exame 2010 - i

Exames Nacionais

400

Grupo I

1. Seja W o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria, e sejam A e Bdois acontecimentos (A W e B W) .

Sabe-se que:

P (A) = 30% ;

P (A B) = 70% ;

A e B so incompatveis.

Qual o valor de P (B) ?

(A) 21% (B) 40%

(C) 60% (D) 61%

2. Num grupo de dez trabalhadores de uma fbrica, vo ser escolhidos trs, ao acaso, para fre-quentarem uma aco de formao. Nesse grupo de dez trabalhadores, h trs amigos, oJoo, o Antnio e o Manuel, que gostariam de frequentar essa aco.

Qual a probabilidade de serem escolhidos, exactamente, os trs amigos?

(A) (B)

(C) (D) 310C31

10C3

310A3

110A3

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleccione a nica opo correcta.

Escreva, na folha de respostas, o nmero do item e a letra que identifica a opo seleccio-nada.

No apresente clculos, nem justificaes.

Prova Escrita de Matemtica A12. Ano de Escolaridade

Prova 635/1. Fase

Durao da Prova: 150 minutos. Tolerncia: 30 minutos

2010 VERSO 1

Decreto-Lei n. 74/2004, de 26 de Maro

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDRIO

Cotaes

5

5

CPEN_MA12_P399_420_20110756_1P.qxp 7/8/11 9:57 AM Page 400**amonteiro**Leopard:Users:amonteiro:Documents:Trabalho: REEDIES:46972_CPEN-MA12:

1. fase 2010

401

3. A tabela de distribuio de probabilidades de uma varivel aleatria X a seguinte.

Qual das igualdades seguintes verdadeira, considerando os valores da tabela?

(A) P (X = 0) = P (X > 1)

(B) P (X = 0) = P (X = 2)

(C) P (X = 0) = P (X = 3)

(D) P (X < 2) = P (X = 3)

4. Na Figura 1, est representada, num referencial o. n. xOy , parte do grfico de uma funoafim f , de domnio R .

Seja h a funo definida por h (x) = f (x) + ex .

Em qual das opes seguintes pode estar representada parte do grfico da funo h'' ,segunda derivada h ?

(A) (B)

(C) (D)

Figura 1

xi 0 1 2 3

P (X = xi)15

12 2a a

5

5

CAESMA12-26


Exames Nacionais

402

5. Na Figura 2, est representada, num referencial o. n. xOy , parte do grfico de uma funo f ,contnua, de domnio ]- ? , 1[ .

Tal como a Figura 2 sugere, a recta de equao x = 1 assimptota do grfico de f .

Qual o valor de ?

(A) - ? (B) 3 (C) 0 (D) + ?

6. Seja g a funo, de domnio ]- 2 , + ?[ , definida por g (x) = ln (x + 2) .

Considere, num referencial o. n. xOy , um tringulo [OAB ] tal que:

O a origem do referencial;

A um ponto de ordenada 5 ;

B o ponto de interseco do grfico da funo g com o eixo das abcissas.

Qual a rea do tringulo [OAB ] ?

(A) (B) (C) (D)

7. Em C , conjunto dos nmeros complexos, considere z = 3 cis , com q R .

Para qual dos valores seguintes de q podemos afirmar que z um nmero imaginriopuro?

(A) - (B) (C) (D)

8. Na Figura 3, est representada, no plano complexo, a sombreado, parte do semiplano defi-nido pela condio Re (z) > 3 .

Figura 3

5p8

p8

p2

p2

1p8 - q2

ln 22

5 ln 22

12

52

limx "1-

3xf (x)

Figura 2

5

5

5


1. fase 2010

403

Qual dos nmeros complexos seguintes tem a sua imagem geomtrica na regio represen-tada a sombreado?

(A)

(B)

(C)

(D)

Grupo II

1. Em C , conjunto dos nmeros complexos, considere z1 = cis e z2 = 2 + i .

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a mtodos exclusivamente analticos.

