exempel 1: exempel 1: banta ner och fylla ut. · 2020. 11. 25. · exempel 1: exempel 1: banta ner...

Exempel 1: Exempel 1: Banta ner och fylla ut.

Lat U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212

⊂ R5. Bestam en bas i U, ange U:s

dimension och uttryck U som ett losningsrum.

Losning: Kalla de genererande vektorerna u3,u2,u1,u4. Hitta lojliga element genom attlosa beroendeekvationen, hitta ekvationerna for U genom att losa ekvationen “L.K.=godtycklig vektor”. Vi far

λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 + λ4u4 = λ1 e

01010

λ2 e

11111

+ λ3 e

12121

+ λ4 e

21212

=

= e

0 1 1 21 1 2 10 1 1 21 1 2 10 1 1 2

λ1λ2λ3λ4

= e

00000

, e

x1x2x3x4x5

.

Los systemet pa vanligt satt.


Lat U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212


dimension och uttryck U som ett losningsrum.Losning: Kalla de genererande vektorerna u3,u2,u1,u4.

Hitta lojliga element genom attlosa beroendeekvationen, hitta ekvationerna for U genom att losa ekvationen “L.K.=godtycklig vektor”. Vi far

λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 + λ4u4 = λ1 e

01010

λ2 e

11111

+ λ3 e

12121

+ λ4 e

21212

=

= e

0 1 1 21 1 2 10 1 1 21 1 2 10 1 1 2

λ1λ2λ3λ4

= e

00000

, e

x1x2x3x4x5

.



Lat U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212


dimension och uttryck U som ett losningsrum.Losning: Kalla de genererande vektorerna u3,u2,u1,u4. Hitta lojliga element genom attlosa beroendeekvationen, hitta ekvationerna for U genom att losa ekvationen “L.K.=godtycklig vektor”.

Vi far

λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 + λ4u4 = λ1 e

01010

λ2 e

11111

+ λ3 e

12121

+ λ4 e

21212

=

= e

0 1 1 21 1 2 10 1 1 21 1 2 10 1 1 2

λ1λ2λ3λ4

= e

00000

, e

x1x2x3x4x5

.



Lat U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212


dimension och uttryck U som ett losningsrum.Losning: Kalla de genererande vektorerna u3,u2,u1,u4. Hitta lojliga element genom attlosa beroendeekvationen, hitta ekvationerna for U genom att losa ekvationen “L.K.=godtycklig vektor”. Vi far

λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 + λ4u4 =

λ1 e

01010

λ2 e

11111

+ λ3 e

12121

+ λ4 e

21212

=

= e

0 1 1 21 1 2 10 1 1 21 1 2 10 1 1 2

λ1λ2λ3λ4

= e

00000

, e

x1x2x3x4x5

.



Lat U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212



λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 + λ4u4 = λ1 e

01010

λ2 e

11111

+ λ3 e

12121

+ λ4 e

21212

=

= e

0 1 1 21 1 2 10 1 1 21 1 2 10 1 1 2

λ1λ2λ3λ4

= e

00000

, e

x1x2x3x4x5

.



Lat U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212



λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 + λ4u4 = λ1 e

01010

λ2 e

11111

+ λ3 e

12121

+ λ4 e

21212

=

= e

0 1 1 21 1 2 10 1 1 21 1 2 10 1 1 2

λ1λ2λ3λ4

=

e

00000

, e

x1x2x3x4x5

.



Lat U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212



λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 + λ4u4 = λ1 e

01010

λ2 e

11111

+ λ3 e

12121

+ λ4 e

21212

=

= e

0 1 1 21 1 2 10 1 1 21 1 2 10 1 1 2

λ1λ2λ3λ4

= e

00000

, e

x1x2x3x4x5

.


Exempel 1: Banta ner och fylla ut.

0 1 1 2 0 x11 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x31 1 2 1 0 x40 1 1 2 0 x5

r4−r2r1↔r2∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 1 1 2 0 x30 0 0 0 0 −x2 + x40 1 1 2 0 x5

r3−r2r5−r2∼

∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 0 0 0 0 −x1 + x30 0 0 0 0 −x2 + x40 0 0 0 0 −x1 + x5

Hur manga lojliga element har vi?

