Proposta de Resolução do

Exame e Testes de Mecânica e Ondas / MEEC Pedro Abreu, Mário Pimenta,

Nuno Pinhão, Katharina Lorenz, Rodrigo T. Dias de Abreu

21 de Junho de 2014 Duração do exame: 3h 00min. Duração dos testes: 1h 30min. 1º teste: grupos 1 e 2 (20 valores) 2º teste: grupos 3 e 4 (20 valores) Exame: todos grupos (40 valores/2) Justifique sumariamente todas as respostas

1) Uma bala de massa mb = 0,003 kg é disparada de uma arma com velocidade (em relação à arma)

vb=300 m/s. Pretende-se atingir uma maçã de massa igual a m = 0,1 kg, localizada a 150 m de distância e a 1,5 m do chão, que começa a cair sem velocidade inicial no momento do disparo da arma (t=0). Tome como referencial o sistema (x-horizontal, y-vertical) com origem na posição inicial da maçã (pode usar g=10m/s2). a) Qual o ângulo com o eixo XX com que se deve segurar a arma a 1,5 m do chão, para garantir

que a bala acerta na maçã, considerando esta como uma massa pontual. Justifique brevemente a sua resposta; [R: Estando a arma à mesma altura da maçã, e começando a maçã a cair ao mesmo tempo em que é feito o disparo, basta que o movimento vertical da bala seja o mesmo do da queda da maçã, isto é, a bala parta sem velocidade vertical inicial, correspondente ao ângulo de 0º com a horizontal (eixo XX). ]

b) Se a massa da espingarda for 3 kg, calcule a força que tem que fazer no ombro para suster o recuo da arma, admitindo que o tempo do disparo dura 0,001 s; [R: Para suster o recuo da arma, a força a efectuar tem de compensar a variação da quantidade de movimento da bala (a arma fica quieta), isto é, F.dt = dP = mb vb =0,9 kgm/s ó F = 0,9/0,001 = 900 N ]

c) Calcule a trajectória (em x,y) do centro de massa do conjunto {bala+maçã} antes da colisão; [R: usando o referencial sugerido (por ex. com y orientado para baixo e x orientado na direção de movimento da bala, temos yb(t) = 0,5 gt2, xb(t) = –150 + 300 t, yM = 0,5 gt2, xM=0. Logo, o centro de massa terá movimento segundo yCM(t) = (0,003 yb + 0,1 yM)/(0,003+0,1) = 0,5 gt2, e xCM(t)=0,003(–150+300 t)/(0,003+0,1) = –4,37 + 8,74 t. A trajectória pode ser descrita como função y(x) = 0,5 g((x+4,37)/8,74)2 ó {g=9,8 m/s2} y [m] = 0,064 [x/m]2 + 0,561[x/m] + 1,23.]

d) Admitindo que a bala fica retida dentro da maçã, calcule a energia dissipada na colisão; [R: A energia dissipada na colisão é a variação de energia cinética na colisão. No referencial do centro de massa, a energia cinética antes da colisão é dada por Ei =0,5mbvb

*2 + 0,5mMvM*2

(sendo v* as velocidades medidas no referencial do centro de massa). A energia cinética neste referencial depois da colisão é nula pois a maçã e a bala estão paradas neste referencial após a colisão. No referencial do centro de massa, vb

* = vbx –dxCM/dt = 300–8,74 = 291,26 m/s, e vM

*=vMx–dxCM/dt = –8,74 m/s, pois dyCM/dt = vby=vMy (como caem com a mesma velocidade, a bala, a maçã, e o centro de massa, têm componente y de velocidade iguais, isto é, na vertical, a bala e a maçã estão em repouso em relação ao centro de massa). Então a energia dissipada é simplesmente ∆EC = Ei –Ef = 0,5.0,003.291,262 +0,5.0,1.8,742 –0 = 131 J ]

e) Nas condições da alínea anterior calcule após a colisão a trajectória do conjunto {bala+maçã}, e o ponto e instante onde este conjunto chega ao chão. [R: A trajectória do conjunto após a colisão é a trajectória do centro de massa, calculada na alínea c), que se mantém inalterada na colisão. Para saber onde e quando chega ao chão, basta resolver a equação 1,5 = 0,5 gtC

2 e calcular xCM(tC): tC = 0,553 s e xC = 0,466 m. ]

[10,0]

[2,0]

[2,0]

[2,0]

[2,0]

[2,0]

2) Um objecto de massa m = 1 kg, está em órbita circular em torno de uma massa pontual de massa M tal que GNM =106 m3/s2 ( GN = 6,67 x 10–11 N.kg–2m2 ) a) Calcule a energia cinética, a energia potencial, e o momento angular do sistema se o raio da