1.1. Determine o nmero complexo w = .

(i designa a unidade imaginria, e z2 designa o conjugado de z2 )

Apresente o resultado na forma trigonomtrica.

1.2. Mostre que .

2. Dos alunos de uma escola, sabe-se que:

a quinta parte dos alunos tem computador porttil;

metade dos alunos no sabe o nome do director;

a tera parte dos alunos que no sabe o nome do director tem computador porttil.

2.1. Determine a probabilidade de um aluno dessa escola, escolhido ao acaso, no ter com-putador porttil e saber o nome do director.

Apresente o resultado na forma de fraco irredutvel.

2.2. Admita que essa escola tem 150 alunos. Pretende-se formar uma comisso de seis alu-nos para organizar a viagem de finalistas.

Determine de quantas maneiras diferentes se pode formar uma comisso com, exacta-mente, quatro dos alunos que tm computador porttil.

\z1 + z2| 2= 6 + 4 cos 1p72 + 2 sin 1

p72

3 - i * (z1)7

z2

1p72

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os clculos que tiver de efectuar e todas asjustificaes necessrias.

Ateno: quando, para um resultado, no pedida a aproximao, apresente sempre o valor exacto.

33 cis 1p22

3 cis 1p22

33 cis 1p62

3 cis 1p62

15

15

15

10


Exames Nacionais

404

3. Considere o problema seguinte:

Num saco, esto dezoito bolas, de duas cores diferentes, de igual tamanho e textura, indis-tinguveis ao tacto. Das dezoito bolas do saco, doze bolas so azuis, e seis bolas so verme-lhas.

Se tirarmos duas bolas do saco, simultaneamente, ao acaso, qual a probabilidade de elasformarem um par da mesma cor?

Uma resposta correcta para este problema .

Numa composio, explique porqu.

A sua composio deve incluir:

uma referncia regra de Laplace;

uma explicao do nmero de casos possveis;

uma explicao do nmero de casos favorveis.

4. Na Internet, no dia 14 de Outubro de 2009, pelas 14 horas, colocaram-se venda todos osbilhetes de um espectculo.O ltimo bilhete foi vendido cinco horas aps o incio da venda.

Admita que, t horas aps o incio da venda, o nmero de bilhetes vendidos, em centenas, dado, aproximadamente, por

N (t ) = 8 log4 (3t + 1)3 - 8 log4 (3t + 1) , t [0 , 5]


4.1. Mostre que N (t ) = 16 log4 (3t + 1) , para qualquer t [0 , 5] .

4.2. Determine quanto tempo foi necessrio para vender 2400 bilhetes.

Apresente o resultado em horas e minutos.

Se utilizar a calculadora em eventuais clculos numricos, sempre que proceder a arre-dondamentos, use trs casas decimais, apresentando os minutos arredondados s uni-dades.

5. Considere uma funo f , de domnio ]0 , 3[ , cuja derivada f ', de domnio ]0 , 3[ , defi-nida por f ' (x) = ex - .

Estude a funo f quanto monotonia e quanto existncia de extremos relativos, recor-rendo s capacidades grficas da sua calculadora.

Na sua resposta, deve:

reproduzir o grfico da funo, ou os grficos das funes, que tiver necessidade de visuali-zar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

indicar os intervalos de monotonia da funo f ;

assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento s centsi-mas.

1x

12 * 11 + 6 * 518 * 17

15

15

10

15


1. fase 2010

405

6. Considere a funo f , de domnio ]- ? , 2p] , definida por


6.1. Prove que a recta de equao y = ax + b , com a 0 0 , uma assimptota oblqua do gr-fico de f .

6.2. Determine o valor de b , de modo que f seja contnua em x = 0 .

7. Na Figura 4, esto representados, num referencial o. n. xOy , uma circunferncia e o trin-gulo [OAB ] .

Sabe-se que:

a circunferncia tem dimetro [OA] ;

o ponto A tem coordenadas (2 , 0) ;

o vrtice O do tringulo [OAB] coincide com a origem do referencial;

o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferncia superior.

