Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έργων Κατασκευές Οπλισμένου Σκυροδέματος Ι – Ασκήσεις Διδάσκων: Παναγόπουλος Γεώργιος Σέρρες 26-6-2009

Ονοματεπώνυμο: Εξάμηνο

Βαθμολογία:

ΖΗΤΗΜΑ 1ο Δίνεται ο ξυλότυπος του σχήματος που ακολουθεί με τις διαστάσεις των πλακών και των προβόλων. Τα μόνιμα φορτία που δίνονται αντιστοιχούν στα δάπεδα και τις διάφορες επιστρώσει ενώ το ίδιο βάρος των πλακών δεν συμπεριλαμβάνεται σε αυτά. Ζητούνται: Ο υπολογισμός της επικάλυψης των πλακών Η εκλογή ενιαίου πάχους των πλακών Να υπολογιστεί ο απαιτούμενος οπλισμός των πλακών Ο σχεδιασμός του ξυλότυπου των οπλισμών (πάνω στην κάτοψη της εκφώνησης) Δεδομένα

Περιβάλλον Διάμετρος οπλισμών

Πρόσθετα μόνιμα Gδ (kN/m2)

Ωφέλιμα φορτία Q (kN/m2)

Υλικά

Παραθαλάσσιο Ø8 1.7 3.4 C20 S400

Α

Λύση: Ο υπολογισμός της επικάλυψης των πλακών

Η επικάλυψη των οπλισμών cnom υπολογίζεται σύμφωνα με την §4.2 (σχήμα 4.1) και από αυτήν προκύπτει το d1 που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του στατικού ύψους d ως εξής:

d1=cnom+Øw+ØL/2

Επικάλυψη cmin για συνθήκες περιβάλλοντος 3 30 Διόρθωση για πλάκες -5 Πρόσθετα 5mm (διαφορά cmin →cnom) 5 Συνδετήρας (Δεν υπάρχει συνδετήρας στην πλάκα) - Οπλισμός Φ8 (8/2=4mm) 4 Σύνολο d1 34mm Εκλογή ενιαίου πάχους πλακών

Θα γίνει με βάση τον έλεγχο λειτουργικότητας (περιορισμός βελών κάμψης). Παρατηρώ ότι και οι δύο πλάκες είναι σταυροειδώς οπλισμένες (Lmax/Lmin<2) Έλεγχος συνθηκών στήριξης πλάκας Π2 προβόλων:

Διευθ. Χ: προβ

πλ

l 1.20m0.30 0.33

l 4.00m άρα απλή έδραση

Διευθ. Υ: προβ

πλ

l 1.20m0.23 0.33

l 5.20m άρα απλή έδραση

Οπότε μόνο οι στήριξη μεταξύ των δύο πλακών λειτουργεί ως πάκτωση και όλες οι υπόλοιπες ως απλές εδράσεις. Παρατηρώ δηλαδή ότι οι πλάκες Π1 και Π2 είναι όμοιες και μου αρκεί να επιλύσω τη μία μόνο από αυτές. Αντίστοιχα, και οι δύο πρόβολοι έχουν το ίδιο μήκος (1.2m).

Πλακες Π1, Π2 Πρόβολοι Πρ1, Πρ2

διεύθυνση Χ

α·l=0.8·4.00=3.20m

α=2.40

πρα l 2.4 1.20

d d 0.096m30 30

διεύθυνση Υ

α=1.00

α·l=1.0·5.20=5.20m

min(α l) 3.20d d 0.107m

30 30

h= d+d1=0.107m+0.034m=> h=0.141m το συνολικό πάχος της πλάκας

Στρογγυλοποιώ στο αμέσως μεγαλύτερο cm οπότε τελικά επιλέγω h=15cm, οπότε και d=h-d1=15-3.4=> d =11.6cm (Παρατήρηση: Το πάχος της πλάκας h το οποίο θα κατασκευαστεί στην πράξη είναι αυτό που πρέπει να στρογγυλοποιείται. Το στατικό ύψος d που χρησιμοποιείται μόνο στους υπολογισμούς δεν είναι ανάγκη να στρογγυλοποιηθεί) Συνδυασμοί φόρτισης

Παρατηρώ ότι τα μόνιμα και τα κινητά φορτία των πλακών και των προβόλων είναι κοινά Ίδιο βάρος πλακών: GI.B.=γσκ·h=25kN/m3·0.15m=3.75kN/m2 Οπότε Gολ=Gδ+ GI.B.=5.45 kN/m2