órbita for r = r0 = 100 m; [R: Para estar em órbita circular tem que ter velocidade v0 tal que a força centrípeta mv2/r seja igual à força gravítica GNMm/r2 ó mv0

2 = GNMm/r0 ou EC = 0,5mv02 = 0,5 GNMm/r0 =

0,5.106.1/100 = 5x103 J. A energia potencial é EP = –GNMm/r0 = –104 J. O momento angular é L=mv0r0, pois como é circular, a velocidade orbital v0 é sempre perpendicular ao raio da órbita r0. Ora, v0 = (2EC/m)1/2 = 100 m/s. ]

b) Calcule o período T0 da órbita para o raio r0 = 100 m, e o raio r8 da órbita se o período fosse T8 = 8 T0; [R: T0 = 2πr0/v0 = 6,282 s; para o raio r8, podemos usar a lei de Kepler: (r8/r0)3 = (T8/T0)2 {de r8 =v8T8/(2π) =(GNM/r8)1/2 T8/(2π)ó r8

3= GNM.T82/(4π2) ó r8

3/T82=GNM/(4π2)=(r0

3/T02) }ó

r8 = r0 (T8/T0)2/3=r0 (82)1/3 = 4r0 = 400 m. ] c) Calcule as velocidades hipotéticas em órbita circular para os valores de raios da órbita dados

por r1= 10–15 m (raio do protão), r2 = 1 m, r0 = 100 m, r3 = 10 000 m, e r4 = 108 m. Com os últimos 4 pontos faça um gráfico da dependência da velocidade orbital vORB com a distância r à massa pontual; [R: v1 = (GNM/r1)1/2 = 1000/(r1

1/2) = 1000x107,5 = 3,16x1010m/s; v2 = 1000 m/s; v0 = v0(a)) = 100 m/s; v3 = 1000/100 = 10 m/s; v4 = 1000/104 = 0,1 m/s. O gráfico da dependência é o gráfico da curva vORB(r) = 1000/(r1/2) (escala linear à esquerda, escala logarítmica à direita):

] d) Se o objecto tivesse uma órbita excêntrica variando a distância entre r3 = 10 000 m e r4 =108 m,

calcule a razão entre as velocidades que o objecto teria no ponto mais próximo e no ponto mais longínquo da Massa M (note que não serão as velocidades correspondentes a órbitas circulares); [R: como em qualquer órbita se conserva o momento angular, e nos pontos extremos a velocidade é perpendicular ao eixo maior da órbita, o momento angular é apenas L3 = mv3r3, e temos então que mv3r3 = mv4r4 ó (v3/v4) = r4/r3 = 108/104 = 104 ]

e) A hipótese de um astro tão massivo do qual a luz não pode escapar (Buraco Negro) foi primeiramente discutida por John Michell no séc. XVIII. A distância mínima ao centro deste astro a partir do qual a luz já não escapa define o “horizonte de eventos” e denomina-se Raio de Schwarzschild. Calcule o Raio de Schwarzschild para esta massa pontual e para um buraco negro com massa igual a 3 vezes a massa do Sol (limite de Tolman–Oppenheimer–Volkoff, 3M SOL ≈ 6x1030 kg ), e compare os valores destes dois Raios de Schwarzschild. [R: A velocidade de escape é vESC tal que a energia total do objecto seja nula, isto é, EC = 0,5mvESC

2 = –EP = GNMm/r ó vESC = (2GNM/r)1/2 . O Raio de Schwarzschild corresponde ao valor de r tal que vESC = c (velocidade da luz no vazio). Assim, podemos obter o Raio de Schwarzschild de um objecto de massa M como sendo RS = 2GNM/c2 obtendo, respectivamente para esta massa pontual e um buraco negro com MBH=3MSOL os valores RS_M=2x106/(9x1016) = 2,22x10–11 m, e RS_BH = 2x6,67x10–11x6x1030/9x1016 = 8 893 m. ]

[10,0]

[2,0]

[2,0]

[2,0]

[2,0]

[2,0]

3) Um satélite emite ondas de rádio que reflectem no mar, sendo que algumas destas ondas reflectidas (4 ondas reflectidas para efeitos deste problema) são captadas pelo satélite. Nota-se que o satélite recebe um 1º máximo de intensidade, quando a sua direção em relação à terra faz um ângulo de 30º com a vertical do lugar, para a frequência f=107 Hz. a) Se o índice de refracção da água do mar for n = 1,5, qual a

frequência e o comprimento de onda das ondas transmitidas para baixo de água? [R: Como se mantém a frequência, temos fagua = c/(n.λagua)= far = c/λ =107 Hz, e λagua = λ/n = c/(nfar )=20 m. ]

b) Calcule a distância entre dois picos consecutivos das ondas do mar; [R: para o máximo de intensidade as ondas têm que estar todas em fase, e como as reflexões no mar são idênticas para as 4 ondas, isso quer dizer que a diferença de percurso entre duas ondas vizinhas têm de ser um (1ºmáximo) comprimento de onda da onda de rádio, λ = c/f = 30 m. Ora, a diferença de percurso d.d.p. é simplesmente dada pelo dobro da distância entre dois picos consecutivos, D, multiplicada pelo sen 30º : d.d.p.=2D sen 30º = λ = 30 m ó D = 30 m.]

