exame 2010 - ii

411

Exames Nacionais

Prova Escrita de Matemtica A12. Ano de Escolaridade

Prova 635/2. Fase

Durao da Prova: 150 minutos. Tolerncia: 30 minutos

2010 VERSO 1

Decreto-Lei n. 74/2004, de 26 de Maro

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDRIO

Grupo I

1. Uma caixa contm bolas indistinguveis ao tacto e de duas cores diferentes: azul e roxo.

Sabe-se que:

o nmero de bolas azuis 8

extraindo-se, ao acaso, uma bola da caixa, a probabilidade de ela ser azul igual a

Quantas bolas roxas h na caixa?

(A) 16 (B) 12 (C) 8 (D) 4

2. Considere todos os nmeros de cinco algarismos que se podem formar com os algarismos 5 , 6 , 7 , 8 e 9 .

De entre estes nmeros, quantos tm, exactamente, trs algarismos 5 ?

(A) 5C3 * 4A2 (B) 5C3 * 42 (C) 5A3 * 42 (D) 5A3 * 4C2

3. Na sequncia seguinte, reproduzem-se os trs primeiros elementos e os trs ltimos elemen-tos de uma linha do Tringulo de Pascal.

1 15 105 105 15 1

So escolhidos, ao acaso, dois elementos dessa linha.

Qual a probabilidade de a soma desses dois elementos ser igual a 105 ?

(A) 1 (B) (C) (D) 0 1120

160

12

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleccione a nica opo correcta.

Escreva, na folha de respostas, o nmero do item e a letra que identifica a opo seleccio-nada.

No apresente clculos, nem justificaes.

Cotaes

5

5

5

CPEN_MA12_P399_420_20110756_1P.qxp 7/8/11 9:57 AM Page 411**amonteiro**Leopard:Users:amonteiro:Documents:Trabalho: REEDIES:46972_CPEN-MA12:

Exames Nacionais

412

4. De uma funo h , de domnio R , sabe-se que:

h uma funo par;

Qual o valor de ?

(A) + ? (B) - 2 (C) 0 (D) - ?

5. Considere a funo g , de domnio R , definida por

Considere a sucesso de termo geral .

Qual o valor de ?

(A) + ? (B) 1 (C) 0 (D) - ?

6. Na Figura 1, est representada, num referencial o. n. xOy , parte do grfico da funo f ',primeira derivada de f .

Seja a R+ um ponto do domnio de f , tal que f '(a) = 0 .

Qual das afirmaes seguintes verdadeira?

(A) A funo f tem um mnimo para x = a

(B) A funo f tem um ponto de inflexo para x = a

(C) A funo f crescente em ]0 , a[

(D) A funo f decrescente em R

Figura 1

limn"+?

g (un)

un =1n

ex se x 0

ln x se x > 0

adbdc

g (x) =

limx"-?

h (x)

limx"+?

(h (x) - 2x) = 0

5

5


2. fase 2010

413

7. A Figura 2 representa um pentgono [ABCDE] no plano complexo.

Os vrtices do pentgono so as imagens geomtricas das razes de ndice n de um nmerocomplexo w .

O vrtice A tem coordenadas (1 , 0) .

Qual dos nmeros complexos seguintes tem por imagem geomtrica o vrtice D do pentgono?

(A) 5 cis (B) cis (C) cis (D) cis

8. Seja w o nmero complexo cuja imagem geomtrica est repre-sentada na Figura 3.

A qual das rectas seguintes pertence a imagem geomtrica de w 6 ?

(A) Eixo real

(B) Eixo imaginrio

(C) Bissectriz dos quadrantes mpares

(D) Bissectriz dos quadrantes pares

Grupo II

1. Em C , conjunto dos nmeros complexos, considere e z2 = 3 .

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a mtodos exclusivamente analticos.

1.1. Determine o nmero complexo

Apresente o resultado na forma trigonomtrica.

