pode ter probabilidade inferior a 0,3 .

Qual deles ?

(A) A B (B) A B

(C) A B (D) AAB

A

x2

x

4

x

2x

ln ex

2

limn" +?

n+ 1n2

ex + 52+ cos x

1. fase 2006

9

9

9

9

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6. Uma varivel aleatria X tem a seguinte distribuio de probabilidades:

Indique o valor de a.

(A) 2005C99 (B)2005C100 (C)

2006C99 (D)2006C100

7. Os pontos A e B, representados na figura, so as imagens geo-

mtricas, no plano complexo, das razes quadradas de um certo

nmero complexo z.

Qual dos nmeros complexos seguintes pode ser z?

(A) 1 (B) i

(C) - 1 (D) - i .

Grupo II

1. Seja C o conjunto dos nmeros complexos; i designa a unidade imaginria.

1.1. Sem recorrer calculadora, determine , apresentando o resultado final na

forma trigonomtrica.

1.2. Considere que, para qualquer nmero complexo z no nulo, arg (z) designa o argu-

mento de z que pertence ao intervalo [0 , 2[ .

Represente a regio do plano complexo definida pela condio, em C ,

|z | 1 arg (z)

e determine a sua rea.

2.

2.1. Uma coluna com a forma de um prisma hexagonal regular est assente no cho de um

jardim. Dispomos de seis cores (amarelo, branco, castanho, dourado, encarnado e verde)

para pintar as sete faces visveis (as seis faces laterais e a base superior) desse prisma.

Admita que se pintam de verde duas faces laterais opostas.

Determine de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas as restantes cinco faces,

de tal modo

que duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes;

e que duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor.

5p

4

3p

4

1

2

4+ 2i 1cisp

626

3+ i

Nas questes deste grupo apresente o seu raciocnio de forma clara, indicando todos os

clculos que tiver de efectuar e todas as justificaes necessrias.

Ateno: quando, para um resultado, no pedida a aproximao, pretende-se sempre o

valor exacto.

Exames Nacionais

9

9

10

11

10

xi 0 1

P(X= xi)2005

C992006

C100

a2006

C100

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2.2. Considere um prisma hexagonal regular num referencial o. n. Oxyz, de tal forma que

uma das suas bases est contida no plano de equao z= 2 .

Escolhendo ao acaso dois vrtices do prisma, qual a probabilidade de eles definirem

uma recta paralela ao eixo Oz? Apresente o resultado na forma de fraco irredutvel.

3. De uma caixa com 10 bolas brancas e algumas bolas pretas, extraem-se sucessivamente, e

ao acaso, duas bolas, no repondo a primeira bola extrada antes de retirar a segunda. Consi-dere os acontecimentos:

A : A primeira bola extrada preta

B: A segunda bola extrada branca

Sabe-se que P(B|A) = (P(B|A) designa probabilidade de B, se A)

Quantas bolas pretas esto inicialmente na caixa? Numa pequena composio, justifique a sua

resposta, comeando por explicar o significado de P(B|A) , no contexto da situao descrita.

4. Na figura esto representados:

parte do grfico da funo f, de domnio R , definida por f(x) = e- x ;

um tringulo issceles [OPQ] , em que:

O a origem do referencial

P um ponto do grfico de f

Q pertence ao eixo das abcissas

Considere que o ponto P se desloca no primeiro quadrante (eixos no includos), ao longo

do grfico de f.

O ponto Q acompanha o movimento do ponto P , deslocando-se ao longo do eixo das

abcissas, de tal modo que permanece sempre igual a .

Seja A a funo de domnio R+ , que faz corresponder, abcissa x do ponto P, a rea dotringulo [OPQ] .

4.1. Mostre que, para cada x R+ , se tem A (x) = xe-x .

4.2. Sem recorrer calculadora, estude a funo A quanto monotonia e conclua qual o

valor mximo que a rea do tringulo [OPQ] pode assumir.

5. De uma certa funo f, de domnio R , sabe-se que:

f contnua;

a recta de equao y= x assimptota do grfico de f , quer quando x" + ? , querquando x" - ? .

Mostre que o grfico da funo g , definida, em R , por g(x) = x f(x) , no tem qualquer

assimptota.

PQPO

(PO=PQ)

1

2

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10

12

14

14

14

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6. Na figura est representada uma esfera suspensa de um fio com 1 metro de comprimento,

fixo no ponto O.

O centro da esfera oscila entre os pontos A e B, que so simtricos relativamente recta

vertical r.

A recta r passa pelo ponto O e perpendicular recta OS.No instante inicial, o centro da esfera coincide com o ponto A .

Admita que, t segundos aps esse instante inicial, o centro da esfera est num ponto P tal

que a amplitude, em radianos, do ngulo SOP dada (aproximadamente) por:

a(t) = cos

Nas duas alneas seguintes, no utilize a calculadora, a no ser para efectuar eventuais clcu-

los numricos.

