TOPOLOGIA 27.06.07

1. Sean X un espacio topologico no vaco, {} un conjuntodisjunto de X, X la suma disjunta de X y {}. Consideramos eneste conjunto la topologa cuyos elementos son X y los abiertosde X.

a) Demostrar que X es cuasicompacto pero no es separado.

b) Sea f una aplicacion continua de X en un espacio topologicoY que es T1 (o de Frechet). Demostrar que f se prolonga en unaaplicacion continua f de X en Y si, y solo si, f es constante.

c) Sea T el espacio cociente de R2 por la relacion de equiva-lencia en la que la clase de equivalencia de x es el conjunto de loselementos de la forma rx con r > 0. Demostrar que T contiene unsubespacio abierto S homeomorfo a S1 y que T es homeomorfo aS.

d) Demostrar que S es compacto pero que no es cerrado enT .

a) En la topologa considerada en X este conjunto es la unica parteabierta que contiene a . Un recubrimento abierto de X debe contener,pues, a este conjunto y la cuasicompacidad resulta de aqu. Puesto que Xes el unico entorno de , si x es otro elemento de X, necesariamente de X,no existe un entorno de disjunto con uno de x.

b) Si f es constante se prolonga a X enviando al unico valor al-canzado por f . Recprocamente, supongamos que f se prolonga en unaaplicacion continua f de X en Y y pongamos f() = p. Para cada en-torno de p existe un entorno de que se aplica en el y, puesto que X esel unico entorno de , concluimos que f(X) esta contenido en cualquierentorno de p. Pero al ser Y un espacio T1 la interseccion de todos los en-tornos de p es igual a {p} de modo que f es la funcion constante de valorp y, naturalmente, lo mismo ocurre con f .

c) El subconjunto S de T formado por las clases representadas por unelemento no nulo es abierto en T , porque su antiimagen por la aplicacioncanonica pi de R2 en T es el abierto R2{0}. Por otra parte, pi es abierta,porque el saturado de cualquier parte abierta es un conjunto abierto. Surestriccion a S1 es una biyeccion de S1 en S que es continua y abierta luegoun homeomorfismo. Para ver que T es homeomorfo a S tomamos como el punto pi(0) y se trata de ver que una parte abierta A de T que contenga

1

a pi(0) es necesariamente igual a T . Pero es sencillo: pi1(A) es una parteabierta de R2 que contiene a 0 luego contiene a una bola de centro estepunto, luego un vector de cualquier subespacio vectorial de dimension 1 deR2.

d) Puesto que S es homeomorfo a S1 es compacto y puesto que pi(0)es adherente a S, y no es de S, este conjunto no es cerrado en T .

2. Sean T el cuadrado [1, 1] [1, 1] de R2 con la topologainducida, X (resp. Y ) el conjunto de los elementos (x, y) de T talesque |y| x2 y son distintos de (0, 0) (resp. tales que |y| x2).

a) Ver si X es conexo y en caso negativo determinar sus com-ponentes conexas.

b) Demostrar que la adherencia A de X, respecto a T , es unacompactificacion de Alexandroff de X.

c) Hallar el interior B de X, respecto a T , y demostrar que sucomplementario Y , en T , es homeomorfo a A.

d) Demostrar que A no es homeomorfo a T .

a) Los subconjuntos X+, X de X formados por los puntos (x, y)con y > 0 y con y < 0 respectivamente son abiertos en X y forman unaparticion deX de modo queX no es conexo. Esos subconjuntos son conexos,por ejemplo porque dos puntos cualesquiera se pueden unir por un caminoformado por dos segmentos coordenados, de modo que son las componentesconexas de X.

b) La adherencia A de X se obtiene anadiendo a X el punto (0, 0). Esun conjunto compacto y, claro esta, es una compactificacion de Alexandroffde X.

c) El interior B de X esta formado por los puntos (x, y) tales que|y| > x2 y su complementario es visiblemente el conjunto Y .

d) El complementario de un punto cualquiera de T es un conjuntoconexo luego no homeomorfo al complementario del punto (0, 0) respecto aA que es no conexo. Concluimos que A y T no son homeomorfos.

3. Sea la aplicacion de S1 en C dada por (z) = p(z) =4z4 8iz3 + 31z2 + 2iz 6.

a) Calcular el ndice de respecto al punto 2.

b) Demostrar que existe > 0 tal que, para todo tal que| 2| < , la ecuacion p(z) = tiene una solucion z0 con |z0| 1.

2

a) El ndice cuestion es el numero (f, 0) siendo f la funcion polinomicaf(z) = 4z2 8iz3 + 31z2 + 2iz 8, lo que es igual al numero de races delpolinomio de modulo menor que 1. Pero se tiene f(z) = 4(z 12 ((z+ 12 )(z+2i)(z 4i) de modo que ese numero es igual a 2.

b) Sabemos del curso que existe un numero real > 0 tal que si elsupremo de {|f(z) g(z)|}zS1 es menor que se tiene (f, 0) = (g, 0). Siponemos g(z) = f(z) podemos asegurar esa acotacion para suficien-temente proximo de 2 y tendremos en tal caso (g, 0) = 2 y terminamos.

4. Sean f , g aplicaciones continuas de S1 en S1. Ver si lassiguientes afirmaciones son ciertas y, en caso contrario, dar uncontraejemplo que pruebe que no lo son.

a) Si f y g son homotopas y una de ellas tiene un punto fijolo mismo ocurre con la otra.

b) Si f y g son homotopas y una de ellas no tiene punto fijoalguno lo mismo ocurre con la otra.

c) Si f y g no tienen puntos fijos son homotopas.

d) Si f y g tienen puntos fijos son homotopas.

La aplicacion identidad de S1 y la aplicacion z z de S1 en S1 sonhomotopas, por ejemplo porque las dos tienen grado igual a 1, y, mientrasuna deja fijos todos los puntos, la otra no deja fijo a ninguno. Esto ponede manifiesto que las dos primeras afirmaciones no son ciertas. Se sabe delcurso que una aplicacion continua de S1 en S1 que no tiene puntos fijos esde grado 1 de lo que resulta que la tercera afirmacion es cierta. No lo es laultima: basta pensar en las aplicaciones z z y z z2 que tienen puntosfijos pero no son homotopas porque tienen distinto grado.

3