1.2. Escreva uma condio, em C , que defina, no plano complexo, a circunferncia que temcentro na imagem geomtrica de z2 e que passa na imagem geomtrica de z1 .

w = z14 + 4i

i

z1 = 2 cis 1p42

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os clculos que tiver de efectuar e todas asjustificaes necessrias.

Ateno: quando, para um resultado, no pedida a aproximao, apresente sempre o valor exacto.

1p521-p521

6p5 21

6p5 2

Figura 2

Figura 3

5

15

15


Exames Nacionais

414

2. A Figura 4 e a Figura 5 representam, respectivamente, as planificaes de dois dados cbicosequilibrados, A e B .

Lanam-se, simultaneamente, os dois dados.

2.1. Seja X a varivel aleatria soma dos nmeros sados nas faces voltadas para cima, emcada um dos dados.

Construa a tabela de distribuio de probabilidades da varivel X .

Apresente as probabilidades na forma de fraco.

2.2. Considere que o nmero da face voltada para cima no dado A (Figura 4) a abcissa deum ponto Q do referencial o. n. xOy , e que o nmero da face voltada para cima nodado B (Figura 5) a ordenada desse ponto Q .

Considere agora os acontecimentos:

J : o nmero sado no dado A negativo;

L : o ponto Q pertence ao terceiro quadrante.

Indique o valor de P (L | J ) , sem aplicar a frmula da probabilidade condicionada.

Apresente o resultado na forma de fraco.

Numa composio, explique o seu raciocnio, comeando por referir o significado deP (L | J ) no contexto da situao descrita.

3. Seja W o espao de resultados associado a uma experincia aleatria.

Sejam A e B dois acontecimentos tais que A W , B W e P (B) 0 0 .

Mostre que .

(P designa probabilidade; designa o acontecimento contrrio de A ; designa aprobabilidade de , dado B )

4. Considere a funo f , de domnio ]0 , + ?[ , definida por

Resolva os itens 4.1. e 4.2., recorrendo a mtodos exclusivamente analticos.

4.1. Estude a funo f quanto existncia de assimptotas oblquas.

4.2. Mostre que a funo f tem um extremo relativo no intervalo ]2 , + ?[ .

se 0 < x 2

se x > 2

ex - 3xx

15x - ln x

addbddc

f (x) =

AP (A \B)A

P (A B)P (B)

- P (A \B) = P (A)P (B)

Figura 4 Figura 5

15

15

15

10

10


2. fase 2010

415

4.3. Determine a rea do tringulo [ABC] , recorrendo s capacidades grficas da sua calculadora.

Sabe-se que:

A , B e C so pontos do grfico da funo f .

A e B so os pontos cujas abcissas so as solues, no intervalo ]0 , 2] , da equaof (x) = f (15) .

C o ponto cuja ordenada o mnimo da funo f , no intervalo ]0 , 2] , e cujaabcissa pertence ao intervalo ]0 , 2] .

Na sua resposta, deve:

reproduzir o grfico da funo, ou os grficos das funes, que tiver necessidade devisualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

indicar as coordenadas dos pontos A , B e C , com arredondamento s centsimas;

apresentar o resultado pedido, com arredondamento s dcimas.

5. Considere a funo f , de domnio R , definida por f (x) = - x + .

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a mtodos exclusivamente analticos.

5.1. Mostre que f (x) = 1,5 tem, pelo menos, uma soluo em ]- 2 , - 1[ .

Se utilizar a calculadora em eventuais clculos numricos, sempre que proceder a arre-dondamentos, use trs casas decimais.

5.2. Determine a equao reduzida da recta tangente ao grfico de f no ponto de abcissa x = 0 .

6. Um depsito de combustvel tem a forma de uma esfera.

A Figura 6 e a Figura 7 representamdois cortes do mesmo depsito, comalturas de combustvel distintas.

Os cortes so feitos por um plano ver-tical que passa pelo centro da esfera.