Para cada posio do ponto B , seja a a amplitude do ngulo AOB , com a .


7.1. Mostre que o permetro do tringulo [OAB ] dado, em funo de a , por

f (a) = 2 (1 + cos a + sin a)

7.2. Determine o valor de a para o qual o permetro do tringulo [OAB ] mximo.

FIM

40 , p23

Figura 4

com a , b Rse x 0

se 0 < x 2p

ax + b + ex

x - sin (2x)x

adbdc

f (x) =

15

10

15

10


Sugesto de resoluo

406

CA

ESM

A12

Porto E

ditoraGrupo I

1. ; ; A e B so incompatveis. Pretende-se determinar .

Se A e B so incompatveis, e .

Substituindo os valores dados, temos .

Portanto, .

Resposta: (B) .

2. Nmero de casos possveis: (nmero de maneiras de escolher trs trabalhadores no grupo dos dez)

Nmero de casos favorveis: 1 (o grupo constitudo pelos trs amigos) .

Probabilidade pedida: .

Resposta: (C) .

3. Tem-se que . (a soma das probabilidades igual a 1) .

.

Logo, , , ; .

Portanto, .

Resposta: (B) .

4.

Resposta: (A) .

5.

Resposta: (C) .

6.

Tomando [OB ] para base do tringulo [OAB ] , a altura a ordenada do ponto A , ou seja, igual a 5 .

Como temos que .

Resposta: (A) .

A[OAB] =1 * 5

2= 5

2BO = 1

g (x) = 0 ln (x + 2) = 0 x + 2 = e0 x = 1 - 2 x = -1

limx"1-

3xf (x)

=limx"1-

3x

limx"1-

f (x)= 3+ ? = 0

h''(x) = (a + ex)' = 0 + ex = exh'(x) = (ax + b + ex)' = (ax + b)' + (ex)' = a + exh (x) = f (x) + ex h (x) = ax + b + exf (x) = ax + b

P (X = 0) = P (X = 2)

P(X = 3) = a = 110

P (X = 2) = 2a = 210

= 15

P (X = 1) = 12

P (X = 0) = 15

15+ 1

2+ 2a + a = 1 3a = 1- 1

5- 1

2 3a = 3

10 a = 1

10

^4

i =1

P (X = xi) = 1

P = 110C3

10C3

P (B) = 40%

0,7 = 0,3 + P (B) P (B) = 0,4

P (A B) = P (A) + P (B)P (A B) = 0

P (B)P (A B) = 0,7P (A) = 0,3


1. fase 2010

407

CA

ESM

A12

P

orto

Edi

tora

7.

z um imaginrio puro

Para k = 1 , temos .

Resposta: (D) .

8. Trata-se de verificar qual dos nmeros complexos dados satisfaz a condio .

As opes (C) e (D) so de excluir, porque os nmeros complexos a apresentados so imaginriospuros, pelo que tm a parte real nula.

Se

Tem-se .

Se

Tem-se .

Resposta: (B) .

Grupo II

1.

1.1. =

=

um argumento de w .

Portanto, . w = 2 cis 1p42

p4

edfdg

tg(arg w) = 11= 1

arg w 1. Q

\w|= 12 + 12 = 2

w = 1 + i

(3 + i) (2 + i)(2 - i) (2 + i)

= 6 + 3i + 2i + i2

22 - i2= 6 + 5i -1

4 + 1= 6 + 5i -1

4 + 1= 5 + 5i

5= 5

5+ 5i

5= 1 + i

w =3 - i * (z1)

