exemplo 2 uma experiência do efeito fotolétrico. · com que a energia irradiada pareça um fluxo...

Física Moderna – Exercícios Resolvidos e Lista de Problemas de Revisão

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

1

1

Tabela- Função trabalho para diversos elementos.

Elemento Função trabalho (eV)

Alumínio 4.3

Carbono 5.0

Cobre 4.7

Ouro 5.1

Níquel 5.1

Silício 4.8

Prata 2.7

Sódio 2.7

Exemplo 1 - Um filme de silício

torna-se um bom condutor elétrico quando

iluminado com fótons de energia de 1.14 eV ou

superior (Este comportamento é denominado de

fotocondutividade.) Qual é o comprimento de onda

correspondente?

Solução:

h c h cE

E

34 86.6262 10 3 10

E

251.98786 10m

E J

Como 19 181 1.6 10 1 6.25 10eV J J eV

251.98786 10m

E J

1241.875nm

E eV

1241.875

1.14nm

1090nm

Este comprimento de onda está na região do infravermelho do EE. A energia mínima de 1.14 eV corresponde ao comprimento de onda máximo que produz fotocondutividade no silício, portanto todos os fótons da luz visível também produzirão fotocondutividade pois possuem comprimento de onda menores do que esse limite e energias mais elevadas do que aquela.

Exemplo 2 – Uma experiência do

efeito fotolétrico. Realizando uma experiência do

efeito fotoelétrico com a luz de determinado

comprimento de onda, você verifica que é

necessário uma diferença de potencial invertida de

1.25 V para anular a corrente. Determine:

(a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade máxima dos fotoelétrons emitidos.

Solução:

(a)19

max 0 max 1.6 10 1.25K e V K

max 1.25K eV

(b)

2

max max max 0

1

2eK m v K e V

19

maxmax max 31

2 2 2 10

9.11 10e

Kv v

m

5

max 6.63 10m

vs

Essa velocidade equivale a 1/500 da velocidade da luz; logo, podemos utilizar a equação não relativística para a energia cinética.

Exemplo 3 – Experiência para

determinar e e h. Para um certo material do

catodo na experiência do efeito fotoelétrico,

verifica-se um potencial de corte de 1.0 V para

uma luz de comprimento de onda de 600 nm, 2.0 V

para 400 nm e 3.0 V para 300 nm. Determine a

função trabalho para esse material e a constante de

Planck.



2

2

Solução:

Como 0e V h f

0

hV f

e e

A partir dessa forma,vemos que a inclinação da reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f = 0) ocorre no

ponto (0,-/e). As frequências obtidas pela relação

c f são:

(nm)

f (Hz)

600 815

9

3 100.50 10

600 10

cf f f

400 150.75 10

300 151.0 10

Do gráfico:

1e

(interseção vertical).

191 1.6 10eV J

Inclinação:

190 0

15

3.0 ( 1.0) .4.0 10

1 10 0

V V J s

f f C

190 4.0 10Vh h

e f e

19 19 194.0 10 4.0 10 1.6 10h e h 346.4 10h J s

Exemplo 4 – Fótons de uma rádio

FM. Uma estação de rádio transmite ondas com

frequência 89.3 MHz com potência total igual a

43.0 kW.

(a) Qual é o módulo do momento linear de cada fóton? (b) Quantos fótons ela emite por segundo?

Solução:

(a) Energia de cada fóton: 34 66.6262 10 89.3 10E h f E

265.92 10E J

Cada fóton tem um momento linear dado por:

26

8

5.92 10

3 10

Ep p

c

341.97 10p kg m s

(b) A estação emite 43.10

3J a cada

segundo. A taxa de emissão de fótons é:

3

26

43 10

5.92 10f

J sn

J fóton

297.26 10fn fótons s

Como é muito grande o número de fótons que deixam a emissora de rádio a cada segundo, os saltos de energia desses pequenos pacotes individuais não são percebidos, fazendo com que a energia irradiada pareça um fluxo contínuo.

Exemplo 5 – Luz do Sol. A

superfície do Sol possui uma temperatura

aproximadamente igual a 5800 K. Com boa

aproximação, podemos considerá-la um corpo

negro.

(a) Qual é o comprimento de onda max que fornece a intensidade do pico?

(b) Qual é a potência total irradiada por unidade de área?

