examen septiembre 2010 tiempo 1 hora – problema de
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EXAMEN Septiembre 2010 Tiempo 1 hora – Problema de Saneamiento - ENUNCIADO
El colector principal de una urbanización de Zaragoza fue sobredimensionado en su
momento teniendo en cuenta posibles crecimientos futuros, y se construyó utilizando
una tubería de hormigón circular de diámetro D = 2000 mm, y una pendiente en su
trazado de 0.002. En la actualidad los promotores de la urbanización van a realizar una
ampliación (cuenca B en el croquis de la Figura 1), de unas 30 has, y te consultan para
que determines si el colector principal existente admite esta ampliación, admitiendo un
grado máximo de llenado del 85%. Para la comprobación decides utilizar el método
racional. En esta comprobación, y debido a su escasa contribución a los caudales punta,
decides despreciar los caudales de aguas negras.
Figura 1. Croquis de la urbanización y diseño de la red principal de alcantarillado.
Datos –
- La lluvia de cálculo tiene un 15 % de probabilidad de que no sea excedida durante la
vida útil del proyecto N (= 50 años).
- El valor promedio de los máximos anuales de intensidad media diaria (I24h) de los
últimos 30 años, x, y su desviación estándar sx son x = 35.6 mm/día, y sx = 15.4 mm/día
respectivamente. Asume que los valores extremos siguen una distribución de Valores
Extremos tipo I (o distribución de Gumbel).
- Para el cálculo del caudal de aguas pluviales utiliza el método de la Dirección General
de Carreteras DGC. El parámetro I1h / I24h, que necesitas para utilizar el método de la
DGC, en la zona de estudio es igual a 10.
- El coeficiente n de rugosidad de Manning para una tubería de hormigón es igual a
0.014.
- La superficie A, tiempos de entrada te y coeficientes de escorrentía C de cada una de
las sub-cuencas aparecen en la Tabla 1.
Cuenca A (has) te (minutos) C A 48 22 0.700
B 30 15 0.500
Algunas fórmulas que necesitarás
1) Método de la Dirección General de Carreteras – 1.0)(679.1529.3
) min;1440(
) min;60(
) min;1440(
) ;(t
M
M
M
M
i
i
Ti
Tti∆−
−
−=
∆con ∆t en minutos
2) Función de distribución de Gumbel
α
πα
α
5772.0
6
expexp)()(
−=
=
−−−=≤=
xu
s
uxxXPxF
x
donde sx = desviación estándar y x = media muestral.
3) Ecuación de Manning
3/82/1311.0DS
nQ
≈
donde Q es el caudal, n es el factor de rugosidad de Manning, S es la pendiente y D el
diámetro de la tubería.
4) Tablas de Thormann y Franke.
– Problema de Saneamiento - SOLUCIÓN Conocida la pendiente S0 = 0.002, y el diámetro D = 2 m, podemos calcular el caudal
que circula por la tubería cuando va completamente llena, Qll, como (Ecuación 3),
s
m 3.62)002.0(
014.0
311.03
3/82/1=
=llQ
Comprobaremos si efectivamente, cuando llueve sobre la cuenca A, para el caudal de
proyecto que circula por el colector, Qp, se satisface la condición y/D < 0.85.
Calcularemos entonces el tiempo de recorrido desde 1 a 2, tR, y este valor lo
utilizaremos para estimar el tiempo de concentración para el tramo que se inicia en el
punto 2, y en dirección aguas abajo.