7

z2=

3 - i * 1cis 1p7227

2 - i=

3 - i * cis 17p7 22 - i

= 3 - i * cis p2 - i

= 3 - i * (-1)2 - i

Re (z) = 92> 3

z = 33 cis 1p62 = 33 1cos p6+ i sin p

62 = 3313

2+ 1

2i2 = 92 +

332

i

Re (z) = 32< 3

z = 3 cis1p62 = 31cos p6+ i sin p

62 = 313

2+ 1

2i2 = 32 +

32

i

Re (z) > 3

q = - 3p8+ p = 5p

8

q = - 3p8+ kp , k Z

q = p8- p

2+ kp , k Z

p8- q = p

2+ kp , k Z

arg (z) = p2+ kp , k Z

z = 3 cis 1p8 - q2


Exames Nacionais

408

CA

ESM

A12

P

ortoE

ditora

1.2. =

= =

= =

= =

=

2.

2.1. Designemos por A e B os acontecimentos:

A : O aluno tem computador porttil

B : O aluno no sabe o nome do director.

Sabe-se que , e . Pretende-se determinar .

Sabemos que , pelo que .

Por outro lado,

=

= =

Outro processo:

;

Sabe-se que

Ento:

2.2. Sabe-se que a quinta parte dos alunos da escola tem computador porttil. Como , h, na escola,30 alunos que tm computador porttil ao contrrio dos outros 120 alunos.

O nmero de comisses diferentes que possvel formar com, exactamente, quatro alunos que tmcomputador porttil e dois alunos que no tm computador porttil dado por:

3. Segundo a regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento igual ao quociente entre o

nmero de casos favorveis a esse acontecimento e o nmero de casos possveis, se estes forem

todos equiprovveis.

O nmero de casos possveis dado por que corresponde ao nmero de maneiras de escolherum subconjunto de duas bolas entre as 18 existentes.

Para que se obtenha um par de bolas da mesma cor necessrio retirar duas bolas azuis ou duasbolas vermelhas. Dado existirem no saco doze bolas azuis e seis bolas vermelhas, possvel formar

18C2

30C4 *120C2 = 195 671 700

1505

= 30

P (B A) = 715

P (B A) = 45- 1

3

45= 1

2* 2

3+ P (B A)

P (A) = P (B) * P (A \B) + P (B A)

P (A) = P (B A) + P (B A)

P (A \B) =1- 13= 2

3P (A) = 1-P (A) = 1 - 1

5= 4

5

1 - 115 +12- 1

62 = 1 -815

= 715

1- 3P (A) + P (B) - P (A B)4

P (A B ) = P (A B) = 1 - P (A B)

P (A B) = 12* 1

3= 1

6P (A B) = P (B) * P (A \B)

P (A B )P (A \B) = 13

P (B) = 12

P (A) = 15

5 + 1 + 4 cos 1p72 + 2 sin 1p72 = 6 + 4 cos 1

p72 + 2 sin 1

p72

5 + 1cos 21p72 + sin 21p722 + 4 cos 1

p72 + 2 sin 1

p72

4 + cos 21p72 + 4 cos 1p72 + 1 + sin 21

p72 + 2 sin 1

p72

112 + cos 1p7222

+ 11+ sin1p72222

2

\z1 + z2|2 = \cis 1p72 + 2 + i \

2

= \cos 1p72 + i sin 1p72 + 2 + i \

2

= \12 + cos 1p722 + i 11 + sin 1p722 \

2

CPEN_MA12_P399_420_20110756_1P.qxp 7/8/11 2:15 PM Page 408**amonteiro**Leopard:Users:amonteiro:Documents:Trabalho: REEDIES:46972_CPEN-MA12:

1. fase 2010

409

CA

ESM

A12

P

orto

Edi

tora

pares de bolas azuis e pares de bolas vermelhas. Portanto, o nmero de casos favorveis asarem duas bolas da mesma cor igual a .

Aplicando a regra de Laplace, a probabilidade pedida .

Como , a resposta apresentada est correcta.

4.