Solução:

Usando a Lei do deslocamento de Wien:

32.9 10 2.9m m

m K mm K

T T

32.9 10500

5800m m

m Knm

(b) Usando a Lei de Stefan-Boltzman: 1

4P A e T

4PI T

A

8 45.67 10 5800I

7

26.42 10

WI

m

264.2

MWI

m

Esse valor enorme indica a intensidade na superfície do Sol. Quando a potência irradiada atinge a Terra, a intensidade cai para 1400W/m

2

porque ela se espalha para fora do Sol e atinge a área muito grande de uma superfície esférica cujo raio é a distância entre a Terra e o Sol.

Exemplo 6 – Calcule a intensidade da luz

emitida da superfície do Sol no intervalo entre

600nm e 605.5 nm. Lei da radiação de Planck:

2

5

2

1h c

k T

h cI

e

Solução:

Como resultado exato:



3

3

2

1

600.5 2

5600.0

2

1h c

k T

h cI I d d

e

Essa integral não pode ser calculada com base em funções familiares. , logo, aproximamos a área pelo produto da altura medida no

comprimento de onda médio = 602.5 nm vezes

a largura do intervalo ( = 5.0 nm). Inicialmente, calculamos:

34 8

7 23

1

6.62 10 . 3 10

6.025 10 1.381 10 5800

ms

JK

J sh c

k T m K

1

4.116h c

k T

2

5

2

1h c

k T

h cI

e

34 8

7 23

234 8

7

6.62 10 3105

7 6.025 10 1.38110 5800

2 6.62 10 3 106.025 10

6.025 10 1

I m

e

7 13

36.025 10 7.81 10

WI m

m

A intensidade no intervalo de 5 nm entre os limites de 600.0 nm e 605.0 nm é, aproximadamente igual a:

13 97.81 10 5 10I

5

23.9 10

WI

m

20.39

MWI

m

Ou seja, 0.6% da intensidade luminosa total proveniente do Sol se encontra entre os limites de 600.0 nm e 605.0 nm

Exemplo 7 – Mostre que, usando a Lei da

radiação de Planck:

2

5

2

1h c

k T

h cI

e

2 5 4

4

2 3

50 0

2 2

151

h c

k T

h c kI d d T

c he

E que, a constante de Stefan-Boltzmann é dada por:

5 4

2 3

2

15

k

c h

8

2 45.6705 10

W

m K

Com: Constante de Boltzmann:

231.381 10 JK

k

Constante de Planck: 346.62 10 .h J s

Velocidade da luz no vácuo: 83 10 m

sc

Solução:

50

1

1A

x

dx

x e

Essa integral vc não acha nem a pau!!

Sugestão: http://integrals.wolfram.com

2

c cd d

2 cd d

c

2

2 2

c cd d d d

c

2

5 2

0

2

1h

k T

h c cd

ce

3

2

0

2

1h

k T

hd

ce

Use agora: 43

0

1 2

1 240x

xdx

e

Exemplo 8 - Planck utilizou uma fórmula

que ele obteve para a densidade de energia do

espectro do corpo negro, considerando

modificações importantes na distribuição clássica

feita por Boltzmann; seu resultado para a

distribuição de energia foi dado por:

1

Tk

h

e

hE

A fórmula para a densidade de energia do espectro do corpo negro, utilizando essa distribuição de energia, é dada pela relação de Planck:

d

e

hcd

Tk

chT

1

185

http://integrals.wolfram.com/



4

4

Gráfico de f(x)

x

87,576,565,554,543,532,521,510,50-0,5-1-1,5-2-2,5-3

f(x)

8

7,5

7

6,5

6

5,5

5

4,5

4

3,5

3

2,5

2

1,5

1

0,5

0

-0,5

-1

Aqui h é a chamada constante de Planck e vale:

sJh 341063,6 : Comprimento de onda da radiação

: densidade de energia. k: Constante de Boltzmann:

KJk 231038,1

c: velocidade da luz: 83,0 10 m

sc

A figura a seguir mostra as curvas teórica e

experimental. Figura do exemplo 8 – Gráfico representando

a intensidade de radiação de um corpo negro em função do comprimento de onda da radiação.

