exemplo regressão binomial de dose resposta - ime-uspgiapaula/slides_exemplo_doseresposta.pdf ·...
TRANSCRIPT
Exemplo Regressão Binomial de Dose Resposta
Gilberto A. Paula
Departamento de EstatísticaIME-USP, Brasil
2o Semestre 2015
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 1 / 26
Exposição de Besouros
Sumário
1 Exposição de Besouros
2 Modelo Proposto
3 Resultados Modelo Logístico Ajustado
4 Modelo Final
5 Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
6 Estimação Dose Letal
7 Conclusões
8 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 2 / 26
Exposição de Besouros
Exposição de Besouros
Descrição dos Dados
Como aplicação de modelos binomiais de dose resposta vamosconsiderar os dados descritos em Bliss (1935), em que besourosadultos são submetidos à exposição do composto
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 3 / 26
Exposição de Besouros
Exposição de Besouros
Descrição dos Dados
Como aplicação de modelos binomiais de dose resposta vamosconsiderar os dados descritos em Bliss (1935), em que besourosadultos são submetidos à exposição do composto
disulfeto de carbono gasoso (CS2)
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 3 / 26
Exposição de Besouros
Exposição de Besouros
Descrição dos Dados
Como aplicação de modelos binomiais de dose resposta vamosconsiderar os dados descritos em Bliss (1935), em que besourosadultos são submetidos à exposição do composto
disulfeto de carbono gasoso (CS2)
durante cinco horas.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 3 / 26
Exposição de Besouros
Exposição de Besouros
Descrição dos Dados
Como aplicação de modelos binomiais de dose resposta vamosconsiderar os dados descritos em Bliss (1935), em que besourosadultos são submetidos à exposição do composto
disulfeto de carbono gasoso (CS2)
durante cinco horas.Os resultados obtidos a partir de 481 besouros expostos segundodiferentes doses de CS2 são apresentados a seguir. Um dos objetivosdesse estudo é estimar
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 3 / 26
Exposição de Besouros
Exposição de Besouros
Descrição dos Dados
Como aplicação de modelos binomiais de dose resposta vamosconsiderar os dados descritos em Bliss (1935), em que besourosadultos são submetidos à exposição do composto
disulfeto de carbono gasoso (CS2)
durante cinco horas.Os resultados obtidos a partir de 481 besouros expostos segundodiferentes doses de CS2 são apresentados a seguir. Um dos objetivosdesse estudo é estimar
DL100p: dose letal que mata 100p%.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 3 / 26
Exposição de Besouros
Exposição de Besouros
Descrição dos Dados
Dose Besouros Besouroslog10CS2 expostos mortos
1,6907 59 61,7242 60 131,7552 62 181,7842 56 281,8113 63 521,8369 59 531,8610 62 611,8839 60 60
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 4 / 26
Exposição de Besouros
Proporção de Besouros Mortos versus Logdose
1.70 1.75 1.80 1.85
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Logdose
Pro
porç
ão d
e M
orto
s
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 5 / 26
Modelo Proposto
Sumário
1 Exposição de Besouros
2 Modelo Proposto
3 Resultados Modelo Logístico Ajustado
4 Modelo Final
5 Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
6 Estimação Dose Letal
7 Conclusões
8 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 6 / 26
Modelo Proposto
Modelo Proposto
Detalhes
Seja yi o número de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 7 / 26
Modelo Proposto
Modelo Proposto
Detalhes
Seja yi o número de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8. Vamos supor inicialmente oseguinte modelo:
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 7 / 26
Modelo Proposto
Modelo Proposto
Detalhes
Seja yi o número de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8. Vamos supor inicialmente oseguinte modelo:
yiind∼ B{ni , π(xi)},
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 7 / 26
Modelo Proposto
Modelo Proposto
Detalhes
Seja yi o número de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8. Vamos supor inicialmente oseguinte modelo:
yiind∼ B{ni , π(xi)},
log{
π(xi )1−π(xi )
}= β1 + β2xi ,
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 7 / 26
Modelo Proposto
Modelo Proposto
Detalhes
Seja yi o número de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8. Vamos supor inicialmente oseguinte modelo:
yiind∼ B{ni , π(xi)},
log{
π(xi )1−π(xi )
}= β1 + β2xi ,
em que xi denota a i-ésima logdose de CS2.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 7 / 26
Resultados Modelo Logístico Ajustado
Sumário
1 Exposição de Besouros
2 Modelo Proposto
3 Resultados Modelo Logístico Ajustado
4 Modelo Final
5 Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
6 Estimação Dose Letal
7 Conclusões
8 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 8 / 26
Resultados Modelo Logístico Ajustado
Modelo Logístico
Estimativas
Efeito Estimativa Valor-zConstante -60,72 -11,72Logdose 34,27 11,78
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 9 / 26
Resultados Modelo Logístico Ajustado
Modelo Logístico
Estimativas
Efeito Estimativa Valor-zConstante -60,72 -11,72Logdose 34,27 11,78
O desvio do modelo é dado por D(y; µ) = 11, 23 (6 g.l.), com níveldescritivo P = 0, 081.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 9 / 26
Resultados Modelo Logístico Ajustado
Modelo Logístico
Estimativas
Efeito Estimativa Valor-zConstante -60,72 -11,72Logdose 34,27 11,78