Svar: 2. Vilka? Enklaste sattet att motivera detta ar att losa beroendeekvationen.{λ1 + λ2 + 2λ3 + λ4 = 0

λ2 + λ3 + 2λ4 = 0⇐⇒

⇐⇒

λ1λ2λ3λ4

=

−λ2 − 2λ3 − λ4−λ3 − 2λ4

=

−s+ t−s− 2t

st

= s

1110

+t

1201

, s, t ∈ R

Exempel 1: Banta ner och fylla ut.0 1 1 2 0 x11 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x31 1 2 1 0 x40 1 1 2 0 x5

r4−r2r1↔r2∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 1 1 2 0 x30 0 0 0 0 −x2 + x40 1 1 2 0 x5

r3−r2r5−r2∼

∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 0 0 0 0 −x1 + x30 0 0 0 0 −x2 + x40 0 0 0 0 −x1 + x5



λ2 + λ3 + 2λ4 = 0⇐⇒

⇐⇒

λ1λ2λ3λ4

=

−λ2 − 2λ3 − λ4−λ3 − 2λ4

=

−s+ t−s− 2t

st

= s

1110

+t

1201

, s, t ∈ R


r4−r2r1↔r2∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 1 1 2 0 x30 0 0 0 0 −x2 + x40 1 1 2 0 x5

r3−r2r5−r2∼

∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 0 0 0 0 −x1 + x30 0 0 0 0 −x2 + x40 0 0 0 0 −x1 + x5


Svar: 2.

Vilka? Enklaste sattet att motivera detta ar att losa beroendeekvationen.{λ1 + λ2 + 2λ3 + λ4 = 0

λ2 + λ3 + 2λ4 = 0⇐⇒

⇐⇒

λ1λ2λ3λ4

=

−λ2 − 2λ3 − λ4−λ3 − 2λ4

=

−s+ t−s− 2t

st

= s

1110

+t

1201

, s, t ∈ R


r4−r2r1↔r2∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 1 1 2 0 x30 0 0 0 0 −x2 + x40 1 1 2 0 x5

r3−r2r5−r2∼

∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 0 0 0 0 −x1 + x30 0 0 0 0 −x2 + x40 0 0 0 0 −x1 + x5


Svar: 2. Vilka?

Enklaste sattet att motivera detta ar att losa beroendeekvationen.{λ1 + λ2 + 2λ3 + λ4 = 0

λ2 + λ3 + 2λ4 = 0⇐⇒

⇐⇒

λ1λ2λ3λ4

=

−λ2 − 2λ3 − λ4−λ3 − 2λ4

=

−s+ t−s− 2t

st

= s

1110

+t

1201

, s, t ∈ R


r4−r2r1↔r2∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 1 1 2 0 x30 0 0 0 0 −x2 + x40 1 1 2 0 x5

r3−r2r5−r2∼

∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 0 0 0 0 −x1 + x30 0 0 0 0 −x2 + x40 0 0 0 0 −x1 + x5



λ2 + λ3 + 2λ4 = 0

⇐⇒

⇐⇒

λ1λ2λ3λ4

=

−λ2 − 2λ3 − λ4−λ3 − 2λ4

=

−s+ t−s− 2t

st

= s

1110

+t

1201

, s, t ∈ R


r4−r2r1↔r2∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 1 1 2 0 x30 0 0 0 0 −x2 + x40 1 1 2 0 x5

r3−r2r5−r2∼

∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 0 0 0 0 −x1 + x30 0 0 0 0 −x2 + x40 0 0 0 0 −x1 + x5



λ2 + λ3 + 2λ4 = 0⇐⇒

⇐⇒

λ1λ2λ3λ4

=

−λ2 − 2λ3 − λ4−λ3 − 2λ4

=

−s+ t−s− 2t

st

= s

1110

+t

1201

, s, t ∈ R


Insattning av losningarna i beroendeekvationen ger for s = 1, t = 0

−u1 − u2 + u3 = 0

⇐⇒ u3 = u1 + u2

och med s = 0, t = 1

u1 − 2u2 + u4 = 0 ⇐⇒ u4 = −u1 + 2u2,

d v s u3 och u4 kan utses till lojliga element. Ur satsen om lojliga element (Sats 5.3.16,sid 111) foljer nu att

U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212

=

e

01010

, e

11111

.

Da alla lojliga elementen ar strukna ar de resterande vektorerna linjart oberoende(Sats 5.4.4, sid 114). Foljaktligen ar (0, 1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1, 1) en bas i U och dimU = 2.



