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DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I

Exercícios dos Capítulos 6, 7, 8 e 9


a b

d

c

6.13) Calcule v usando o método de corrente de enlace.

4 Ω

12 Ω 6 A 8 Ω

2 A

2 Ω

4 Ω

+

v

-

a b

d

c

6

2

i1

i2

i2 - 2

6 - i1

6 - i1 +2 - i2


v = 8 i2 − 2( ) = 8 2,5− 2( ) = 4 V"# $%

6i2 +3i1 = 28

i1 =18− 2i23

i2 = 2,5 A!" #$

a b

d

c

6

2

i1

i2

i2 - 2

6 - i1

6 – i1 +2 - i2

2 6− i1( )+12 6− i1+ 2− i2( )− 4i1 = 0

4i2 +8 i2 − 2( )−12 6− i1+ 2− i2( ) = 0


7.21) Calcule vg para t > 0, se a corrente for i = 5 exp(-20t) [A]:

i(t)

8 Ω

vg(t)

0,2 H + -

vg = vL + vR = Ldidt+ Ri

vg = 0,2ddt5exp −20t( )( )+8 ⋅5exp −20t( ) = −20exp −20t( )+ 40exp −20t( )

( )tvg 20exp20 −=


7.35) Circuito em regime permanente em t = 0-. Calcule dv/dt e di/dt para t = 0+.

1/10 F

+ v - 3 Ω

6 V

t = 0

+ - 1/2 H v1/2 A 2 Ω

+ v1 _

10 V + -

t = 0

3 Ω

i


aberto

curto

Em t = 0- : regime permanente

1/10 F

+ v - 3 Ω

6 V + - 1/2 H v1/2 A 2 Ω

+ v1 _

3 Ω

i

v112+13+13

!

"#

$

%&=v12

v1 0−( ) = 0 v 0−( ) = 6 V

i 0−( ) = 0 A


a Em t = 0+ : + v - 3 Ω

1/10 F

1/2 H v1/2 A 2 Ω

+ v1 _

10 V + - 3 Ω

i

i1 i

v 0+( ) = v 0−( ) = 6 V v1 0+( ) =10− v 0+( ) = 4 V

i 0+( ) = i 0−( ) = 0 A

i1 =v12

i 3+3( )− v12 ⋅3+12didt= 0

−110dvdt+v12= 0

dv 0+( )dt

=42⋅10

dv 0+( )dt

= 20 V/s

malha i:

nó a:

didt+12i = 3v1

di 0+( )dt

=12 A/s


8.6) Calcule v para t > 0, se o circuito está em regime permanente em t = 0-.

Para t = 0-:

vc 0−( ) = 44+6

50 = 20 V"# $%+ vc _

50 V

t = 0-

+ - 4 Ω

6 Ω

1/8 F

+ vc _

3 Ω

50 V

t = 0

+ - 2 Ω 20 Ω 4 Ω

6 Ω

+ v _


Req =2+3( ) ⋅20

2+3( )+ 20= 4 Ω

Para t > 0:

τ = ReqC = 4 ⋅ 18= 0,5 s

vc t( ) = 20exp −2t( )

v t( ) = 22+3

!

"#

$

%&vc t( ) =

25⋅20exp −2t( ) = 8exp −2t( )

1/8 F

+ vc _

3 Ω t = 0+

2 Ω 20 Ω

+ v _


i = i1+ i2

15+15

!

"#

$

%&v1 −

15v = 0

8.39) Calcule v para t > 0, se vg = 3u(t) [V].

- +

+

vg = 3u(t)

–

+

v

–

24 Ω

i

6 Ω

5 Ω

5 Ω

1/24 F

i2

i1

+ v1 –

v1

v = 2v1

vg − v16

=124dv1dt

+v1 − v24

dv1dt

+5v1 − v = 4vg

dv1dt

+3v1 = 4vg


dv1dt

+3v1 = 4vgdv1 t( )dt

+3v1 t( ) =12u t( )

Para t > 0: e v1 0+( ) = 0dv1 t( )

dt+3v1 t( ) =12

dv1 t( )dt

+ Pv1 t( ) =Q ⇒ v1 t( ) = Aexp −Pt( )+QPSolução geral:

v1 t( ) = Aexp −3t( )+123v1 0

+( ) = 00 = A+ 4 A = −4

v1 t( ) = −4exp −3t( )+ 4

v t( ) = 2v1 t( ) = 8−8exp −3t( ) V"# $%

Para t < 0: e v 0−( ) = 0v1 0−( ) = 0


8.37) Calcule v, se vg = 2exp(-3t)u(t) [V].

