exemplo de módulo didático - desenho geométrico com régua e compasso
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Prof. José do Carmo Toledo
O DESENHO GEOMÉTRICO COM RÉGUA E
COMPASSO
Nas construções geométricas, aqui propostas, utilizaremos somente régua e compasso. Esse era o método usado pelos geômetras gregos na Antigüidade.
A régua é usada apenas para traçar retas e não para medir segmentos. O compasso é utilizado para traçar arcos e circunferências e para transportar segmentos.
De antemão, é preciso deixar claro que toda construção através de instrumentos nos leva a resultados aproximados. Isso ocorre por vários motivos. Entre eles, podemos citar:
1. A representação de pontos é feita por pequenas bolinhas, apesar de o ponto geométrico não ter dimensão.
2. A representação de retas é feita por linhas grossas, apesar de a reta geométrica não ter espessura.
3. Os instrumentos, em geral, são imperfeitos.
As imperfeições de uma construção podem ser minimizadas mantendo-se o lápis – ou lapiseira – sempre bem apontados e utilizando-se grafite de dureza média – F ou H.
CONSTRUÇÕES BÁSICAS
Seis construções são consideradas básicas para a resolução dos problemas de Desenho Geométrico. São elas:
I. Traçar uma reta perpendicular a uma reta dada. II. Traçar a mediatriz de um segmento. III. Traçar uma reta paralela a uma reta dada. IV. Traçar o ângulo congruente a um ângulo dado. V. Construir a bissetriz de um ângulo. VI. Dividir um segmento em partes congruentes proporcionais.
Já que existem vários procedimentos para cada uma dessas construções, vamos adotar o de fixação mais rápida.
Reiteramos que todas essas construções serão realizadas apenas com régua e compasso.
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Neste Módulo, vamos estabelecer a primeira dessas construções. 1 - Construção de reta perpendicular a uma reta dada, por um de seus pontos:
DADOS:
CONSTRUA:
r s, tal que P r
Solução.
Siga os seguintes passos:
CONCLUSÃO: a reta r é a reta procurada.
1. Com centro em P e raio qualquer, trace um arco de circunferência e obtenha A e B na reta s.
2. Com raio maior que d(A,P), trace arcos de circunferência com centros em A e B, respectivamente, e obtenha o ponto M na sua interseção.
3. Trace a reta MP e chame-a de r.
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Justificativa:
2 - Construção de reta perpendicular a uma reta dada, por um ponto que não pertence à reta:
DADOS:
CONSTRUA:
r s, tal que P r
Solução.
Siga os seguintes passos:
P é o ponto médio de AB .
O quadrilátero ADBM é um losango.
Os segmentos AB e MD são as diagonais do losango ADBM .
Como sabemos:
MD é perpendicular a AB .
MD e AB se cruzam em P.
Assim, r é perpendicular a s e passa pelo ponto P.
1. Com centro em P e raio m maior que d(P, s), trace um arco de circunferência que intercepte a reta s em A e B.
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CONCLUSÃO: a reta r é a reta procurada.
Justificativa:
2. Com raio de medida m, trace dois arcos de circunferência com centros em A e B, respectivamente, e determine o ponto M, simétrico de P em relação a s.
3. Trace a reta MP e chame-a de r.
O quadrilátero AMBP é um losango.
Os segmentos AB e MP são as diagonais do losango AMBP.
Como sabemos:
AB é perpendicular a MP .
Assim, r é perpendicular a s e passa pelo ponto P.
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Exercícios 1. Construa pelo ponto P uma reta perpendicular à reta s da figura abaixo.
2. Construa pelo ponto P uma reta perpendicular à reta s da figura abaixo.
3. Construa pelo ponto A uma reta perpendicular à semi-reta AB da figura abaixo.
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4. Desenhe a reta tangente à circunferência no ponto P.
5. Construa um triângulo isósceles ABC que tenha, como base, o segmento
BC contido na reta r dada na figura abaixo.
6. Construa uma circunferência de 3 cm de raio e que tenha P como ponto de tangência.
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7. Construa a altura AH do triângulo ABC abaixo. Em seguida, meça a base
BC e a altura AH e calcule um valor aproximado, em cm2, da área desse triângulo.