Sabe-se que:

o ponto O o centro da esfera;

a esfera tem 6 metros de dimetro;

a amplitude q , em radianos, doarco AB igual amplitude do ngulo ao centro AOB correspondente.

A altura , em metros, do combustvel existente no depsito dada, em funo de q , por h , de domnio [0 , p] .

Resolva os itens seguintes, recorrendo a mtodos exclusivamente analticos.

6.1. Mostre que h (q) = 3 - 3 cos (q) , para qualquer q ]0 , p[ .

6.2. Resolva a condio h (q) = 3 , q ]0 , p[ .

Interprete o resultado obtido no contexto da situao apresentada.

FIM

AC

e2x3-1

Figura 6 Figura 7

15

15

10

10

15


Sugesto de resoluo

416

CA

ESM

A12

Porto E

ditoraGrupo I

1. Se a caixa contm apenas bolas de cor azul e roxo e se, extraindo ao acaso uma bola da caixa, a probabi-

lidade de ela ser azul igual a , ento a caixa tem igual nmero de bolas roxas e azuis.

Portanto, como na caixa h 8 bolas azuis, tambm h 8 bolas roxas.

Resposta: (C) .

2.

H 5C3 *4A'2 =

5C3 * 42 nmeros que tm, exactamente, trs algarismos 5 .

fl fl" Nmero de maneiras de escolher, com possvel repetio, os dois algarismos diferentes de 5 flentre os quatro restantes.flfl2222" Nmero de maneiras de escolher a posio dos trs algarismos iguais a 5 entre as cinco posies possveis

Resposta: (B) .

3. Na linha do Tringulo de Pascal referida, apenas os dois primeiros elementos e os dois ltimos so infe-

riores a 105 . Se os dois elementos forem escolhidos entre estes (1 15 15 1) a sua soma , no

mximo, igual a 30 . Se pelo menos um dos dois elementos for escolhido entre os restantes elementos

dessa linha, a soma dos dois ser, necessariamente, superior a 105 . Portanto, o acontecimento a

soma dos dois elementos igual a 105 impossvel, pelo que a sua probabilidade igual a zero.

Resposta: (D) .

4. Se (h (x) - 2x) = 0 , a recta de equao y = 2x uma assimptota do grfico da funo h quando

x " +? . Portanto, h (x) = (2x) = + ? .

Como h uma funo par, h (x) = h (x) , ou seja, h (x) = + ? .

Resposta: (A) .

5.

g (x) = ln x = - ?

Dado que un = = 0+ e atendendo definio de limite de uma funo num ponto,

segundo Heine, podemos concluir que g (un) = g (x) = - ? .

Resposta: (D) .

6. Da observao da parte do grfico da funo f ' que se apresenta, podemos concluir que

f '(x) > 0 , A x ]0 , a[ . Portanto, a funo f crescente em ]0 , a[ .

Resposta: (C) .

limx"0 +

limn"+?

limn"+?

11n2limn"+?

limx"0 +

limx"0 +

ex se x 0

ln x se x > 0

abc

g (x) =

limx"-?

limx"+?

limx"-?

limx"+?

limx"+?

limx"+?

12


1. fase 2010

417

CA

ESM

A12

P

orto

Edi

tora

7. Se os vrtices do pentgono so as imagens geomtricas das razes de ndice n de um nmero com-

plexo w temos que n = 5 , o pentgono regular e pode ser inscrito numa circunferncia de centro na

origem do referencial.

Se z o nmero complexo que tem por imagem geomtrica o vrtice D do pentgono, ento:

\z|= = 1 e arg (z) = 3 * .

Portanto, z = cis .

Resposta: (B) .

8. w = r cis

w 6 =

Logo, a imagem geomtrica de w 6 pertence ao eixo real.

Resposta: (A) .

Grupo II

1. ; z2 = 3

1.1. =

=

um argumento de w .