−u1 − u2 + u3 = 0 ⇐⇒ u3 = u1 + u2


u1 − 2u2 + u4 = 0 ⇐⇒ u4 = −u1 + 2u2,


U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212

=

e

01010

, e

11111

.




−u1 − u2 + u3 = 0 ⇐⇒ u3 = u1 + u2


u1 − 2u2 + u4 = 0

⇐⇒ u4 = −u1 + 2u2,


U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212

=

e

01010

, e

11111

.




−u1 − u2 + u3 = 0 ⇐⇒ u3 = u1 + u2


u1 − 2u2 + u4 = 0 ⇐⇒ u4 = −u1 + 2u2

,


U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212

=

e

01010

, e

11111

.




−u1 − u2 + u3 = 0 ⇐⇒ u3 = u1 + u2


u1 − 2u2 + u4 = 0 ⇐⇒ u4 = −u1 + 2u2,

d v s u3 och u4 kan utses till lojliga element.

Ur satsen om lojliga element (Sats 5.3.16,sid 111) foljer nu att

U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212

=

e

01010

, e

11111

.




−u1 − u2 + u3 = 0 ⇐⇒ u3 = u1 + u2


u1 − 2u2 + u4 = 0 ⇐⇒ u4 = −u1 + 2u2,


U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212

=

e

01010

, e

11111

.




−u1 − u2 + u3 = 0 ⇐⇒ u3 = u1 + u2


u1 − 2u2 + u4 = 0 ⇐⇒ u4 = −u1 + 2u2,


U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212

=

e

01010

, e

11111

.

Da alla lojliga elementen ar strukna ar de resterande vektorerna linjart oberoende(Sats 5.4.4, sid 114).

Foljaktligen ar (0, 1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1, 1) en bas i U och dimU = 2.



−u1 − u2 + u3 = 0 ⇐⇒ u3 = u1 + u2


u1 − 2u2 + u4 = 0 ⇐⇒ u4 = −u1 + 2u2,


U =

e

12121

, e

11111

, e

01010

, e

21212

=

e

01010

, e

11111

.



Ater till ekvationen “L.K.= godtycklig vektor”.

Vi hade0 1 1 2 0 x11 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x31 1 2 1 0 x40 1 1 2 0 x5

∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 0 0 0 0 −x1 + x30 0 0 0 0 −x2 + x40 0 0 0 0 −x1 + x5

.

Ur detta ser vi att systemet ar losbart om och endast om−x1 + x3 = 0−x2 + x4 = 0−x1 + x5 = 0

.

Foljaktligen ar det da detta ekvationssytem som blir U:s ekvationer, d v s

U =

e

01010

, e

11111

=

x ∈ R5:−x1 + x3 = 0−x2 + x4 = 0−x1 + x5 = 0

.


Ater till ekvationen “L.K.= godtycklig vektor”. Vi hade0 1 1 2 0 x11 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x31 1 2 1 0 x40 1 1 2 0 x5

∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 0 0 0 0 −x1 + x30 0 0 0 0 −x2 + x40 0 0 0 0 −x1 + x5

.


.


U =

e

01010

, e

11111

=

x ∈ R5:−x1 + x3 = 0−x2 + x4 = 0−x1 + x5 = 0

.



∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 0 0 0 0 −x1 + x30 0 0 0 0 −x2 + x40 0 0 0 0 −x1 + x5

.


.

Foljaktligen ar det da detta ekvationssytem som blir U:s ekvationer

, d v s

U =

e

01010

, e

11111

=

x ∈ R5:−x1 + x3 = 0−x2 + x4 = 0−x1 + x5 = 0

.



∼

1 1 2 1 0 x20 1 1 2 0 x10 0 0 0 0 −x1 + x30 0 0 0 0 −x2 + x40 0 0 0 0 −x1 + x5

.


.


U =

e

01010

, e

11111

=

x ∈ R5:−x1 + x3 = 0−x2 + x4 = 0−x1 + x5 = 0

.


Hur skall vi da valja utfyllnaden?

Vi anvander “Plus-satsen”.

Sats 5.4.21, sid 123 Lat V vara ett vektorrum och v1,v2, . . . ,vk,vk+1 ∈ V. Antag att

(a) {v1,v2, . . . ,vk} ar linjart oberoende,

(b) vk+1 6∈ [v1,v2, . . . ,vk].