12+14

!

"#

$

%&v1 −

14v − 12vg = 0 v = 3v1 − 2vg

16dvcdt

=vg − vc3Corrente i1:

dvcdt

+ 2vc = 2vgdvcdt

+ 2vc = 4exp −3t( )u t( )

+ -

+

vg

–

+

v

–

4 Ω

2 Ω

3 Ω

1/6 F i1

v1

v1

i1 + vc–

v1 = vg − vcv = 3 vg − vc( )− 2vg = vg −3vc


dvcdt

+ 2vc = 4exp −3t( )

A = 4

para t > 0, temos: vc = 4exp −2t( )− 4exp −3t( )

v = 14exp −2t( )−12exp −3t( )!"

#$ u t( )

v = vg −3vc

vc = exp −Pt( ) Qexp Pt( )dt∫ + Aexp −Pt( )

vc = exp −2t( ) 4exp −3t( )exp 2t( )dt∫ + Aexp −2t( ) = 4exp −2t( ) exp −t( )dt∫ + Aexp −2t( )

vc = −4exp −3t( )+ Aexp −2t( )

v = 2exp −3t( )−3 4exp −2t( )− 4exp −3t( )"#

$%

Note que vg = 0, vc = 0 e v = 0 para t < 0.

Para t > 0, temos então:

Usando fator de integração:

0 = A− 4Então,


Capítulo 9:

9.1.1 Calcule a equação que satisfaz a corrente de malha i2.

+ -

vg 1 H

2 Ω 3 Ω

1 H i1 i2

dtdi

dtdiivg 21

1 112 −+= 01113 2212 =++−

dtdi

dtdi

dtdii

221 32 idtdi

dtdi

+=dtdii

dtdiivg 2

22

1 322 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

22

1 32 idtdiivg ++= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛dtd

dtdi

dtid

dtdi

dtdvg 2

222

1 32 ++= 22

222

67 idtdi

dtid

dtdvg ++=


9.1.2 Sendo vg = 14e-2t [V], i1(0+) = 6 [A], i2(0+) = 2 [A], calcule di2(0+)/dt .

22

1 32 idtdiivg ++= ( ) [ ]A/s402 −=

+

dtdi

9.1.3 Sendo vg = 14e-2t [V], i1(0+) = 6 [A], i2(0+) = 2 [A], calcule i2.

0672 =++ ss

ttn eAeAi 6

212−− +=

teidtdi

dtid 2

22

222

2867 −−=++

tf ei 22 7 −=

tttt eAeAeAe 2222 286144 −−−− −=+−

7=A

⎩⎨⎧

−=

−=

16

2

1ss

tf Aei 22

−=

( ) 2306214 202 ⋅++⋅=+

⋅−dt

die


ttt eeAeAi 26212 7 −−− ++=

i2(0+) = 2 [A]: 02062

01 72 ⋅−⋅−− ++= eeAeA 521 −=+ AA

( ) [ ]A/s402 −=+

dtdi ttt eeAeA

dtdi 26

212 146 −−− −−−=

106 21 =−− AA

521 −=+ AA

106 21 =−− AA

55 2 =− A 12 −=A 41 −=A

ttt eeei 262 74 −−− +−−=

1464 21 −−−=− AA


9.4.1 Calcule as frequências naturais de um circuito caracterizado por

a) Se a1 = 5 e a0 = 4

0012

2=++ xa

dtdxa

dtxd

0452 =++ ss

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−=

=⋅

⋅⋅−±−=

4

1

1241455

2

12

s

ss


9.4.1 b) Se a1 = 4 e a0 = 13

01342 =++ ss

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

+−=

=⋅

⋅⋅−±−=

32

32

12131444

2

12

js

jss

9.4.1 c) Se a1 = 8 e a0 = 16

01682 =++ ss

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−=

=⋅

⋅⋅−±−=

4

4

12161488

2

12

s

ss


9.4.2 Calcule x com constantes arbitrárias determinadas tal que x(0) = 3 e

dx(0)/dt = 6.

