Programação Linear

Exercícios Numéricos

Propostos Prof. Sérgio Mayerle

Exercício 1

Para o PPL abaixo: (a) resolva pelo algoritmo simplex primal; (b) formule o PPL dual e resolva

com o algoritmo simplex primal; (c) resolva utilizando o algoritmo simplex primal-dual; (d)

mostre, em cada solução obtida anteriormente, que as mesmas são equivalentes.

1 2 3 4

1 2 4

1 3 4

2 3

1 2 3

2

2 10

8

2 9

, , 0

Maximizar z x x x x

Sujeito a x x x

x x x

x x

x x x

= + + −

+ + ≤

− + + =

− + ≥

≥

Exercício 2

Para o PPL abaixo efetue a análise de pós-otimalidade: (a) sobre os coeficientes do vetor b;

(b) sobre os coeficientes do vetor c.

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

2 2

2 7

2 8

, , 0

Minimizar z x x x

Sujeito a x x x

x x

x x x

= + +

+ + ≤

− ≥

≥

Exercício 3

Para o PPL acima encontre a nova solução ótima, usando as técnicas de análise de pós-

otimalidade: (a) incluido a restrição 1 2 3

2 6x x x+ + ≥ ; (b) em seguida excluido a primeira

restrição; (c) em seguida excluindo a variável 2

x .

Exercício 4

Comente como se pode identificar a existência de solução ótima, solução ilimitada e de

inexistência de solução viável nos casos de se estar trabalhando com o algoritmo simplex

primal (método do M-grande e/ou método das duas fases) e no caso do algoritmo simplex

primal-dual.

Exercício 5

Comente sobre a prova da convergência do método simplex.

Exercício 6

Considere o problema e a solução abaixo:

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 4 5

1 2 3 4 5

2 3 4

10

2

, , , , 0

Maximizar z x x x x x

Sujeito a x x x x x

x x x x

x x x x x

= + + − +

+ + + + ≤

− − + ≥

≥

Solução: 1 3 2 4 5

28 2 8 0z x x x x x= = = = = =

Verifique se a solução dada é ótima. Em caso negativo, encontre-a.

Exercício 7

Dado o problema dual abaixo, e sua solução ótima, determine a partir deste problema dual,

a solução ótima do problema primal associado.

1 2

1 2

1

2

1 2

1 2

3 2

2 5

1

2

6

, 0

Minimizar z u u

Sujeito a u u

u

u

u u

u u

= +

+ ≤

≥

≥

− + ≤

≥

Solução ótima: 217 21 === uuz

Utilize a inversa abaixo, se for conveniente:

1

2 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 1 2 1 0

1 1 0 1 0 1 1 1

B B−

= = − − − −

Exercício 8

Resolva o PPL abaixo, formule o seu dual e apresente a sua solução ótima para ambos.

1 2 3

1 2

1 3

2

1 2

10 8 12

2 3

1

3 6

, 0

Maximizar z u u u

Sujeito a u u

u u

u

u u

= + +

+ =

+ ≤

≤

≥

Exercício 9

Dado o problema a seguir pede-se: (a) resolva o problema; (b) qual a variação possível de 1b

e 2b para não haver troca de base? (c) qual a variação possível de 2c e 3c para não haver

troca de base?

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4

2 8

3 2

, , 0

Maximizar z x x x

Sujeito a x x x

x x x

x x x

= + −

+ + ≤

+ − ≥

≥

Exercício 10

Quais as condições que o vetor ),,( cba deve satisfazer, sabendo-se que )3,6,0(),,( 321 =xxx

é a solução ótima do PPL abaixo.

1 2 3

1 2 3

1 2

1 2

2 3 15

2 12

, 0

Maximizar z a x b x c x

Sujeito a x x x

x x

x x

= + +

+ + ≤

+ ≤

≥

Exercício 11

Resolva o problema dual do PPL abaixo, e apresente a solução ótima de ambos.

1 2

1

1 2

2

1 2

10 12

2 4

1

3 6

, 0

Maximizar z u u

Sujeito a u

u u

u

u u

= +

≤

+ ≤

≤

≥

Exercício 12

Sabendo que ( ) ( )1 2, 0,6x x = é solução ótima do PPL abaixo, determine a solução ótima do

PPL dual.

1 2

1 2

1 2

1 2

2 15

2 12

, 0

Maximizar z a x b x

Sujeito a x x

x x

x x

= +

+ ≤

+ ≤

≥

Exercício 13

Resolva com o uso do método que mais lhe convier:

1 2 3 4

1 2 4

1 3 4

2 3

1 2 3 4

2

2 10

8

2 9

, , , 0

Maximizar z x x x x

Sujeito a x x x

x x x

x x

x x x x

= + + −

+ + ≤

− + + =

− + ≥

≥

Exercício 14

Uma indústria fabrica dois produtos (P1 e P2), cujas quantidades produzidas são definidas

pelo seguinte modelo de programação linear:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

: 10 15

: 2 200

2 150:

: 80

, 0

Maximizar Lucro L P P

Sujeito a MDO P P

P PEnergia

Mercado P P

P P

= +

+ ≤

+ ≤

+ ≥

≥

O Departamento de Engenharia desta indústria desenvolveu o projeto de um produto P3

que necessita de 3 unidades de mão-de-obra (MDO) e 2 unidades de energia, por unidade

fabricada. Qual deve ser o lucro unitário deste produto, a fim de que seja interessante sua

produção?

Exercício 15

Apresenta-se, abaixo, um PPL dual, cuja solução ótima é ( ) ( )1 2, 1,0u u = . Sem resolver o PPL

primal, determine o valor ótimo das variáveis primais.

1 2

1

1 2

2

1 2

10 8

2 3

1

3 6

, 0

Maximizar z u u

Sujeito a u

u u

u

u u

= +

≤

+ ≤

≤

≥