8. Construa um triângulo retângulo ABC, sabendo que o cateto BC mede
3 cm e a hipotenusa AC mede 6 cm.
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3 - Construção de mediatriz de um segmento de reta:
DADOS:
CONSTRUA:
m, mediatriz de AB .
Solução.
Antes de qualquer procedimento, é necessário ter em mente que a mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular ao segmento, passando pelo seu ponto médio. Lembrando que o losango é um quadrilátero cujas diagonais são perpendiculares entre si e se encontram nos seus respectivos pontos médios,
devemos construir um losango tal que o segmento AB seja uma de suas diagonais. Nesse caso, a reta-suporte da outra diagonal do losango construído é a mediatriz desejada. Siga, então, os passos que estão indicados na próxima ilustração:
CONCLUSÃO: a reta-suporte que contém MN é a mediatriz de AB.
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OBSERVAÇÃO: É possível construir a mediatriz de um segmento de reta por outros dois processos, bastante úteis nos seguintes casos:
Exercícios
1. Obtenha o ponto médio do segmento AB abaixo, sem usar uma régua graduada.
2. Dados os segmentos de medidas a e b, obtenha graficamente um
segmento de medida 2
ba b:
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3. Obtenha o ponto médio do segmento AB abaixo, sem usar uma régua graduada.
4. Sem usar uma régua graduada, divida o segmento AB, abaixo, em quatro partes iguais:
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5. O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das medianas desse triângulo. Obtenha o baricentro do seguinte triângulo:
6. O circuncentro de um triângulo é o ponto de encontro das mediatrizes desse triângulo. Obtenha o circuncentro do seguinte triângulo:
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7. Sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 8 cm são as medidas das diagonais de um losango ABCD, construa-o.
Exercícios COMPLEMENTARES 1. Construa um quadrado cuja diagonal mede 6 cm.
2. Inscreva um quadrado numa circunferência de 4 cm de raio.
3. Construa uma circunferência e divida-a em 4 partes iguais.
4. Considere os segmentos abaixo, de medidas a e b.
Faça o que se pede: sem usar uma régua graduada, construa um
segmento de medida igual a 4
ba b.
5. Inscreva o triângulo ABC abaixo numa circunferência.
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4 - Construção de reta paralela a uma reta dada, por um ponto dado:
DADOS:
CONSTRUA:
s //r , tal que P s.
Solução.
Siga os passos que estão indicados na ilustração a seguir.
Justificativa:
Vamos analisar a penúltima figura da construção anterior.
Podemos afirmar que:
ü o triângulo POQ é isósceles. Logo, b = 2
180 cc;
ü o triângulo POA é congruente ao triângulo QOB. Logo, a = d;
s
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ü como a + c + d = 180°, então a = 2
180 cc.
Conclusão: a = b.
Portanto, a reta-suporte do segmento PQ é paralela à reta r.
5 - Construção de reta paralela a uma reta dada, com uma distância dada:
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Exercícios
1. Construa uma reta m, paralela à reta c dada, passando pelo ponto E dado:
2. Construa uma reta r, paralela à reta s dada, distante 3 cm de s:
3. Construa duas retas, p e q, paralelas à reta w dada, tais que a distância de cada uma delas a w seja igual a d dado:
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4. Construa duas retas, t e u, tais que: t seja paralela à reta a, dada, passando por H; u seja paralela à reta d, dada, passando por S.
5. Construa um triângulo eqüilátero ABC, de 3 cm de lado, sabendo que o
lado AB é paralelo à reta s dada:
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6 - Construção de um ângulo congruente a um ângulo dado:
Dado: o ângulo A . Construa: o ângulo D congruente a A .
As etapas dessa construção são as seguintes:
Justificativa:
Os triângulos COB e FDE são congruentes (caso LLL).
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7 - Construção de um ângulo cuja medida é igual à soma das medidas de dois ângulos dados:
Os seguintes passos permitem obter essa construção.
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8 - Construção de um ângulo cuja medida é igual à diferença entre as medidas de dois ângulos dados:
Os seguintes passos permitem obter essa construção.
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Exercícios
1. Na figura abaixo, são dados o ângulo AOB e a reta r.
Transporte o ângulo AOB , de modo que o vértice O esteja em r.
2. Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, é .