c) Calcule o ângulo mais baixo superior a 30º (com a vertical do lugar) que provoca, no conjunto das 4 ondas, um mínimo de intensidade. [R: Para o mínimo de intensidade concorrem as quatro ondas, que ocorre quando a diferença de percurso entre duas ondas sucessivas for λ/4. Temos então 2D.sen θmin = λ+ λ /4 ó 60 sen θmin = 1,25 λ ó θmin =arcsen(5x30/(4x60)) = 38,7º. ]

d) Suponha que caíu na água uma película de óleo, de índice de refração nO = 1,8 e espessura d, distribuída uniformemente, tendo-se notado que se manteve um máximo de intensidade para um ângulo de 30º, mas para ondas de rádio com frequência f = 3,6x107 Hz. Calcule a espessura mínima da camada de óleo (note que se pode assumir que a interferência se dá entre ondas que reflectem na camada de óleo e ondas que antes atravessam o óleo, reflectem na água, e voltam a atravessar o óleo regressando para o satélite). [R: Comecemos por notar que a incidência no óleo é perpendicular à superfície, pois as ondas voltam para o satélite de onde vieram, isto é, reflectem na mesma direcção de incidência, o que só acontece para incidência perpendicular no ponto de incidência. Notemos agora que as reflexões no óleo e na água não têm a mesma diferença de fase na reflexão. No óleo as ondas sofrem uma diferença de fase de 180º, enquanto que as que viajam no óleo e reflectem na água, de índice de refração inferior ao do óleo, não sofrem diferença de fase. Assim, para se manter um máximo de intensidade, a diferença de percurso d.d.p. tem agora de ser λ’/2, sendo λ’ o novo comprimento de onda associada à frequência f=3,6x107 Hz, λ’= c/f = 8,333 m: d.d.p.(efectiva) = 2nO d = λ’/2 ó d = λ’/(4nO) = 1,157 m. ]

c = 299 792 458 m/s ≈ 3 × 108 m/s; massa do electrão = massa do positrão = me = 5,11 x 105 eV/c2. Se precisar, aqui estão as transformações de Lorentz (de S para um referencial S’ com velocidade em S dada por V=+ßc – segundo ex – e de S’ para S):

[10,0]

[1,0]

[3,0]

[3,0]

[3,0]

4) Uma nave desloca-se com velocidade v=0,98c na direção de um observador localizado na estação espacial internacional (EEI). a) sabendo que o comprimento da nave em repouso é de 100m, calcule o comprimento da nave no

referencial do observador. [R: o comprimento da nave no referencial do observador na EEI é simplesmente

𝐿!!" = 𝐿!/𝛾 = 𝐿! 1− !!

!!= 100. 1− 0,98! = 19,90 m.]

b) Situado a meio da nave temos o capitão Solo, que no instante t=0 em que passa junto ao observador na ISS, liga uma lâmpada de leitura para ler uma mapa. Calcule os dois instantes em que os primeiros fotões da lâmpada chegam aos extremos da nave: i) no referencial da nave;

[R: t1 = t2 = (L0/2)/c = L0/(2c) = 166,7 ns.]

ii) no referencial do observador na EEI; [R: podemos usar as transformações de Lorentz, ou fazer as contas diretamente no referencial do observador na EEI. Os factores para as transformações são 𝛽 = 0,98, 𝛾 = !

!!!!= 5,025;

𝑐𝑡!!"_! = 𝛾 𝑐𝑡! + 𝛽!!!

⟺ 𝑡!!"_! = 𝛾 𝑡! + 𝛽!!!!

= 1,658   µs, e

𝑐𝑡!!"_! = 𝛾 𝑐𝑡! − 𝛽!!!

⟺ 𝑡!!"_! = 𝛾 𝑡! − 𝛽!!!!