O desvio do modelo é dado por D(y; µ) = 11, 23 (6 g.l.), com níveldescritivo P = 0, 081. Embora os efeitos sejam altamentesignificativos, parece que o modelo não está bem ajustado.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 9 / 26
Resultados Modelo Logístico Ajustado
Curva Logística Ajustada
1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Logdose
Pro
porç
ão d
e M
orto
s
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 10 / 26
Resultados Modelo Logístico Ajustado
Resíduos Modelo Logístico
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
−3−2
−10
12
3
Percentil da N(0,1)
Com
pone
nte
do D
esvi
o
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 11 / 26
Modelo Final
Sumário
1 Exposição de Besouros
2 Modelo Proposto
3 Resultados Modelo Logístico Ajustado
4 Modelo Final
5 Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
6 Estimação Dose Letal
7 Conclusões
8 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 12 / 26
Modelo Final
Modelo Final
Detalhes
Seja yi o números de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 13 / 26
Modelo Final
Modelo Final
Detalhes
Seja yi o números de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8.Vamos supor agora oseguinte modelo:
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 13 / 26
Modelo Final
Modelo Final
Detalhes
Seja yi o números de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8.Vamos supor agora oseguinte modelo:
yiind∼ B{ni , π(xi)},
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 13 / 26
Modelo Final
Modelo Final
Detalhes
Seja yi o números de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8.Vamos supor agora oseguinte modelo:
yiind∼ B{ni , π(xi)},
log[−log{1 − π(xi)}] = β1 + β2xi ,
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 13 / 26
Modelo Final
Modelo Final
Detalhes
Seja yi o números de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8.Vamos supor agora oseguinte modelo:
yiind∼ B{ni , π(xi)},
log[−log{1 − π(xi)}] = β1 + β2xi ,
em que xi denota a i-ésima logdose de CS2.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 13 / 26
Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
Sumário
1 Exposição de Besouros
2 Modelo Proposto
3 Resultados Modelo Logístico Ajustado
4 Modelo Final
5 Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
6 Estimação Dose Letal
7 Conclusões
8 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 14 / 26
Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
Modelo Cloglog
Estimativas
Efeito Estimativa Valor-zConstante -39,57 -12,21Logdose 22,04 12,25
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 15 / 26
Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
Modelo Cloglog
Estimativas
Efeito Estimativa Valor-zConstante -39,57 -12,21Logdose 22,04 12,25
O desvio do modelo é dado por D(y; µ) = 3, 45 (6 g.l.), com níveldescritivo P = 0, 75.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 15 / 26
Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
Modelo Cloglog
Estimativas
Efeito Estimativa Valor-zConstante -39,57 -12,21Logdose 22,04 12,25
O desvio do modelo é dado por D(y; µ) = 3, 45 (6 g.l.), com níveldescritivo P = 0, 75. Temos agora indícios de que o modelo está bemajustado.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 15 / 26
Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
Curva Cloglog Ajustada
1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Logdose
Pro
porç
ão d
e M
orto
s
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 16 / 26
Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
Resíduos Modelo Complementar Loglog
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
−3−2
−10
12
3
Percentil da N(0,1)
Com
pone
nte
do D
esvi
o
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 17 / 26
Estimação Dose Letal
Sumário
1 Exposição de Besouros
2 Modelo Proposto
3 Resultados Modelo Logístico Ajustado
4 Modelo Final
5 Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
6 Estimação Dose Letal
7 Conclusões
8 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 18 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 100p
Estimativa PontualA estimativa pontual para DL100p sob o modelo binomial de doseresposta com ligação complementar loglog fica dada por
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 19 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 100p
Estimativa PontualA estimativa pontual para DL100p sob o modelo binomial de doseresposta com ligação complementar loglog fica dada por
DL100p =1
β2
[log{−log(1 − p)} − β1
].
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 19 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 100p
Variância Assintótica
A variância aproximada de DL100p fica dada por
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 20 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 100p
Variância Assintótica
A variância aproximada de DL100p fica dada por
VarA[DL100p] = D(β)⊤(X⊤WX)−1D(β),
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 20 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 100p
Variância Assintótica
A variância aproximada de DL100p fica dada por
VarA[DL100p] = D(β)⊤(X⊤WX)−1D(β),
em que X é a matriz modelo, W é uma matriz diagonal de pesosdados por ωi = niπ
−1i (1 − πi)log2(1 − πi), para i = 1, . . . , k , com
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 20 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 100p
Variância Assintótica
A variância aproximada de DL100p fica dada por
VarA[DL100p] = D(β)⊤(X⊤WX)−1D(β),
em que X é a matriz modelo, W é uma matriz diagonal de pesosdados por ωi = niπ
−1i (1 − πi)log2(1 − πi), para i = 1, . . . , k , com
D(β)⊤ = (−β−12 , β−2
2 [β1 − log{−log(1 − p)}]).