Construa um triângulo retângulo ABC, sabendo que o cateto AC mede
6 cm e o ângulo BCA mede .
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3. Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, é .
Construa um triângulo ABC, sabendo que o lado AB mede 4 cm, o lado
BC mede 5 cm e o ângulo CBA mede .
4. Na figura abaixo, são dados dois ângulos cujas medidas, em graus, são e , respectivamente.
Construa um triângulo ABC, sabendo que o lado AB mede 5 cm, o ângulo
CAB mede e o ângulo CBA mede .
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5. Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, é .
Construa um triângulo isósceles ABC cuja base BC mede 6 cm e cujo ângulo da base mede .
6. Dois triângulos são semelhantes se os ângulos de um são respectivamente congruentes aos ângulos do outro. Construa um triângulo DEF, semelhante ao triângulo ABC dado abaixo,
sabendo que DE = 2
3. AB.
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7. Na figura abaixo, são dados dois ângulos cujas medidas, em graus, são iguais a e a , respectivamente.
Faça o que se pede:
(a) Construa um ângulo cuja medida, em graus, é igual a + .
(b) Construa um ângulo cuja medida, em graus, é igual a – .
(c) Construa um ângulo cuja medida, em graus, é igual a 2 .
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8. Obtenha, graficamente, o complemento do ângulo dado abaixo.
9. Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, igual a .
Construa um triângulo ABC cuja base, BC, mede 5 cm, cuja altura, AH,
mede 4 cm e cujo ângulo ABC tem medida igual a .
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9 - Construção de bissetriz de um ângulo ou divisão de um ângulo pelo número 2:
Para efetuar essa construção, acompanhe as seguintes etapas:
Justificativa:
Observando os triângulos AOQ e BOQ, é possível afirmar que:
m( AO) = m(BO );
o lado OQ é comum aos dois triângulos;
m( AQ) = m(BQ ).
Conclusão: pelo caso LLL, os triângulos AOQ e BOQ são congruentes. Portanto, ângulos que se correspondem nos dois triângulos são respectivamente congruentes.
Isso garante, portanto, como se deseja, que m( AOQ) = m(BOQ).
Dado:
MON
Construa:
MOQ tal que m(MOQ) = 2
MON)m(;
ou seja, construa a bissetriz do
ângulo MON .
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Exercícios
1. Construa a bissetriz do ângulo POQ abaixo:
Responda:
Se, na construção que acabamos de fazer, tomarmos s = R,
pode-se afirmar, ainda, que a semi-reta OQ é a bissetriz do
ângulo MON ?
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2. O incentro de um triângulo é o ponto de encontro das bissetrizes internas dos ângulos do triângulo. Determine o incentro I do triângulo LUA abaixo:
3. Ainda no exercício anterior, faça o seguinte:
– trace a reta t, perpendicular ao lado LU do triângulo dado, que passa pelo incentro I;
– chame de B o ponto de interseção da reta t com o lado LU ;
– trace a circunferência de centro em I e raio IB .
Responda: qual é a posição da circunferência traçada em relação ao triângulo LUA ?
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4. Construa duas retas perpendiculares entre si. A seguir, construa um ângulo de 45°. 5. Faça o que se pede:
(a) Construa um triângulo ABC, sabendo que o ângulo CAB mede 45°,
que m( AB) = 4 cm e que m( AC) = 5 cm. (b) Responda: que designação recebe esse triângulo ABC ? 6. Construa um triângulo retângulo isósceles de 5 cm de hipotenusa.
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7. Construa um ângulo de 22°30’. 8. Faça o que se pede:
(a) Construa um triângulo retângulo com um ângulo agudo medindo 22°30’ e 10 cm de hipotenusa. (b) Calcule um valor aproximado de sen 22°30’ e cos 22°30’.
9. Depois de construir um triângulo eqüilátero qualquer, construa um ângulo de 30°.
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10. Construa um ângulo de 120°. 11. Divida a circunferência de centro O abaixo em oito partes iguais.
12. Divida a circunferência de centro O abaixo em seis partes iguais.
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13. Divida a circunferência de centro O abaixo em três partes iguais.
14. Construa um triângulo retângulo com um ângulo de 15° e um cateto medindo 10 cm. A seguir, calcule um valor aproximado de tg 15°.