Da galler att{v1,v2, . . . ,vk} ∪ {vk+1} = {v1,v2, . . . ,vk,vk+1}

ar linjart oberoende.

Hur manga skall vi fylla ut med? Svar: 3.Vi anvander Plus-satsen tre ganger och valjer forsta utfyllnadsvektorn genom att brytamoten ekvation och uppfylla de andra tva, den andra genom att bryta mot en av dekvarvarande ekvationerna och uppfylla den sista och slutligen, den tredje genom att brytamot den aterstaende ekvationen. For att se att detta ar en fungerande strategi tittar vi pabeviset av Plus-satsen i matriskalkyl-form.


Hur skall vi da valja utfyllnaden? Vi anvander “Plus-satsen”.



(b) vk+1 6∈ [v1,v2, . . . ,vk].








(b) vk+1 6∈ [v1,v2, . . . ,vk].



Hur manga skall vi fylla ut med?

Svar: 3.Vi anvander Plus-satsen tre ganger och valjer forsta utfyllnadsvektorn genom att brytamoten ekvation och uppfylla de andra tva, den andra genom att bryta mot en av dekvarvarande ekvationerna och uppfylla den sista och slutligen, den tredje genom att brytamot den aterstaende ekvationen. For att se att detta ar en fungerande strategi tittar vi pabeviset av Plus-satsen i matriskalkyl-form.





(b) vk+1 6∈ [v1,v2, . . . ,vk].



Hur manga skall vi fylla ut med? Svar: 3.

Vi anvander Plus-satsen tre ganger och valjer forsta utfyllnadsvektorn genom att brytamoten ekvation och uppfylla de andra tva, den andra genom att bryta mot en av dekvarvarande ekvationerna och uppfylla den sista och slutligen, den tredje genom att brytamot den aterstaende ekvationen. For att se att detta ar en fungerande strategi tittar vi pabeviset av Plus-satsen i matriskalkyl-form.





(b) vk+1 6∈ [v1,v2, . . . ,vk].



Hur manga skall vi fylla ut med? Svar: 3.Vi anvander Plus-satsen tre ganger och valjer forsta utfyllnadsvektorn genom att brytamoten ekvation och uppfylla de andra tva

, den andra genom att bryta mot en av dekvarvarande ekvationerna och uppfylla den sista och slutligen, den tredje genom att brytamot den aterstaende ekvationen. For att se att detta ar en fungerande strategi tittar vi pabeviset av Plus-satsen i matriskalkyl-form.





(b) vk+1 6∈ [v1,v2, . . . ,vk].



Hur manga skall vi fylla ut med? Svar: 3.Vi anvander Plus-satsen tre ganger och valjer forsta utfyllnadsvektorn genom att brytamoten ekvation och uppfylla de andra tva, den andra genom att bryta mot en av dekvarvarande ekvationerna och uppfylla den sista

och slutligen, den tredje genom att brytamot den aterstaende ekvationen. For att se att detta ar en fungerande strategi tittar vi pabeviset av Plus-satsen i matriskalkyl-form.





(b) vk+1 6∈ [v1,v2, . . . ,vk].



Hur manga skall vi fylla ut med? Svar: 3.Vi anvander Plus-satsen tre ganger och valjer forsta utfyllnadsvektorn genom att brytamoten ekvation och uppfylla de andra tva, den andra genom att bryta mot en av dekvarvarande ekvationerna och uppfylla den sista och slutligen, den tredje genom att brytamot den aterstaende ekvationen.

For att se att detta ar en fungerande strategi tittar vi pabeviset av Plus-satsen i matriskalkyl-form.





(b) vk+1 6∈ [v1,v2, . . . ,vk].





Tank dig att du fyller ut med tre godtyckliga vektorer

(x1, x2, x3, x4, x5), (y1, y2, y3, y4, y5), (z1, z2, z3, z4, z5).

Stall nu upp beroendeekvationen for dessa fem vektorer och gor samma radoperationer somda vi loste beroendeekvationen. Da fas

0 1 x1 y1 z1 01 1 x2 y2 z2 00 1 x3 y3 z3 01 1 x4 y4 z4 00 1 x5 y5 z5 0

∼

1 1 x2 y2 z2 00 1 x1 y1 z1 00 0 −x1 + x3 −y1 + y3 −z1 + z3 00 0 −x2 + x4 −y2 + y4 −z2 + z4 00 0 −x1 + x5 −y1 + y5 − z1 + z5 0

Om vektorerna skall vara linjart oberoende maste vi ha entydighetstrappa.