a) 0452

2=++ x

dtdx

dtxd

tt eAeAx 421−− +=

213 AA +=

214

21 464 AAeAeAdtdx tt −−=⇒−−= −−

239 A−=

63

1

2=

−=

AA tt eex 436 −− −=



dx(0)/dt = 6.

b) 01342

2=++ x

dtdx

dtxd

( )tBtBex t 3sen3cos 212 += −

( ) ( )( ) 303sen03cos3 121 =⇒⋅+⋅= BBB

teBteBteBteBdtdx tttt 3cos33sen23sen33cos2 2

22

22

12

1−−−− +−−−=

4366326 221 =

+=⇒+−= BBB

( )ttex t 3sen43cos32 += −



dx(0)/dt = 6.

c) 01682

2=++ x

dtdx

dtxd

( )tAAex t21

4 += −

13 A=

( ) tt eAtAAedtdx 4

22144 −− ++−=

( ) 1846 221 =⇒+−= AAA

( )tex t 1834 += −


9.15 Calcule i para t > 0, se v(0) = 2 V, i(0) = 1 A

a) L = 1 H e R = 1 Ω L

R 6 V

v

1 F

+ - i

+ - 1 Ω i1 i

11

i10t∫ dt + v 0+( )+1⋅ i1 −1⋅ i = 6

1⋅ i −1⋅ i1+1⋅didt+1⋅ i = 0 i1 =

didt+ 2i

ddt!

"#

$

%& i1+

di1dt−didt= 0 d 2i

dt2+ 2 didt+ 2i = 0


d 2idt2

+ 2 didt+ 2i = 0

s1,2 = −1± js2 + 2s+ 2 = 0Equação característica:

Solução natural: in = e−t A1cos t + A2sent( )

Solução forçada: Ai f =d 2Adt2

+ 2 dAdt+ 2A = 0 A = 0 i f = 0

Em t = 0+:

i100∫ dt + v 0+( )+ i1 0+( )− i 0+( ) = 6 0+ 2+ i1 0

+( )−1= 6 i1 0+( ) = 5

i1 0+( ) =

di 0+( )dt

+ 2i 0+( ) 5=di 0+( )dt

+ 2 ⋅1di 0+( )dt

= 3


in = e−t A1cos t + A2sent( )Em t = 0+:

1= e−0 A1cos0+ A2sen0( ) A1 =1

dindt

= e−t A1sent + A2 cos t( )− e−t A1cos t + A2sent( )

3= e−0 A1sen0+ A2 cos0( )− e−0 A1cos0+ A2sen0( )3= A2 − A1 A2 = 4

in = e−t cos t + 4sent( ) A"# $%


9.15 Calcule i para t > 0, se v(0) = 2 V, i(0) = 1 A

b) L = 1 H e R = 3 Ω L

R 6 V

v

1 F

+ - i

+ - 1 Ω i1 i

11

i10t∫ dt + v 0+( )+1⋅ i1 −1⋅ i = 6

1⋅ i −1⋅ i1+1⋅didt+3⋅ i = 0 i1 =

didt+ 4i

ddt!

"#

$

%& i1+

di1dt−didt= 0 d 2i

dt2+ 4 didt+ 4i = 0


d 2idt2

+ 4 didt+ 4i = 0

s1,2 = −2s2 + 4s+ 4 = 0Equação característica:

Solução natural: in = A1+ A2t( )e−2t

Solução forçada: i f = Ad 2Adt2

+ 4 dAdt+ 4A = 0 A = 0 i f = 0

Em t = 0+:

i100∫ dt + v 0+( )+ i1 0+( )− i 0+( ) = 6 0+ 2+ i1 0

+( )−1= 6 i1 0+( ) = 5

i1 0+( ) =

di 0+( )dt

+ 4i 0+( ) 5=di 0+( )dt

+ 4 ⋅1di 0+( )dt

=1


( ) tn etAAi 2

21−+=Em t = 0+:

( ) 0221 01 ⋅−⋅+= eAA 11 =A

( ) ttn eAetAAdtdi 2

22

212 −− ++⋅−=

2121 AA +⋅−= 32 =A

( ) [ ]A 31 2tn eti −+=

( ) 022

0221 021 ⋅−⋅− +⋅+⋅−= eAeAA

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