6.1. Determine a distncia do centro da esfera recta OS, no instante inicial.

6.2. Determine o instante em que o centro da esfera passa pela primeira vez na recta r .

Apresente o resultado em segundos, arredondado s dcimas.

7. Considere a funo f definida no intervalo [1 , 2] por f(x) = cos (x- 1) + ln x (ln designalogaritmo de base e).

Para um certo valor real positivo a e para um certo valor real b, a funo g, definida no

intervalo [1 , 2] por g(x) = a f(x) + b, tem por contradomnio o intervalo [4 , 5] .

Utilizando as capacidades grficas da sua calculadora, determine os valores de a e de b ,

arredondados s centsimas.

Explique como procedeu. Na sua explicao, deve incluir o grfico, ou grficos, que tenha

visualizado na calculadora, bem como coordenadas relevantes de algum, ou alguns, ponto(s).

Sempre que, em valores intermdios, proceder a arredondamentos, conserve um mnimo de

trs casas decimais.

FIM

(9,8 t)p

2- p

6

Exames Nacionais

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14

14

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Grupo I

1. Da leitura dos dados e da observao dos grficos das funes f e g possvel concluir que f(x) > 0 ,Ax R e g(x) > 0 , Ax R .

Logo, f(x) +g(x) > 0 , Ax R , pelo que a equao f(x) +g(x) = 0 impossvel.Resposta: (A) .

2. un= = = = 0 .

Atendendo a que un" 0 e definio, segundo Heine, de limite de uma funo num ponto, tem-se que:

g(un) = g(x) = = 2

Resposta: (C) .

3. h (x) = ln porque logaax= x(x R+ e a R+\ {1})

Resposta: (C) .

4. Dado que f uma funo polinomial, admite primeira e segunda derivadas em R .

Ento:

f''(0) = 0 (O ponto de abcissa 0 um ponto de inflexo e, portanto, se f'' (0) existe necessaria-mente nula.)

f'(0) = 1 (f'(0) = declive da recta r. Como a recta r paralela recta de equao y= x, tem declive 1 . )

f(0) = 2 (O ponto do grfico de f com abcissa zero tambm pertence recta r o ponto de tan-gncia. Como a recta r tem declive 1 e passa no ponto (- 2 , 0) , tambm passa no ponto(0 , 2) . Logo, f(0) = 2.)

f(0) +f'(0) +f''(0) = 2 + 1 + 0 = 3

Resposta: (C) .

5. Tem-se que:

P(AB) P(A) . Logo, P(AB) 0,3 .

P( B) P( ) . Ento, P( B) 0,7 .

P(AB) P(A) . Ora, como P(A) = 0,3 , P(AB) , pode ser inferior a 0,3 .

Resposta: (C) .

6. pi= 1

2005C99+a= 2006C100

Como nCp+n+ 1Cp= n+ 1Cp+ 1 tem-se que a= 2005C100 .

Resposta: (B) .

2005C99+a2006C100

= 1

2005C992006C100

+ a2006C100= 1^

2

i= 1

AAA

41ex22= x

23ln (ex)

2 = ln 1e

x

222

=

x

22= x

4

ex + 52+ cos x

= 1+ 52+ 1

limx"0

limx"0

limn" +?

1n

limn" +?

n

n2lim

n" +?

n+ 1n2

limn" +?

limn" +?

Sugesto de resoluo

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P = 1 -P(A) = 1 - 0,3 = 0,7(A)

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7. As razes quadradas de 1 so 1 e - 1 (tm imagens sobre o eixo real);

= = cis = cis , k {0 , 1}

As razes quadradas de i so, portanto, cis e cis (tm imagens no primeiro e no terceiro

quadrantes).

As razes quadradas de - 1 so i e - i (tm imagens sobre o eixo imaginrio).

= = cis = cis , k {0 , 1}

As razes quadradas de - i so cis e cis (tm imagens no segundo e no quarto quadrantes).

Resposta: (D) .

Grupo II

1.

1.1. = = = = =

= = = = = = 1 - i

|1 - i| = =

Seja arg (1 - i) = q .

Logo, 1 - i = cis

1.2. A regio pedida representada a sombreado na figura seguinte.

rea da coroa circular = p* 12 - p* = p- = .

A rea da regio sombreada corresponde a da rea do sector circular: A= = .3p

16

3p4

4

1

4

3p4

p

41122

2

O

y

1- p422

tg q =- 1

1= - 1

q= - p

4q 4. Q

adbdc

212 + (- 1)2

10- 10i10

12- 10i- 29+ 1

12- 4i- 6i+ 2i2

9- i2(4- 2i)* (3+ i)(3+ i)* (3- i)

4- 2i3+ i

4+ 2i * (- 1)3+ i

4+ 2i (cos p+ i sin p)3+ i

4+ 2i cis p3+ i

4+ 2i cis 6p6

3+ i

4+ 2i 1cis p626

3+ i

7p4

3p4

3p+ 4kp4

3p2+ 2kp

2cis 3p

2- i

5p4

p

4

p+ 4kp4

p

2+ 2kp

2cis p

2i

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2.

