Correccion Examen 3er ParcialJuan Chiriboga, Fabian Gallegos

Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas - ESPESangolquı, Ecuadorjcjuanma6@gmail.com

figallegos@espe.edu.ec

Abstract.- This work contains the correction ofexercises on the exam, this work was done withthe tools learned throughout the semester and thatincludes methods studied and numerical integrationof initial value problems of ordinary differentialequations.

Resumen.- El presente trabajo contiene la correc-cion de los ejercicios propuestos en el examen, estetrabajo se realizo con las herramientas aprendidasdurante todo el semestre ya que incluye los meto-dos de integracion numerica estudiados y problemasde valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias.

I. INTRODUCCION

Los metodos de integracion utilizados en este trabajo sonlos de trapecio compuesto y la regla de Simpson 1/3 estosmetodos nos permiten integrar numericamente una funciondada conociendo sus limites tanto superior como inferior ytambien el numero n de subintervalos en los que vamos aintegrar dicha funcion. Para el segundo ejercicio se uso unamodificacion en el metodo de Simpson 1/3 para lograr inte-grar numericamente la integral doble propuesta.Finalmente para el problema de valor inicial de ecuacionesdiferenciales ordinarias se uso el metodo de Euler hacia ade-lante.

II. DESAROLLO DE CONTENIDOS

A. Los datos de maximos puntos de temperaturaregistrados por un sensor en una tolva distribuidorade parafina en una fabrica de velas cada ciertotiempo fueron: Tabla 1.1.

1) Integrarlos por el metodo del trapecio compues-to

∫ b

a

f(x)dx ∼ b− an

(f(a) + f(b)

2+

n−1∑k=1

f

(a+ k

b− an

))

Para poder aplicar esta formula tenemos en nuestra tablael primer punto que lo llamaremos a y es igual a 1.6 ası comonuestro ultimo punto b que es 3.4 y por ultimo el numero desubintervalos de nuestra tabla n que es 9.

n−1∑k=1

f

(a+ k

b− an

)8∑1

f

(1,6 + 1

3,4− 1,6

9

)= f(1,8)

8∑2

f

(1,6 + 2

3,4− 1,6

9

)= f(2)

8∑3

f

(1,6 + 3

3,4− 1,6

9

)= f(2,2)

8∑4

f

(1,6 + 4

3,4− 1,6

9

)= f(2,4)

8∑5

f

(1,6 + 5

3,4− 1,6

9

)= f(2,6)

8∑6

f

(1,6 + 6

3,4− 1,6

9

)= f(2,8)

8∑7

f

(1,6 + 7

3,4− 1,6

9

)= f(3)

8∑8

f

(1,6 + 8

3,4− 1,6

9

)= f(3,2)

b− an

(f(a) + f(b)

2+

n−1∑k=1

f

(a+ k

b− an

))0,2(17,27+f(1,8)+f(2)+f(2,2)+f(2,4)+f(2,6)+f(2,8)+f(3)+f(3,2)∫ b

a

f(x)dx ∼ 25,0547

2) Implementar un programa en MatLab.

%A. Los datos de maximos puntos de temperatura registradospor un sensor en una tolva distribuidora de parafinaen una fabrica de velas cada cierto tiempo fueron:Tabla 1.1

clear allclc

a=1.6;b=3.4;x=4.593;y=29.964;n=9;

S=(6.05+7.389+9.025+11.023+13.464+16.445+20.066+24.533);

I=((b-a)/9)*(((x+y)/2)+S);fprintf(’El valor de la integral por el metodo del trapeciocompuestos es: \n’);disp(I)

El valor de la integral por el metodo del trapeciocompuesto es:

25.0547

>>

B. Utilizar la regla de 1/3 Simpson para evaluar ladoble integral.

I =

∫ a

b

∫ d(x)

c(x)

sin(x+ y)dydx

Los limites de integracion son: a=1, b=3, c(x)=ln(x),d(x)=3+exp(x/5)

Para aplicar la regla de Simpson puede hacer la siguientesustitucion:

f(xi) =

∫ 3+exp(x/5)

ln(x)

sin(xi+ y)dy(∗∗)

I =

∫ 3

1

f(xi)dx

Aplicando la regla de Simpson se obtiene:

I = (b− a)f(x0) + 4f(x1) + f(x2)

6

Sustituyendo obtenemos:

I1 =

∫ 3+exp(x/5)

ln(x)

sin(1 + y)dy

I2 =

∫ 3+exp(x/5)

ln(x)

sin(2 + y)dy

I3 =

∫ 3+exp(x/5)

ln(x)

sin(3 + y)dy

I = (b− a)I1 + 4I2 + I3

6

I = (3− 1)I1 + 4I2 + I3

6

Cada una de las integrales anteriores se puede calcular nueva-mente con la regla de Simpson. La siguiente integral se calculade la siguiente manera.