Encontre a equação oriunda da relação:

0T

5

8 1

1

T

h c

k T

hc

e

5 5

8 1 8 1

1 1

T

h c h c

k T k T

hc hc

e e

26 5

8 1 8 15 1

1 1

h c

T k Th c

h ck T

k T

hc hce

e e

26 5

40 1 8 1

1 1

h c

T k Th c

h ck T

k T

hc hc h ce

k Te e

26 5 2

40 1 8 1

1 1

h c

T k Th c

h ck T

k T

hc hc h ce

k Te e

26 5 2

40 1 8 10

1 1

h c

T k Th c

h ck T

k T

hc hc h ce

k Te e

26 7

40 1 8 10

1 1

h c

k Th c

h ck T

k T

hc hc h ce

k Te e

Multiplicando cada termo da equação acima por: 2

7

140

h c

k Tehc

Teremos:

1 05

h c h c

k T k Th c

e ek T

Chamando de :

h cx

k T

1 05

x x xe e

1 0

5

x x xe e

Dividindo por e

x teremos:

1 05

x xe

Ou seja:

( ) 1 05

x xf x e

Inserindo a função: f(x) = Exp(Neg(x))+x/5-1 e elaborando o gráfico pelo programa, teremos:

Figura - Gráfico de f(x)

Observando que existe uma raiz no intervalo

[4,5]. Função f(x) = Exp(Neg(x))+x/5-1 Resolvendo pelo método de Newton,

encontramos:



5

5

4,96511423175275 1,64002145197628E 12x

Usando:

4,96511423175275x

x(i) x(i+1)

5 4,96513568735116

4,96513568735116 4,96511423175275

4,96511423175275 4,96511423175275

Exemplo 9 - A radiação solar chega

em todos os comprimentos de onda ou freqüências,

mas principalmente entre 200 e 3000 nanômetros

(ou 0,2-3 mícrons). O máximo de emissão se

verifica no comprimento de onda de 0,48 mícrons.

A distribuição corresponde aproximadamente

àquela de um corpo negro a 5770K. Assim:

sJh 341063,6 = 4.8.10

-7m

k: Constante de Boltzmann:

KJk 231038,1

c: velocidade da luz: 83,0 10 m

sc

34 8

23

6.63 10 3.0 10

4,96511423175275 1,38 10

h cx T

k T

32.9011 10h c

x Tk T

32.9011 10

m KT

Para achar a temperatura do Sol: 34 8

7 23

6.63 10 3.0 104,96511423175275

4.8 10 1,38 10

h cx

k T T

34 8

7 23

6.63 10 3.0 10

4.8 10 1,38 10 4,96511423175275T

6047.63T K

Exemplo10 : Sua nave passa a 0.999c

da Terra. Depois de 10 anos viajando (medido no

seu tempo) você retorna à Terra com a mesma

velocidade e leva os mesmos 10 anos para voltar

(medido no seu tempo). Quanto tempo passará na

Terra, desprezando efeitos da desaceleração?

02

2

1

1

t tv

c

2

2

110

0.9991

tc

c

222.7t

(ida)

448T a

Exemplo 11: Uma régua de

comprimento próprio 1 m move-se com velocidade

v relativa a você. Você mede um comprimento de

0.914m. Qual é a velocidade v?

2

21p

vL L

c

2

21

p

Lv c

L

2

2

0.9141

1v c

0.406v c

Exemplo 11: Um avião supersônico

move-se a uma velocidade de 1000 m/s (3 vezes a

velocidade do som) ao longo de um eixo x em

relação a você. Um segundo avião, move-se com

velocidade de 500 m/s em relação ao primeiro

avião e para longe de você. Qual a velocidade do

segundo avião em relação a você?

21

xx

x

v vv

v v

c

21 x

x x

v vv v v

c

21 x

x x

v vv v v

c

2

xx x x

v vv v v v

c

21 x

x x

v vv v v

c

21

xx

x

v vv

v v

c

12

2 8

1000 5005.6 10

3 10

xv v

c

~ 500 1000 15001 0

xx

v v mv

s

Exemplo 12 (Ler): A experiência de

Michelson-Morley mostrou que a velocidade da

luz tem o mesmo valor, c, medida em direções

perpendiculares em um sistema de referência que

se supõe estar em movimento em relação através

do referencial do éter.

Assim, a velocidade da luz no vácuo

independe do movimento do observador e do

movimento da fonte.



6

6

Aparato experimental do experimento de Michelson-Morley,

em 1887. As partes ópticas foram montados em uma laje de arenito quadrado 5 pés, que foi lançada em mercúrio, reduzindo

assim as tensões e vibrações durante a rotação que afectaram os

experimentos anteriores. As observações podem ser feitas em todas as direcções ao rodar o aparelho em relação ao plano

horizontal. [From R.S. Shankland, “The Michelson-Morley

Experiment.” Copyright © November 1964 by Scientific American, Inc. All rights reserved.]