= 16,75 ns. No referencial do observador na EEI, tEEI_1 é o tempo de chegada do fotão ao extremo da nave que se afasta do observador, isto é, a luz viaja no referencial deste observador uma distância DEEI = ctEEI_1, enquanto a nave viaja a distância DEEI –(LEEI/2) = 0,98ctEEI_1, de onde podemos então obter tEEI_1 = LEEI/(2x0,02c) = 1,658 µs. No mesmo referencial, tEEI_2 é o tempo de chegada do fotão ao extremo da nave que se aproxima do observador, isto é, a luz viaja no referencial deste observador uma distância dEEI = ctEEI_2, enquanto a nave viaja a distância (LEEI/2)–dEEI = 0,98ctEEI_2 , permitindo calcular tEEI_2 = LEEI/(2x1,98c) = 16,75 ns.]

iii) Admitindo que a lâmpada é monocromática de luz amarela (fN =6x1014 Hz), calcule as frequências com que esses fotões poderiam ser detectados no referencial da EEI por um observador à frente da nave e por um observador atrás da nave. [R: devido ao efeito Döppler (relativista), o observador situado à frente da nave detecta um fotão que se aproxima, como a fonte emissora (a nave), com frequência

𝑓!!"_! = 6×10!" !!!!!!

= 6×10!" !!!,!"!!!,!"

= 5,97×10!"Hz,

enquanto que o observador situado atrás da nave detecta um fotão emitido por uma fonte que se afasta, com frequência

𝑓!!!_! = 6×10!" !!!!!!

= 6×10!" !!!,!"!!!,!"

= 6,03×10!"Hz.]

c) O físico C.Bacca está na nave a fazer experiências de colisões de fotões. Constata que as

energias de 2 fotões que colidem frontalmente são idênticas e iguais ao valor mínimo para produzir um par electrão-positrão no referencial da nave. Calcule a energia e o momento linear dos 2 fotões (sendo a linha de vôo da nave coincidente com a linha de colisão dos fotões): i) no referencial da nave;

[R: a energia mínima para produzir um par electrão-positrão é ET = 2mec2, sendo me a massa do electrão, me = 0,511 MeV/c2 ó ET =E1+E2 = 2x0,511 MeV = 1,022 MeV. Como as energias dos dois fotões são idênticas, temos E1 = E2 = ET/2 = 0,511 MeV. Os fotões não têm massa, logo têm o módulo do momento linear igual a E/c. Segundo a linha de vôo, temos os momentos lineares dados por P1=0,511 MeV/c, P2= –0,511 MeV/c.]

ii) no referencial do observador na EEI. [R: podemos usar as transformações de Lorentz (com P=E/c, pois massa do fotão é zero): 𝐸!!"_! = 𝛾 𝐸! + 𝑐𝛽𝑃! = 𝛾(1+ 𝛽)𝐸! = 5,0844  𝑀𝑒𝑉,𝑃!!"_! = 5,0844  𝑀𝑒𝑉/𝑐 ; 𝐸!!"_! = 𝛾 𝐸! + 𝑐𝛽𝑃! = 𝛾(1− 𝛽)𝐸! = 0,0514  𝑀𝑒𝑉,𝑃!!"_! = −0,0514  𝑀𝑒𝑉/𝑐 .]

[10,0]

[1,0]

(2,0)

[1,0]

[1,0]

[1,0]

(3,0)

[1,0]

[1,0]

d) Calcule o valor aproximado do factor de Lorentz γ e da velocidade que a nave teria que ter, para que um dos fotões da colisão na alínea anterior tivesse, no referencial do observador na EEI, a mesma energia de um fotão da radiação cósmica de fundo (ERCF ≈ 10–3 eV). [R: Podemos usar as expressões da alínea anterior, para o fotão 2, por ex., para calcular γ’ e β’ tais que 𝐸!!"_! = 𝛾′ 𝐸! + 𝑐𝛽′𝑃! = 𝛾′(1− 𝛽′)𝐸! = 𝐸!"# =  10!!  , com E2 = 511000 eV, ó

𝛾′(1− 𝛽′) =1− 𝛽!

1+ 𝛽! =𝐸!"#𝐸!

⟺1− 𝛽!

1+ 𝛽! =10!!

511000

!

= 3,83×10!!" ⟺

𝛽! = !!!,!"×!"!!"

!!!,!"×!"!!"≅ 1− 2×3,83×10!!" = 1− 7,66×10!!" ⟺ 𝑣! = (1− 7,66×10!!")𝑐

Para calcular γ’, usamos o facto de que 1+β’ ≈ 2 e 𝛾′(1+ 𝛽′) = !

!!(!!!!)= !!

!!"#⟺ 𝛾′ = 𝐸!/(2𝐸!"#)  =  2,56×10!     .]

e) Calcule o valor da energia do outro fotão, nas condições da alínea anterior e no referencial do

observador na EEI. [R: A energia do outro fotão, nas condições da alínea anterior, é simplesmente 𝐸!!"_! = 𝛾′ 𝐸! + 𝑐𝛽′𝑃! = 𝛾′(1+ 𝛽′)𝐸! = 2,56×10!×(2− 7,66×10!!")×0,511  𝑀𝑒𝑉  ⟺ 𝐸!!"_! = 2,61×10!𝑀𝑒𝑉   =  261  𝑇𝑒𝑉.]

[2,0]

[2,0]