1.- Comprobación del tramo 1-2 (Caudal de proyecto de la cuenca A)
a. Tiempo de retorno
La probabilidad de excedencia p, está relacionada con el tiempo de retorno T, como p =
1/T. La probabilidad de que la magnitud de un evento no supere una determinada
magnitud x, es P(X≤x), y está a su vez relacionada con el tiempo de retorno, como
TpxXP
Tp
111)(
1−=−=≤⇒=
La condición que en los N = 50 años de vida útil del proyecto, la probabilidad de que no
se produzca un evento mayor que x, es igual a 0.15, lo expresamos de la siguiente forma
15.01
1)(
50
años 50=
−=≤
= TxXP
N
Despejamos T, el tiempo de retorno como
años 85.2615.01
115.01
115.0
11
50/1
50/150/1=
−=⇒−=⇒=
− T
TT
b. Construimos la curva de intensidad duración (I-D) para un tiempo de retorno T =
26.85 años, utilizando para ello el método de la DGC. El valor de la intensidad media
máxima en 24 h y tiempo de retorno T, I(∆t = 24h; T = 26.85 años), que aparece en la
DGC, a su vez, lo calculamos suponiendo que las precipitaciones máximas diarias
siguen una distribución de Gumbel. Los parámetros α, y u, los calculamos, como
mm/día 67.28125772.06.355772.0
mm/día 124.1566
=×−=−=
=×
==
α
ππα
xu
sx
Utilizamos el método de la variable reducida, para calcular el valor de intensidad media
máxima en 24h para el tiempo de retorno T = 26.85 años, I(∆t = 24h; T = 26.85 años), a
la que llamamos xT. La variable reducida, y, viene dada por,
( )[ ]TT
T
T
yT
pxXP
uxy
−−=−=−=≤
−=
expexp1
11)(
α
Despejamos y como (recordad que y no tiene dimensiones)
( )
( )[ ][ ] 271.39627.0lnln
85.26
185.26lnln
1lnlnexp
1ln
1
111
=−=
−−=
−−=⇒−=
−
−
−−−
T
Tyy
T
TTT
Conocido yT, calculamos xT = I(∆t = 24h; T = 26.85 años),
mm/día 922.6767.28271.312 =+×=+= uyx TT α
La curva de intensidad duración buscada es
( )1.0)(679.1529.3
10922.67)85.26 ;(t
M Tti∆−
×==∆
con ∆t en minutos, y la intensidad de lluvia en mm/día. Los mm/día los podemos
transformar en L/s.ha, mediante un simple cambio de unidades (mm = L / m2)
( )1.0)(679.1529.3
1086.7)(t
has
li
∆−×=
⋅
c. Calculamos ahora el caudal de proyecto en el tramo 1-2, procedente de la cuenca A,
utilizando el método racional.
Una única ruta de entrada, a través del punto 1, con un tiempo de concentración igual al
tiempo de entrada de la cuenca A, te(A) = 22 min,
( )[ ]s
m 61.41048
´1086.77.0
333)22(679.1529.3 1.0
=××××
==
−−
l
mha
has
l
AiCQ AAA
La razón de caudal de proyecto y el caudal de la tubería completamente llena es
85.0646.073.03.6
61.4
FRANKE-THORMAN DE <=⇒==
D
y
Q
Q
TABLASll
A
Efectivamente, la alcantarilla había sido bien dimensionada! Ahora calculamos la
velocidad del agua y el tiempo de recorrido,
min 45.5 ó, s, 327
14.231.6
07.14
07.1
07.173.0
21
21
2
FRANKE-THORMAN DE
==
=×=×=
=⇒=
−
−v
Lt
s
m
D
Qv
v
v
Q
Q
R
ll
llTABLAS
ll
A
ππ
1.- Caudal de proyecto de las cuencas A y B – (comprobación de las dimensiones del
tramo 2-en adelante),
A.- Rutas de entrada en la tubería en el punto 2, y tiempos de concentración,
Ruta I – Cuenca A, a través del tramo 1-2:
tc(I) = te(A)+tr(1-2) = 22 + 5.45 = 27.45 min
Ruta II – Directamente de la cuenca B
tc(II) = te(B) = 15 min
Tiempo de concentración en el punto 2,
tc = max[tc(I), tc(II)] = 27.45 min
B.- Intensidad de precipitación,
( )[ ]has
li
´92.1211086.7
1.0)45.27(679.1529.3=×=
−
C.- Caudal de proyecto (método racional),
( )s
m92.510305.0487.0
´121
333
=××+×
==
−
l
mhaha
has
l
AiCQ AAA
85.0834.094.03.6
92.5
FRANKE-THORMAN DE <≈=⇒==
D
y
Q
Q
TABLASll
A
El colector podría acoger la escorrentía adicional generada por la cuenca
B!!