I1 =

∫ 4,2214

0

sin(1 + y)dy

Aplicando la regla de Simpson se obtiene:

I1 = (b− a)f(x0) + 4f(x1) + f(x2)

6

I1 = (4,2− 0)sin(1 + 0) + 4sin(1 + 2,11) + sin(1 + 4,2)

6

I1 = 0,064581

De manera similar resolvemos las otras integrales utilizandoel metodo de Simpson.

I2 =

∫ 4,4918

0,6931

sin(2 + y)dy = −2,1086

I2 =

∫ 4,8211

1,0986

sin(3 + y)dy = −0,67454

Sustituyendo los valores de las integrales I1, I2, I3 se obtieneel valor final de la integral.

I = (3− 1)0,064581 + 4(−2,1086) +−0,67454

6

I = −3,0148

C. Un paracaidista de masa M kg. Salta desde unavion en t=0. Suponiendo que la velocidad verticalinicial del paracaidista es de cero en t=0 y que lacaıda es vertical. Si el arrastre aerodinamico esta da-do por FAIRE = Cv2, donde C es una constante y ves la velocidad vertical (positiva hacia abajo).

1)Deduzca una EDO para determinar la veloci-dad vertical del paracaidista.

Si aplicamos la primera ley de Newton, el equilibrio defuerzas satisface:

Mdv(t)

dt= −Fair + gM

donde v es la velocidad del paracaidista en m/s (positiva haciaabajo) y q es la aceleracion debida a la gravedad, 9.8m/s.

dv(t)

dt= − C

Mv2 + g, v(0) = 0

v′ = f(v, t), v(0) = 0

f(v, t) = − C

subMv2 + g

La EDO de segundo orden con condiciones iniciales y(0)=0 yy’(0)=0 es:

d2y(t)

dt2= − C

My′2 + g

2)Implementar un programa en MatLab que de-termine la velocidad del paracaidista y que grafiquela solucion en t¡20s despues que el paracaidista sal-ta del avion. M=70Kg, C=0,27 Kg/m, h=0.1s, paraesto utilizar el metodo de Euler

%Implementar un programa en MATLAB que determine lavelocidad del paracaidista y que grafique la solucionen t<20s despues de que paracaidista salta del avion,M=70kg, C=0,27 Kg/m, h=0.1s

clear, clf, hold offt=0; n=0; v=0;C=0.27; M=70; g=9.8; h=0.1;t_rec(1)=t; v_rec(1) = v;while t<=20

n=n+1;v = v+h*(-C/M*v*v + g);t = t+h;v_rec(n+1) = v;t_rec(n+1) = t;

endplot(t_rec, v_rec)xlabel(’tiempo (s)’)ylabel(’velocidad (m/s)’)grid on

IV. FUNDAMENTO TEORICO

Integracion Numerica

En ingenierıa se presenta con frecuencia la necesidad deintegrar una funcion con alguna de las siguientes caracterısti-cas:(a) Una funcion complicada y continua que es difıcil oimposible de integrar directamente.(b) Una funcion tabulada en donde los valores de x y f(x)se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso amenudo, de datos experimentales.En estos dos casos, se deben emplear metodos aproximados.Las formulas de integracion de Newton-Cotes son los es-quemas mas comunes dentro de la integracion numerica. Se

Figura 1: Grafico velocidad del paracidista

basan en la estrategia de reemplazar una funcion complicadao un conjunto de datos tabulares con alguna funcion apro-ximada que sea mas facil de integrar. La integral se puedeaproximar usando una serie de polinomios aplicados porpartes a la funcion o a los datos sobre intervalos de longitudconstante. Se dispone de las formas abierta y cerrada delas formulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas sonaquellas en donde los puntos al principio y al final de loslımites de integracion se conocen. Las formulas abiertastienen los lımites de integracion extendidos mas alla delrango de los datos. Las formulas abiertas de Newton-Cotes,en general, no se usan en la integracion definida. Sinembargo, se usan extensamente para evaluar integrales im-propias y en la solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Reglas de Newton Cotes

En general las reglas de integracion numerica que seobtienen por medio de la interpolacion polinomica comolas del trapecio y de Simpson reciben el nombre de reglasde Newton Cotes. Para obtenerlas se escribe el polinomiointerpolador en su forma de Lagrange.

P (x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + ....+ Ln(x)f(xn)

y se obtienen los pesos a partir de las integrales de lospolinomios Li.

Inf =

n∑i=0

wif(xi)

wi =

∫ b

a

Li(x)dx

Las reglas que se obtienen para n = 3 y n = 4 son:

A. Regla de los tres octavos

I3f =3

8h[f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]

B. Regla de Boole

I4f =2

45h[7f(x0) + 32f(x1) + 12f(x2) + 32f(x3) + 7f(x4)]

El error en el caso de la regla de los tres octavos vienedado por:

I3f −∫ b

a

f(x)dx =3

80h5fIV (ξ)

ξ ∈ [a, b]

El error para la regla de Boole es.