Stall nu upp beroendeekvationen for dessa fem vektorer och gor samma radoperationer somda vi loste beroendeekvationen.

Da fas0 1 x1 y1 z1 01 1 x2 y2 z2 00 1 x3 y3 z3 01 1 x4 y4 z4 00 1 x5 y5 z5 0

∼








∼








∼



Valj forsta utfyllnadsvektorn sa att den bryter mot 1:a






∼


Om vektorerna skall vara linjart oberoende maste vi ha entydighetstrappa.Valj forsta utfyllnadsvektorn sa att den bryter mot 1:a






∼

1 1 x2 y2 z2 00 1 x1 y1 z1 00 0 6= 0 −y1 + y3 −z1 + z3 00 0 −x2 + x4 −y2 + y4 −z2 + z4 00 0 −x1 + x5 −y1 + y5 − z1 + z5 0

Om vektorerna skall vara linjart oberoende maste vi ha entydighetstrappa.Valj forsta utfyllnadsvektorn sa att den bryter mot 1:a och uppfyller de andraekvationerna.






∼

1 1 x2 y2 z2 00 1 x1 y1 z1 00 0 6= 0 −y1 + y3 −z1 + z3 00 0 0 −y2 + y4 −z2 + z4 00 0 0 −y1 + y5 − z1 + z5 0

Om vektorerna skall vara linjart oberoende maste vi ha entydighetstrappa.Valj forsta utfyllnadsvektorn sa att den bryter mot 1:a och uppfyller de andraekvationerna.






∼

1 1 x2 y2 z2 00 1 x1 y1 z1 00 0 6= 0 −y1 + y3 −z1 + z3 00 0 0 6= 0 −z2 + z4 00 0 0 0 − z1 + z5 0

Om vektorerna skall vara linjart oberoende maste vi ha entydighetstrappa.Valj forsta utfyllnadsvektorn sa att den bryter mot 1:a och uppfyller de andraekvationerna. Valj andra sa att vi bryter mot en och uppfyller nasta

for att slutligen brytamot den aterstaende ekvationen.






∼

1 1 x2 y2 z2 00 1 x1 y1 z1 00 0 6= 0 −y1 + y3 −z1 + z3 00 0 0 6= 0 −z2 + z4 00 0 0 0 − z1 + z5 0

Om vektorerna skall vara linjart oberoende maste vi ha entydighetstrappa.Valj forsta utfyllnadsvektorn sa att den bryter mot 1:a och uppfyller de andraekvationerna. Valj andra sa att vi bryter mot en och uppfyller nasta for att slutligen brytamot den aterstaende ekvationen.






∼

1 1 x2 y2 z2 00 1 x1 y1 z1 00 0 6= 0 −y1 + y3 −z1 + z3 00 0 0 6= 0 −z2 + z4 00 0 0 0 6= 0 0

Om vektorerna skall vara linjart oberoende maste vi ha entydighetstrappa.Valj forsta utfyllnadsvektorn sa att den bryter mot 1:a och uppfyller de andraekvationerna. Valj andra sa att vi bryter mot en och uppfyller nasta for att slutligen brytamot den aterstaende ekvationen.

Valj, t ex

v3 = e3 = (0, 0, 1, 0, 0), v4 = e4 = (0, 0, 0, 1, 0), v5 = e5 = (0, 0, 0, 0, 1),






∼

1 1 x2 y2 z2 00 1 x1 y1 z1 00 0 6= 0 −y1 + y3 −z1 + z3 00 0 0 6= 0 −z2 + z4 00 0 0 0 6= 0 0

Om vektorerna skall vara linjart oberoende maste vi ha entydighetstrappa.Valj forsta utfyllnadsvektorn sa att den bryter mot 1:a och uppfyller de andraekvationerna. Valj andra sa att vi bryter mot en och uppfyller nasta for att slutligen brytamot den aterstaende ekvationen.Valj, t ex

v3 = e3 = (0, 0, 1, 0, 0), v4 = e4 = (0, 0, 0, 1, 0), v5 = e5 = (0, 0, 0, 0, 1),

exempel 1: exempel 1: banta ner och fylla ut. · 2020. 11. 25. · exempel 1: exempel 1: banta ner...

Documents