Exemplo 13: A massa do Sol é 2.0.1030

kg

e seu raio RS = 7.108

m e sua temperatura na

superfície vale aproximadamente TS = 5700 K.

(a) Calcule a massa perdida pelo Sol por

segundo devido à radiação emitida.

(b) Calcule o tempo necessário para que a

massa do Sol diminua 1 %.

Solução: 4 263.68 10P A e T P W

2E m cP P

t t

9

24.1 10

m P m kg

t c t s

30

9

1 2.0 10 1

100 100 4.1 10

SMt t

m

184.88 10t s

18114.88 10

1.55 10365 24 3600ano ano

t s ta

T T

Exemplo 14. Estime a temperatura TE da

Terra, assumindo que a radiação que ela emite está

em equilíbrio térmico com a radiação emitida pelo

Sol. Dados:

Raio do Sol 87 10SR m

Raio da Terra 66.4 10TR m

Distância Terra - Sol 111.5 10TSr m

Temperatura da superfície do Sol

5800ST K

Dado: Potência recebida pela Terra:

2

24

EE S

TS

RP P

r

http://www.solarsystemscope.com/

http://www.solarsystemscope.com/



7

7

Exercícios:

1. Nos espectros de corpo negro abaixo,

determine a frequência da radiação emitida por

cada corpo para o pico do comprimento de onda

correspondente e a energia do fóton para esse

comprimento de onda, em unidades J e em

unidades eV (elétron-Volt).

pico

pico

c

E J h Hz

1240E eV

nm

2. No problema 1, verifique com Lei do

deslocamento de Wien o comprimento de onda do

pico de radiação para cada emissão do corpo negro

apresentado. Transforme em nm (nano-metro):

1nm = 10-9

m = 10-6

mm

2.9

( )mm

T K

T(K) 6000 5000 4000 3000

(nm)

3. A figura ilustra o padrão de

interferência criado quando a luz monocromática

passa por fendas.

Mostre que, para interferência construtiva

de ordem m: (m = 0,1,2,3,...)

m

Dy m

d

4. A luz vermelha familiar emitida por um

laser de hélio-neônio (usado para fazer varreduras

nos sistemas de verificação nas saídas de lojas e

em muitas outras aplicações) possui comprimento

de onda igual a 632.8 nm. Se sua potência de saída

for igual a 2.00 mW, quantos fótons de luz esse

laser emitirá em cada segundo?

346.62 10h c

E h J s

laserlaser

EP

t

5. Sua nave passa a 0.9998c da Terra.

Depois de 5 anos viajando (medido no seu tempo)

você retorna à Terra com a mesma velocidade e

leva os mesmos 5 anos para voltar (medido no seu



8

8

tempo). Quanto tempo passará na Terra,

desprezando efeitos da desaceleração?

02

2

1

1

t tv

c

6. Um interferômetro de Michelson é

usado com luz de comprimento de onda de 635.78

nm. Sabendo que o observador vê a figura de

interferência através de um telescópio com uma

ocular com linhas de referência, quantas franjas

passam através dessas linhas quando o espelho M2

sofre um deslocamento exatamente igual a 1.1 cm?

2y m

7. Em uma experiência de Young de

fenda dupla, a distância entre as fendas é igual a

0.20 mm e a tela está a uma distância de 1.0 m. A

terceira franja brilhante (sem contar a franja

brilhante que se forma no centro da tela) forma-se

a uma distância de 7.5 mm do centro da franja

central. Calcule o comprimento de onda da

radiação utilizada.

8. Interferência produzida por uma

estação de rádio. Uma estação de rádio com

freqüência de 1500 kHz (nas vizinhanças da parte

superior da banda de rádio AM) opera com duas

antenas idênticas com dipolos verticais que

oscilam em fases, separadas por uma distância de

400m. Para distâncias muito maiores que 400 m,

em que direções a intensidade da radiação

transmitida torna-se máxima? (Isso não é apenas

um problema hipotético. Geralmente se orienta a

energia irradiada por uma emissora de rádio em

determinadas direções em vez de se produzir uma

radiação uniforme em todas as direções. Diversos

pares de antenas alinhadas ao longo de uma reta

comum costumam ser usadas para se obter a

configuração da radiação desejada).