4.1. =

=

4.2. 2400 = 24 centenas

Atendendo a que e podemos concluir que, para vender 2400 bilhetes,

foram necessrias 2 horas e 20 minutos.

5.

Na figura est representada parte do grfico da funo f ' ,

obtida na calculadora, na qual se destaca um valor aproxi-

mado de x0 , zero da funo derivada de f .

Da anlise do grfico e admitindo que x0 o nico zero def ' , resultou o seguinte quadro:

Portanto, a funo f estritamente decrescente no intervalo ]0 , x0] e estritamente crescenteno intervalo [x0 , 3[ , sendo x0 ) 0,57 . Assim, f tem um mnimo absoluto em x = x0 .

6.

6.1. Como o domnio da funo f o intervalo ]- ? , 2p] , limitado superiormente, apenas quando x " -? poder existir uma assimptota no vertical do seu grfico.

com a , b Rax + b + ex se x 0

x - sin (2x)x se 0 < x 2p

adbdc

f (x) =

x 0 x0 ) 0,57 3

f ' n.d - 0 + n.d

f n.d Mn. n.d

f '(x) = ex - 1x , Df ' = Df = 40 , 3 3

13* 60 = 207

3= 2 + 1

3

3t +1= 432 3t +1=43 3t +1= 8 t = 7

3

N (t) = 24 16 log4 (3t +1) = 24 log4 (3t +1) =2416

log4 (3t +1) =32

24 log4 (3t +1) - 8 log4 (3t +1) = 16 log4 (3t +1) , At 30 , 54

N (t) = 8 log4 (3t +1)3 - 8 log4 (3t +1) = 3 * 8 log4 (3t +1) - 8 log4 (3t +1)

P =12C2 +

6C212C2

=

12A22+

6A22

18A22

=12A2 +

6A218A2

= 12 *11+ 6 * 518 *17

P =12C2 +

6C212C2

12C2 +6C2

6C212C2


Exames Nacionais

410

CA

ESM

A12

Porto E

ditora

Ora, atendendo a que:

,

podemos concluir, por definio de assimptota no vertical do grfico de uma funo, que a recta deequao , com a 0 0 , uma assimptota oblqua do grfico de f .

6.2. f contnua em x = 0 .

Tem-se que:

Para que a funo f seja contnua em ter que ser .

Portanto, b = - 2 .

7.

7.1. O tringulo [OAB] rectngulo dado que o ngulo OBA inscrito numa semicircunferncia.

Temos, ento, que:

O permetro do tringulo [OAB ] dado por , pelo que

, ou seja, , A a .

7.2.

Portanto, o permetro do tringulo [OAB ] atinge o mximo para a = . p4

f '(a) = 0 2(cos a - sin a) = 0 a 40 , p2 3 cos a = sin a a 40 , p23 a =

p4

f ' (a) = 2 (1 + cos a + sin a)' = 2(- sin a + cos a) = 2(cos a - sin a)

40 , p2 3f (a) = 2(1+ cos a + sin a)f (a) = 2 + 2 sin a + 2 cos aP =OA +AB +OB

OBOA

= cos a OB2= cos a OB = 2 cos a

ABOA

= sin a AB2= sin a AB = 2 sin a

OA = 2

b +1= -1x = 0

f (0) = a * 0 + b + e0 = b +1

limx" 0+

f (x) = limx" 0+

x - sin (2x)x = limx" 0+1

xx -

2 sin (2x)2x 2 = limx" 0+

xx - 2 limx" 0+

sin (2x)2x

= 1- 2 *1 = -1

limx"0-

f (x) = limx"0-

(ax + b + ex) = a * 0 + b + e0 = b + 1

limx"0

f (x) = f (0)

y = ax + b

limx"-?

(f (x) - (ax + b)) = limx"-?

(ex + ax + b - (ax + b)) = limx"-?

ex = 0

a 0p4

p2

f ' n.d + 0 - n.d

f n.d Mx. n.d