Δυσμενής συνδυασμός φόρτισης πλακών και προβόλων

Δ 2 2 2

KN KN KNP 1.35G 1.50Q 1.35 5.45 1.5 3.40 12.46

m m m

Συνδυασμοί για μέθοδο πεσσοειδών φορτίσεων

1 2 2 2

KN KN KNP 1.175G 0.75Q 1.175 5.45 0.75 3.40 8.95

m m m

2 2 2 2

KN KN KNP 0.175G 0.75Q 0.175 5.45 0.75 3.40 3.50

m m m

Στατική επίλυση

● Επίλυση των προβόλων (οι δύο πρόβολοι είναι όμοιοι)

Η μέγιστη ροπή στους προβόλους αναπτύσσεται όταν εφαρμοστεί ο δυσμενής συνδυασμός φόρτισης

2 2Δ Πρ1

Πρ1 Πρ2

p l 12.46 1.20M M 8.97kNm / m

2 2

(για λωρίδα πλάτους 1m)

● Επίλυση των πλακών (οι δύο πλάκες είναι όμοιες)

Για την επίλυση των τετραέρειστων πλακών θα χρησιμοποιηθούν οι πίνακες Czerny. Ο πίνακας που μας ενδιαφέρει για τον υπολογισμό των ροπών των στηρίξεων είναι αυτός των πλακών τύπου 2α (πάκτωση στη μεγάλη πλευρά).

Για ly/lx=5.20/4.00=1.30 έχουμε: mxerm=-plx2/9.7 mxm=plx2/22.4 mymax=plx2/51.8

Ροπές στις στηρίξεις Η στατική επίλυση γίνεται με καθολική δυσμενή φόρτιση (1.35G+1.50Q). mxerm=-pΔlx2/9.7=-12.46·4.002/9.7=-20.55kNm/m

Ροπές στο άνοιγμα: Με χρήση εναλλακτών φορτίσεων Καθολική φόρτιση με p1=1.175G+0.75Q (πλάκα τύπου 2α) mxm=p1lx2/22.4=8.95·4.002/22.4=6.40kNm/m mymax=p1lx2/51.8=8.95·4.002/51.8=2.77kNm/m Εναλλακτές φορτίσεις με p2=±(0.175G+0.75Q) (πλάκα τύπου 1)

mymax

mymax

mxm

ly

lx

Για ly/lx=5.20/4.00=1.30 έχουμε: mxm=p2lx2/16.8=3.50·4.002/16.8=3.34kNm/m mymax= p2lx2/30.9=3.50·4.002/30.9=1.81kNm/m

Οπότε για τις πλάκες Π1 και Π2: ○ max mx=6.40+3.34=9.73kNm/m

○ min mx=6.40- 3.34=3.06kNm/m αμελείται

○ max my=2.77+1.81=4.58kNm/m

○ min my=2.77- 1.81=0.95kNm/m αμελείται

Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται το διάγραμμα ροπών όλων των πλακών

Έλεγχος επάρκειας της διατομής (δεν πειράζει και να μη γίνει)

Ο έλεγχος γίνεται με τη δυσμενέστερη ροπή πλάκας-προβόλου. Για S500 είναι limμ 0.33 οπότε

sd,maxαπ

lim cd

Μ 20.55d 0.068m 6.8cm 11.6cm

20000μ b f 0.33 11.5

ΟΚ

Υπολογισμός των οπλισμών

Ελάχιστες απαιτήσεις οπλισμού ○ Υπολογίζεται ο ελάχιστος οπλισμός για την πλάκα (για εξασφάλιση αντοχής)

As,min=1.5‰·b·d=1.5‰·100·11.6=1.74cm2

As,min=yk

0.6 b d 0.6 100 11.6f 400

=1.74cm2

○ Ακόμη, υπολογίζεται ο ελάχιστος οπλισμός λόγω απαιτήσεων λειτουργικότητας

λειτ 2cts,min ctm

s

A 15 100 / 2A k f 0.5 2.2 2.95cm

σ 0.7 400

Οπλισμός ανοιγμάτων Ξεκινάμε τη διαστασιολόγηση με τη μεγαλύτερη ροπή ανοίγματος.

sdsd 2

2 2cd2

M 9.73kNmμ 0.054

20000 kNb d f 1.0m 0.116 m1.5 m

ω=0.057

Και 2cds

yd

f 20000 / 1.5A ω b d 0.057 100 11.6 2.52 cm

f 400000 / 1.15

Παρατηρώ ότι λειτs s,minA A . Επειδή ο οπλισμός στο άνοιγμα καθορίζεται από την απαίτηση

λειτουργικότητας (η οποία παραμένει η ίδια σε όλα τα ανοίγματα) τοποθετούμε σε όλα τα ανοίγματα και προς τις δυο διευθύνσεις τον οπλισμό αυτό.