Solução: O comprimento de onda é:

200c

mf

Uma vez que a onda resultante é detectada

em distâncias muito maiores do que 400 m,

podemos utilizar a equação:

d sen m

para determinar as direções das franjas de

intensidade máxima, ou seja, os valores de para

os quais a diferença de caminho é igual a zero ou a

um número inteiro de comprimento de onda.

msen

d

2000 0 0

400

mm sen

01 200 11 30

400 2m sen

02 2002 1 90

400m sen

Os ângulos para intensidade mínima

(interferência destrutiva) são:

1

2m

send

Obtendo os ângulos para m = -2,-1 0, 1:

1200

2

400

m

sen

1

2

2

m

sen

14.5 ; 48.6



9

9

9. Sabe-se que a área total do corpo humano é

igual a 1.20m2 e que a temperatura da superfície é

300C = 303K. Calcule a taxa total de transferência

de calor do corpo por radiação. Se o meio

ambiente está a uma temperatura de 200C, qual é a

taxa resultante do calor perdido pelo corpo por

radiação? A emissividade e do corpo é próxima da

unidade, independentemente da cor da pele.

Dados: Lei de Stefan-Boltzmann: 4

iH A e T

4 4

s iH A e T T

Constante de Stefan-Boltzmann:

8

2 45.67 10

W

m K

10. Área do filamento de uma lâmpada

de tungstênio. A temperatura de operação do

filamento de tungstênio de uma lâmpada

incandescente é igual a 2450K e sua emissividade

é igual a 0.35. Calcule a área da superfície do

filamento de uma lâmpada de 150 W supondo que

toda a energia elétrica consumida pela lâmpada

seja convertida em ondas eletromagnéticas pelo

filamento. (Somente uma fração do espectro

irradiado corresponde à luz visível.)

11. Raios de estrelas. A superfície quente

e brilhante de uma estrela emite energia sob a

forma de radiação eletromagnética. É uma boa

aproximação considerar e = 1 para estas

superfícies. Calcule os raios das seguintes estrelas

(supondo que elas sejam esféricas):

(a) Rigel, a estrela brilhante azul da

constelação Órion, que irradia energia com uma

taxa de 2.7.1032

W e a temperatura na superfície é

igual a 11000K.

(b) Procyon B (somente visível usando

um telescópio), que irradia energia com uma taxa

de 2.1.1023

W e a temperatura na sua superfície é

igual a 10000K.

(c) Compare suas respostas com o raio da

Terra, o raio do Sol e com a distância entre a Terra

e o Sol. (Rigel é um exemplo de uma estrela

supergigante e Procyon B é uma estrela anã

branca.

12. A luz vermelha familiar emitida

por um laser de hélio-neônio (usado para fazer

varreduras nos sistemas de verificação nas saídas

de lojas e em muitas outras aplicações) possui

comprimento de onda igual a 632.8 nm. Se sua

potência de saída for igual a 1.00 mW, quantos

fótons de luz esse laser emitirá em cada segundo?

Solução: A

energia de cada fóton será:

34 8

9

6.62 10 3 10

632.8 10

h cE E

193.14 10E J

Como:

laserlaser laser laser

EP E P t

t

3 31.00 10 1 1.00 10laser laserE E J

3

19

1.00 10

3.14 10

laserfotons fotons

En n

E

153.18 10fotons

fótonsn

s

13. Um fóton dos raios gama emitido

durante o decaimento de um núcleo radioativo de

cobalto -60 possui energia igual a 2.135.10-13

J.

Calcule a freqüência e o comprimento de onda

dessa radiação eletromagnética.

Solução:

EE h f f

h

1320

34

2.135 103.22 10

6.62 10f f Hz

c f

8

20

3 10

3.22 10

c

f

139.31 10 m

14. Até que distância deve-se colocar o

espelho M2 do interferômetro de Michelson para

que 1800 franjas de luz de um laser de hélio-

neônio (He-Ne = 633 nm) se desloquem através

de uma linha de referência no campo visual?

Solução:

6331800

2 2y m y

569700y nm

6569700 10y mm

0.570y mm



10

10

15. Um interferômetro de Michelson é

usado com luz de comprimento de onda de 605.78

nm. Sabendo que o observador vê a figura de

interferência através de um telescópio com uma

ocular com linhas de referência, quantas franjas

passam através dessas linhas quando o espelho M2

sofre um deslocamento exatamente igual a 1 cm?

Solução:

22

yy m m

2

9

1 102 33015

605.78 10m m

exemplo 2 uma experiência do efeito fotolétrico. · com que a energia irradiada pareça um fluxo...

Documents