2.1. Para pintar as restantes cinco faces necessrio escolher ordenadamentetrs cores entre as cinco disponveis:

As restantes cinco faces podem ficar pintadas de 60 maneiras diferentes.

Em alternativa, o nmero de maneiras de pintar as restantes cinco facespode ser dado por 5A3= 60 .

2.2. Nmero de casos possveis: 12C2= 66 (so escolhidos dois vrtices em 12 possveis).

Nmero de casos favorveis: 6 (correspondem s rectas-suporte das arestas laterais do prisma)

Probabilidade pedida:

P= = .

3. P(B|A) significa a probabilidade de a segunda bola extrada ser branca sabendo que a primeira bolaextrada foi preta.

Ora, se P(B|A) = , podemos concluir que, aps se ter extrado uma bola preta, ficaram, na caixa, tantas

bolas pretas como brancas, ou seja, ficaram na caixa 10 bolas pretas.

Portanto, inicialmente havia 11 bolas pretas na caixa.

4.

4.1. Dado que o tringulo [OPQ] issceles e x a abcissa do ponto P tem-se que = 2x.

A altura do tringulo corresponde ordenada do ponto P, sendo, portanto, dada por f(x) = e-x .

A (x)= =

= = =xe-x2x* e-x

2OQ*f(x)

2

Base* altura2

OQ

12

111

666

N.o de escolhas:

5 * 4 * 3 = 60

Cor 3

3

Cor 2

4

Cor 1

5

1. fase 2006

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4.2. A' (x) = (x e-x)' =x' e-x+x(e-x)' = e-x+x(- e-x) = e-x-xe-x= e-x (1 -x)

A' (x) = 0 e-x (1 -x) = 0 e-x= 0 1 -x= 0 x= 1

Sinal de A' (x) e variao de A (x) :

A (1) = 1 * e- 1 =

A funo A estritamente crescente em ] 0 , 1] e estritamente decrescente em [ 1 , + ? [ .

O valor mximo da rea do tringulo [OPQ] e obtido para x= 1 .

5. g(x) =x f(x) .

A funo g contnua em R por ser definida pelo produto de duas funes contnuas em R (afuno f e uma funo polinomial). Logo, o grfico de g no admite assimptotas verticais.

Se a recta de equao y=x uma assimptota do grfico de f , quer quando x" + ? , querquando x" - ? , tem-se que:

f(x) = x= + ? e f(x) = x= - ? .

Seja y=mx+b uma equao da assimptota do grfico de g, quando x" + ? :

m= = = f(x) = + ?

Logo, no existe assimptota no vertical do grfico de g, quando x" + ? .

Seja y=mx+b uma equao da assimptota do grfico de g, quando x" - ? :m= = = f(x) = - ?

Logo, no existe assimptota no vertical do grfico de g, quando x" - ? .

Podemos assim concluir que o grfico de g no tem qualquer assimptota.

6. a(t) =

6.1. a(0) = =

No momento inicial, a distncia do centro da esfera recta OS dada por sendo C o ponto

da recta OS tal que o tringulo [OPC] rectngulo em C com COWP= a(0) = .

= sin = = .3

2PC

3

2

PC

11p

32PC

OP

p

3

PC

p

2- p

6= p

3p

2- p

6cos (0)

p

2- p

6cos (9,8 t)

limx" -?

xf(x)x

limx" -?

g(x)x

limx" -?

limx" +?

xf(x)x

limx" +?

g(x)x

limx" +?

limx" -?

limx" -?

limx" +?

limx" +?

1e

1e

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x 0 1 +?

A' (x) + 0 -A (x)

1

e

7/22/2019 Exame 2006 - I

10/10

6.2. a(t) = - cos =

cos = 0

cos = 0

= +kp , k Z t= , k Z

O instante em que o centro da esfera passa pela primeira vez na recta r corresponde soluo daequao anterior que se obtm para k= 0 :

t= = ) 0,5 .

Ento, t) 0,5 s .

7. Recorrendo calculadora grfica foi obtido o grfico da funo f no intervalo [1 , 2] .

Igualmente se determinaram os extremos absolutos da funo tendo-se obtido os valores indicados.

O contradomnio da funo f [1 ; 1,297] .

Sendo g(x) =a f(x) +b definida no intervalo [1 , 2] , para que o seu contradomnio seja o intervalo[4 , 5] , ter de ser:

Logo, tem-se a) 0,63 e b) 3,37 .

b) 0,63

a) 3,37

abc

b= 4-aa= 1

0,297

abc

b= 4 -a

0,297a= 1

abc

b= 4 -a

a* 1,297 + 4 -a= 5

abc

a * 1 +b= 4

a * 1,297 +b= 5

abc

a f(1) +b= 4

a f(1,651) +b= 5

abc

g(1) = 4

g(1,651) = 5

abc

p

2* 9,8

p

2+ 0* p

9,8

p

2+kp

9,8

p

29,8 t

(9,8 t)

(9,8 t)p

6

p

2(9,8 t)

p

6p

2p

2

1. fase 2006

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