Portanto,

1.2.

A circunferncia que tem centro na imagem geomtrica de z2e que passa na imagem geomtrica de z1 definida pela con-dio em C :

\z - z2|= r

sendo r = \z1 - z2|.

Portanto, como z2 = 3 , a condio pedida pode ser .\z - 3|= 5

r = \z1 - z2|= \1+ i - 3|= \-2 + i|= (-2)2 + 12 = 5

z1 = 2 cis 1p42 = 21cos p4+ i sin p

42 = 2 12

2+ 2

2i2 = 1 + i

w = 42 cis 1p42

p4

edfdg

tg (arg w) = 44= 1

arg w 1. Q

\w|= 42 + 42 = 42 * 2 = 42

w = 4 + 4i

4(-1+ 0i) + 4ii

= - 4 + 4ii

=(- 4 + 4i) * (- i)

i * (- i)= 4i - 4i

2

- i2= 4i + 4

1= 4 + 4i

w =z41 + 4i

i=12 cis 1p422

4

+ 4i

i=

(2)4 cis 14 * p42 + 4ii

= 4 cis p + 4ii

=4 (cos p + i sin p) + 4i

i

z1 =2 cis1p42

1r cis 13p2 226

= r6 cis 16 * 3p2 2 = r6 cis (9p) = r6 cis (p)13p2 2

16p5 2

2p5= 6p

5OD = OA

CAESMA12-27

CPEN_MA12_P399_420_20110756_3PCimg.qxp 11/08/05 9:39 Page 417**ccosta**Tiger:Users:ccosta:Documents:TRABALHO_CCO:Check Out:REEDIES_SERVIDOR:46972_CPEN_MA12:

Exames Nacionais

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CA

ESM

A12

P

ortoE

ditora

+ - 1 1 1 1 1 1

0 - 1 1 1 1 1 1

0 - 1 1 1 1 1 1

0 - 1 1 1 1 1 1

0 - 1 1 1 1 1 1

- 1 - 2 0 0 0 0 0

- 2 - 3 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1

2.

2.1. Na seguinte tabela apresentam-se todos os possveis valores da varivel aleatria X :

Tabela de distribuio da varivel aleatria X :

2.2. representa a probabilidade de o ponto Q pertencer ao terceiro quadrante sabendo que onmero sado no dado A negativo.

Ora, se o nmero sado no dado A negativo, o ponto Q tem abcissa negativa, pelo que pertenceao segundo ou ao terceiro quadrante. Assim, o ponto Q pertencer ao terceiro quadrante se a suaordenada for negativa, o que acontecer se no dado B sair a face numerada com o nmero - 1 .

A probabilidade de tal acontecer igual a .

Portanto, .

3. =

= =

= =

=

4.

4.1.

Seja y = mx + b a equao da assimptota oblqua do grfico da funo f , caso exista.

Portanto, como no existe b R , o grfico da funo f no tem assimptotas oblquas.

b = limx"+?

(f (x) - mx) = limx"+?

115 x - ln x -15x2 = - limx"+? (ln x) = - ?

m = limx"+?

f (x)x = limx"+?

15x - ln x

x = limx"+? 115- ln xx 2 = 15 - limx"+?

ln xx =

15- 0 = 1

5

Df = ]0 , + ?[

ex - 3xx se 0 < x 2

15x - ln x se x > 2

adbdc

f (x) =

P (A) + P (B) - P (A B) - P (B) + P (A B)P (B)

= P (A)P (B)

P (A) + P (B) - P (A B) - (P (B) - P (A B))P (B)

P (A B)P (B)

- P (A B)P (B)

= P (A B) - P (A B)P (B)

P (A B)P (B)

- P (A \B)

P (L \J) = 16

16

P (L \J )

P (X = 1) = 2036

= 59

P (X = 0) = 536

P (X = -1) = 936

= 14

P (X = - 2) = 136

P (X = - 3) = 136

xi - 3 - 2 - 1 0 1

P (X = xi)136

136

14

536

59

P (A B) = P (B \ A) = P (B) - P (A B)


2. fase 2010

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CA

ESM

A12

P

orto

Edi

tora

4.2. Para x > 2 ,

.