I4f −∫ b

a

f(x)dx =8

945h7fV I(ξ)

ξ ∈ [a, b]

En general la expresion del error en las reglas de NewtonCotes es de naturaleza distinta segun la paridad de n:

Si n es par y f ∈ Cn+2[a, b],∃ξ ∈ (a, b) tal que:

Inf − If = Cnhn+3f (n+2)(ξ)

donde:

Cn = − 1

(n+ 2)!

∫ n

0

t2(t− 1)...(t− n)dt

Si n es par y f ∈ Cn+1[a, b], ∃ξ ∈ (a, b) tal que:

Inf −∫ b

a

f = Cnhn+2f (n+1)(ξ)

donde:

Cn = − 1

(n+ 1)!

∫ n

0

t(t− 1)...(t− n)dt

Seleccion de ξ para el error

Debido a que el error en el metodo de Boole requiereutilizar un punto cualquiera del intervalo de integracion a, bel estudiante se debe preguntar que punto entre el intervalo[a, b] es el mas conveniente de usar a la hora de calcular elerror.

Mientras la funcion sea continua esta tendra derivadasde orden superior, es decir de orden n para el calculo delerror en el metodo de Boole es necesario calcular la derivadade orden n en este caso la sexta derivada de la funcion quedeseamos integrar numericamente.

Si el intervalo de integracion es demasiado grande elestudiante tendra dificultades a la hora de elegir el valor deξ para evaluar este punto en la sexta derivada de la funcion.

En un intervalo muy grande utilizar un valor de ξ proximoo cercano al punto b implica que el error en el metodo deBoole sera grande puesto que el valor numerico de ξ es casiproximo al punto b al evaluar este valor en la sexta derivaday al multiplicar por h7 como son directamente proporcionaleseste calculo del error es un valor muy grande.

Mientras que para una funcion continua con derivadade orden superior n que tenga un intervalo de integracionpequeno que no varia mucho el criterio de seleccion de ξ esmenos complejo puesto que no tenemos demasiados puntospara elegir y sus valores numericos no van a ser tan elevadoscomo es el caso en un intervalo de integracion demasiadogrande.

Metodos de EulerLos metodos de Euler son procedimientos sencillos para resol-ver EDO de primer orden que se pueden programar con granfacilidad precisamente por su sencillez, si bien su exactitud

no es muy alta. Los metodos de Euler incluyen tres ver-siones a saber a) hacia adelante, b)modificado, c) hacia atras.

Metodo de Euler hacia adelanteEl metodo de Euler hacia adelante para y’=f(y,t) se deducereescribiendo la aproximacion de diferencias hacia adelante

(yn+1 − yn)/h = y′n

asi:yn+1 = yn + hf(yn, tn)

donde utilizamos yn’=f(yn,tn)

y1 = y0 + hy0′ = y0 + hf(y0, t0)

y2 = y1 + hf(y1, t1)

y3 = y2 + hf(y2, t2)

yn = yn−1 + hf(yn−1, tn−1)

VI. CONCLUSIONES

• En el calculo integral existen algunas funciones las cua-les no va a ser sencillo integrarlas con las metodos deintegracion conocidos es por este motivo que dichas inte-grales complicadas pueden ser resueltas mediante meto-dos numericos llamados metodos de integracion que nosayudaran a resolver la integral mediante formulas ya es-tablecidas para el calculo numerico aproximado de estasintegrales.

• Las integrales tanto definidas como indefinidas puedenser resueltas por metodos exactos o aproximados la uti-lizacion de estos metodos depende del nivel de dificultadpara resolver la integral.

• Una ecuacion en la que intervienen una o mas derivadasordinarias de la funcion incognita se denomina ecuaciondiferencial ordinaria. El orden de la ecuacion esta deter-minado por el orden de la derivada mas alta.

RECOMENDACIONES

• Todos los metodos de integracion numerica tienen aso-ciado un valor de error mediante su respectiva formulase recomienda tener en cuenta este valor ya que el calcu-lo del error en la integral nos dara una mejor idea delarea bajo la curva que estamos aproximando

Referencias[1] Shoichiro Nakamura, Analisis Numerico y Visualizacion

Matematica con MatLab.Pearson Prentice Hall.(1997).

[2] Holley Moore. Matlab para Ingenieros. Pearson PrenticeHall.(2004).

[3] Introduccion a MATLAB Instituto de Fısica-Facultad de ingenierıa. [Online]. Available:http://www.fing.edu.uy/if/cursos/lab1/practica12008.pdf

[4] Lipschutz, Seymour, Teorıa y Problemas de Calculo Vec-torial. (2006).

[5] Stewart J. Calculo Conceptos y Contextos. (1979).