Τοποθετώ Ø8/17cm (2.96cm2) είναι s=17cm ≤1.5h 1.5 15 22.5

20cm

Ο ίδιος οπλισμός τοποθετείται και στις δύο πλάκες (Π1 και Π2) Οπλισμός στήριξης Π1-Π2

sdsd 2

2 2cd2

M 20.55 kNmμ 0.115

20000 kNb d f 1.0m 0.116 m1.5 m

ω=0.125

2cds

yd

f 20000 / 1.5A ω b d 0.125 100 116 5.54cm

f 400000 / 1.15 > λειτ 2

s,minA 2.95cm

Από την πλάκα Π1 κάμπτονται Ø8/34=1.48cm2 Από την πλάκα Π2 κάμπτονται Ø8/34=1.48cm2

Τοποθετώ πρόσθετα Ø8/17=2.96cm2 έτσι ώστε να μην υπάρχουν πυκνώσεις και αραιώσεις οπλισμού. Συνολικά 5.92cm2>5.54cm2 Οπλισμός στηρίξεων Π2-Πρ1, Π2-Πρ2

sdsd 2

2 2cd2

M 8.97 kNmμ 0.050

20000 kNb d f 1.0m 0.116 m1.5 m

ω=0.052

2cds

yd

f 20000 / 1.5A ω b d 0.052 100 116 2.31cm

f 400000 / 1.15 < λειτ 2

s,minA 2.95cm

Από την πλάκα Π1 κάμπονται Ø8/34=1.48cm2 Τοποθετώ πρόσθετα Ø8/34=1.48cm2 Συνολικά 2.96cm2>{ λειτ 2

s,minA 2.95cm , Αs=2.31cm2}

Oπλισμός διανομής προβόλου Το εμβαδόν του οπλισμού διανομής πρέπει να είναι τουλάχιστο ίσο με 20% του κύριου οπλισμού (ρ’≥0.20ρ) και τουλάχιστο Φ6/25.

2 2 2smax 20% A ,Φ6 / 25 1.13cm max 20% 2.96 0.59cm ,Φ6 / 25 1.13cm

Άρα τοποθετώ Φ6/25 (1.13cm2). Oπλισμός τύπου «φουρκέτας» Τέλος απαιτείται οπλισμός τύπου «φουρκέτας» τουλάχιστον Φ6/25. Κάμπτεται κατάλληλα ο οπλισμός στήριξης των προβόλων, άρα τελικά υπάρχει Ø8/17>Ø6/25 (2.96cm2>1.13cm2)

ΖΗΤΗΜΑ 2ο Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται το στατικό σύστημα μιας κατασκευής από Ο/Σ. Η δοκός έχει διατομή αμφίπλευρης πλακοδοκού (υπάρχει πλάκα Ο/Σ πάχους hf και από στις δύο πλευρές της δοκού). Επιπλέον σε όλο το μήκος της δοκού (άνοιγμα και πρόβολοι) εδράζεται μπατική τοιχοποιία ύψους hτοιχ=3.5m (ίδιο βάρος μπατικής τοιχοποιίας: 3.6kN/m2)

g, q

Δεδομένα

Φορτία (kN/m)

Διαστάσεις φορέα (m)

Διατομή δοκού (cm)

hf (cm) g q Lπρ1 L1 Lπρ2

18.00 23.00 2.20 3.60 2.40 25/70 13

- Επικάλυψη οπλισμού δοκών: 5.0cm - Κατηγορία σκυροδέματος C20. Κατηγορία χάλυβα S400

Στα παραπάνω φορτία συμπεριλαμβάνεται το ίδιο βάρος της δοκού Ζητούνται: Να υπολογιστεί το διάγραμμα ροπών του φορέα θεωρώντας καθολική φόρτιση σε όλο το μήκος

Να υπολογιστεί ο διαμήκης οπλισμός στη στήριξη που εμφανίζει τη μεγαλύτερη ροπή και στο άνοιγμα. Να γίνουν τα αντίστοιχα σκαριφήματα με την τοποθέτησή του

Λύση: Στατική επίλυση

Ίδιο βάρος τοιχοποιίας: gτοιχ.= hτοιχ·3.6kΝ/2=3.5m·3.6kΝ/2=12.60kN/m Οπότε gολ=g+ gτοιχ.=18+12.60=30.60 kN/m2 Το δυσμενές φορτίο pΔ στην ΟΚΑ (καθολική φόρτιση με αυτό) είναι:

Δ ολp 1.35g 1.50q 1.35 30.60kN / m 1.5 23.00kN / m 75.81kN / m

Ροπή προβόλου 1: Mπρ1 = -pΔ·Lπρ12/2=-75.81*2.22/2 = -183.46kN/m Ροπή προβόλου 2: Mπρ2 = -pΔ·Lπρ22/2=-75.81*2.42/2 = -218.33kN/m Ροπή στο μέσο του ανοίγματος L1 (περίπου ίση με τη μέγιστη ροπή):

Μμέσο=2 2

πρ1 πρ2 Δ 1μέσο

Μ Μ p L 75.81 3.6183.46 218.33M 78.08kNm

2 8 2 8

Υπολογισμός οπλισμού

Ελάχιστα και μέγιστα ποσοστά οπλισμού Οι τιμές των ρmin και ρmax λαμβάνονται απευθείας από τον πίνακα στη σελ.75 ρmin= 3.2‰ → ρmin·bw·h=3.2‰·25cm·70cm=> Αs,min=5.60cm2 ρmax= 14‰ → ρmax·bw·h=14.0‰·25cm·70cm=> Αs,max=24.50cm2 Οπλισμός στήριξης Β (αρνητική ροπή, λειτουργία ορθογωνικής διατομής) Η στήριξη που εμφανίζεται η μεγαλύτερη ροπή είναι η Β. ΜΒ=-218.33kNm, οπότε ΜΒπαρ=0.9·ΜΒ=-196.50kNm και καθώς δεν υπάρχει αξονικό φορτίο είναι: Μsd=196.50kNm

μsd= Msd

bw·d2·fcd =

196.50

0.25·0.652· 20·103

1.5 = 0.140 < μlim=0.33 (για S400, άρα δεν απαιτείται

θλιβόμενος οπλισμός) μsd=0. 140 => ω=0.128

Αs=ω· bw·d·fcdfyd

= 0.128·25·65·20·103/1.5

400·103/1.15 => Αs=9.60cm2

Παρατηρώ ότι Αs,min< Αs < Αs,max

Τοποθετώ 5Ø16 (10.05cm2) στην άνω ίνα καθώς η ροπή είναι αρνητική Οπλισμός ανοίγματος (αρνητική ροπή, λειτουργία ορθογωνικής διατομής) Καθώς δεν υπάρχει αξονικό φορτίο είναι: Μsd=78.08kNm

μsd= Msd

bw·d2·fcd =

78.08

0.25·0.652· 20·103

1.5 = 0.055 < μlim=0.33 => ω=0.058

Αs=ω· bw·d·fcdfyd

= 0.058·25·65·20·103/1.5

400·103/1.15 => Αs=3.61cm2

Παρατηρώ ότι Αs < Αs, min άρα ο οπλισμός προκύπτει από την ελάχιστη απαίτηση

Τοποθετώ 3Ø16 (6.03cm2) στην άνω ίνα καθώς η ροπή είναι αρνητική

ΖΗΤΗΜΑ 3ο Η δοκός του σχήματος καταπονείται από τέμνουσα δύναμη x=d

sdV = 62.12kN σε

απόσταση d από την παρειά του υποστυλώματος με το οποίο συνδέεται. Οι ποιότητες των υλικών είναι C20 και S400 και η συνολική επικάλυψη είναι τόση ώστε: d1=5cm. To ύψος της δοκού h=65cm. A. Να υπολογιστεί το ελάχιστο πλάτος της δοκού bw, έτσι ώστε να μην απαιτείται οπλισμός διάτμησης.

B. Θα τοποθετηθεί τελικά κάποιος οπλισμός διάτμησης και αν ναι σε τι αποστάσεις (να θεωρηθεί ότι η διατομή βρίσκεται στο κρίσιμο μήκος της δοκού);

3Φ18

3Φ18

bwh

Λύση: Υπολογισμός bw

Για να μην απαιτείται οπλισμός διάτμησης θα πρέπει να ισχύει x dsd Rd1V V (1ος έλεγχος)

Rd1 Rd l cp wV τ k 1.2 40 ρ 0.15 σ b d

όπου:

τRd=0.26MPa k=1.60-d=1.60-0.60=1.00

2 4 2sl

lw w w

A 7.63cm 7.63 10 mρ

b d b 60cm b 0.60m

(Αsl=7.63cm2 για 3Ø18)

σcp=0 (δεν υπάρχει αξονική δύναμη) 4 2

3Rd1 w2

w

kN 7.63 10 mV 0.26 10 1.00 1.2 40 0.15 0 b 0.60m

m b 0.60m

Οπότε ο μόνος άγνωστος στην ανίσωση του ελέγχου είναι το bw. Λύνω την ανίσωση (με προσοχή στις μονάδες) και προκύπτει: bw≥0.289m=28.9cm. Οπότε επιλέγω bw=30cm Ελάχιστος οπλισμός διάτμησης

