exemplos de modelos de pl ou piuchoa/2s2013/poi-uchoa-2.pdfalimentos, bem como o custo desses...
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� Toda a PO está baseada na construção de modelos matemáticos para representar de forma simplificada os sistemas reais.
Como funciona a PO?
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Um modelo é uma representação
simplificada de um sistema real
Modelo
Conclusões
do Modelo
Conclusões
sobre o
Sistema Real
Modelagem
Dedução
Interpretação
Sistema
Real
Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense
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Para que serve um modelo?
Um modelo é útil quando permite que se chegue a conclusões adequadas sobre o sistema real, dentro de seu limite de aplicabilidade.
Como a PO trabalha com modelos matemáticos, a utilidade de um modelo também depende da existência de métodos matemático-computacionais capazes de resolver o modelo.
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Um modelo de programação matemática é definido por
um sistema de equações/inequações.
• As variáveis representam as decisões a serem
tomadas.
• As equações/inequações representam as
restrições que existem sobre essas decisões,
refletindo as características do sistema real.
• Uma função objetivo indica qual dentre as
possíveis decisões é a mais desejável (solução
ótima).
Programação Matemática
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Tipos de Modelos de Programação
Matemática
� Programação Linear: todas as restrições e a FO são funções lineares� Um número razoável de sistemas reais podem ser
bem modelados como PLs� Métodos de solução extremamente eficazes,
problemas com milhões de variáveis e restrições podem ser resolvidos num laptop
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Tipos de Modelos de Programação
Matemática
� Programação Inteira: todas as restrições e a FO são funções lineares, mas algumas variáveis podem ser obrigadas a terem valores inteiros.� Um número enorme de sistemas reais podem ser bem
modelados como PIs� Métodos de solução bem menos eficazes, problemas
com alguns milhares de variáveis e restrições jápodem ser intratáveis
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Problema da Dieta
� Em 1945, o economista George Stigler propôs o problema de calcular o “custo mínimo anual de sobrevivência” nos EUA.
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Problema da Dieta
� Segundo os nutricionistas da época, as necessidades de um homem de 70 Kgsão:
75 mgVit. C
18 mgNiacina
2,7 mgVit. B2
1,8 mgVit. B1
5000 UIVit. A
12 mgFerro
0,8 gCálcio
70 gProteína
3000 kcalCalorias
Mínimo/diaNutriente
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Problema da Dieta
� Stigler pesquisou a quantidade desses nutrientes em 77 diferentes alimentos, bem como o custo desses alimentos no atacado.
75 mgVit. C
18 mgNiacina
2,7 mgVit. B2
1,8 mgVit. B1
5000 UIVit. A
12 mgFerro
0,8 gCálcio
70 gProteína
3000 kcalCalorias
Mínimo/diaNutriente
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Problema da Dieta
� Depois de sucessivas tentativas, Stiglerencontrou a seguinte possível dieta:
$39,93Total
$16,80129,3 kgFeijão
$1,8510,4 kgEspinafre
$4,1150,3 kgRepolho
$3,8457 latasLeite Condensado
$13,33167,8 kgFarinha de trigo
CustoQuant.Alimento
http://en.wikipedia.org/wiki/Stigler_diet
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Problema da Dieta
� Esse custo de $39,93 equivale a cerca de $600 em valores atuais.
� Em 1947 Dantzig imediatamente percebeu que esse problema poderia ser modelado por PL e encontrou a solução ótima com um custo de $39,69.
� Essa modelagem logo foi adotada na indústria de rações para animais
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Dados do Modelo
� N: Número de alimentos considerados
� M: Número de nutrientes considerados
� Cj: Custo por unidade do alimento j; j=1,...,N
� Mini: Necessidade mínima do nutriente i; i=1,...,M
� aij: quantidade do nutriente i por unidade do alimento j; i=1,...,M, j=1,...,N
Os dados de um modelo são conhecidos a priori,ou seja, antes de resolver o modelo.
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Variáveis do Modelo
� xj: Quantidade do alimento j que deve ser incluída na dieta; j=1,...,N
As variáveis de um modelo representam as decisões a serem tomadas, seus valoressó serão conhecidos após a resolução domodelo.
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Formulação do Modelo
A formulação é o sistema de equações/inequaçõesmontado sobre os dados e as variáveis e que deveser resolvido matematicamente
Njx
MiMinxa
xc
j
i
N
j
jij
N
j
jj
,,10
,,1S.a.
inM
1
1
K
K
=≥
=≥∑
∑
=
=
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Um exemplo com M=2 e N=4
� Uma nutricionista de empresa quer montar porções de salada de frutas que contenham pelo menos 3000 UI de vitamina A e 50 mg de vitamina C.
� As frutas disponíveis no dia são: abacaxi, banana, maçã e melancia.
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Custo por kg e quantidade de nutrientes
1.50 2,00 0.80
7000 8000 6000
550 300 250
3,00
30000
400
A
C
Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense
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Programa Linear
1,50 + 2,00 + 0,80
7 + 8 + 6
550 + 300 + 250
+ 3,00
+ 30
+ 400
A
C
x1 x2 x4
x1 x2 x4 ≥ 3
x1 x2 x4
min x3
x3
x3 ≥ 50
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Programa Linear
1,50 + 2,00 + 0,80
7 + 8 + 6
550 + 300 + 250
+ 3,00
+ 30
+ 400
A
C
x1 x2 x4
x1 x2 x4 ≥ 3
x1 x2 x4
min x3
x3
x3 ≥ 50
Solução ótima: 88g de maçã e 60g de melancia. Custo: R$ 0,31/ porção
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Todo modelo de PO deve ser criticado
antes de ser adotado!