Como a funo f tem um mnimo relativo para x = 5 , podemos concluir que f tem um extremo rela-tivo no intervalo ]2 , + ?[ .

4.3. Recorrendo calculadora obtivemos o grfico da funo f no intervalo ]0 , 2] bem como a recta deequao y = f (15) , ou seja, y = 3 - ln 15 .

Determinando o mnimo de f no intervalo ]0 , 2] e a interseco do grfico com a recta, foram obtidasas coordenadas dos pontos A , B e C , sendo A (0,50 ; 0,29) , B (1,75 ; 0,29) e C (1,00 ; - 0,28) .

Tem-se, ento, que ) 1,75 - 0,50 = 1,25 e a altura do tringulo [ABC ] relativamente base[AB ] dada, com aproximao s centsimas, por 0,29 - (- 0,28) = 0,57 .

Portanto, a rea do tringulo [ABC ] , com aproximao s dcimas, dada por

5. f (x) = ; Df = R

5.1. f uma funo contnua por ser definida pela composta e soma de funes contnuas.

Logo, f contnua em [- 2 , - 1] R .

Como , pelo corolrio do Teorema de Bolzano, podemos concluir que

E c ]- 2 , - 1[ : f (c) = 1,5 , ou seja, a equao f (x) = 1,5 tem, pelo menos, uma soluo em ]- 2 , - 1[ .

f (-1) < 1,5 < f (- 2)

f (-1) = - (-1) + e2* 1-123-1 = 2 + e- 3 ) 1,050

f (-2) = - (-2) + e2* 1-223-1 = 2 + e-17 ) 2,000

-x + e2x3- 1

A[ABC] )0,57 * 1,25

2) 0,4

AB

x 2 5 +?

f ' n.d - 0 +

f n.d Mn.

f '(x) = 0 x > 2 x - 55x

= 0 x > 2 x = 5

f '(x) = 115 x - ln x2'= 115 x2

'- (ln x)' = 1

5- 1x =

x - 55x


Exames Nacionais

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CA

ESM

A12

P

ortoE

ditora

5.2. f (x) =

Seja y = mx + b a equao pedida.

Ponto de tangncia:

;

Declive:

Sendo m = - 1 e a ordenada na origem, b , igual a , a equao pretendida .

6.

6.1. Se q

a altura do combustvel dada por

h (q) = = 3 - 3 cos q

Se q

a altura do combustvel dada por

h (q) = = 3 - 3 cos q

Portanto, h (q) = 3 - 3 cos q , para qualquer q ]0 , p[ .

6.2. h (q) = 3 3 - 3 cos q = 3 - 3 cos q = 0 cos q = 0

Como q ]0 , p[ , h (q) = 3 q =

Quando a altura do combustvel no depsito igual a 3 metros, a amplitude do ngulo ao centro

AOB igual a radianos. Neste caso, a superfcie do combustvel passa no centro da esfera e o

volume do combustvel igual a metade da capacidade do depsito.

p2

p2

AC = OA + OC

OCOB

= cos (p - q) OC3= - cos q OC = - 3 cos q

AC = OA +OC

4p2 , p3

AC = OA -OC

OCOB

= cos q OC3= cos q OC = 3 cos q

AC = OA -OC

40 , p24

y = - x + 1ef(0) = 1e

m = f '(0) = -1+ 6 * 0 * e-1 = -1

P 10 , 1e2f (0) = - 0 + e2 * 03 -1 = e-1 = 1e

f '(x) = (-x + e2x3-1)' = -1+ (2x3 -1)' * e2x

3-1 = -1+ 6x e2x3-1

-x + e2x3- 1