Προφανώς θα τοποθετηθούν οι ελάχιστοι απαιτούμενοι συνδετήρες (μέγιστες αποστάσεις)

b

L

w

1 / 3 h 1 / 3 650 216.67mm10Φ 10 18 180mm

s20Φ 20 8 (θεωρώντας συνδετήρες Φ8) 160mm200mm 200mm 200mm

Τοποθετώ εντός της κρίσιμης περιοχής Ø8/160mm

ΖΗΤΗΜΑ 4ο

Ένα ορθογωνικό υποστύλωμα διαστάσεων b/h καταπονείται από θλιπτικό αξονικό φορτίο Ν και ροπή Μ, σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα. Δεδομένα Διαστάσεις

(b/h) N

(kN) Επικάλυψη

(d1) Υλικά

40/65 -860.76 5cm C20 S400

Ζητούνται: Ο υπολογισμός του ελάχιστου και του μέγιστου επιτρεπόμενου οπλισμού Να γίνει στο σχήμα της εκφώνησης το σκαρίφημα με την τοποθέτηση του ελάχιστου

οπλισμού, τοποθετώντας ενδεικτικά μια κατάλληλη διάταξη συνδετήρων Για την περίπτωση όπλισης με τον ελάχιστο επιτρεπόμενο οπλισμό, να υπολογιστεί η

ροπή που μπορεί να αντέξει η διατομή, θεωρώντας το αξονικό φορτίο που δίνεται στα δεδομένα

Λύση:

Ελάχιστα και μέγιστα ποσοστά οπλισμού

Χρησιμοποιώ βοηθητικά και τη διάταξη του παλαιότερου κανονισμού παρminρ 0.004

2min s,min

2max s,max

παρ παρ 2min s,min

ρ 0.01 A 0.01 b h 0.01 40cm 65cm 26cm

ρ 0.04 A 0.04 b h 0.04 40cm 65cm 104cm

ρ 0.004 A 0.004 b h 0.004 40cm 65cm 10.4cm

Επιλέγω για κάθε μία από τις δύο κύριες παρειές (τις μικρές λόγω του διανύσματος της ροπής) 4Ø18(10.18cm2). Είναι οριακά λιγότερο από το παρ

s,minA αλλά επιτρέπεται να

τοποθετηθεί, αρκεί ο συνολικός οπλισμός να μην είναι λιγότερος από το s,minA .

Στις δύο μεγάλες πλευρές θα τοποθετηθεί οπλισμός, έτσι ώστε οι αποστάσεις μεταξύ των ράβδων να είναι μεγαλύτερες από 20cm. Για να είναι δυνατό αυτό σε μια πλευρά 65cm θα πρέπει να τοποθετηθούν επιπλέον 2 ράβδοι ανά παρειά (λαμβάνοντας υπόψη αυτές που τοποθετήθηκαν στις κύριες παρειές και την επικάλυψη των οπλισμών). Άρα, τοποθετώ σε κάθε μία παρειά επιπλέον 2Ø14.

Συνολικά δηλαδή υπάρχουν 8Ø18+4Ø16(20.36+6.16=26.52cm2)> s,minA =26.00cm2

Σκαρίφημα με τον ελάχιστο οπλισμό

Υπολογισμός ροπής αντοχής

Στα υποστυλώματα που καταπονούνται από μονοαξονική κάμψη με αξονικό φορτίο ο κύριος οπλισμός τοποθετείται στις δύο απέναντι παρειές. Οπότε συνολικά για 8Ø18: As,tot=20.36cm2.

Αs,tot=ω· b·h·fcdfyd

=> ω=Αs,tot·fyd

b·h·fcd =

20.36cm2·(400/1.15)MPa40cm·65cm·(20/1.5)MPa =0.204

ν= Ν

b·h·fcd =

-860.76

0.40·0.65· 20·103

1.5 = -0.248

Είναι d1/h=5/65=0.077. Για να μην κάνω τον υπολογισμό 2 φορές και στη συνέχεια γραμμική παρεμβολή χρησιμοποιώ, προς την πλευρά της ασφάλειας (μικρότερο στατικό ύψος), το νομογράφημα για d1/h=0.10 (σελ. 103). Για ω=0.204 και ν=-0.248 προκύπτει: μ≈0.17

μ= M

b·h2·fcd => Μ=μ· b·h2·fcd = 0.17·0.40m·0.65m·

20·103

1.5 kN/m2 => Μ=589.33kNm