� Suponha que vc é o gerente de uma granja de frangos e vai usar o modelo do problema da dieta para determinar a composição ótima da ração nesse mês.
� Vc analisa todos os 73 possíveis ingredientes disponíveis no mercado com respeito a todos os 40 nutrientes considerados importantes para as aves.
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Todo modelo de PO deve ser criticado
antes de ser adotado!
� Mesmo assim, que críticas ainda poderiam ser levantadas sobre a validade do seu modelo?
� Em outras palavras, que elementos do sistema real ignorados no modelo poderiam fazer com que a solução ótima do modelo fique distante da solução ótima real?
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Hipóteses de modelos de PL que podem
levar a críticas
� Proporcionalidade: o efeito de uma variável na FO e nas restrições é proporcional a seu valor.
� Aditividade: o efeito total de duas (ou mais) variáveis é a soma dos seus efeitos individuais.
� Divisibilidade: as variáveis podem assumir valores fracionários.
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Exemplo de crítica e possíveis ações
� Crítica: os ingredientes só são vendidos em sacas de 60kg
� Ações:� A granja é grande e as compras são da ordem
de dezenas de toneladas? Sim => Manter o modelo como está
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Exemplo de crítica e possíveis ações
� Não, a granja é pequena e as compras são da ordem de centenas de quilos.� O excesso comprado em um mês pode ser estocado
para o seguinte? Sim => Manter o modelo� Não, os ingredientes são perecíveis => Transformar
em um modelo de PI
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Todo modelo de PO deve ser criticado
antes de ser adotado!
� É possível que surjam críticas relevantes que não tem como ser rebatidas ou facilmente contornadas.
� Nesses casos pode ser preciso repensar todo o modelo.
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Problema de Transporte ClássicoSuponha que uma empresa de cimento tenha m fábricas, cada uma delas uma capacidade de produção conhecida, que devem atender n cidades, com suas demandas conhecidas. Os custos (em R$) de se transportar uma tonelada de cimento entre uma fábrica e uma cidade qualquer são dados abaixo:
m/n 1 2 3 4 5
1 60 220 300 270 450
2 95 45 200 260 230
3 450 300 250 100 90
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Problema de Transporte Clássico
As capacidades de produção de cimento (ton), bem como as demandas das cidades (ton), podem ser vistas a seguir:
mCapacidade de produção
1 1100
2 1300
3 1100
n Demanda das Cidades
1 400
2 200
3 900
4 1200
5 750
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Problema de Transporte Clássico
Determinar quanto cada fábrica deve enviar a cada cidade de maneira a minimizar os
custos de transporte.
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O Problema de Transporte émodelado com PL
Solução ótima de custo R$611.500,00
Quantidades a serem transportadas:
m/n 1 2 3 4 5
1 400 700
2 200 200 100 750
3 1100
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Problema do Caixeiro Viajante
� n cidades p/ visitar� Distâncias dij entre
as cidades i e j� Escolher uma rota
de comprimento mínimo visitando cada cidade uma única vez e voltando ao ponto de partida.
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Problema do Caixeiro Viajante
� Modelável com PI
� Problemas muito grandes podem ser resolvidos de forma ótima
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Problema do Roteamento de Veículos
K veículos saem de um depósito para fazer entregas em n clientes e depois retornar ao depósito. Cada veículo tem uma capacidade limitada em peso e volume. São conhecidas as distâncias entre o depósito e um cliente e entre cada par de clientes.
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Problema do Roteamento de Veículos
Determinar quais clientes devem ser atendidos por cada caminhão e a seqüência de visitação de cada um deles, de forma a não estourar as capacidades e minimizar a
distância total percorrida
Modelável com PI, difícil de resolver para problemas com > 75 clientes
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Problema do Roteamento de VeículosModelável com PI, difícil de resolver de forma exata para problemas com > 75 clientes
Boas soluções aproximadas (digamos 1% do ótimo) para problemas maiores podem ser obtidas por métodos conhecidos como heurísticas
Os erros da aproximação ao se resolver o modelo se somam ao erro da própria modelagem
Mesmo, assim os ganhos típicos em relação ao planejamento manual são da ordem de 15-20%
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Problema do Carteiro Chinês
Um carteiro tem que entregar correspondência em cada uma das ruas de um bairro, saindo da agência e retornando a ela.
Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense
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Problema do Carteiro Chinês
Determinar o caminho que o carteiro deve seguir para minimizar a distância total
percorrida.
Em certos casos é modelável por PL, em outros exige PI. De qualquer forma,
problemas grandes podem ser resolvidos
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� n clientes� m locais potenciais p/
abrir algum serviço� Distâncias dij entre
cliente i e local j� Escolher p locais para
minimizar a soma das distâncias de cadacliente ao local abertomais próximo.
Localização de instalações: Problema das
p-medianas
Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense
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Modelo de PI
Variáveis (todas binárias):
� xj (j = 1, ..., m) = 1 se o local j é aberto
� yij (i = 1, ..., n; j = 1, ..., m) = 1 se o cliente i éatendido no local j
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Formulação
{ }
{ } mjx
mjniy
px
mjnixy
niy
yd
j
ij
m
j
j
jij
m
j
ij
n
i
m
j
ijij
K
KK
KK
K
,11,0
,1;,11,0
,1;,10
,11S.a
Min
1
1
1 1
=∈
==∈
=
==≤−
==
∑
∑
∑∑
=
=
= =
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OBSERVAÇÃO
Este material refere-se às notas de aula do curso
TEP117 (Pesquisa Operacional I) da Universidade
Federal Fluminense (UFF) e não pode ser
reproduzido sem autorização prévia do autor.
Quando autorizado, seu uso é exclusivo para
atividades de ensino e pesquisa em instituições
sem fins lucrativos.