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 20 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 50
Estimativa Pontual
DL50 =1
β2
[log{−log(1 − 0, 5)} − β1
]
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 21 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 50
Estimativa Pontual
DL50 =1
β2
[log{−log(1 − 0, 5)} − β1
]
=1
22, 04(−0, 3665 + 39, 57)
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 21 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 50
Estimativa Pontual
DL50 =1
β2
[log{−log(1 − 0, 5)} − β1
]
=1
22, 04(−0, 3665 + 39, 57)
= 1, 779.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 21 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 50
Estimativa Intervalar
A variância aproximada de DL50 fica dada por
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 22 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 50
Estimativa Intervalar
A variância aproximada de DL50 fica dada por
Var(DL50) = (−0, 0454,−0, 0807)T (X⊤WX)−1(−0, 0454−0, 0807
)
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 22 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 50
Estimativa Intervalar
A variância aproximada de DL50 fica dada por
Var(DL50) = (−0, 0454,−0, 0807)T (X⊤WX)−1(−0, 0454−0, 0807
)
= 0, 00001606.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 22 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 50
Estimativa Intervalar
A variância aproximada de DL50 fica dada por
Var(DL50) = (−0, 0454,−0, 0807)T (X⊤WX)−1(−0, 0454−0, 0807
)
= 0, 00001606.
Logo, a estimativa intervalar de 95% para a dose letal fica dada por
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 22 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 50
Estimativa Intervalar
A variância aproximada de DL50 fica dada por
Var(DL50) = (−0, 0454,−0, 0807)T (X⊤WX)−1(−0, 0454−0, 0807
)
= 0, 00001606.
Logo, a estimativa intervalar de 95% para a dose letal fica dada por
[1, 779 ± 1, 96√
0, 00001606]
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 22 / 26
Estimação Dose Letal
Dose Letal DL 50
Estimativa Intervalar
A variância aproximada de DL50 fica dada por
Var(DL50) = (−0, 0454,−0, 0807)T (X⊤WX)−1(−0, 0454−0, 0807
)
= 0, 00001606.
Logo, a estimativa intervalar de 95% para a dose letal fica dada por
[1, 779 ± 1, 96√
0, 00001606]
= [1, 771; 1, 787].
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 22 / 26
Conclusões
Sumário
1 Exposição de Besouros
2 Modelo Proposto
3 Resultados Modelo Logístico Ajustado
4 Modelo Final
5 Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
6 Estimação Dose Letal
7 Conclusões
8 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 23 / 26
Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Neste exemplo, em que ajustamos a probabilidade de morte debesouros expostos a CS2, nota-se que
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 24 / 26
Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Neste exemplo, em que ajustamos a probabilidade de morte debesouros expostos a CS2, nota-se que
o modelo binomial logístico não se ajusta bem aos dados.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 24 / 26
Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Neste exemplo, em que ajustamos a probabilidade de morte debesouros expostos a CS2, nota-se que
o modelo binomial logístico não se ajusta bem aos dados.
O modelo binomial complementar log-log tem um ajuste muitosuperior.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 24 / 26
Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Neste exemplo, em que ajustamos a probabilidade de morte debesouros expostos a CS2, nota-se que
o modelo binomial logístico não se ajusta bem aos dados.
O modelo binomial complementar log-log tem um ajuste muitosuperior.
Essa superioridade do modelo complementar log-log deve-se aofato do comportamento da proporção de mortes aumentar maisrapidamente após DL50.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 24 / 26
Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Neste exemplo, em que ajustamos a probabilidade de morte debesouros expostos a CS2, nota-se que
o modelo binomial logístico não se ajusta bem aos dados.
O modelo binomial complementar log-log tem um ajuste muitosuperior.
Essa superioridade do modelo complementar log-log deve-se aofato do comportamento da proporção de mortes aumentar maisrapidamente após DL50.
Modelos binomiais de dose resposta com parâmetros na ligação(Aranda-Ordaz, 1981; Stukel, 1988) têm sido utilizados paraajustar esses dados.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 24 / 26
Referências
Sumário
1 Exposição de Besouros
2 Modelo Proposto
3 Resultados Modelo Logístico Ajustado
4 Modelo Final
5 Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado
6 Estimação Dose Letal
7 Conclusões
8 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 25 / 26
Referências
Referências
Referências
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 26 / 26
Referências
Referências
Referências
Aranda-Ordaz, F. J. (1981). On two families of transformations toadditivity for binary response data. Biometrika 68, 357-364.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 26 / 26
Referências
Referências
Referências
Aranda-Ordaz, F. J. (1981). On two families of transformations toadditivity for binary response data. Biometrika 68, 357-364.
Bliss, C. I. (1935). The calculation of the dosage-mortality curve.Annals of Applied Biology 22, 134-167.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 26 / 26
Referências
Referências
Referências
Aranda-Ordaz, F. J. (1981). On two families of transformations toadditivity for binary response data. Biometrika 68, 357-364.
Bliss, C. I. (1935). The calculation of the dosage-mortality curve.Annals of Applied Biology 22, 134-167.
Stukel, T. A. (1988). Generalized logistic models. Journal of theAmerican Statistical Association 83, 426-431.
G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 26 / 26